STATISTIKA UNIPA SURABAYA

Transkripsi

1 MATEMATIKA STATISTIKA (MATHEMATICAL STATISTICS) GANGGA ANURAGA

2 Materi : Distribusi variabel random Teori Himpunan Fungsi Himpunan Fungsi Himpunan Peluang Variabel Random Fungsi Kepadatan Peluang Fungsi Distribusi Model Probabilitas Ekspektasi Matematik Peluang bersyarat dan kebebasan stokastik

3 Materi : Beberapa distribusi khusus Distribusi binomial Distribusi poisson Distribusi Gamma dan Chi-square Distribusi normal Distribusi Sampling dari fungsi variabel Teori pengambilan sampel Teknik fungsi pembangkit momen Distribusi order statistik Transformasi variabel random

4 Referensi : Introduction to Mathematical Statistics: Hogg and Craig. (Recommended) Mood, A.M., Graybill,F.A. dan Boes, D.C. (1974). Introduction of the Theory of Statistics. 4th ed. Mc-Graw Hill. Tokyo. Rice, J.A. (1995). Mathematical Statistics and Data Analysis. Second Ed. Duxbury Press. Belmont, California. (Recommended) Rohatgi, V.K. (1976). An Introduction to Probability Theory and Mathematical Statistics. Wiley & Sons. New York. Bartoszynski, R dan Bugaj, M.N., (008)., Probability and statistical inference. Second Ed. A John Wiley & Sons, Inc., Publication. New Jersey. (Recommended)

5 Evaluasi Nilai Tugas (30%) Nilai UTS (0%) Nilai UAS (50%)

6 Matematika Statistik PENDAHULUAN Dalam alam semesta pada dasarnya terdapat aktivitas (percobaan). a. Percobaan deterministik : percobaan yang sudah pasti terjadi. contoh : b. Percobaan Stokastik / Acak / Random / Statistik / Probabilistik : percobaan yang mempunyai sifat : Semua hasil yang terjadi dapat diketahui Hasil yang terjadi tidak dapat diketahui sebelum percobaan tersebut dilakukan.

7 Berikut adalah contoh-contoh dari percobaan random Contoh 1 : Percobaan yang dilakukan dengan melemparkan sebuah mata uang, terdapat macam hasil A (angka) dan G (gambar). Jika diasumsikan bahwa mata uang tersebut dapat dilempar secara berulang-ulang maka pelemparan mata uang diatas adalah contoh dari percobaan random dengan ruang sampel { A, G}. Contoh : Pelemparan dua buah dadu yang bewarna merah dan putih, Jika diasumsikan bahwa pelemparan tersebut dilakukan secara berulang-ulang. Ruang sampel terdiri dari... Contoh 3 : Pada suatu proses produksi, pengamatan dilakukan terhadap proses produksinya. X i menyatakan hasil produksi ke i, i = 1,,3,... Contoh 4 : memilih bilangan secara random pada selang 0 < X < 1

8 Akibat percobaan random : 1. Terdapat ruang sampel / S. Terdapat event (kejadian / peristiwa) A, B, C - akibat dari (1) dan () muncul probabilitas suatu event / kejadian event A : P A n A n * probabilitas aksiomatis disebut sebagai *"probabilitas klasik"

9 3. Terdapat variabel random - variabel random : fungsi yang memetakan setiap anggota ruang sampel ke bilangan real. * variabel random diskrit : variabel random yang menjalani bilangan bulat * variabel random kontinu : variabel random yang menjalani bilangan real Contoh : Dokter mengobati 3 pasien : TTT TTS SST SSS = TST STS STT TSS misalkan X = banyaknya pasien yang sembuh, tentukan bahwa X adalah variabel random diskrit?

10 4. Terdapat Fungsi distribusi probabilitas : suatu fungsi yang dapat menggambarkan sifat dasar / karakter dari suatu variabel random a) fungsi distribusi probabilitas diskrit b) fungsi distribusi probabilitas kontinu Definisi : a) F disebut fungsi distribusi probabilitas diskrit untuk variabel random x jika : f x 0 x f x 1 b) F disebut fungsi distribusi probabilitas kontinu untuk variabel random x jika : f x f 0 x 1

11 5. Terdapat Ekspektasi dan Variansi a. E x x f x variabel random diskrit b. x 1 E x x f x dx Var x E x E x 6. Terdapat fungsi pembankit moment (MGF) tx M t E e x x1 - tx e f x variabel random kontinu variabel random diskrit tx = e f x variabel random kontinu

12 TERIMA KASIH

13 DISTRIBUSI VARIABEL RANDOM GANGGA ANURAGA

14 TEORI HIMPUNAN (SET THEORY) Jika A adalah sebuah himpunan, dan a berada didalam A, maka dikatakan a sebagai anggota dari himpunan dan biasanya ditulis a A. Sebagai contoh, A adalah himpunan bilangan riil dimana 0 x 1 atau ditulis x ; 0 x 1, maka 1 adalah anggota dari A ( 1 A), tetapi bukan anggota dari A 1 A.

15 BEBERAPA DEFINISI PENTING PADA TEORI HIMPUNAN Definisi I : Himpunan yang memuat semua elemen yang dibicarakan secara lenkap disebut sebagai himpunan semesta (space), yang biasanya dinotasikan dengan huruf besar seperti S,, dll. Definisi II : Jika S merupakan himpunan semesta dan A adalah himpunan bagian dari S c maka komplemen A ditulis A adalah himpunan yang memuat anggota-anggota dari S tetapi tidak termuat dalam A. contoh : 3, 4 dan A = x ; x = 0, 1 c S = x ; x = 0, 1,, maka komplemen A atau A = x ; x =, 3, 4

16 Definisi III : A merupakan himpunan bagian dari A (ditulis A A ) jika dan hanya jika untuk setiap x anggota A maka x juga merupakan anggota dari A ditulis : A A x A x A contoh : A = x ; 0 x 1, A = x ; 0 x, maka A A Gambarkan diagram Venn-nya? Definisi IV : 1 Himpunan A tidak mempunyai anggota, disebut himpunan kosong A = contoh : A = x ; 0 < x < 1 dan x bilangan bulat, maka A =

17 Definisi V : Gabungan dua himpunan A dan A ditulis A A yaitu 1 1 suatu himpunan yang anggotanya adalah semua anggota A dan A, ditulis A A = x x A atau x A. 1 1 Gabungan dari himpunan-himpunan A A A contoh : A = x ; x = 0, 1,, 3, 4, 5 1 A = x ; x =, 3, 4, 5 atau 5 < x 10 1 A, A, A,...adalah 1 3 Maka A A = x ; x = 0, 1,, 3, 4, 5 atau 5 < x 10 1

18 Definisi VI : Irisan dari dua himpunan A dan A ditulis A A adalah 1 1 suatu himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota dari A dan juga dari A ditulis : A A = x x A dan x A Irisan dari beberapa himpunan A, A, A...adalah A A A Contoh : A = x, y ; x, y = 0,0, 0,1, 1,1 A = x, y ; x, y = 1,1, 1,,,1 maka A A x, y ; x, y = 1,1 Contoh : 1 x+y A = x,y ; 0 x+y 1, A = x,y ; 1 maka A A... 1

19 Definisi VII : Selisih dua himpunan A dan A ditulis A -A adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota dari A tetapi bukan anggota dari A A -A = x x A dan x A Contoh : A = x A = x x A -A = 1 1 x bilangan asli A -A = x x bilangan bulat 1 1 bilangan bulat tidak positif 1

20 Definisi VIII : Jumlah dari dua himpunan A dan A ditulis A A adalah 1 1 suatu himpunan yang anggota-anggotanya adalah anggota A atau anggota A tetapi tidak termuat dalam A A. A + A = x x 1 1 A atau x A dan x A A. 1 Khusus untuk A dan A yang saling lepas, maka A A = A A. Contoh : A = x x A = x x bilangan cacah maka A + A = x x bilangan bulat negatif bilangan bulat 1

21 BEBERAPA HAL PENTING DALAM TEORI HIMPUNAN

22 CONTOH : Suatu ruang sampel S = s,s,s,s,s,s,s,s dan himpunan A, A, dan A adalah sebagai berikut : A s,s,s, A s,s,s,s,a s,s,s,s Tentukan A, A, A, A A,A A, A A, c c c A A A, A A,A A, A A A, A - A, A - A, A - A,A - A,A - A, A. c c

23 SOAL LATIHAN : 1. Carilah himpunan gabungan dari A A dan interseksi A A dimana A dan A adalah : 1 a A 1 x; x 0,1,, A x; x,3,4 b A x;0 x, A x;1 x c. Carilah A dari himpunan A dengan ruang sampel 5 S x;0 x 1,A = x; x 1 8 c S sebagai berikut : c c c c c Buktikan bahwa A A A A dan A A A A 4. Jika A, A, A,...adalah himpunan yang terdefinisikan bahwa A A, 1 3 k k+1 k = 1,, 3,..., k 1 3 k k k dan lim A didefinisikan sebagai himpunan gabungan A A A. Carilah lim A jika : A x;1/ k x 31/ k, k 1,,3...; k

24 FUNGSI HIMPUNAN (SET FUNCTION) Fungsi-fungsi di dalam kalkulus misalnya : 1 f x 5 x, x x y g x, y e, 0 x,0 y Akan mempunyai nilai untuk x yang tertentu : 1 x 1, maka f dan y 3, maka 1,3 1 3 x g e e Fungsi diatas disebut fungsi dari sebuah titik, karena dihasilkan pada sebuah titik. Fungsi yang dihasilkan oleh semua titik pada sebuah himpunan disebut "FUNGSI HIMPUNAN".

25 Contoh : Untuk setiap himpunan A yang berdimensi satu, didefinisikan 1 QA f x dimana f x A 3 3, x 0,1,,... 0,lainnya 1 Jika A x; x 0,1,,3, maka Q 1 x A...?

26 Contoh : Untuk setiap himpunan A berdimensi satu, Q A dimana f x 6x 1 x, 0 x 1 0, lainnya jika A 1 x; x,a x; x 4 4 Tentukan Q A dan Q A...? 1 f A x dx

27 TERIMA KASIH

28 VARIABEL RANDOM DAN FUNGSI KEPADATAN PELUANG GANGGA ANURAGA

29 VARIABEL RANDOM - variabel random : fungsi yang memetakan setiap anggota ruang sampel ke bilangan real. * variabel random diskrit : variabel random yang menjalani bilangan bulat * variabel random kontinu : variabel random yang menjalani bilangan real Catatan : didalam statistik kita selalu lebih tertarik pada fungsi himpunan peluang dari variabel random X dari ruang sampel

30 FUNGSI KEPADATAN PELUANG (f.d.p) Bahwa x yang bertipe kontinu maupun diskrit dengan x peluang P( X A) ditentukan sepenuhnya oleh fungsi f x. Dalam hal ini (f.d.p f disebut sebagai "fungsi kepadatan peluang" / probability density function) dari variabel random x.

31 DISTRIBUSI PELUANG DARI VARIABEL RANDOM f xa Variabel Random Diskrit x f x 0 1 P( x A) f x xa

32 DISTRIBUSI PELUANG DARI VARIABEL RANDOM Variabel Random Diskrit Soal X adalah variabel random yang bertipe diskrit dengan ruang sampel P A f x S = x ; x = 0, 1,, 3, 4. ( ) dimana 4! 1 f( x) x!(4 x)! 4, x S. Jika A = x ; x = 0,1 maka P(x A)? A

33 X adalah variabel random yang bertipe diskrit dengan 1 ruang sampel x ; x 1,, 3,... dan f x ; x Jika x; x1, 3, 5, 7,... merupakan himpunan bagian dari 1 ruang sampel maka tentukan P A. Diketahui suatu variabel random X dengan fungsi kepadatan peluang x1 9 (f.d.p): f x c, x 1,,... dan 0 untuk x lainnya. 10 Tentukan nilai konstanta c. 1 x

34 Fungsi himpunan dari dua variabel random X dan Y 1 P A A f x, y dimana f ( x, y), 5 x, y S x, y; x, y 0,1, 0,,..., 0,13, 1,1,..., 1,13,..., 3,13 Hitunglah P A P X, Y A a). A = x,y ; xy, 0,4, 1,3,, b). A = x,y ; x y 4, x,y S

35 Variabel random kontinu Jika S adalah ruang sampel dari variabel random X dan fungsi himpunan peluang P(A) didefinisikan sebagai : A P(A) = P(X A) = f x

36 Soal : Fungsi himpunan peluang P(A) dari variabel random X adalah : P(A) = A f x dx, dimana f x X x ; 0 x 3x 8 ; 0 1, ;1 A1 x x A x x adalah himpunan bagian dari, maka tentukan P A, P A, P A A dan P A A

37 1 x, y ; 0 x y 1 adalah ruang sampel dari dua variabel random x dan y. Fungsi himpunan peluang adalah P A A dx dy Jika A 1 1 x, y ; x y 1 maka tentukan P A. Jika A x, y ; x y 1, 0 x maka tentukan P A. 1

38 Variabel random kontinu Soal: Dua variabel random X dan Y dengan ruang sampel A A = x, y ;0 x y 1. Dan fungsi himpunan peluang 1 P(A) = dx dy. Tentukan A 1 x, y; x y 1 dimana A 1 himpunan bagian dari A. Soal : Variabel random X mempunyai f.d.p : x ;0 x1 f x 0 ;untuk x yang lain Tentukan P( x ) dan P(- x ) 4

39 TERIMA KASIH

40 FUNGSI DISTRIBUSI (CUMULATIVE DISTRIBUTION FUNCTION) GANGGA ANURAGA

41 FUNGSI DISTRIBUSI (CDF) Suatu fungsi yang dapat menggambarkan sifat dasar / karakter dari suatu variabel random Fungsi distribusi probabilitas diskrit Fungsi distribusi probabilitas kontinu

42 Jika variabel random x dengan f.d.p f(x), x A Definisi : F(x) = Pr(X x) 1) Variabel Random X diskrit F(x) = t - ) Variabel Random X Kontinu F(x) F(x) = x f t x f t dt disebut fungsi distribusi

43 Soal : x, xa 1,,3 1. Variabel Random X dengan f.d.p f(x) 6 0, untuk x lainnya Tentukan Fungsi Distribusi dari X dan Gambarkan Grafiknya? 1, x 0. Variabel Random X dengan f.d.p f(x) 0, untuk x lainnya Tentukan Fungsi Distribusi dari X dan Gambarkan Grafiknya? 1/3, x 1, 0,1 3. Variabel Random X dengan f.d.p f(x) 0, untuk x lainnya Tentukan Fungsi Distribusi dari X dan Gambarkan Grafiknya? x/15, x 1,,3, Variabel Random X dengan f.d.p f(x) 0, untuk x lainnya Tentukan Fungsi Distribusi dari X dan Gambarkan Grafiknya?

44 Soal: k 3,1 x 1. Variabel Random X dengan f.d.p f(x) x 0, untuk x lainnya Carilah k agar memenuhi sifat f.d.p? Tentukan Fungsi distribusi dan gambarkan grafiknya?. Variabel Random X dengan f.d.p f(x) Tunjukkan bahwa f(x) memenuhi sifat f.d.p? 3 1-x, 0 x 1 0, untuk x lainnya Tentukan Fungsi distribusi dan gambarkan grafiknya?

45 Soal: 0, x 0 x 1 3. Variabel Random X dengan F(x), 0 x 1 1, x 1 1 Hitung Pr -3 < x dan Pr x 0? 0, x 1 x 4. Variabel Random X dengan F(x), 1 x 1 4 1,1 x 1 1 Hitung Pr < x, Pr x 0, Pr x 1, Pr < x 3?

46 sifat-sifat fungsi distribusi 1. F lim F x 1 F lim F x 0 x x. 0 F x 1 3. suatu fungsi yang tak monoton turun 4. F x kontinyu ke kanan setiap x

47 Distribusi binomial Distribusi poisson

48 Distribusi uniform Distribusi normal

49 TERIMA KASIH

50 DISTRIBUSI GABUNGAN DAN MARGINAL GANGGA ANURAGA

51 DISTRIBUSI GABUNGAN / JOINT DISTRIBUTION FUNCTION Jika terdapat dua variabel random X dan Y, maka distribusi peluang terjadinya X dan Y secara serentak dinyatakan dengan fungsi Fungsi f (x, y) disebut dengan Distribusi Bersama / Distribusi Peluang Gabungan / Joint Distribution Function X dan Y. f (x, y).

52 DISTRIBUSI GABUNGAN VARIABEL RANDOM DISKRET BERDIMENSI DUA

53 Sifat - sifat Fungsi Peluang Gabungan Variabel Random Diskrit : x 1. f x, y 0 untuk semua x, y. f x, y 1 y 3. P X, Y A f x, y. untuk setiap daerah A di bidang xy. A A merupakan himpunan bagian dari daerah asal X dan Y. Contoh 5.1: Jika diketahui fungsi peluang gabungan dari variabel random X dan Y adalah : k x y x y 1, 0,1,3, 1,,3 f x, y 0, untuk x dan y yang lain a. Carilah nilai konstanta k? b. Hitunglah P X = 0, Y?

54 DISTRIBUSI GABUNGAN VARIABEL RANDOM KONTINYU BERDIMENSI DUA Variabel random X dan Y dikatakan variabel random kontinyu berdimensi dua jika nilai-nilai dari X dan Y merupakan nilainilai yang berupa interval.

55 Sifat - sifat Fungsi Peluang Gabungan Variabel Random Kontinnu : x y 1. f, 0, untuk semua x, y. f x, y dx dy 1 3. P x, y A f x, y dx dy A untuk setiap daerah A di bidang xy. A merupakan himpunan bagian dari daerah asal X dan Y. Contoh 5. : Jika diketahui fungsi padat gabungan / fungsi densitas gabungan variabel random X dan Y adalah : 1 f x, y x y 8 Hitunglah peluang P 0 x 1,1 y?

56 DISTRIBUSI MARGINAL VARIABEL RANDOM DISKRIT f x y, Bila distribusi peluang f x, y dari variabel random diskrit X dan Y, maka distribusi marginal X adalah g x dan Y adalah h y. g x, y h y f x y x Berdasarkan contoh 5.1, tentukan distribusi peluang marginal X dan distribusi peluang marginal Y?

57 DISTRIBUSI MARGINAL VARIABEL RANDOM KONTINU,, Bila distribusi peluang f x, y dari variabel random kontinu X dan Y, maka distribusi marginal X adalah g x dan Y adalah h y. g x f x y dy y h y f x y dx x Berdasarkan contoh 5., tentukan distribusi peluang marginal X dan distribusi peluang marginal Y?

58 EKSPEKTASI MATEMATIK GANGGA ANURAGA

59 Definisi : Variabel random X dengan f.d.p f x dan u x adalah suatu fungsi dari variabel random X, sedemikian hingga : Eu x x u x f x dx u x f x untuk variabel random kontinu untuk variabel random diskrit Jika integral atau deret tersebut konvergen mutlak maka E u disebut ekspektasi dari u x. x

60 Sifat - sifat dari ekspektasi matematik : 1. E (k) = k, k = konstanta. E [k u(x)] = k E[u(x)] n n 3. E ki u i(x) ki E[u i(x)], n hingga ekspektasi bersifat linier i=1 i1 x Var u Var(x) = E(x - E(x)) = x x (x - E(x)) f x dx untuk variabel random kontinu (x - E(x)) f untuk variabel random diskrit

61 Contoh 1. Misal X dengan f.d.p f x x maka E 6x + 3x...? Contoh. 3 maka E (x )...? 1 x, 0 x1 0, untuk x yang lainnya Misal X dengan f.d.p f x/ 6, x1,,3 0, untuk x yang lainnya

62 Soal Latihan : 1. Variabel random x memiliki fungsi kepadatan peluang x f.d.p f ( x), x 4 dan 0 untuk x yang lain. 18 Tentukan E( x) dan E ( x ).. Variabel random x memiliki fungsi kepadatan peluang 1 f.d.p f ( x), x 1,,3,4,5 dan 0 untuk x yang lain. 5 Tentukan E( x), E x dan E ( x ). 3. Variabel random x memiliki fungsi kepadatan peluang 1 f.d.p f ( x, y), x, y 0,0, 0,1, 1,1 dan 3 0 untuk xy, yang lain. 1 Tentukan E x y. 3 3

63 5. Variabel random x dan y memiliki fungsi kepadatan peluang f.d.p f ( x, y), 0 x y, 0 y 1 dan 0 untuk x, y yang lain. Didapatkan bahwa u x, y x, v x, y y dan w x, y xy. Tunjukkan bahwa E u x, y E v x, y E w x, y 6. Misalkan X merupakan variabel random dengan f.d.p f(x) = 3x, 0 < x < 1 maka tentukan E (x), E(x ), dan Var (x). Jika variabel random y dengan y = 3x - tentukan E (y) dan Var (y)?

64 Fungsi Pembangkit Momen (Moment Generating Function) Gangga Anuraga

65 Diberikan variabel random X dengan fungsi distribusi probabilitas f x x, MGF dari X didefinisikan sebagai tx M t E e tx e f x Kontinu tx M t E e tx e f x Diskrit x Fungsi pembangkit momen secara lengkap menentukan distribusi sampling dari suatu variabel random. Karakteristik Fungsi Pembangkit Momen dt t cx ct x M cx t M x ct M cx t E e E e M x ct tcxd dt. M t e M ct M t E e cxd x cxd ct x dt E e e e M x ct

66 MGF dan Ekspetasi Matematik d E x M x t t0 dt merupakan turunan pertama dari MGF dan n n d E x M x t, n,3, n t0 dt merupakan turunan ke-n dari MGF Catatan : d d tx d tx M x t E e E e t0 dt dt t0 dt t0 tx t0 E x E xe

67 Soal Latihan 1. Diketahui variabel random x dengan fungsi kepadatan x peluang f x e, x 0. a) Carilah MGF M t b) Tentukan E x, E x dan Var x x c) Jika variabel random y didefinisikan sebagai y 3 x. t - Tentukan MGF M t dan E y. Diketahui variabel random x dengan fungsi kepadatan 1 peluang f x, x 1,,3... a) Carilah MGF M b) Tentukan E x dan Var x x x y

68 3. Diketahui x suatu variabel random berdistribusi poisson t e 1 dengan MGF M t e. x Tentukan rata-rata dan varians dari variabel random x? 4. Diketahui x suatu variabel random berdistribusi BIN n,p dengan MGF t M t pe q x Tentukan rata-rata dan varians dari variabel random x? n

69 DISTRIBUSI DAN EKSPEKTASI BERSYARAT GANGGA ANURAGA

70 DISTRIBUSI PELUANG BERSYARAT DEFINISI : f1 x1 f x, x f x x, f x 0 disebut f.d.p bersyarat f x, x dari x bila diketahui X x, sejalan f x x, f x f x disebut f.d.p bersyarat dari x bila diketahui X x. 1

71 DISTRIBUSI PELUANG BERSYARAT UNTUK VARIABEL RANDOM DISKRIT Contoh : Jika diketahui fungsi peluang gabungan dari variabel random x dan x sebagai berikut : 1 1 dengan f.d.p x1 x f x1, x, x1 1,,3 ; x 1, 1 0, untuk x, x yang lain cari terlebih dahulu f.d.p marginal untuk kemudian tentukan f x x dan f x x x 1 1 dan x 1

72 DISTRIBUSI PELUANG BERSYARAT UNTUK VARIABEL RANDOM KONTINU Contoh : Misalkan x dan x mempunyai f.d.p : 1 f x, x,0 x x , untuk yang lain cari terlebih dahulu f.d.p marginalnya kemudian tentukan f x x dan f x x 1 1

73 Ekspektasi Fungsi U(x) 1. U(x ) = X, maka mean dari variabel random X X : E x x 1 1 x x 1 x x x x x f x x dx kontinu x f x x diskrit. Var u 1 = E x - E( 1) = x x (x - E( x x )) f x 1 1 x dx kontinu 1 ( x - E( x x )) f x x diskrit

74 FUNGSI DISTRIBUSI GABUNGAN DAN MARGINAL GANGGA ANURAGA

75 FUNGSI DISTRIBUSI GABUNGAN / JOINT DISTRIBUTION FUNCTION Jika terdapat dua variabel random X dan Y, maka distribusi peluang terjadinya X dan Y secara serentak dinyatakan dengan fungsi kepadatan peluang / f.d.p Fungsi F(x, y) disebut dengan Distribusi Bersama f (x, y). /Distribusi Peluang Gabungan/ Joint Distribution Function X dan Y / Joint d.f.

76 x FUNGSI DISTRIBUSI GABUNGAN VARIABEL RANDOM DISKRIT Sifat - sifat Fungsi Peluang Gabungan Variabel Random Diskrit : 1. f x, y 0 untuk semua x, y. f x, y 1 y 3. P X, Y A f x, y. untuk setiap daerah A di bidang xy. A A merupakan himpunan bagian dari daerah asal X dan Y.

77 Latihan Soal Untuk setiap variabel random x dan y dengan nilai 0, 1, dan 3. Dan peluang bersama / joint probability dari f.d.p antara variabel x dan y disajikan sebagai berikut : a. Tentukan nilai peluang P x, y 1? b. Tentukan nilai peluang P x 3,0 y?

78 Diberikan tabel probabilitas dari f.d.p f x, y adalah sebagai berikut : Tentukan Fungsi Distribusi gabungan / Joint d.f F 1,, F F 1.5, dan 5,7.

79 Jika diketahui fungsi peluang gabungan dari variabel random X dan Y adalah : k x y x y 1, 0,1,3, 1,,3 f x, y 0, untuk x dan y yang lain a. Carilah nilai konstanta k? b. Hitunglah P X = 0, Y?

80 DISTRIBUSI MARGINAL VARIABEL RANDOM DISKRIT f x y Bila distribusi peluang f x, y dari variabel random diskrit X dan Y, maka distribusi marginal X adalah g x dan Y adalah h y. g x, y, h y f x y x

81 FUNGSI DISTRIBUSI GABUNGAN VARIABEL RANDOM KONTINU Sifat - sifat Fungsi Peluang Gabungan Variabel Random Kontinu : x y 1. f, 0, untuk semua x, y. f x, y dx dy 1 3. P x, y A f x, y dx dy A

82 Jika diketahui fungsi padat gabungan / fungsi densitas gabungan variabel random X dan Y adalah : 1 f x, y x y 8 Hitunglah peluang P 0 x 1,1 y?

83 DISTRIBUSI MARGINAL VARIABEL RANDOM KONTINU,, Bila distribusi peluang f x, y dari variabel random kontinu X dan Y, maka distribusi marginal X adalah g x dan Y adalah h y. g x f x y dy y h y f x y dx x

84 DISTRIBUSI FUNGSI VARIABEL RANDOM DENGAN METODE MGF GANGGA ANURAGA

85 MOMENT GENERATING FUNCTIONS (MGF) Merupakan salah satu metode yang digunakan untuk membangun inferensi tentang parameter populasi dan mendapatkan distribusi sampling dari estimator yang distribusi populasinya diketahui.

86 SIFAT-SIFAT DARI MGF : i1 tb a. jika a R maka M t M at b. jika variabel random X, X,..., X saling independen maka, c. jika a,b R maka : axb n x ax M n t Mx t i X i1 i M t e M at x 1 n d. jika variabel random X,X,...,X independen identik maka : i1 M n t M x t Xi n 1 n

87 Latihan Soal : Jika X variabel random berdistribusi normal dengan mean 1 t t x dan varians, maka MGF dari X addalah M t e. Tentukan : a. MGF dan fungsi probabilitas variabel random Y = X -. X b. MGF dan fungsi probabilitas variabel random W = X- c. MGF dan fungsi probabilitas variabel random Z =

88 1. MGFdari distribusi Chi - Square M t 1 t rata - rata v Variance v. MGFdari distribusi Eksponensial M t 1 t rata - rata Variance 3. MGFdari distribusi Gamma M x t 1 1 t 1 t rata - rata Variance x x 1

89 Latihan Soal : Jika X variabel random berdistribusi eksponensial dengan mean 1 dan MGF dari X addalah M t 1 t. x X Tentukan : MGF dan fungsi probabilitas variabel random Y =.

90 MGF UNTUK VARIABEL RANDOM DENGAN LEBIH DARI SATU VARIABEL GANGGA ANURAGA

91 Ingat kembali sifat -sifat MGF Misalkan X, X,..., X variabel random independen 1 n t dengan MGF M, t R selanjutnya diberikan variabel random : Y = X + X X, 1 n a. Buktikan MGF dari Y adalah X 1 n i t i X i t t pe q n i1 MY M X t i b. Jika X, X,...,X independen dan identik maka : M M t... M t Y X X M X c. Jika X B n, p, i = 1,..., k dan X independen identik dengan MGF M dapatkan i n n i i, dengan q = 1- p. Maka distribusi probabilitas Y = X 1+ X X n.

92 Misalkan X 1, X,..., X n variabel random independen berdistribusi poisson dengan parameter, MGF M t t 1 e i e. Diberikan pula suatu transformasi variabel random Y = a. Dapatkan MGF dari Y b. Tentukan distribusi dari Y i X i n i=1 X i

93 iii1nii1ntμ+σtiixi=1misalkanx,x,.,xvariabelrandomindependenmasing-masingberdistribusin(μ,σ)dany=x.mgfdarixadalahmt=etentukandistribusidariy.

94 iiniii=1**kasus-kasuskhusus:ijikaμ=μdanσ=σyaitux:nμ,σmakay=x:nnμ,nσijikadiberikanvariabelrandomy=xmakayberdistribusi:nμ,σ/n

95 DISTRIBUSI SAMPLING DAN DISTRIBUSI X dan S GANGGA ANURAGA

96 PENGANTAR Inferensi statistika pada dasarnya adalah proses menduga (mengestimasi) suatu parameter populasi yang tidak diketahui dengan menggunakan sampel yang diambil dari populasi tersebut. Hasil estimasi dinamakan estimator dari parameter tersebut. Inferensi dari estimator, memerlukan distribusi dari estimator. Estimator didapat dari proses pengambilan sampel, maka distribusi yang diperoleh dinamakan sebagai distribusi sampling suatu parameter. Distribusi sampling suatu estimator merupakan fungsi dari suatu sampel X 1, X,..., X p

97 1 3 PENGANTAR Jika diberikan suatu parameter populasi θ Ω, maka estimator dari ditulis, dapat dinyatakan sebagai fungsi dari X, X, X,, X yaitu : n X, X, X,, X X, X, X,, X 1 3 n 1 3 dengan menyatakan fungsi dari X1, X, X3,, X n. Oleh karena itu, distribusi dari estimator sangat tergantung dari distribusi populasinya. n

98 DISTRIBUSI SAMPLING KOMBINASI LINIER POPULASI NORMAL Misalkan X, X, X,, X sampel random yang diambil dari a1x 1a 3 3 populasi berdistribusi F x, maka dapat diharapkan estimator diperoleh dari kombinasi linier sampel random X, X, X,, X : X, X, X,, X dengan a R, i 1,,, n. i X a X a X i n n n n 1 3 n

99 DISTRIBUSI SAMPLING KOMBINASI LINIER POPULASI NORMAL Beberapa kejadian khusus yang penting dari kombinasi linier diatas adalah : 1 i Jika a 1 a a3 an, maka n X1 X X 3 X n n X (rata - rata sampel) ii Jika a a a a 1, maka 1 3 X X X X i1 1 3 X i n n n (kombinasi linier dengan koefisien - koefisien satu)

100 Misalkan X, X, X,, X sampel random independen 1 3 yang diambil dari populasi berdistribusi normal dengan mean i n dan i, 1,,,. Berdasarkan suatu metode didapat estimator : dan * X, X, X,, X 1 3 a1 X1 a X a 3 3 X X X X 1 3 n n X a X, a R n n i Tentukan distribusi sampling dari estimator dan. n *

101 Misalkan X, X, X,, X sampel random independen yang diambil dari populasi berdistribusi normal dengan mean dan, i 1,,, n. i Dapatkan distribusi dari variabel random W a. W X X b. W c. W 3 X X 1 3 X X 1 n n n X X n i

102 Misalkan X, X, X,, X sampel random yang diambil 1 3 dari populasi berdistribusi normal standar a. Tentukan MGF dari U aix i, i1 kemudian dapatkan mean dan variansinya. b. Tentukan syarat untuk a agar U i n n berdistribusi normal standar

103 DISTRIBUSI SAMPLING POPULASI GAMA DAN CHI-KUADRAT GANGGA ANURAGA

104 Dalam beberapa kasus mungkin tidak ditemui bahwa asumsi populasi berdistribusi normal. Mungkin saja populasi yang diselidiki berdistribusi agak menceng, misal Gama dan Chi-Kuadrat. MGF : Distibusi Chi - Kuadrat x 1 M t t Distribusi Gama 1 v 1 Mx t 1 t Distribusi Eksponensial M t t x 1

105 SOAL : Dapatkan distribusi probabilitas dari kombinasi linier Y X1 X X n Jika X masing - masing berdistribusi Gama, Eksponensial, i dan Chi - Kuadrat.

106 jika X~N(0,1) maka X ~ 1 t,, x tx tx tx M t E e e f x dx e e dx x 1 1 t e 1 t x 1t t t 1 t maka X ~ dx

107 SOAL a. Jika Yi ~, i 1,,, n independen, buktikan v n Yi n i1 vi i1 V = ~ i b. Jika diketahui variabel - variabel random saling independen X ~ m dan Y ~ n, m > n Tentukan distribusi Z = X + Y c. Misalkan diberikan variabel random U ~ dan V U Z ~ m n. Tentukan distribusi dari variabel random W = V - U? m

108 Misalkan X1, X,..., X n ~ N,. Buktikan bahwa i=1 n X (i) ~ i n X (i) ~ 1 n

109 DISTRIBUSI t, F GANGGA ANURAGA

110 PENGANTAR Distribusi sampling yang sangat penting peranannya dalam inferensi statistika, khususnya distribusi sampling yang diperoleh dari populasi berdistribusi normal, yaitu distribusi t (Student t), dan F (Snedecor s F). Distribusi t diperoleh dari ratio antara dua variabel random independen yang berdistribusi normal standar dan chi-kuadrat. Distribusi F diperoleh dari ratio dua variabel random independen yang masing-masing berdistribusi chi-kuadrat.

111 Distribusi Student t Beberapa pengertian berikut, yang berkaitan dengan distribusi t : X N i jika variabel random ~, maka variabel random Z X ~ N0,1 ii jika Z ~ N 0,1 maka W = Z ~ 1 iii jika Z, Z,..., Z variabel random in 1 maka variabel random : W n * Zi ~ i1 n n depeden identik berdistribusi Tiga pernyataan diatas menjadi landasan dasar dari pembentukan distribusi sampling t dan F. 1

112 Teorema : Jika X variabel random yang berdistribusi N(0,1) dan Y variabel random berdistribusi maka variabel random : T X Y k ~ t k k, X dan Y saling independen

113 Misalkan X, X,, X variabel random independen berdistribusi 1 N Y Y Y N, dan 1,,, n variabel random independen berdistribusi,. a. Tentukan distribusi probabilitas dari n Z X Y b. Tentukan distribusi probabilitas dari W / n Z c. Tentukan distribusi probabilitas dari U W

114 n m Distribusi F Berikut diberikan komponen - komponen variabel random yang berkaitan dengan pembentukan distribusi F. Jika variabel random X ~ dan Y ~. X dan Y independen maka variabel random : F X / n ~ F n,m Y / m

115 Teorema : n -1 S jika X, X,, X berdistribusi N, maka ~ n1 Bukti : 1 n n1 S X X X X i X n X X i n1 n n n i i1 i1 i1 Misalkan : V V V 1 3 ~ n n 1 1 n X X X i i1 n 1 n X i n 1 1 n 3 i1 n n 1 n X 1 S, dengan S X i X n 1 n X V ~, V S, V ~ Untuk selanjutnya gunakan MGF i1 1

116 Contoh : Misalkan X, X,, X dan Y, Y,, Y variabel random independen 1 n 1 n -1 S n -1 berdistribusi N,, X dan Y saling independen. a. Tentukan distribusi dari : X Y dan b. Tentukan distribusi dari F = i1 S n 1 dan S Y Yi Y n 1 S S X Y n n 1 dengan S X X i X n1 i1

117 Diberikan sampel random X, X,, X berdistribusi N,. Dapatkan : a. Distribusi dari X 1 X X b. Distribusi dari : dan / n / n n X n 1 F S X i X S n1 i1 c. Distribusi dari :, dengan n