1. Model Regresi Linear dan Penaksir Kuadrat Terkecil 2. Prediksi Nilai Respons 3. Inferensi Untuk Parameter-parameter Regresi 4.

Transkripsi

1 * 1. Model Regresi Linear dan Penaksir Kuadrat Terkecil 2. Prediksi Nilai Respons 3. Inferensi Untuk Parameter-parameter Regresi 4. Kecocokan Model Regresi 5. Korelasi Utriweni Mukhaiyar MA 2081 Statistika Dasar 14 April 2014

2 1. Menentukan/menaksir parameterparameter yang terlibat dalam suatu model matematik yang linear terhadap parameter-parameter tersebut. 2. Melakukan prediksi terhadap nilai suatu variabel, misalkan Y, berdasarkan nilai variabel yang lain, misalkan X, dengan menggunakan model regresi linier (interpolasi). * 2

3 ILUSTRASI f(x) Suhu (X) Gula yang Dihasilkan (Y) X menentukan Y prediktor respons bukan peubah acak peubah acak 3 Memiliki distribusi

4 Observasi n X X 1 X 2 X 3 X n Y Y 1 Y 2 Y 3 Y n Mana yang merupakan prediktor?? 1 3 Variabel yang nilainya mempengaruhi variabel yang lainnya. 2 Variabel yang kejadiannya lebih dahulu terjadi. Variabel yang variansinya terkecil 4

5 MODEL REGRESI LINEAR SEDERHANA Y X e i 0 1 i i - 1 dan 0 merupakan parameter-parameter model yang akan ditaksir - e i adalah galat pada observasi ke-i (acak) 5

6 1. Ketidakmampuan model regresi dalam memodelkan hubungan prediktor dan respons dengan tepat 2. Ketidakmampuan peneliti dalam melakukan pengukuran dengan tepat 3. Ketidakmampuan model untuk melibatkan semua variabel prediktor * 6

7 * - 1 dan 0 ditaksir dengan metode kuadrat terkecil (least square) - Asumsi-asumsi : 1. Ada pengaruh X terhadap Y 2. Yi 0 1X i ei untuk i 1,2,..., n 3. Nilai harapan dari e i adalah 0, atau E[ e i ] = 0 4. Variansi dari e i, sama untuk semua i = 1, 2,, n 5. e i berdistribusi normal untuk semua i = 1, 2,, n 6. e 1,e 2,...,e n saling bebas (independen) 7

8 Misalkan b 1 adalah taksiran bagi 1 dan b 0 adalah taksiran bagi 0. Maka taksiran bagi model regresi adalah Y b b X 0 1 Kriteria penaksiran kuadrat terkecil adalah meminimumkan terhadap b 0 dan b 1, dengan i n i1 e 2 i i e Y Y Y b b X i i i i 0 1 i 8

9 Diperoleh b 1 JK JK XY XX n X i X Yi Y i1 n i1 X i X 2 b Y b X 0 1 Sedangkan taksiran untuk variansi galat acak adalah ˆ y yˆ 2 JK JK b JK s n 2 n 2 n G i i YY 1 XY 9

10 Berat logam yang dihasilkan (y) Suhu (X) Logam yg dihasilkan (Y) e i Suhu (x) 10

11 n = 11 X 1 n 11 Xi i1 1,5 Y 1 n 11 Yi i1 9,13 b 11 X i X Yi Y i i1 X i X 2 1,8091 b0 Y b1x 6, 4136 Y i 6, ,8091X Model persamaan regresi i 11

12 * Suhu (x i ) Logam yg dihasilkan (y i ) Prediksi model Taksiran variansi galat acak s y ˆi 2 ˆ 2 JK G yi yi 12 n 2 9 e y yˆ i i i 0,4

13 Prediksi Nilai Respons Misalkan suhu proses (X) adalah 1.55 satuan suhu. Maka prediksi berat logam yang dihasilkan pada suhu tersebut adalah Y 6, ,8091X 6, ,8091 1,55 9,

14 ASUMSI KENORMALAN 1 2 Asumsi e i berdistribusi normal untuk semua i = 1, 2,, n Y i beristribusi normal untuk semua i = 1, 2,, n 3 b 0 dan b 1 berdistribusi normal 14

15 INFERENSI UNTUK PARAMETER 0 T 0 b 0 0 n 2 i XX i1 s x njk berdistribusi t dengan derajat kebebasan n-2. Selang kepercayaan (1-α) untuk 0 : n n i XX i XX, n2, n2 2 i1 2 i1 b t s x njk b t s x njk t /2;n-2 adalah nilai distribusi t dengan derajat kebebasan n-2 15

16 INFERENSI UNTUK PARAMETER 1 T 1 s b 1 1 JK XX berdistribusi t dengan derajat kebebasan n-2. Selang kepercayaan (1-α) untuk 1 : b t s t s 2; n2 2; n2 1 1 b1 JK XX JK XX t /2 ; n-2 adalah nilai distribusi t dengan derajat kebebasan n-2 16

17 PENGUJIAN PARAMETER REGRESI Tujuan : menentukan apakah parameter-parameter tersebut dapat diabaikan atau tidak. Rumusan Hipotesis H 0 : β 0 = 0 H 1 : β 0 0 H 0 : β 1 = 0 H 1 : β 1 0 b0 t 0 1 ˆ n i1 x 2 i njk XX t 1 ˆ b JK XX 17

18 SELANG PREDIKSI Misalkan nilai respons Y untuk X = X 0 adalah Y 0, dan misalkan adalah prediksi model regresi bagi Y 0. Maka T Ŷ0-Y 0 ˆ 1+(1/n)+[(x x) / JK ] 2 0 XX berdistribusi t dengan derajat kebebasan n-2. Selang prediksi (1 α) bagi y 0 adalah 1 (x x) 1 (x x) yˆ t ˆ 1+ + y yˆ t ˆ /2 0 0 /2 n JKXX n JKXX 18

19 CONTOH 1 SELANG KEPERCAYAAN 1- TINJAU CONTOH SEBELUMNYA (2.26)(0.4) (2.26)(0.4) β b 1 =1,8091 b 0 =6,4136 β (2.26)(0.4) (2.26)(0.4) (11)(1.1) (11)(1.1)

20 CONTOH 2 UJI HIPOTESIS H 0 : β 0 = 0 H 1 : β 0 0 derajat kebebasan n 2 = 9, nilai kritis t = 2.26 t 0 > t & t 1 > t maka masingmasing H 0 ditolak H 0 : β 1 = 0 H 1 : β 1 0 Kesimpulan β 0 dan β 1 tidak dapat diabaikan 20

21 * Salah satu alat ukur untuk melihat apakah model regresi yang diperoleh sudah memadai adalah koefisien determinasi yaitu R n i i 2 R i1 2 R n JK 2 T yi yi i1 2 yˆ y JK, dengan 0 1 Besaran R 2 menunjukkan proporsi variasi total dalam respons Y yang diterangkan oleh model regresi yang diperoleh 21

22 UJI KEBAIKAN MODEL H 0 : Model regresi yang diperoleh tidak memadai H 1 : Model memadai Statistik uji f JK s R yˆ y 2 n i i i1 Tolak H 0 pada tingkat keberartian α jika f > f,(1,n-2), dimana f,(1,n-2) adalah nilai distribusi F dengan derajat kebebasan 1 dan n 2. s 22

23 CONTOH 3 Untuk contoh sebelumnya diperoleh R 2 = 0,499. Artinya proporsi variasi total dalam respons Y yang diterangkan oleh model regresi yang diperoleh adalah 49.9% Uji kebaikan model f JK s yi Untuk α = 5%, titik kritis f 0.05,(1,9) = 5,12 11 i R i1 f > f 0.05,(1,9), model memadai. 23 ˆ s y 2 8,99

24 * *Mengukur hubungan linear dua peubah acak *Misalkan X dan Y adalah dua peubah acak, maka korelasi antara X dan Y dinyatakan dengan XY E X X Y Y Cov X, Y 2 2 E X X Y X E Y Y 24

25 Jika nilai korelasi mendekati 1 maka hubungan kedua peubah sangat erat dan searah sedangkan jika nilai korelasi mendekati 1 maka hubungan kedua peubah sangat erat dan berlawanan arah. Jika nilai korelasi sama dengan nol berarti tidak terdapat hubungan linear antara kedua peubah acak. 25

26 Gambar 1 Korelasi positif Gambar 2 Korelasi negatif Gambar 3 Korelasi nol 26 Gambar 4 Korelasi nol

27 KORELASI SAMPEL Korelasi dapat ditaksir dengan koefisien korelasi sampel, yaitu r JK JK XX XY JK n X i X Yi Y i1 YY n n 2 2 X i X Yi Y i1 i1 27

28 CONTOH 4 Data berikut menggambarkan kenaikan harga minyak dan nilai tukar mata uang di 12 negara terhadap US dollar pada suatu tahun. Kenaikan harga minyak (x) Negara Nilai tukar mata uang terhadap US dollar (y) Rata-rata kenaikan harga minyak = 60,42, 28 Rata-rata nilai tukar mata uang terhadap US dollar = 84,25

29 Nilai tukar mata uang (y) Kenaikan harga minyak (x) r JK 12 X i X Yi Y XY i JK XX JKYY 2 2 X i X Yi Y i1 i1 29 0,863

30 TUGAS B Lanjutan Tugas A (Kelompok) Terapkan minimal satu topik berikut, yang sudah dipelajari dalam perkuliahan Statdas, ke dalam data kelompok Anda seperti pada Tugas A. Topik Bahasan : Uji Hipotesis ANOVA Regresi Linier dan Korelasi Analisis Deret Waktu Analisis Spasial (Geostatistik) Tugas diketik rapi dan lengkap (data dan analisisnya) dalam bentuk laporan (style masing-masing) dalam format Mic. Word. Dengan penamaan file : Tugas B - Statdas02 - II.2014 Kelompok <nomor kelompok> Tugas dikumpulkan via ke utriweni@math.itb.ac.id paling lambat 30 Senin, 5 Mei 2014.

31 Referensi Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika. Walpole, Ronald E. Dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB, Walpole, Ronald E., et.al, Statistic for Scientist and Engineering, 8th Ed.,