Bab II adaa eori Bab ii meyajika kajia item da teori-teori yag aka medaari da diguaka dalam mecari betuk model tereduki. Beberapa hal yag aka dikaji dalam bab ii adalah item PV da beberapa teori daar yag berkaita dega ketabila item da kierja item. Selajutya diajika teori ketakamaa matrik liear yag mempuyai pera petig ebagai jala utuk mecari betuk model tereduki. Di akhir bab dikaji metode pemotoga etimbag yag diperumum utuk item PV. II. Sitem iear Parameter Varyig (PV Berikut ii diberika repreetai dari item PV dega laju variai parameter tak terbata (PV ytem with ubouded parameter variatio rate. Defiii II.. Himpua Variai Parameter Diberika R adalah ruag vektor ata lapaga. R adalah himpua kompak. Himpua variai parameter F meotaika himpua dari emua fugi kotiu bagia demi bagia dari dikotiuita dalam uatu iterval : + (waktu ke dega ejumlah higga { :,,2,..., } F = ρ ρ ρ ρ. (II. + mi i max Defiii II.2. Sitem PV Diberika fugi-fugi kotiu berikut : A: R, m B : R, p C : R, p m D : R. (II.2
6 Himpua kompak R berama ama dega fugi kotiu A,B,C,D merepreetaika item PV berorde dega realiai ruag keadaa ebagai berikut : ( = ( ρ( ( + ( ρ( (, ( ( ( ( ( ( ( x& t A t x t B t u t y t = C ρ t x t + D ρ t u t, utuk etiap ρ F. (II.3 Realiai ruag keadaa dari item PV (II.3 diotaika ebagai (utuk meyigkat peulia, ketergatuga parameter ρ terhadap t tidak dituli ( F, A ( ρ, B ( ρ, C ( ρ, D ( ρ. Berikut diberika cotoh ketergatuga parameter dari data ruag keadaa pada item PV (II.3 [5]. Cotoh : Mialka A( t, ( B t adalah data ruag keadaa dari item PV dega ( t M ( t θ ( t 2 0 ω / At (: =, Bt ( = co( E( t M ( t. (II.4 + Aumika bahwa emua fugi berilai kalar adalah terbata, da didefiiika 4 ( t ( t ρ 2 2 2 2 2 : = ω ω, ω,0 < ω < ω <, ρ2 ( t : = M ( t M, M,0 < M < M <, ρ3 t : = + E t + E, + E,0 < E < E <, ρ : = co -,, ( ( ( t θ( t ( [ ] 2 2 dega ω, ω maig-maig adalah bata bawah da bata ata dari ω 2 ( t. M, M maig-maig adalah bata bawah da bata ata dari M ( t. EE, maig-maig adalah bata bawah da bata ata dari E ( t.
7 Maka, ρ ρ ρ = ρ3 ρ 4 2 4 ampai ρ 4. A da B dari item (II.4 mejadi, dega didefiiika oleh bata-bata dari ρ ( t / ρ ( t ρ ( t ρ ( t ρ 2 A( ρ( t : =, B( ρ( t : = 4 3 ρ2 ( t. Berikut ii diberika koep ketabila item PV dega laju variai parameter tak terbata. Diberika fugi kotiu A : R mauka ( = ( ρ ( (. Padag item PV tapa x& t A t x t, (II.5 dega ρ F. Fugi yapuov kuadratik berilai kalar V : didefiiika ebagai V ( x: = x Px, dega P, 0 P >. urua dari fugi yapuov kuadratik V ( x diberika oleh utuk etiap ρ F ( ( dv x t dt ( ( ( ( ( = x A ρ t P+ PA ρ t x t, (II.6, epajag variai parameter dari item (II.5. Defiii II.3. Ketabila kuadratik uatu fugi Fugi A dikataka tabil kuadratik ata jika terdapat matrik real P > 0 edemikia ehigga ( ( + ( ( < 0, utuk etiap A ρ t P PA ρ t ρ F. (II.7 Defiii II.4. Ketabila kuadratik item PV ( Sitem PV dega realiai ruag keadaa F, A ( ρ, B ( ρ, C ( ρ, D ( ρ dikataka tabil kuadratik jika A tabil kuadratik.
8 Defiii terebut megidikaika bahwa item PV dega realiai ruag ( keadaa F, A ( ρ, B ( ρ, C ( ρ, D ( ρ adalah tabil kuadratik [8] jika da haya jika terdapat P > 0 da Q > 0 ehigga memeuhi katakamaa ( ( ( ( ( ( ( ( 0 ( ρ( ( ρ( ( ρ( ( ρ( 0 A ρ t P+ PA ρ t + B ρ t B ρ t <, (II.8 utuk etiap ρ F. A t Q+ QA t + C t B t <, (II.9 Defiii II.5. ( Diberika realiai ruag keadaa F, A ( ρ, B ( ρ, C ( ρ, D ( ρ. Sitem PV (II.3 dikataka tertabilka ecara kuadratik jika terdapat fugi matrik kotiu m F : R da matrik kota real defiit poitif P, ehigga utuk etiap ρ F ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 0 A ρ t + B ρ t F ρ t P+ P A ρ t + B ρ t F ρ t <. (II.0 Defiii II.6 ( Diberika realiai ruag keadaa F, A ( ρ, B ( ρ, C ( ρ, D ( ρ. Sitem PV (II.3 dikataka terdeteki ecara kuadratik jika terdapat fugi matrik kotiu p : R da matrik kota real defiit poitif P, ehigga utuk etiap ρ F ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 0 A ρ t + ρ t C ρ t P+ P A ρ t + ρ t C ρ t <. (II. II.2 Sitem PV Politopik Matrik politop didefiiika ebagai kovek hull dari ejumlah berhigga matrik-matrik N i berdimei ama eperti berikut Co{ Ni i =.. } := αini αi 0, αi =. (II.2
9 Bila vektor parameter ρ ( t diambil ilaiya di dalam box dari R dega udut- udut { v i... } ( 2 i ρ = =, dega kata lai ( t dega vertek-vertek ρ,..., ρ, maka dapat dituli v v ( { } ρ t : = Co ρ,..., ρ, utuk etiap t 0. v v ρ ilaiya didalam politop Sitem PV diebut politopik bila dapat direpreetaika oleh matrik ruag keadaa A ρ( t, B ρ t, C ρ t, da D ρ t dega vektor parameter ( ( ( ( ( ( ( bervariai di dalam uatu politop tetap da ketergatuga dari A(, B(, C(, da D ( pada ρ adalah afi. Jadi matrik ruag keadaa dari item PV politopik dapat direpreetaika dalam betuk ( ρ( ( ρ( i i i i Co i ( ( ( ( Ci D ρ ρ i C i i D = i A t B t A B A B =,..., := αi αi 0, αi =. C t D t (II.3 Peulia diata dapat diartika bahwa ( ρ( ( ρ( ( ρ( ( ρ( A t B t C t D t Ai Bi kovek dari matrik-matrik item I Ci D, i =.... i Fugi trafer dari item PV politop (II.3 dapat dituli ebagai { } i i i i i i i ( ( ( α = α C I A B + D, α 0, α = adalah kombiai. (II.4 II.3 Ketakamaa Matrik iear (iear Matrix Iequality / MI Ketakamaa matrik liear (liear matrix iequality / MI adalah ketakamaa matrik dalam betuk F( x = F0 + xifi < 0, (II.5
0 dega F0, F,..., F adalah matrik real imetrik yag diberika, ( x, x = x, x2,..., x adalah vektor variabel yag biaa diebut ebagai variabel keputua. ada < meujukka defiit egatif, yaitu ilai eige terbear dari F( x adalah egatif. Sedagka tada ebalikya meujukka defiit poitif. Selai MI dalam betuk (II.5, terdapat pula otrict MI, yaitu MI dalam betuk Utuk item MI eperti dibawah ii F( x 0. (II.6 ( x F < 0 : : Fm ( x < 0 MI terebut dapat diyataka dalam betuk MI tuggal ( ( ( (, (II.7 F x = diag F x,..., F x < 0. (II.8 Himpua emua olui feaible dari MI (II.5 adalah kovek, yaitu { ( 0} xf x < kovek. Yag dimakud dega olui feaible adalah himpua emua vektor x yag memeuhi emua kedala yag diberika. Mialka x da 2 x adalah dua olui dari uatu maalah MI yag memeuhi ( < 0 da F( x2 < 0, maka uatu kombiai kovek x = ( α x + α x 2 F x dega 0 α memeuhi ( (( α α ( α ( α ( F x = F x + x = F x + F x < 0. (II.9 2 2 Sebuah MI dapat mempreetaika berbagai macam kedala kovek dalam x, diataraya adalah ketakamaa yapuov da ketakamaa matrik kuadratik kovek dalam maalah teori kotrol. Dalam berbagai aplikai kotrol, MI lebih erig tampak tidak dalam betuk kaoik (II.5, tetapi dalam betuk dega ( da R ( m (,..., (,..., X X < R X X, (II.20 adalah fugi afi dari uatu variabel matrik X,..., X. Jadi variabel dari MI (II.20 adalah matrik-matrik X,..., X. Cotoh ederhaa dari betuk di ata adalah ketakamaa yapuov
A X + XA< 0, dega X adalah variabel matrik yag belum diketahui ilaiya. Betuk daar MI (II.5 dapat diperlua ke MI yag bergatug parameter ebagai berikut ρ ρ ρ dega : [,..., ] F( x, ρ = F0 ( ρ + xifi( ρ < 0, (II.2 = adalah parameter, ρ F. Beberapa maalah tadar MI yag petig adalah. Maalah feaibility yaitu medapatka olui x feaible edemikia ehigga (, 0 F x ρ <, utuk etiap ρ F. Cotoh: maalah ketabila dari item diamik x& ( t = A( ρ ( t x( t ekuivale dega maalah feaibility yaitu mecari matrik yapuov P= P edemikia ehigga ( ρ( + ( ρ( < 0, A t P PA t P > 0. 2. Maalah liear objective miimizatio yaitu memiimiai ebuah fugi liear x terhadap kedala MI berikut { ( } mi c x: F x, ρ < 0, utuk etiap ρ F. emma II. Kompleme Schur Padag matrik blok terpartii ebagai berikut M ( ρ ( ρ M ( ρ ( ρ M ( ρ M 2 =. M2 22 M ( ρ adalah defiit egatif jika da haya jika ( ( ρ ( ρ ( ρ ( ρ 2 22 2 0 M ρ < da 22 0 M M M M <, utuk etiap ρ F.
2 II.4 Reformulai Maalah Optimiai ke dalam Betuk MI Ketakamaa matrik oliear (kovek dapat direformulai kedalam betuk MI dega megguaka kompleme Schur, yaitu MI ( S( x dega Q( x = Q( x, R( x = R( x, da ( x, ekuivale dega Q x 0 >, (II.22 S( x R( x ( ( ( ( ( S x ecara afi bergatug pada R x > 0, Q x S x R x S x > 0. (II.23 Jadi himpua ketakamaa matrik oliear (II.23 dapat direformulaika kedalam betuk MI (II.22. Sebagai cotoh, kedala berbetuk orm matrik (ilai igular makimum q Z( x <, dega Z( x direpreetaika dalam betuk MI Hal ii dikareaka ( dega c( x da P( x P( x da bergatug ecara afi pada x, dapat ( I Z x > 0. (II.24 Z( x I Z x < ekuivale dega I ZZ > 0. Kedala ( ( ( ( c x P x c x <, P x > 0, = bergatug ecara afi pada x, dapat diekpreika dalam betuk MI ebih umum, kedala ( c( x P x 0 >. (II.25 c( x ( ( ( ( ( ( ( ( S x P x S x < : = r S x P x S x <, P x > 0, p dega P( x P( x da S( x = bergatug ecara afi pada x, diformulaika dalam betuk MI (dalam x da Z dega medefiiika variabel baru p p Z = Z,
3 Z Z S ( ( x : = r Z <, > 0. (II.26 S( x P( x II.5 Metode Pemotoga Setimbag yag Diperumum (Geeralized Balaced rucatio Method Diberika item PV politopik yag tabil kuadratik ( ρ( ( ρ( ( ( ( ρ( (, ( ( ( ρ( ( ( 0 xt & = A t xt+ B t ut y t = C t x t + D t u t, x 0 = x, yag berkembag pada politop kovek (II.27 Ai Bi Ai Bi Ω= Co i,..., = αi αi 0, αi Ci D = = i C i i D = i. (II.28 Karea item (II.27 tabil kuadratik, maka terdapat matrik PQ, edemikia ehigga PQ>, 0, (II.29 i i i i PA + A P + B B < 0, i =,...,, (II.30 i i i i A Q+ QA + CC < 0,,...,. (II.3 Utuk kedala-kedala (II.29-(II.3 diata, terdapat matrik o igular edemikia ehigga,..., k 0 P = ( Q( = =, 0 2 =, dega = diag ( σ σ, diag ( σ,..., σ da σ σ2 σk σk+ σ 2 k+ > >... > > >... > > 0. raformai item PV (II.27 (II.28 megguaka matrik traformai o igular, yaitu A = A, B = B, C = C, meghailka politop kovek i i i i i i Ω bal yag ekuivale dega politop kovek Ω
4 Ai B i A i B i Ω bal = Co i =,..., = αi αi 0, αi = C i Di Ci Di ebih lajut, dalam politop kovek. (II.32 Ω bal berlaku 0 = > 0 0 2, (II.33 A + A + B B < 0,,...,, (II.34 i i i i A + A + CC < 0,,...,. (II.35 i i i i σ j, j =,.., diebut ilai igular Hakel yag diperumum dari item PV politopik (II.27-(II.28, da merupaka perumuma dari koep ilai igular Hakel dari item I. Demikia juga ruag keadaa Ω bal diebut realiai etimbag yag diperumum. Sebagaimaa dalam item I, ilai igular Hakel yag diperumum da realiai etimbag yag diperumum tuggal. Partii A, B, da C meyeuaika dega da 2 mejadi i i i A A 2 B A B C C C 2 22 i i i = i = i = 2 A i A i B 2 model tereduki didapat dega megabaika 2 yag data ruag keadaaya bereuaia dega (II.33 (II.35, ehigga didapat politop, A i B r i Ω bal = Co i =,..., C i D i A i B i = α i αi 0, αi. = C i D i (II.36 Sitem PV (II.36 berorde k yag dilambagka dega yag tabil kuadratik da etimbag. Notai r pada tereduki. r Ω bal adalah item r Ω bal melambagka politop
5 Setelah diajika kajia tetag item da teori-teori yag aka medaari da diguaka dalam membaha reduki orde model item PV, maka pada bab elajutya aka dibaha reduki orde model utuk item PV yag merupaka iti dari pembahaa dalam tei ii.