Analisis Variansi (ANOVA) Utriweni Mukhaiyar MA 2081 Statistika Dasar 13 November 2012

Transkripsi

1 1 Analisis Variansi (ANOVA) Utriweni Mukhaiyar MA 2081 Statistika Dasar 13 November 2012

2 2 Analisis Variansi 1. Tujuan Analisis Variansi 2. Asumsi-asumsi s s dalam a Analisis s Variansi a 3. Hipotesis yang diuji dalam analisis variansi 4. Tabel Analisis Variansi 5. Contoh Kasus

3 3 Ilustrasi Angkatan 1 Angkatan 2 Gabungan angkatan 1 & 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y y x x x x x x x x x x x y y y y x x x x x x x x x x x x y y y y y y y x x x x x x x x x x x x x x y y y y y y y y y x x x x x x x x x x x x x y y y y y y y y y y y y x x x x x x x x x x x y y y y y y y y y y y y y x x x x x x x x x y y y y y y y y y y y y y y x x x x x x x y y y y y y y y y y y y y x x x x x y y y y y y y y y y y y x x x y y y y y y y y y y x x y y y y y y y y x y y y y y y y y y y y y y y y y y y Bila rata-rata setiap angkatan/kelompok hampir sama, maka variansi distribusi hasil penggabungan semua angkatan hampir minimal.

4 Ilustrasi Gabungan angkatan 1 & 2 4 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Angkatan 1 Angkatan 2 y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y y x x x x x y y y y x x x y y y y y y y x x y y y y y y y y y x y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y Bila rata-rata setiap angkatan/kelompok jauh berbeda, maka variansi distribusi hasil penggabungan semua angkatan jauh lebih besar dibanding variansi setiap angkatan.

5 5 Populasi 1 Populasi 2 μ 1, σ μ 2, σ 2 1 Populasi k μ k, σ k x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z Membandingkan beberapa angkatan /kelompok yang terkait dapat dilakukan dengan membandingkan masing-masing rataannya.

6 6 Tujuan Analisis Variansi menguji apakah terdapat perbedaan yang signifikan antara rata-rata beberapa kelompok populasi (lebih dari dua), melalui ukuran-ukuran penyebaran (variansi) dari masing-masing kelompok populasi tersebut.

7 7 Hubungan Beberapa Variansi Terkait Konsep Dasar Analisis Variansi Variansi hasil penggabungan g semua angkatan data terdiri atas rata-rata variansi setiap angkatan dan variansi dari semua rata-rata angkatan

8 8 Asumsi-asumsi dalam Analisis Variansi Populasi ke-i berdistribusi normal; i = 1, 2,, k σ 12 = σ 2 2 = = σ k2 = σ 2 Populasi-populasipopulasi tidak berhubungan satu dengan yang lainnya (saling bebas)

9 9 Angkatan 1 Susunan Data Angkatan 2 Angkatan k y 11 y 21 y k1 y 12 y 22 y k y 1n1 y knk Jumlah: y n2 Keterangan: - y ij : pengamatan ke-j dalam perlakuan (populasi) ke-i ; i = 1,2,,k ; j =1, 2,, n i - N = ( n 1 + n n i + + n k ) : total banyak pengamatan

10 10 Beberapa Besaran Anova JKT = b a Jumlah Kuadrat Total JKP = c a Jumlah Kuadrat Perlakuan JKG = JKT JKP = b c Jumlah Kuadrat Galat

11 11 Tiap pengamatan dapat ditulis dalam bentuk : y ij = μ i + ε ij dengan y ij :pengamatan ke-jj dalam perlakuan ke-ii μ i : rata-rata populasi pada perlakuan ke-i ε ij : penyimpangan pengamatan ke-j pada perlakuan ke-i dari rataan perlakuan padanannya.

12 Hipotesis yang diuji dalam Analisis Variansi H 0 : rata-rata seluruh k populasi/perlakuan adalah sama H 1 : paling sedikit terdapat dua populasi yang rata-ratanya t tidak sama, atau H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k H 1 : μ i μ j, untuk paling sedikit sepasang i dan j, dengan i,j = 1, 2,, k 12

13 13 Tabel Analisis Variansi Sumber Variasi 2 T Jumlah NKuadrat dk (derajat kebebasan) Rata-rata Kuadrat F Antar Angkatan Dalam Angkatan k n i 2 k n i JKP k 1 yrkp ij y = JKP/(k 2 1) yij F hitung = i1 j1 i=1 j=1 JKG N k RKG = JKG/(N k) Total JKT N 1 k n i i1 j1 y k i1 ij i n y y yi i 2 2 k T n 2 i i=1 i RKP/RKG

14 14 Keputusan = P (H 0 ditolak H 0 benar) 1 F α(k-1,n-k) 1 N k) H 0 benar F (hitung) berdistribusi F dengan derajat kebebasan k 1 dan N k F (hitung) > F α(k-1,n-k) H 0 ditolak Ket : F α(k-1,n-k) nilai distribusi F dengan derajat kebebasan k 1 dann k

15 15 Contoh Kasus Berikut adalah data rata-rata curah hujan bulanan yang diamati dari Stasiun Padaherang pada tahun Sumber : Modul 3 Praktikum Mekanika Medium Kontinu Medan Gravitasi Tahun Jan Feb Mar Apr Mei Jun Jul Agust Sep Okt Nop Des Asumsikan bahwa data berasal dari populasi yang berdistribusi ib i normal dan setiap tahunnya adalah saling bebas. Ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa rata-rata curah hujan setiap tahun di daerah tersebut tidak berbeda (gunakan tingkat signifikansi 5%)

16 Solusi RUMUSAN HIPOTESIS H 0 : μ 1 = μ 2 = μ 3 = μ 4 H 1 : Paling sedikit dua diantara rata-rata tersebut tidak sama Akan digunakan ANOVA untk menguji hipotesis tersebut, dengan taraf signifikansi 5%. 16

17 17 Beberapa perhitungan Tahun Data asli (y ij ) Data kuadrat (y 2 ij ) Jan Feb Mar Apr Mei Jun Jul Agust Sep Okt Nop Des Jumlah Jumlah total )

18 18 Beberapa Besaran Anova n 1 a i y 10595, 74 ij , 2 48 i1 j n 2 i yij i1 j1 b , 27 2 n i 4 yij j1 2666, , , ,6 c ,5 n i1 i JKT = b a = ,1 JKP = c a = 5536,2485 JKG = JKT JKP = b c = ,8

19 19 TABEL ANOVA f hitung = RK P /RK G Sumber Variasi i Jumlah Kuadrat (JK) derajat kebebasan b (dk) Rataan Kuadrat f hitung (RK) f tabel Antar Angkatan (perlakuan) Dalam Angkatan (galat) Total f tabel = f 0.05;3, 44 RK = JK/dk

20 20 PUTUSAN & SIMPULAN Karena f hitung = < f 0.05(3, 47) = 2,816, maka H 0 tidak ditolak. Dapat disimpulkan bahwa untuk tingkat sifnifikansi ifik i 5% tidak ada perbedaan signifikan ifik antara rata-rata curah hujan tahun di lokasi tersebut. Perhatikan bahwa untuk = 1% diperoleh f 0.01(3, 47) = 4,261 Untuk = 10% diperoleh f 0.1(3, 47) = 2,213 Sehingga dapat disimpulkan bahwa rata-rata curah hujan tahun di lokasi tersebut tidak berbeda signifikan untuk 1% 10%

21 21 Referensi Djauhari, M.A., 2001, Catatan Kuliah Analisis Data. Walpole, l Ronald E., et.al, Statistic ti ti for Scientist t and Engineering, 8th Ed., Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika.