STATISTICS. WEEK 5 Hanung N. Prasetyo TELKOM POLTECH/HANUNG NP

Transkripsi

1 STATISTICS WEEK 5 Hanung N. Prasetyo

2 Kompetensi 1. Mahasiswa memahamikonsep dasar distribusi peluang kontinu khusus seperti uniform dan eksponensial 2. Mahasiswamampumelakukanoperasi hitungyang berkaitan dengan distribusi kontinu khusus 3. Mahasiswa mampu membedakan antara distribusi peluang diskrit dengan distribusi peluang kontinu

3 Materi 1. Konsep dasar distribusi uniform 2. Konsep dasar distribusi eksponensial

4 DISTRIBUSI KONTINU Distribusi kontinu P terhadap Rdigambarkan melalui suatu fungsi kerapatan (p.d.f.). P(X) terhadap R seperti p( X) = 0dan p( X) dx =1. Jika suatu variabel acak X mempunyai distribusi P, kemudian peluang X memiliki nilai dalam interval [ a, b] diberikan dalam Untuk a R, kita mempunyai P(X=a) = 0. Dengan suatu fungsi ϕ: X, pengharapan ϕ(x) digambarkan oleh R

5 DISTRIBUSI UNIFORM Bila X merupakan variabel random kontinu yang terdefenisi pada selang (A,B) maka fungsi peluang dari X adalah f( x; A, B) = B 1, A 0, A x B lainnya

6 Distribusi kumulatif dari peubah acak X yang berdistribusi uniform didefenisikan sebagai berikut: Sedangkan mean dan variansinya dari peubah acak X yang berdistribusi uniform dapat dihitung dan bernilai: < < = B x B x A A B A x A x x X P 1,, 0, ) ( uniform dapat dihitung dan bernilai: 2 ) ( 12 1 ) ( ) ( 2 1 ) ( A B X Var A B X E = + =

7 Distribusi Eksponensial Bila X merupakan variabel random eksponensial dengan parameter λyang tedefenisi pada selang (0, ) maka fungsi peluang dari X adalah f( x; A, B) λx λe, x 0 = 0, lainnya Distribusi eksponensial paling sering digunakan sebagai model distribusi waktu dalam fasilitas pelayanan customer (waktu tunggu). Dalam hal ini customer disini tidak harus berupa orang tetapi bisa berupa panggilan telepon misalnya.

8 Penggunaannya dalam model ini, distribusi eksponensial sangat berkaitan dengan distribusi poisson. Bila X menyatakan jumlah kejadian yang terjadi dalam selang waktu t, maka X akan berdistribusi Poisson. Jika αadalah mean X yaitu rata-rata jumlah kejadian per unit waktu, maka distribusi dari waktu antar 2 kejadian adalah eksponensial dengan parameter α. Penggunaan distribusi eksponensial yang lain adalah sebagai model waktu hidup dari suatu komponen. Biasanya dalam model ini λdisebut sebagai tingkat kegagalan.

9 Distribusi Exponential P(waktu kedatangan < X ) = 1-e -λx ; X>0 X : Sebarang nilai dari variabel random X λ : rata-rata jumlah kedatangan perunit waktu 1/λ: rata-rata waktu antar kedatangan Contoh : Sopir datang di jembatan tol Nasabah datang pada mesin ATM

10 Definisi: Perubah acak kontinu X terdistribusi eksponensial dengan parameter, β, jika fungsi padatnya berbentuk: Teorema: 1 x e β f(x) ; x> 0 = β 0 ; x yanglain dengan β > 0 Rata-rata dan variansi distribusi gamma (eksponensial merupakan bentuk khusus distribusi gamma)adalah 2 2 µ = αβ danσ = αβ Akibat: Rata-rata dan variansi distribusi eksponensial adalah = dan 2 = 2 µ β σ β

11 Contoh 1: Misal X peubah acak yang menyatakan waktu respon dari suatu kommputer yang on-line (waktu antar user input dan tampil outputnya). Peubah acak X berdistribusi eksponensial dengan mean 5 detik. Berapa peluang waktu respon paling lama 10 detik dan waktu responnya antara 5 sampai 10 detik? Jawab: Bila µ = 1/λ=5, maka λ= 0,2 Maka P( X P(5 10) x 10) = F(10) = 1 e 0,2(10) = F(10) F(5) = 0,233 = 1 0,135= 0,865

12 Contoh 2 : Peubah acak X menyatakan waktu antar kedatangan pesawat pada sebuah bandara, dengan fungsi peluang sebagai berikut: f ( x) = 0,5x 0,5e, x> 0, lainnya Berapa peluang menunggu paling sedikit 1 menit? Jawab : 0, 0, 5.( 1) P(X 1)= F(1) = ( )= 0, e

13 Contoh 3 Suatu sistem memuat sejenis komponen yang mempunyai daya tahan pertahun dinyatakan oleh perubah acak T yang berdistribusi eksponensial dengan parameter waktu rata-rata sampai gagal β =5 Bila sebanyak 5 komponen tersebut dipasangkan dalam sistem yang berlainan, berapa pobabilitas bahwa paing sedikit 2 masih akan berfungsi pada akir tahun ke delapan. Jawab: Probabilitas bahwa suatu komponen tertentu masih akan berfungsi setelah 8 tahun adalah: t 8 P(T > 8) = 1 e 5dt e 5 5 = 8 = 02,

14 DISTRIBUSI KONTINU BERIKUTNYA ADALAH DISTRIBUSI NORMAL Namun akan dibahas dalam pertemuan tersendiri.