Solusi Pegayaa Matematika Edisi 11 Maret Peka Ke-, 2007 Nomor Soal: 101-110 101. Bilaga desimal 0,7777 diyataka dalam hasil bagi bilaga rasioal sebagai a b, dega a da b relatif prima. Nilai dari ab A. 17 B. 16 C. 15 D. 14 E. 1 Solusi 1: [B] Misalya x 0,7777..., sehigga 10x 7,777... x 0,7777... 9x = 7 7 x 9 7 a Karea itu, 0,7777..., dega a7da b 9. 9 b Jadi, ilai dari a b 7 9 16. Catata: 0,7777 biasa ditulis juga sebagai 0, 7. Solusi 2: [B] 0,7777 = 0,7 + 0,07 + 0,007 + 0,07 a = 0,7 da r 0,1 0,7 a 0,7 S 1 r 1 0,1 0,7 0,9 7 9 7 a Karea itu, 0,7777..., dega a7da b 9. 9 b Jadi, ilai dari a b 7 9 16. 102. Bilaga desimal 0,454545 diyataka dalam hasil bagi bilaga rasioal sebagai dega a da b relatif prima. Nilai dari ab A. 17 B. 16 C. 15 D. 14 E. 1 Solusi 1: [B] Misalya x 0,454545..., maka 100x 45,4545... x 0,454545... 99x = 45 45 5 x 99 11 5 a Karea itu, 0,454545..., dega a5da b 11. 11 b Jadi, ilai dari a b 5 11 16. a b, 1 Husei Tampomas, Pegayaa Matematika, 2007
Catata: 0,454545 biasa ditulis juga sebagai 0,45. Solusi 2: [B] 0,454545 = 0,45 + 0,0045 + 0,000045 + 0,0045 a = 0,45 da r 0,01 0,45 a S 1 r 0,45 1 0,01 45 99 5 11 5 a Karea itu, 0,454545..., dega a5da b 11. 11 b Jadi, ilai dari a b 5 11 16. 10. Bilaga desimal 89,4525252 diyataka dalam hasil bagi bilaga rasioal sebagai dega b da c relatif prima. Nilai dari b A. 2174 B. 4172 C. 4995 D. 7214 E. 9954 Solusi 1: [A] Misalya x 89,4525252..., sehigga 10000x 89452,5252... 10x 894,525252... 9990x = 89458 89458 2174 x 89 9990 4995 2174 b Karea itu, 89,4525252... 89 a, sehigga a 89, b 2174,da c 4995. 4995 c Jadi, ilai dari b 2174 Solusi 2: [A] 89,4525252 = 89,4 + 0,052 + 0,000052 + 0,000052 a = 0,0052 da r 0,0001 0,052 89 2 a 2 0,052 2 52 2 176 S 89 89 89 89 5 1 r 5 1 0,001 5 9990 5 4995 2174 b Karea itu, 89,4525252... 89 a, sehigga a 89, b 2174,da c 4995. 4995 c Jadi, ilai dari b 2174 Catata: 89,4525252 biasa ditulis juga sebagai 89,452. 104. Jika a, b, c, da d adalah bilaga asli da abcd 4 bcba, tetuka jumlah agka-agka bilaga abcd. A. 22 B. 20 C. 19 D. 18 E. 16 abcd 4 dcba b a c, Di sii a, karea 000 4 = 12000 maka hasil perkalia ii terdiri dari 5 agka, sehigga haruslah a adalah bilaga geap, yaitu a 2. Dari 2bcd 4 dcb2 diperoleh d 8 da hasil kali d 4 berakhira agka 2, sehigga d = 8. Kita memperoleh hasil 2bc8 4 8cb2 atau 8000 400b 40c 2 8000100c 10b 2 21 74 2 Husei Tampomas, Pegayaa Matematika, 2007
90b 0 60c 1b 1 2c Pada ruas kaa adalah geap da 2c 18, sehigga b harus gajil da kurag dari pada 2, maka b 1da c 7. Karea itu, bilaga abcd adalah 2178, sehigga jumlah agka-agkaya = 2 + 1 + 7 + 8 = 18 105. Pada tahu 2000 umur Alifba sama dega jumlah semua digit tahu kelahiraya, Dapatkah Ada meetuka umur Alifba? A. 29 tahu B. 24 tahu C. 20 tahu D. 19 tahu E. 17 tahu Misalya tahu kelahira Alifba adalah abcd da umurya pada tahu 2000 adalah EF, sehigga 2000 EF = abcd. (1) a + b + c + d = EF. (2) Sehigga diperoleh hubuga d + F = 10 (karea pejumlaha suku terakhir 0) c + E = 9 (karea medapat tambaha agka 1 dari d + F) Karea a + b + c + d tidak mugki lebih dari 100, maka Alifba lahir pada tahu 1900-a, sehigga ilai a = 1 da b = 9. Persama (2) mejadi 10 + c + d = EF Bilaga EF miimum adalah 10, jika c = 0 da d = 0. Bilaga EF maksimum adalah 28, jika c = 9 da d = 9, maka ilai E ada dua kemugkia, yaitu 1 atau 2. Utuk E = 1, maka c = 8 sehigga 1 + 9 + 8 + d = 1F 18 + d = F Maka ilai d = 1 da F = 9. Jadi, umur Alifba pada tahu 2000 adalah 19 tahu atau lahir pada tahu 1981. 106. Jika bilaga-bilaga 945, 4686, da 5598 dibagi dega p, maka masig-masig aka memberika sisa yag sama. Carilah hasil kali p dega sisa itu. A. 2 B. 49 C. 57 D. 69 E. 96 945 s a ax s 945. (1) 4686 s b bx s 4686. (2) 5598 s c cx s 5598. () Persamaa (2) (1): ( b a) x 741. (4) Persamaa () (1): ( c a) x 165. (5) Persamaa () (2): ( c b) x 912. (6) Faktor prima dari 741 = 119 Faktor prima dari 165 = 1929 Faktor prima dari 912 = 2 4 19 Kelipata dari bilaga 741, 165, da 912 adalah 19 = 57. Dega demikia, Husei Tampomas, Pegayaa Matematika, 2007
945 12 69 4686 12 82 5598 12 98 Jadi, jumlah dari p ditambah bilaga sisa tersebut = 57 + 12 = 69. 107. Ada bilaga bulat positif peggati a da b sedemikia sehigga a b 51. Nilai dari ab A. 159 B. 2457 C. 159 D. 1270 E. 702 Solusi: [A] 51 = 2 + 7 51 51 = 2 51 + 7 51 51 4 = (2 51) + (7 51) a = 2 51 = 702 b = 7 51 = 2457 Ada bilaga bulat positif peggati a da b sedemikia sehigga a b 51, yaitu a = 702 da b = 2457. Jadi, ilai dari a b 702 2457 159 108. Tetuka bayak pasaga ab, yag memeuhi persamaa a + b = a 2 ab + b 2, dega a da b adalah bilaga bulat positif. A. 6 B. 5 C. 4 D. E. 2 Solusi: [A] a + b = a 2 ab + b 2 2a + 2b = 2a 2 2ab + 2b 2 a 2 2a + b 2 2b + a 2 2ab + b 2 = 0 a 2 2a + 1 + b 2 2b + 1 + ax 2 2ab + b 2 = 2 (a 1) 2 + ( b 1) 2 + (a b) = 2 a 0 1 0 2 1 2 b 0 0 1 1 2 2 Himpua peyelesaiaya adalah {(0, 0), (1, 0), (0, 1), (2, 1), (1, 2), (2,2)}. Jadi, bayak pasaga ab, tersebut adalah 6 buah. 109. Sebuah bilaga yag terdiri dari eam agka dimulai dega agka 1. Tiga kali bilaga ii sama dega bilaga semula tetapi agka 1 terletak diakhir agka. Temuka agka terakhir dari bilaga tersebut. A. 2 B. E. 4 D. 6 E. 7 Solusi: [E] Misalya bilaga semula adalah 1abcde, sehigga 1 a b c d e a b c d e 1 Agar e meghasilka agka akhir 1, maka haruslah e = 7. Agar d 2 meghasilka agka akhir 7, maka haruslah d = 5. 4 4 4 Husei Tampomas, Pegayaa Matematika, 2007
Agar c1meghasilka agka akhir 5, maka haruslah c = 8. Agar b 2 meghasilka agka akhir 8, maka haruslah b = 2. Agar a meghasilka agka akhir 2, maka haruslah a = 4. Sehigga, bilaga-bilaga itu adalah 142857 da 428571. Jadi, terakhirya adalah 7. 21 1 1 110. Bilaga 72 2 8 9 utuk setiap bilaga bulat positif (bilaga asli) habis dibagi A. 2 B. 4 C. 7 D. 11 E. 15 Solusi: [E] 72 21 2 1 Jadi, bilaga 72 (bilaga asli). 8 1 9 21 72 9 8 2 8 89 72 72 6 72 8 72 (1 6 8) 1572 2 1 8 1 9 habis dibagi 15 utuk setiap bilaga bulatu positif 5 Husei Tampomas, Pegayaa Matematika, 2007