MINGGU KE-9 MACAM-MACAM KONVERGENSI

Transkripsi

1 MINGGU KE-9 MACAM-MACAM KONVERGENSI Kita telah mengetahui bahwa untuk n besar dan θ kecil sedemikian hingga nθ = λ, distribusi binomial bisa dihampiri oleh distribusi Poisson. Mencari hampiran distribusi menjadi topik penting dalam statistik, khususnya bila kita melakukan transformasi Y = h(x 1, X 2,...X n ) di mana distribusi Y tidak bisa ditentukan. Hampiran distribusi berbasis kelakuan Y untuk n besar atau secara asimtotis atau distribusi limit di mana di dalamnya memuat pengertian konvergen yang akan menjadi topik bahasan bab ini.

2 MACAM-MACAM KONVERGENSI Konvergensi dalam distribusi Definisi Misalkan X n, n = 1, 2, 3,... barisan variabel random dengan fungsi distribusi F n, n = 1, 2, 3,... dan X variabel random dengan fungsi distribusi F. Bila lim F n(x) = F (x) untuk setiap x di mana F kontinu, maka barisan X n dikatakan konvergen dalam distribusi ke X dan ditulis X n d X. Misalkan X n eksponensial (θ) dengan θ = (1 + 1 n ) 1, n = 1, 2, 3,..., maka F n (x) = 1 e (1+ n)x 1 mudah dapat dilihat, x 0. Untuk setiap x 0 dengan lim F n(x) = 1 e x = F (x). Jadi X n X denngan X Eksponensial (1).

3 Misalkan X n mempunyai distribusi seragam dalam (0, 1 n ) untuk n = 1, 2, 3,... Fungsi distribusi kumulatif dari X n berbentuk 0 x < 0 F n (x) = nx 0 x < 1 n 1 x 1 n Sekarang, misalkan X variabel random yang merosot di X = 0 atau P(X = 0) = 1. Dengan demikian, F (x) = { 1 x 0 0 x < 0 Dalam hal ini C(F ) = {x F (x) kontinu } = {x 0}. Terlihat bahwa lim F n(x) = F (x) untuk setiap x C(F ) yang berarti X n d X.

4 Konvergensi dalam probabilitas Definisi Barisan variabel random {X n, n = 1, 2,..} disebut konvergen dalam probabilitas variabel random X bila lim P { X n X ε} = 1 setiap ε > 0 dan kita tulis sebagai X n konvergensi stokastik. p X. Jenis konvergensi ini sering disebut Perhatikan bahwa definisi konvergensi dalam probabilitas sering menggunakan definisi lim P { X n X > ε} = 0 Ketaksamaan Chebychev mempunyai peran yang sangat penting dalam membuktikan konvergensi dalam probabilitas.

5 Misalkan X n variabel random dengan f.k.p. f n (x) = nn Γ(n) x n 1 e nx, x > 0 n = 1, 2, 3,... Dengan demikian, X n gamma (n, 1 n ) dengan E(x n) = n. 1 n = 1 dan Var(X n ) = n. 1 = 1 n 2 n. Menggunakan ketaksamaan Chebyshev, untuk setiap ε > 0 sehingga, X n P 1. P ( X n 1 > ε) 1 0 untuk n. nε2 Untuk n = 1, 2,... misalkan X n variabel random sedemikian hingga 1 0 dengan probabilitas X n = n 1 dengan probabilitas 1 1 n Misalkan X = 1 dengan probabilitas 1. Harga yang mungkin dari X n X adalah 0 dan 1. Ini berarti 0 dengan probabilitas 1 1 X n X = n 1 1 dengan probabilitas n

6 Akibatnya, fungsi distribusi dari X n X adalah 0, ε < 0 P { X n X } ε = 1 1 n, 0 ε < 1 1, ε 1 Fungsi distribusi ini untuk beberapa n diilustrasikan pada gambar berikut Ini berarti lim P { X n X } ε = 1 untuk setiap ε > 0 yang berarti X n P X.

7 Konvergensi hampir pasti Definisi Misalkan X 1, X 2,...X n dan X barisan variabel random yang didefinisikan pada ruang probabilitas yang sama. X n dikatakan a.s konvergen ( hampir ) pasti ke X ditulis X n X bila P lim X n = X = 1. Melalui teorema berikut definisi di atas akan diperjelas. Teorema a.s X bhb lim X n ε > 0. P { } sup X m X n > ε = 0 untuk setiap Teorema Misalkan X 1, X 2, X 3,... barisan variabel random independen. Maka a.s X P ( X n X > ε) <, untuk ε > 0 X n n=1 Untuk α > 1, misalkan X 1, X 2, X 3... barisan variabel random independen sedemikian hingga P (X n = 0) = 1 1 n α dan P (X n = n) = 1, n 1. nα

8 Perhatikan bahwa untuk ε > 0 Sekarang P ( X n > ε) = P (X n = n) = 1 n α. P ( X n > ε) = n=1 n=1 1 n α < karena α > 1 sehingga menurut teorema di atas, X n a.s 0. Konvergensi dalam mean Definisi Misalkan X 1, X 2, X 3... barisan variabel random yang didefinisikan pada ruang probabilitas yang sama. X n dikatakan konvergen dalam mean ke r variabel random X untuk n bila E(X n X ) r 0 2 untuk n. Bila r = 2, maka X n X disebut konvergen dalam mean kuadrat. Catatan d Bila X n X untuk n, dengan N(0, 1) sering ditulis singkat d X n N(0, 1).