Distribusi Probabilitas Kontinyu Teoritis

Transkripsi

1 Distribusi Probabilitas Kontinyu Teoritis Suprayogi Dist. Prob. Teoritis Kontinyu () Distribusi seragam kontinyu (continuous uniform distribution) Distribusi segitiga (triangular distribution) Distribusi segitiga kiri (left triangular distribution) Distribusi segitiga kanan (right triangular distribution) Distribusi normal (normal distribution) Distribusi normal baku (standard normal distribution) Distribusi lognormal (lognormal distribution) Distribusi gamma (gamma distribution) Distribusi Erlang (Erlang distribution)

2 Dist. Prob. Teoritis Kontinyu () Distribusi eksponensial (eponential distribution) Distribusi khi kuadrat (chisquare distribution) Distribusi Weibull (Weibull distribution) Distribusi student t (Student t distribution) Distribusi F (F distribution) Distribusi beta (beta distribution) 3 Distribusi Seragam Kontinyu () X seragam kontinyu (a, b) Fungsi distribusi probabilitas: f ( ) ; a < < b b a 0; lainnya Parameter: a, b bilangan riil (b > a) a : batas bawah b : batas atas Rataan: μ X Variansi: σ a + b ( b ) a X 4

3 Distribusi Seragam Kontinyu () Fungsi distribusi probabilitas kumulatif: F ( ) 0; < a a ; a < b a ; > b < b 5 Contoh Kurva Distribusi Seragam Kontinyu a 0, b 0 f()

4 Probabilitas dari Variabel Random Seragam Kontinyu P ( < X < ) f ( ) d b a a b 7 Contoh Perhitungan Diameter komponen yang dinyatakan dengan variabel random X diketahui berdistribusi seragam kontinyu dengan batas bawah 0 mm dan batas atas 0 mm. Probabilitas bahwa diameter komponen kurang dari 5 mm? P ( X 5) ,5 < d 8

5 Distribusi Segitiga X segitiga (a, b, c) Fungsi distribusi probabilitas: f ( ) ( a) ( c a)( b a) ( c ) ( c a)( c b) 0; lainnya ; a b ; b c Parameter: a, b, c bilangan ril (a < b < c) Rataan: a + b + c μ 3 Variansi: a + b + c ab ac bc σ 8 9 Distribusi Segitiga () Fungsi probabilitas kumulatif: F ( ) 0; < a ; > c ( a) ( c a)( b a) ( c ) ( c a)( c b) ; ; a < < b b < < c 0

6 Contoh Kurva Distribusi Segitiga a 5, b 0, c 0 f() Probabilitas dari Variabel Random Segitiga f() P ( < X < ) ( a) ( c a)( b a) d a b c

7 Probabilitas dari Variabel Random Segitiga f() P ( < X < ) ( c ) ( c a)( c b) d a b c 3 Probabilitas dari Variabel Random Segitiga f() P ( < X < ) b ( a) ( c a)( b a) d + b ( c ) ( c a)( c b) d a b c 4

8 Contoh Perhitungan Misal variabel random X menyatakan waktu perjalanan yang diketahui berdistribusi segitiga dengan nilai optimistik a 5 menit, nilai pesimistik c 0 menit, dan most likely b 0 menit. Probabilitas bahwa waktu perjalanan antara 8 menit dan menit? P ( 8 < X < ) ( 5) ( 0 ) d + ( 0 5)( 0 5) 0 ( 0 5)( 0 0) ( 5) ( 0 ) d ,33+ 0,400 0, d d Distribusi Segitiga Kanan dan Distribusi Segitiga Kiri X segitiga kiri (left triangular) X segitiga (a, b, c) b a f ( ) ( c ) ( c a) ; a < < 0; lainnya c b c X segitiga kanan (right triangular) f ( ) ( a) ( c a) ; a < < 0; lainnya c 6

9 Contoh Kurva Distribusi Segitiga Kiri a 5, b 5, c f() Contoh Kurva Distribusi Segitiga Kanan a 5, b 0, c f()

10 Distribusi Normal X normal (μ, σ ) Parameter: Fungsi distribusi probabilitas: μ bilangan ril; σ > 0 f( ) e σ π μ σ ; < < μ :rataan σ : variansi Rataan: μ μ X Variansi: σ X σ 9 Contoh Kurva Distribusi Normal μ 0, σ f() μ 0, σ

11 Distribusi Normal Baku X normal (μ, σ ) Z X μ σ Z normal baku (standard normal) Fungsi distribusi probabilitas: f( z) e π z ; < z < Rataan: μ Z Variansi: σ Z 0 Kurva Distribusi Normal Baku μ Z 0; σ Z f(z) z

12 Probabilitas dari Variabel Random Berdistribusi Normal P ( < X < ) μ P < Z < σ μ σ P Z < μ σ P Z < μ σ f ( ) σ f () z μ z z 0 z 3 TabelDistribusiNormal Baku

13 TabelDistribusiNormal Baku Contoh Perhitungan () Tinggi badan yang dinyatakan dengan variabel random X diketahui berdistribusi normal dengan rataan μ 60 cm dan variansi σ 6 cm. Probabilitas bahwa tinggi badan antara 50 cm dan P( 5065 < X < 65 cm? ) P < Z < 4 4 P P (,50 < Z <,5) ( Z <,5) P( Z <,50) 0,8944 0,006 0,886 σ X μ X 60 6

14 Contoh Perhitungan () Nilai ujian mahasiswa yang diasumsikan memiliki distribusi normal (rataan μ 80, variansi σ 00). Jika mahasiswa yang lulus diinginkan sebesar 99 persen, batas nilai kelulusan? Misal variabel random X nilai ujian mahasiswa P ( X > ) 0,99 P( X < ) 80 P Z < 0,0 0 80, ,7 (,33) 0,0 μ X 80 σ X 00 7 Hampiran Distribusi Normal terhadap Distribusi Binomial X binomial (n, p); n, p 0,5 rataan μ np; variansi σ np( p) Z X np np ( p) Z normal baku 8

15 Contoh Perhitungan Probabilitas bahwa seseorang pada suatu daerah terinfeksi virus demam berdarah adalah p 0,4. Jika sebanyak n 00 orang dipilih secara random dari daerah tersebut, probabilitas bahwa terdapat kurang dari 30 orang terinfeksi? Misal variabel random X banyaknya orang yang terinfeksi μ σ X X np np ( 00)( 0,4) 40 ( p) ( 00)( 0,4)( 0,4) 4 P ( X < 30) P Z < P( Z <,4) 0, 06 9 Distribusi Lognormal X lognormal (μ, σ ) Fungsi distribusi probabilitas: e f( ) σ π 0,lainnya ln μ σ ; > 0 Parameter: μ bilangan ril; σ > 0 Rataan: μ X e Variansi: σ X e μ + σ μ+ σ σ ( e ) 30

16 Contoh Kurva Distribusi Lognormal f() μ 0,5; σ μ ; σ Hubungan Distribusi Normal dengan Lognormal X ~ normal (μ, σ ) X lny X Y e Y ~ lognormal (μ, σ ) 3

17 Probabilitas dari Variabel Random Berdistribusi Lognormal X Lognormal(μ, σ ) P ( X < ) P( ln( X) < ln( ) ) ln P Z < ( ) σ μ 33 Contoh Soal Waktu perbaikan suatu mesin diketahui memiliki distribusi lognormal (μ, σ ). Probabilitas bahwa waktu perbaikan mesin lebih dari 0 menit? Misal X variabel random waktu perbaikan P ( X > 0) P( ln( X) > ln( 0) ) ln( 0) μ P Z < σ ln( 0) P Z < P( Z <,00) 0,843 0,587 34

18 Distribusi Gamma X gamma (, β) Fungsi distribusi probabilitas: f ( ) β Γ( ) 0; lainnya e β ; > 0 Parameter:, β > 0 Rataan: μ β X Variansi: σ X β 35 Fungsi Gamma Γ Γ ( ) e 0 d ( ) ( ) Γ( ) Γ ( n) ( n )! Γ π 36

19 Contoh Kurva Distribusi Gamma f() ,5; β ; β ; β Distribusi Erlang X Erlang (n, β) Fungsi distribusi probabilitas: f ( ) n β ( n )! 0; lainnya n β e ; > 0 Parameter: n bulat > 0, β > 0 Rataan: μx nβ Variansi: σ X nβ 38

20 Contoh Kurva Distribusi Erlang n ; β f() n ; β n 5; β Hubungan Distribusi Erlang dan Gamma X gamma (, β); n bulat X Erlang (n, β) 40

21 Distribusi Eksponensial () f X eksponensial (β) Fungsi distribusi probabilitas: ( ) β e ; > 0 β 0; lainnya Parameter: β > 0 Rataan: μ β X Variansi: β : rata rata σ X β 4 Distribusi Eksponensial () Fungsi distribusi probabilitas kumulatif: F ( ) β e ; > 0; lainnya 0 4

22 Contoh Kurva Distribusi Eksponensial β f() β 4 β Probabilitas dari Variabel Random Berdistribusi Eksponensial β X eksponensial (β) P ( < X < ) e β β d 44

23 Contoh Perhitungan Umur lampu (dinotasikan dengan X) merupakan variabel random yang memiliki distribusi eksponensial dengan rataan β 6 bulan. Probabilitas bahwa umur lampu X lebih dari 8 bulan? P ( X > 8) 8 6 e 6 8 e 0 6 0,636 d 6 d 45 Hubungan Distribusi Erlang dan Eksponensial X i eksponensial (β) X i saling independen Y n i X i Y Erlang (n, β) 46

24 Hubungan Distribusi Gamma, Erlang dan Eksponensial X gamma (, β) n bulat X eksponensial (β) n X Erlang (n, β) 47 Hubungan Distribusi Eksponensial dan Poisson X Poisson (λt) P(tidak ada kejadian sebelum t) P(X 0) 0 e 0 ( t) λt λ t λ e 0! P(tidak adakejadian sebelum t) P(kejadian pertama terjadi pada atau setelah saat t) λ t t eksponensial(β /λ); t e λ λt e F( t) λt F() t e df() t f () t dt f( t) e β t β λe λt ; β λ 48

25 Distribusi Khi kuadrat X khi kuadrat (v) Fungsi distribusi probabilitas: f ( ) v v v Γ 0; lainnya > 0 e ; Parameter: v bilangan bulat > 0 v : derajat kebebasan (degree of freedom) Rataan: μ X v Variansi: σ X v 49 Contoh Kurva Distribusi Khi kuadrat v 5 v v

26 Probabilitas dari Variabel Random Berdistribusi Khi kuadrat Simbol umum untuk variabel random khi kuadrat Χ Χ khi kuadrat (v) dengan fungsi distribusi probabilitas f() P ( > χ ) f ( ) d Χ χ χ 5 Tabel nilai χ untuk derajat kebebasan v dan v v Π χ

27 Contoh Perhitungan Variabel random Χ diketahui berdistribusi khi kuadrat dengan derajat kebebasan v 0. Nilai χ agar probabilitas di sebelah kanan 0,05? v χ P ( Χ > χ ) χ 8,307 0,05 53 Hubungan Distribusi Gamma dan Khi kuadrat X gamma (, β); v/; v bulat; β X khi kuadrat (v) 54

28 Hubungan Distribusi Normal Baku, Khi Kuadrat dan Gamma X i normal baku Y n i X i Y khi kuadrat (v); v n Y gamma (, β); n/; β 55 Distribusi Weibull () X Weibull (, β) Fungsi distribusi probabilitas: f ( ) ( β ) > β e 0; lainnya ; 0 Parameter:, β > 0 Rataan: β μx Γ Variansi: β Γ Γ σ X 56

29 Distribusi Weibull () Fungsi distribusi probabilitas kumulatif: F ( ) ( β ) > e ; 0; lainnya 0 57 Contoh Kurva Distribusi Weibull ,5; β ; β ; β

30 Probabilitas dari Variabel Random Berdistribusi Weibull X Weibull (, β) P ( β ) ( < X < ) β e d 59 Hubungan Distribusi Weibull dan Eksponensial X Weibull (, β) X eksponensial (β) 60

31 Distribusi Student t X student t (v) Fungsi distribusi probabilitas: f ( ) πv < < Γ (( v + ) ) Γ( v ) + v ( v+ ) ; Parameter: v > 0 v : derajat kebebasan (degree of freedom) Rataan: μ X 0 Variansi: σ X v ; v v 6 > Contoh Kurva Distribusi Student t 0.45 f() v 00 v 5 v

32 Probabilitas dari Variabel Random Berdistribusi Student t Simbol umum untuk variabel random student t T T student t (v) dengan fungsi distribusi probabilitas f(t) P ( T > t ) f () t dt t 0 t Sifat simetris : t t 63 0 t Tabel nilai t untuk derajat kebebasan v dan vv

33 Contoh Perhitungan () Variabel random T diketahui berdistribusi t dengan derajat kebebasan v 0. Nilai t agar v probabilitas di sebelah kanan 0,05? 0 t P t ( T < t ),8 0,05 65 Contoh Perhitungan () Variabel random T diketahui berdistribusi t dengan derajat kebebasan v 0. Nilai t agar v probabilitas di sebelah kiri 0,05? 0 t t 0,05 t0,05 P t ( T < t ),8 0,05 66

34 Hubungan Distribusi Normal Baku, Khi kuadrat dan Student t Z normal baku Y khi kuadrat (v) T Z Y v T student t (v) 67 Hubungan Distribusi Student t dan Normal Baku X student t (v); v Z normal baku 68

35 Distribusi F f X distribusi F (v, v ) Fungsi distribusi probabilitas: ( ) (( v + v ) ) ( v ) Γ( v ) Γ Γ lainnya v v v ( v ) ( ) ( v + + ) v v v ; > 0 μ X σ X Parameter: v, v > 0 v, v : derajat kebebasan (degree of freedom) Rataan: v ; v > 0 v Variansi: v ( v + v ) ( v 4)( v ) ; v v > 4 69 Contoh Kurva Distribusi F v 0, v 0 v 0, v 5 f() v 0, v

36 Probabilitas dari Variabel Random Berdistribusi F Simbol umum untuk variabel random F F F distribusi F (v, v ) dengan fungsi distribusi probabilitas f() P ( F > f ) f ( ) d f 0 f 7 Tabel nilai f untuk derajat kebebasan v dan 0,0 v v 7

37 Tabel nilai f untuk derajat kebebasan v dan 0,05 v v v Tabel nilai f untuk derajat kebebasan v dan 0,0 v v

38 Contoh Perhitungan Variabel random F memiliki distribusi F (v 0, v 0) Nilai f sehingga P(F > f ) 0,05? f,978 v Tabel nilai f untuk 0,05 v 75 Hubungan Distribusi F dengan Khi kuadrat Χ khi kuadrat (v ) Χ khi kuadrat (v ) independen F Χ Χ v v F distribusi F (v, v ) 76

39 Distribusi Beta X beta (, ) Fungsi distribusi probabilitas: Parameter:, > 0 f ( ) ( ) (, ) Β 0; lainnya ; 0 Rataan: μx + Variansi: σ X ( + ) ( + + ) 77 Fungsi Beta Β Β ( ) t ( t), dt 0 (, ) Β( ), Β ( ), Γ Γ ( ) Γ( ) ( + ) 78

40 Contoh Kurva Distribusi Beta () 3.00,5; 5 5;, ,5; 3 3;,5 f() Contoh Kurva Distribusi Beta () f() ; 0 5; 5 ; ;

41 Contoh Kurva Distribusi Beta (3) ,8; ; 0,8.50 f() ; ; Contoh Kurva Distribusi Beta (4) f() ,5; ,8; 0, 0,; 0,

42 Hubungan Gamma dan Beta X gamma (, β) X gamma (, β) X X X + X X beta (, ) 83 Hubungan Distribusi Beta dan Seragam Kontinyu X beta (, );, X seragam kontinyu (a, b); a 0, b 84

43 Hubungan Distribusi Beta dan Segitiga X segitiga kiri (left triangular), X beta (, ), X segitiga kanan (right triangular) 85