4. Sebaran Peluang Kontinyu

Transkripsi

1 4. Sebaran Peluang Kontinyu EL00-Probabilitas dan Statistik Dosen: Andriyan B. Suksmono

2 Isi 1. Sebaran normal/gauss. Luas daerah di bawah kurva normal 3. Hampiran normal untuk sebaran binomial 4. Sebaran Gamma, Eksponensial, dan Chikuadrat 5. Sebaran Weibull

3 4.1 Sebaran Normal/Gauss

4 Pendahuluan Sebaran normal adalah sebaran paling penting dalam Statistika. 1733, DeMoivre mengembangkan ekspresi matematika untuk kurva normal. Gauss ( ) menurunkan persamaan normal ketika mempelajari kesalahan dari eksperimen berulang. Sebaran normal n(x; μ, σ) dari peubah acak X bergantung pada mean μ dan variansi σ.

5 Konsep SEBARAN NORMAL. Fungsi kerapatan (peluang) dari peubah acak normal X, dengan mean μ dan variansi σ, adalah dimana π= dan e=.7188 n ( x; μ, σ ) = 1 e πσ 1 x μ σ σ 0.5 σ 1 σ = σ μ μ 1 μ % %Fig.4.1: Gaussian Curve n(x,mu,sigma) % mean=0.0 and sigma=1 % mu=0.0;sigma=1.0 x=-10:0.1:10; g=(1/sqrt(*pi)/sigma)*exp(-0.5*(x-mu).^/sigma^); figure(1); plot(x,g); % %Fig.4.: Two Gaussian Curves n(x,mu,sigma) % with mu1=-.0, mu=.0 and sigma=1 % mu1=-;mu=4;sigma=1.0 x=-10:0.1:10; g1=(1/sqrt(*pi)/sigma)*exp(-0.5*(x-mu1).^/sigma^); g=(1/sqrt(*pi)/sigma)*exp(-0.5*(x-mu).^/sigma^); figure(1); plot(x,g1,'r-',x,g,'b:');

6 Kurva normal dng berbagai μ dan σ σ σ σ >σ σ >σ μ = μ μ 1 μ > μ % %Fig.4.3: Two Gaussian Curves n(x,mu,sigma) % with mu1=mu=0.0 and sigma1<sigma % mu1=0.0;mu=0.0;sigma1=1.0;sigma=3 x=-10:0.1:10; g1=(1/sqrt(*pi)/sigma1)*exp(-0.5*(x-mu1).^/sigma1^); g=(1/sqrt(*pi)/sigma)*exp(-0.5*(x-mu).^/sigma^); figure(1); plot(x,g1,'r-',x,g,'b:'); % %Fig.4.3: Two Gaussian Curves n(x,mu,sigma) % with mu1<mu and sigma1 < sigma % mu1=-4.0;mu=.0;sigma1=1.0;sigma=3 x=-10:0.1:10; g1=(1/sqrt(*pi)/sigma1)*exp(-0.5*(x-mu1).^/sigma1^); g=(1/sqrt(*pi)/sigma)*exp(-0.5*(x-mu).^/sigma^); figure(1); plot(x,g1,'r-',x,g,'b:');

7 Sifat-sifat kurva normal 1. Modus, yaitu titik dalam sumbu mendatar dimana kurva mencapai maksimum adalah x = μ. Kurva simetrik terhadap mean μ 3. Kurva memiliki titik infleksi pada x = μ±σ, yaitu telungkup (concave) kebawah saat μ-σ<x<μ+σ, dan telungkup keatas didaerah lainnya. 4. Semakin jauh dari mean μ, kurva mendekati sumbu mendatar secara asimptotis. 5. Luas daerah dibawah kurva (diatas sumbu mendatar) sama dengan 1.

8 Bukti μ adalah mean E 1 x μ 1 σ ( X ) = xe dx πσ Dng membuat z=(x-μ)/σ dan dx = σ dz, maka akan kita peroleh E ( X ) = ( μ + σz) = μ 1 πσ 1 π e z e dz + z σ Integral pertama adalah μ dikalikan dng luas daerah dibawah kurva normal (=1), dng demikian hasilnya adalah μ Integral kedua adalah integral terhadap fungsi ganjil, hasilnya akan sama dengan nol. Dengan demikian: E(X) = μ dz π ze z dz

9 E Bukti σ adalah variansi 1 x μ 1 σ [( ) ] X μ = ( x μ) e dx πσ Dng membuat z=(x-μ)/σ => (x-μ) =z σ dandx= σ dz, maka E σ [( X μ) ] = π z e z dz Integrasi perbagian dng u=z dan dv= z exp(-z /), sehingga du=dz dan v=-exp(-z /), diperoleh E [( ) ] X μ = = σ σ π ze z = σ ( ) + e z dz

10 Luas daerah di bawah kurva normal

11 Integrasi fs sebaran dan Nilai Peluang Setiap kurva dari sebaran peluang kontinyu atau fungsi kerapatan dibuat sedemikian hingga daerah dibawah kurva yang dibatasi dua ordinatnya, x=x 1 dan x=x, sama dengan nilai peluang dari peubah acak X antara x=x 1 dan x=x. Dng demikian, untuk gambar 4.5 dibawah: ( ) ( ) dx e dx x n x X x P x x x x x = = < < , ; σ μ πσ σ μ μ x 1 x x

12 Luas ditentukan oleh μ dan σ Gambar 4.6 menunjukkan, untuk selang x 1 dan x yang sama, luas daerah dibawah kurva bisa berlainan. Nilainya bergantung juga pada μ dan σ. μ 1 x 1 x x μ Gambar 4.6

13 Transformasi peubah acak Untuk beberapa keperluan, perlu dilakukan tabulasi nilai peluang sebaran normal dalam selang tertentu. Ini tidak mungkin dilakukan untuk semua kombinasi μ dan σ. Untunglah kita bisa melakukan transformasi sebarang observasi normal ke sebaran baku yang memiliki mean nol dan variansi satul. Tranformasi yang dipakai: Z=(X-μ)/σ Jika X memiliki nilai batas x 1 dan x, maka luas daerah antar batas tsb akan sama dengan luas dibawah kurva normal baku yang memiliki batas z 1 =(x 1 -μ)/σ dan z =(x -μ)/σ. Akibatnya: P ( x < X < x ) 1 = = z z 1 1 πσ n x x 1 e 1 x μ σ dx = ( z;0,1) dz = P( z < Z < z ) dimana Z adalah peubah acak normal dengan mean nol dan variansi satu 1 1 π z z 1 e z dz

14 Sebaran Normal Baku Def Sebaran dari peubah acak normal dengan mean nol dan variansi 1 disebut sebagai sebaran normal baku σ σ=1 Z = (X- μ)/σ x x 1 x μ z 1 z 0 z Dalam buku teks, sebaran normal baku diberikan pada Tabel IV di lampiran.

15 z- n(z;0,1)dz

16 Contoh 4.1 Soal: Diberikan suatu sebaran normal dengan μ=50 dan σ=10, tentukan peluang X bernilai antara 45 dan 6 Jawab: nilai z yang terkait dengan x 1 =45 dan x = 6 adalah z 1 = (45-50)/10 = -0.5 z = (6-50)/10 = 1. Dengan demikian P(45<X<6) = P(-0.5<Z<1.) Dari Tabel IV, kita peroleh P(45<X<6) = P(-0.5<Z<1.) = P(Z<1.) - P(Z<-0.5) = = z

17 Sebaran normal baku dan T. Chebysev T. Chebysev mengatakan bahwa peluang suatu peubah acak berada dalam simpangan baku, sedikitnya ¾. Untuk sebaran normal baku, z untuk x 1 =μ-σ dan x =μ+σ dapat dihitung sbb z 1 = [(μ-σ)-μ]/σ = -, dan z = [(μ+σ)-μ]/σ =, dan Dengan demikian, P(μ-σ<X< μ+σ) = P(-<Z<) = P(Z<) P(Z<-) = (Tabel IV) = Hasil ini jauh lebih kuat daripada yang diberikan oleh Teorema Chebysev.

18 Contoh 4. Soal: Sejenis batere tertentu rata-rata akan habis listriknya dalam 3.0 tahun dengan simpangan baku 0.5 tahun. Jika waktu hidup batere tersebar normal, tentukan peluang bahwa suatu batere tertentu akan habis listriknya dalam.3 tahun! Jawab: Peluang yang dimaksud dilukiskan pada gambar 4.9. Untuk menentukan P(X<.3), kita perlu menghitung luas dibawah kurva normal dari - dampai.3. Transformasi ke kurva normal baku memberikan z=(.3-3)/0.5 = Berdasarkan Tabel IV diperoleh P(X<.3) = P(Z<-1.4) = σ=

19 Contoh 4.3 Soal: Sebuah pabrik memproduksi bola lampu yng memiliki waktu hidup tersebar normal dengan mean 800 jam dan simpangan baku 40 jam. Tentukan peluang suatu bola lampu produksi pabrik tsb terletak antara 778 dan 834 jam. Jawab: Sebaran spt dilukiskan pada Gb nilai z untuk x 1 =778 dan x =834 adalah z 1 = ( )/40 = z = ( )/40 = 0.85 Dengan demikian P(778<X<834) = P(-0.55<Z<0.85) = P(Z<0.85) P(Z<-0.55) = = σ= x

20 Contoh 4.4 Soal: Suatu jenis komponen akan direject jika berada diluar persyaratan 1.50±d. Hasil pengukuran tersebar normal dengan mean 1.50 dan simpangan baku 0.. Tentukan nilai d sehingga spesifikasi ini meliput 95% pengukuran. Jawab: Dalam soal ini akan ditentukan nilai z sehingga prosentase terpenuhi, lalu kembalikan menjadi x dengan rumus x=σz+μ. Dari Tabel IV diperolah 0.95 = P(-1.96 <Z<1.96)) Jadi: d = (0.)(1.96)+1.50 atau: d = (0.)(1.96) = 0.39 σ=

21 Contoh 4.5 Soal: Suatu mesin pembuat resistor dengan sebaran normal. Mean dari resistor 40 ohm dan simpangan bakunya ohm. Akurasi bisa berapapun, tentukan prosentase resistor yang melebihi 43 ohm Jawab: Prosentasi ditentukan dengan mengalikan frekuensi dengan 100%. Kita akan menghitung nilai peluang disebelah kanan 43 pd gambar 4.1. Ini bisa dilihat pada Tabel IV setelah dihitung z-nya, yaitu z = (43-40)/ = 1.5 Dengan demikian P(X>43) = P(Z>1.5) = 1-P(Z<1.5) = σ=.0 = Jadi, ada 6.68% resistor yang nilainya diatas 43 Ohm 40 43

22 Contoh 4.6 Soal: Tentukan prosentase dari resistor spt pada soal sebelumnya yang melebihi 43 ohm jika resistansi diukur pada nilai ohm terdekat. Jawab: Soal ini sedikit berbeda dari sebelumnya, nilai 43 ohm diassign untuk semua resistor yng terletak dalam selang Jadi, kita menghitung nilai aproksimasi sebaran diskrit deng sebaran normal yang kontinyu. Dari gambar 4.13 dpt dihitung z = ( )/ =1.75 jadi P(X>43.5) = P(Z>1.75) = 1 P(Z<1.75) = = Jadi ada 4.01% resistor yang melebihi 43 ohm diukur dng ohm terdekat. Perbedaan sebesar 6.68%-4.01% =.67% dng jawab sebelumnya adalah kontribusi resistor yang lebih dari 43 tapi kurang dari 43.5 (tercatat sbg 43 ohm) σ=.0

23 4.3 Hampiran sebaran binomial dengan sebaran normal

24 Hampiran sebaran Nilai b(x;n,p) telah ditabulasi untuk n kecil. Jika tdk ada di tabel, kita harus menghitung sendiri. Ini bisa dilakukan secara hampiran. Sebelumnya telah dijelaskan bahwa sebaran Poisson dapat dipakai sebagai hampiran sebaran binomial jika n besar dan p mendekati 1. Keduaduanya sebaran diskrit. Akan diperlihatkan bahwa sebaran normal dapat menjadi hampiran yang cukup teliti untuk sebaran binomial, jika n besar dan p mendekati ½.

25 Teorema Teorema 4.1 Jika X suatu peubah acak binomial dengan mean μ=np dan variansi σ =npq, maka batas dari sebaran np npq ketika n adalah sebaran normal n(z;0,1) Z = X

26 Contoh Tinjau sebaran binomial b(x;15,0.4). Untuk x=4, kita dapatkan b(4;15,0.4)=0.168 Nilai tsb didekati dng kurva dibawah kurva normal dng batas antara x1=3.5 sampai dengan x=4.5 z1=(3.5-6)/1.9 = z=(4.5-6)/1.9 = Jika X peubah acak binomial dan Z peubah acak normal, maka P(X=4) = b(4;5, 0.4) ~ P(-1.316<Z<-0.789) = P(Z<-0.789) P(Z<-1.316) = = cukup dekat dengan nilai b(4;15,0.4) = 0.168

27 Contoh Pendekatan ini sangat berguna untuk menghitung jumlah binomial untuk n besar. Andaikan kita akan menghitung peluang X bernilai antara 7 dan 9 (inklusif) dari soal sebelumnya, maka P(7 X 9) = 9 7 b(x;15,0.4) = 9 0 b(x;15,0.4) b(x;15,0.4) = = Dengan pendekatan normal, kita akan hitung luas daerah dibawah kurva normal dengan batas antara x1=6.5 sampai dengan x=9.5. Nilai z1, z ybs adalah z1 = (6.5-6)/1.9 = 0.63; z= (9.5-6)/1.9 =1.84 P(7 X 9) ~ P(0.63 Z 1.84) = P(Z<1.84) P(Z<0.63) = =

28 Latihan No:, 3 No: 15, 16

29 4.4 Sebaran Gamma, Eksponensial, dan Chi-kuadrat

30 Fungsi Gamma Teorema 4. Fungsi gamma didefinisikan sebagai dimana α >0. Γ ( α ) = 0 x α 1 e x substitusi dengan u=x α-1 dan dv=e -x dx, kemudian integrasi parsial, akan menghasilkan Γ(α) dx = -e -x x α e -x (α-1)x α- dx = (α-1) 0 e -x x α- dx Kita peroleh rumus rekursi Γ(α) = (α-1)γ(α-1) = (α-1) (α-)γ(α-) = dst. Untuk α=n bulat positif, maka: Γ(n) = (n-1)(n-) Γ(1). Perdefinisi Γ(1) = 0 e -x dx =1. Dengan demikian, maka Γ(n) = (n-1)! Salah satu sifat fungsi gamma yang penting adalah Γ(1/) = π

31 Sebaran Gamma SEBARAN GAMMA. Peubah acak kontinyu X memiliki sebaran gamma dengan parameter α dan β, jika fungsi kerapatannya diberikan oleh f ( x) = 0 ( α ) dimana α>0 dan β>0. 1 = x 1 α 1 β x e α β Γ, x > 0, lainnya f(x) α=1, β=1 0.5 α=, β=1 α=4, β= x Grafik sebaran gamma. Jika α=1, sebaran menjadi eksponensial.

32 Sebaran eksponensial SEBARAN EKSPONENSIAL. Peubah acak kontinyu X akan memiliki sebaran eksponensial dengan parameter β jika fungsi kerapatannya diberikan oleh dimana β>0. f ( x) = = 0 1 e β x β, x > 0, lainnya Sebaran eksponensial memiliki banyak aplikasi dalam statistik, khususnya menyangkut teori keandalan (reliability) dan teori antrian ( queueing theory).

33 Contoh 4.10 Soal: Suatu sistem mengandung komponen tertentu yang waktu kegagalannya (dalam tahun) diberikan oleh peubah acak T yang memiliki sebaran eksponensial dengan parameter β=5. Jika 5 dari komponen ini dipasang pada berbagai sistem, berapa peluang diantaranya tetap berfungsi setelah 8 tahun? Jawab: Peluang suatu komponen tetap berfungsi setelah 8 tahun diberikan oleh P(T>8) = (1/5) 8 e -t/5 dt = e -8/5 ~0. Andaikan X menyatakan jumlah komponen yang masih berfungsi stlh 8 tahun. Maka dengan sebaran binomial P(X ) = 5 b(x;5,0.) = 1-01 b(x;5,0.) = = 0.67

34 Sebaran Chi-kuadrat Kasus khusus kedua untuk sebaran gamma diperoleh ketika α=v/, dan β=. Sebaran yang dihasilkan disebut sebaran chi-kuadrat dengan derajat bebas v. SEBARAN CHI-KUADRAT. Peubah acak kontinyu X memiliki sebaran peluang chi-kuadrat, dengan derajat bebas v, jika fungsi kerapatan peluangnya diberikan oleh f ( x) = = 0 v x 1 1 v Γ dimana v bilangan bulat positif. v x e, x > 0, lainnya Sebaran Chi-kuadrat adalah salah satu perangkat penting dalam bidang pengujian hipotesis.

35 Mean dan variansi TEOREMA 4. Mean dan variansi dari sebaran gamma adalah μ = αβ dan σ = αβ COROLLARY 1. Mean dan variansi dari sebaran eksponensial adalah μ=β dan σ =β COROLLARY. Mean dan variansi dari sebaran chi-kuadrat adalah μ=v dan σ =v

36 4.5 Sebaran Weibull

37 Pengantar Teknologi modern memungkinkan dibuatnya sistem/perangkat yang operasi maupun keselamatannya tergantung dari berbagai komponen. Contoh: sekering dpt terbakar, kolom beton dapat roboh, atau pengindera panas dapat gagal. Komponen yang sama dalam pengaruh lingkungan sama dapat mengalami kegagalan dlm waktu berbeda dan tak teramalkan. Waktu kegagalan atau waktu hidup komponen diukur dari saat mula tertentu sampai gagal dinyatakan dengan peubah acak T dan fungsi rapat peluang f(t). Salah satu yang terpenting dalam permasalahan keandalan adalah sebaran Weibull.

38 Sebaran Weibull SEBARAN WEIBULL. Peubah acak kontinyu T disebut memiliki sebaran Weibull dengan parameter α dan β, jika fungsi kerapatan peluangnya diberikan oleh dimana α>0 dan β>0. f ( t) = αβ t = 0 β 1 e αt β, t > 0, lainnya f(t) β=1 β= β= Sebaran Weibull (α=1) t

39 Mean dan variansi Terlihat kurva berbeda-beda untuk parameter yang berlainan, khususnya β. Jika β=1, sebaran Weibull menjadi sebaran eksponensial. Untuk β>1, kurva mendekati bentuk lonceng dan mirip kurva normal, tapi punya skewness. TEOREMA 4.3 Mean dan variansi dari sebaran Weibull adalah: μ = α -1/β Γ(1+1/β) σ = α -/β {Γ(1+/β) [Γ(1+1/β)] }

40 Aplikasi Untuk menerapkan sebaran Weibull dalam teori keandalan, definisikan keandalan dari produk sebagai peluang bahwa produk ini berfungsi secara benar untuk sedikitnya dalam waktu tertentu dalam kondisi percobaan tertentu pula. Jadi, jika R(t) keandalan komponen pada saat t, maka R(t) = P(T>t) = 1 f(t) dt = 1-F(t) dimana F(t) adalah sebaran kumulatif dari T. Peluang bersyarat bahwa suatu komponen akan gagal dalam selang T=t sampai T= t + Δt, diberikan komponen ini tahan sampai t, adalah [F(t+Δt) F(t)] / R(t)

41 Laju kegagalan adalah Z () t lim = Δ t 0 f = 1 F () t F() t Lanjutan ( t + Δt) F( t) Δt 1 R () t Karena R(t) = 1-F(t) dan R (t) = -F (t), kita dapat menuliskan persamaan diferensial berikut = F R '( t) () t Z(t) = -R (t)/r(t) = -d[ln R(t)]/dt dan kemudian dengan memecahkan ln[r(t)] = - Z(t) dt = f R () t () t, atau R(t) = exp(- Z(t)dt) + c dimana c menyatakan asumsi awal R(0) =1 atau F(0) = 1-R(0) =0. Terlihat bahwa pengetahuan fungsi kerapatan f(t) atau laju kegagalan Z(t) saling menentukan.

42 Contoh 4.11 Soal: Tunjukkan bahwa fungsi laju kegagalan diberikan oleh Z(t) = αβt β-1, t>0 jika dan hanya jika sebaran waktu ke kegagalan adalah sebaran Weibull dengan fungsi kerapatan f(t) = αβt β-1 exp(-αt β ), t>0 Jawab: asumsikan bahwa Z(t) = αβt β-1, t>0. Maka kita dapat menuliskan f(t) = Z(t) R(t), dimana R(t) = exp(- Z(t)dt) = exp(- αβt β-1 dt) = exp(αt β +c) dari kondisi R(0) = 1, kita temukan c=0. Maka R(t) = exp(-αt β ) dan f(t) = αβt β-1 exp(-αt β ), t>0

43 Lanjutan Dengan mengasumsikan f(t) = αβt β-1 exp(-αt β ), t>0 maka Z(t) ditentukan dengan menuliskan Z(t) = f(t)/r(t) dimana R(t) = 1-F(t) = 1-0t αβx β-1 exp(-αx β )dx, = 1+ 0t d(exp(-αx β )) = exp (-αt β ) Maka Z(t) = αβt β-1 exp(-αt β )/exp(-αt β ) = αβt β-1, t>0 Dlm contoh ini, laju kegagalan menurun thd waktu jika β<1, meningkat jika β>1, dan konstan jika β=1. Dari sudut pandang β=1 sebaran Weibull menjadi eksponensial, asumsi kegagalan konstan sering diacu sebagai asumsi eksponensial.

44 Selesai