Bab IV Metode Alternating Projection

Transkripsi

1 Bab IV Metode Alteratig Projectio Metode alteratig projectio megubah masalah feasibility o koveks mejadi masalah feasibility koveks Pada bab ii aka dicari matriks defiit positif da simetri X,Y yag diguaka utuk membetuk model tereduksi sistem LPV dega megguaka metode alteratig projectio Dalam bab ii teori alteratig projectio dipaparka dalam subbab IV1 Selajutya pemafaata metode ii pada masalah reduksi orde model disajika pada subbab IV Algoritma metode ii disajika dalam subbab IV3 Bukti bahwa metode ii tetap mempertahaka kestabila sistem tereduksi disajika dalam subbab IV4 Berikutya dalam subbab IV5 diberika simulasi program berdasarka metode diatas IV1 Metode Alteratig Projectio Metode alteratig projectio adalah prosedur iteratif utuk mecari titik yag berada di suatu irisa beberapa himpua koveks yag tutup Metode ii memberika alteratif perhituga umerik yag lebih sederhaa da lebih efisie dibadigka dega metode koveks lai dalam meyelesaika o smooth covex problems Dalam metode alteratig projectio, struktur sederhaa dari kedala-kedala yag ada didapat dari rumus masig-masig proyeksi pada tiap himpua kedala Metode alteratig projectio megubah masalah feasibility o koveks mejadi masalah feasibility koveks [5] Beberapa kasus telah berhasil diselesaika dega megguaka metode alteratig projectio, diataraya adalah image recotructio, statistical estimatio, covariace cotrol, desai pegotrol berorde tetap, da masalah reduksi orde model orm H [17] Diberika H ruag Hilbert berdimesi higga, dega adalah orm dari H yag diiduksi dari hasil kali dalam, Dalam tesis ii aka diselesaika masalah feasibility sebagai berikut

2 31 Diberika keluarga himpua-himpua tutup Q α H, dega α I utuk sebuah himpua ideks I Aka dicari titik x x Q Q α α A =I H sedemikia sehigga Utuk suatu vektor ˆx H, operator proyeksi Q P α pada himpua Q α didefiisika sebagai ( ) PQ xˆ : = x Qα, sedemikia sehigga α ( ) if ρ (, ) xˆ P xˆ = xˆ y = xˆ Q (IV1) Qα y Qα Proyeksi pada himpua koveks adalah tuggal { P α } dega α I disebut dega putara proyeksi Barisa alteratig projectio { x } = 0 dega P ( )( x ) PQ x ( )( ) ( α( )( ) ) 1 λ α diberika oleh x + = x + P x x, 0 λ, (IV) α = α Khususya utuk λ = 1 didapat 1 x P x α + = (IV3) ( )( ) Uruta putara himpua ideks I dalam barisa alteratig projectio (IV) diatur dega uruta sebagai berikut Misalka { α α α } dega ( mod ) ( ) ( m) I= 1,,, m, maka α = α mod + 1, (IV4) m adalah sisa yag didapat dari membagi dega m erkait dega (IV1), didefiisika ρ( x, Q α( ) ) = sup ρ( x, Q α ) =Φ ( x ) (IV5) α A Dalam teorema berikut aka ditujukka bahwa barisa alteratig projectio { x } = 0 koverge ke sebuah titik x Q=I Q α utuk Q α himpua koveks utuk semua α da Q tak kosog [11] α A

3 3 eorema IV1 Diberika himpua Q α tutup da koveks dega Q= I Q α α A tak kosog da 0 ε1 λ ε, dega ε > 0 Misalka kodisi-kodisi berikut dipeuhi : (a) Q α 0 I Q tak kosog, dega α α A α α I Q α α A α α 0 meotasika himpua titik- titik iterior dari Q I α α A α α (b) Q α koveks seragam utuk semua Q α dega α α, yaitu terdapat fugsi δ ( τ ) > 0 dega τ > 0 sedemikia sehigga utuk, z utuk semua z dega Q α (c) H berdimesi higga (d) { α α α } x+ y z δ ( x y ) x y Q α berakibat I= 1,,, m berhigga, da semua Q α memeuhi Qα { x ci, x βi} Maka, utuk sembarag ilai awal 0 = x, barisa alteratig projectio { x } = 0 koverge ke sebuah titik x Q Q α α A =I Utuk membuktika eorema IV1 diatas, terlebih dahulu dipaparka lemmalemma berikut yag aka diguaka dalam pembuktia [11] Lemma IV1 Diberika titik x H dega proyeksi x pada himpua Q diotasika dega P( x ), maka vektor x P( x) utuk semua y Q memeuhi ( ) ( ) x P x, y P x 0, (IV6)

4 33 Bukti : Karea Q koveks, maka utuk 0< λ < 1 berlaku sehigga dari defiisi proyeksi didapat sehigga ( ) λ ( 1 λ) ( ) x P x x y+ P x Dega megambil 0 ( 1 λ) ( ) λy+ P x Q, ( ) λ ( ) λ ( ) ( ) x P x + P x y + x P x, P x y, 1 x P( x), y P( x) λ P( x) y λ, maka didapat x P( x) y P( x), 0 Lemma IV Diberika titik x, y H dega proyeksi x da y pada himpua Q berturut-turut diotasika dega P( x) da ( ) P y Maka, operator proyeksi P memeuhi P( x) P( y) x y (IV7) Bukti: Dega megaplikasika persamaa (IV6) dua kali didapat ( ), ( ) ( ) 0 da y P( y) P( x) P( y) x P x P y P x ambahka kedua ketaksamaa diatas diperoleh ( ) ( ) ( ) ( ) 0 x y, P x P y + P x P y ( ) ( ) ( ) ( ) x y P x P y + P x P y Sehigga diperoleh P( x) P( y) x y, 0 Lemma IV3 Diberika barisa alteratig projectio { } 0 ( α( )( ) ) 1 λ x =, dega x + = x + P x x, 0 λ

5 34 Utuk sembarag pemiliha α ( ), utuk setiap titik kekovergea x Q=I Q α, da utuk semua berlaku α A + 1 (IV8) x x x x Bukti : Dega megguaka ketaksamaa (IV6) utuk himpua Q α ( ) da syarat 0 λ, didapat utuk x Q, 1 λ ( α( )( ) ) λ α( )( ) λ α( )( ) ( λ λ) α( )( ) λ α( )( ) α( )( ) λ( λ) α( )( ) x + x = x + P x x x = x x + P x x + x x, P x x = x x + P x x + P x x, P x x x x P x x x x erbukti + 1 x x x x Lemma IV4 Diberika barisa alteratig projectio { x } = 0 ( α( )( ) ) dega 1 x + = x + λ P x x, 0 λ, α( ) = α ( mod m ) + 1, da 0 ε1 λ ε, dega ε > 0 Maka, berlaku Φ ( x ) = dega ( x ) sup ρ ( x, Q α ) lim 0 Φ = (IV9) α A Bukti : Megguaka Lemma IV3 dega x PQ ( x ) ρ Jadi ( x, Q) = didapat (, ) ( ) ( ) ( ) = + x Q x PQ x x PQ x x PQ x ρ( x, Q) = ρ turu mooto, sehigga terdapat ( x Q) ρ = lim ρ,, ρ 0

6 35 Lebih lajut, ρ ( x, Q) ρ ( x, Q) = x PQ( x ) x PQ( x ) ( ) Q( ) Q x P x x P x ( ) λ α( )( ) ( ) ( ) Q Q = x P x x + P x x P x ( ) ( ) λ α( )( ) Q( ) α( )( ) ( λ) α( )( ) + λ Pα( )( x ) x, PQ( x ) Pα( )( x ) ( λ λ ) Pα ( )( x ) x Q Q = x P x x P x P x x λ x P x, P x x = λ P x x Dega megguaka Lemma IV1 da 0 ε1 λ ε, didapat + 1 ρ (, ) ρ (, ) ε1ε α( )( ) Da berdasarka fakta ρ ( x, Q) ρ, didapat (, ρ x Q α( ) ) = x P α( )( x ) 0 x Q x Q P x x Selajutya utuk ε > 0 tertetu, dipilih N sedemikia sehigga ε ρ ( x, Qα ( ) ) utuk semua N Sehigga utuk N didapat m ( )( ) λρ(, α( ) ) 1 x + x = ε λ Pα x x = x Q m Utuk setiap 1 i m dapat dicari k m Sehigga utuk ρ N diperoleh < sedemikia sehigga α ( k) αi ( x, Qα ) = x P ( ) ( )( ) i Q x = x P i k x α α + + k + k x x + x Pα ( + k)( x ) + = k 1 + k + k α x x + + x x + x P x ε ε k + < ε m m ( + k)( )

7 36 Sehigga Φ ( x ) = max ρ ( x, Q α ) < ε, yag berakibat ( x ) i i lim Φ = 0 Lemma IV5 Jika syarat-syarat (a) (d) dalam eorema IV1 dipeuhi, maka utuk suatu barisa terbatas { x } = 0 dipeuhi Bukti : yag memeuhi Lemma IV4, kodisi berikut ( x Q) lim ρ, = 0 (IV10) Misalka kodisi (a) dipeuhi Pilih 0 x Qα Q I α da δ > 0 sedemikia α A α α sehigga z Q α utuk semua α dega α α da semua z x δ Utuk y sembarag titik sedemikia sehigga ρ (, ) yq α ε utuk semua α dega α α, dipeuhi w ε δ = x+ y Q α utuk semua α dega α α ε + δ ε + δ Lebih lajut, w ε δ δ δ = x y Pα y Pα y z Pα y ε+ δ + + = + ε ε δ ε+ δ + ε + δ δ ε ε ( ( )) ( ) ( ) ( ) dega z = x+ y P ( y) Karea z x y P ( y) α δ ε = α δ, maka didapat z Q α Jadi w adalah titik iterior dari suatu iterval yag mempuyai titik akhir z Q α da ( ) ( x ) Pα y Qα, sehigga w Q α ε = Φ, maka utuk α α didapat ρ Ambil y Pα ( x ) ( y, Qα) y Pα ( x ) y x + x Pα ( x ) = ρ( x, Qα ) + ρ( x, Qα ) ε ε + = ε = da pilih,

8 37 Sehigga jika dipilih betuk w seperti datas, didapat w Q α utuk semua α dega α α etapi karea x Q α da y Q α, maka w Q α juga Sehigga w Q Oleh karea itu, Jadi ρ ( ) ( ) (, ) ρ x Q x w x y + y w ε ε + y x ε + δ ε ε + x x δ 1 R 1 ε + = cε δ R x, Q c x, dega c 1 δ ( x Q) lim ρ, = 0 Φ = + Karea ( x ) lim Φ = 0 maka Misalka kodisi (b) dipeuhi Adaika Lemma IV5 tidak dipeuhi, yaitu terdapat subbarisa { x k } sedemikia sehigga ρ( x k Q) ρ ρ ε = mi, δ, ε > da dicari k lim, = ρ > 0 Pilih = N sedemikia sehigga N N ρ 1 N N Φ( x ) ε da ρ( x, Q) Padag titik y PQ ( x ) Pα ( x ) ( ) = + Jelas y Q α Dilai pihak utuk α α, karea Q α koveks seragam, maka bola ( ) 1 N N N N dega pusat di Pα ( x ) + PQ ( x ) da jari-jari δ Pα ( x ) + PQ ( x ) berada dalam Q α etapi N N yag artiya Pα ( x ) PQ ( x ) ( ) Q( ) Q( ) α ( ) ρ ρ ρ ρ ε =, 4 4 ( ) N N N N N N Pα x P x x P x P x x ( ) 4 ρ δ + δ ε, da

9 38 N N N N ( α ( ) Q ( )) α ( ) α ( ) 1 1 y P x + P x = P x P x ( ) α ( ) 1 1 Pα x x + P x x ε ε + = ε, N N N N yag artiya y Q α Karea y Q α da y Q α utuk semua α α maka y Q Sehigga ( ) N N N 1 N N ( x, Q) x y x PQ ( x ) Pα ( x ) ρ = + ( ) α ( ) 1 1 x PQ x + x P x N N N N N ( x, Q) 1 1 ρ + ε, N ρ N yag berarti ρ( x, Q) ε Kotradiksi dega asumsi ( x, Q) 4 ρ ρ Misalka kodisi (c) dipeuhi Adaika Lemma IV5 tidak dipeuhi, yaitu terdapat subbarisa { x k } sedemikia sehigga lim ρ( x k, Q) = ρ > 0 Karea barisa { x k } terbatas, maka terdapat subbarisa dari { x k } sebut dega { x k } yag koverge ke titik α da Q α tutup, maka x Karea ( x k Q α ) x kotradiksi dega asumsi bahwa ρ( x k Q) ρ, 0 utuk k utuk setiap Q α utuk semua α Sehigga x Q, yag, = ρ > 0 Misalka kodisi (d) dipeuhi Notasika L adalah subruag berdimesi higga yag memuat x 0 da dibagu oleh vektor-vektor c 1, c,, c m Kemudia otasika x adalah proyeksi ( x, Qi) ( x, Qi), ( x, Q) ( x, Q) x pada L Maka, ρ = ρ ρ = ρ Sehigga Lemma IV5 cukup

10 39 dibuktika pada ruag berdimesi higga L Dalam kasus ii asumsi berikut dipeuhi : ( x, Q) ( x, Q) cmax ( x, Qi) cmax ( x, Qi) c ( x ) ρ = ρ ρ = ρ = Φ Sehigga karea lim Φ ( x ) = 0, maka ( x ) ( x Q) lim ρ, = 0 i i lim Φ = 0, yag berakibat Lemma IV6 Utuk suatu himpua tutup da koveks Q da utuk suatu yag memeuhi (IV7) da (IV9), x koverge ke x Q x Bukti: Notasika S( x, ρ ) bola dega pusat pada titik x da jari-jari ρ Padag = 0 ( Q( ), ρ (, )) = I m S S P x x Q m (karea dalam (IV8) x m P ( ) ( Q x x, Q) m x S ), da Sm 1 m + kosog, maka misalka 0 didapat m, maka himpua S m koveks, tutup, tak kosog ρ utuk semua m, artiya S Karea barisa himpua memiliki irisa yag tak I = ( ) x S Da karea x S PQ ( x ), ( x, Q) ( ) Q( ) ( ) x x x P x P x x ρ x Q Sehigga karea ρ ( x Q) Q +, lim, = 0, maka x x = 0 ρ, Bukti eorema IV1 Berdasarka Lemma IV4, dega asumsi kodisi (IV4) dipeuhi, maka metode alteratig projectio memeuhi Φ ( x ) =, dega ( x ) sup ρ ( x, Q α ) lim 0 Φ = (A) α A

11 40 Da berdasarka Lemma IV5, karea kodisi (a) (d) dipeuhi, maka utuk sembarag barisa terbatas yag memeuhi (A) berlaku ( x Q) lim ρ, = 0 (B) Selajutya berdasarka Lemma IV3, maka dalam metode alteratig projectio utuk suatu pemiliha α ( ) da utuk setiap titik kekovergea serta utuk semua dipeuhi Maka, dari (A), (B), (C) da berdasarka Lemma IV6, x Q Q α =I + 1 x x x x (C) x koverge ke α A x Q Dalam hal tidak semua himpua Q α koveks, kekovergea barisa alteratig projectio haya terjadi secara lokal [5] Sehigga ilai awal dalam barisa alteratig projectio harus dipilih berada dalam ligkuga dari solusi feasible Dalam subbab II5 [8,17], model tereduksi Ω bal r adalah solusi feasible utuk masalah reduksi orde model sistem LPV dega pedekata error γ = ˆ σ Lebih lajut, kedala (II9) (II31) similar dega kedala j= k+ 1 j (III40) (III4) dalam eorema III1, yaitu utuk sembarag solusi X,Y dari persamaa (III40) (III4), maka 1, P = γ X Q = γy aka memeuhi kedala (II9) (II31) Utuk sistem LPV politopik (II3)-(II13) dega ( s), i = 1,, L adalah sistem LI pada titik-titik sudut dari politop Ω da i σ k + 1 ( i( s) ) adalah ilai sigular Hakel terbesar ke ( k + 1) dari i ( ) opt s, maka γ dari masalah reduksi orde model sistem LPV berada pada iterval [, ] γ γ, lb ub dega max ( s) γ = σ + da 1 ( ) lb k i i= 1,, L γ ub j= k+ 1 j lb ub = ˆ σ, γ da γ berturutturut meotasika batas bawah da batas atas dari γ opt Sehigga didapat kodisi awal dari barisa alteratig projectio yag berada dalam ligkuga kekovergea dari solusi feasible, yaitu X ˆ 1 = Σ = Σ ˆ γ 1 0 γub da Y0 ub

12 41 IV Peerapa Metode Alteratig Projectio pada Masalah Reduksi Orde Model Subbab ii aka megulas peerapa metode alteratig projectio pada masalah reduksi orde model sistem LPV sebagaimaa telah dirumuska dalam subbab III1 da III3 Berdasarka eorema III1, utuk medapatka betuk model tereduksi perlu dicari pasaga matriks XY, yag defiit positif da simetri yag memeuhi kedala-kedala LMI (III40) (III43) Pasaga matriks XY, tersebut aka dicari dega megguaka metode alteratig projectio Utuk suatu matriks XY, m, didefiisika orm da hasil kali dalam Frobeius sebagai X, Y : = r( X Y), X F m : = xij i= 1 j= 1 1 Selajutya didefiisika himpua-himpua kedala yag bersesuaia dega kedala-kedala (III40) (III43) dalam eorema III1 sebagai berikut 1 :, A i X XA i XB + C i a = X X δ I δ I, Bi X γ I 1 :, AY i + YAi C C i b = Y Y δ I δ I, Ci γ I : (, X I C X Y) I 0 = Y, 3 : (, ) rak X I C = X Y + k I Y, dega δ > 0 adalah bilaga yag sagat kecil, sehigga semua kedala diatas berupa himpua tutup

13 4 Metode alteratig projectio memerluka ekpresi ekplisit rumus masig-masig proyeksi pada tiap himpua kedala diatas Berikut pembahasa tetag rumus masig-masig proyeksi pada tiap himpua kedala Diberika XY ˆ, ˆ Proyeksi orthogoal ( ˆ ) dihitug melalui masalah miimisasi 1a ( ) 1a P X pada himpua C 1a C1 a X = P Xˆ = arg mi Xˆ X (IV11) C X C Masalah miimisasi tersebut dapat diubah kedalam betuk masalah optimisasi LMI dega medefiisika variabel baru Z [3], yaitu S XZ ˆ Z X X : = ( X, Z) 0 Xˆ X I Demikia juga proyeksi orthogoal P ( ˆ ) masalah miimisasi 1b ( ) C1 b F Y pada himpua C 1b dihitug melalui Y = P Yˆ = arg mi Yˆ Y (IV1) C Y C Masalah miimisasi tersebut dapat diubah kedalam betuk masalah optimisasi LMI dega medefiisika variabel baru Z [3], yaitu 1b F S YZ ˆ Z Y Y : = ( Y, Z) 0 Yˆ Y I Ekspresi eksplisit proyeksi pada himpua kedala C diberika oleh lemma dibawah ii [17] Lemma IV7 Diberika ˆ, ˆ XY, misalka ˆ ˆ Y X = LΛ L adalah dekomposisi ilai eige dari Y ˆ X ˆ Proyeksi orthogoal P ( ˆ, ˆ C X Y ) pada himpua C diberika oleh ( + ) ( + ) Y = Yˆ+ Xˆ + LΛ L, X = Yˆ+ Xˆ LΛ L (IV13)

14 43 Dega Λ + adalah matriks diagoal yag didapat dega meggati ilai-ilai eige egatif dari Λ dega ol Bukti : Karea Y X = LΛ + L 0 maka ( X, Y ) C Selajutya, utuk setiap (, ) X Y C, 1 1 ˆ ˆ X X X1 X X X X1 X, = r ˆ ˆ Y Y Y1 Y Y Y Y1 Y ( ˆ )( 1 ) + ( ˆ )( 1 ) = r X X X X Y Y Y Y ( ˆ ˆ + )( ) ( ˆ ˆ Λ + )( 1 1 Λ+ ) = r Y X Y X Y X Y X = r Y X L L Y X L L = r LΛL Y1 LΛ ( Λ Λ ) ( ) = r L + L Y1 X1 0, + 1+ Λ + 1+ Λ+ 1 L X L L Y L L X karea Λ Λ+ 0 da Y1 X1 0 Jadi ˆ, 0 ( X, Y ) C X X X1 X ˆ Y Y Y1 Y 1 1 sehigga berdasarka Lemma IV1, X, Y adalah proyeksi orthogoal X ˆ, Y ˆ pada C, Selajutya rumus proyeksi pada himpua kedala C 3 diberika oleh lemma dibawah ii [17] Lemma IV8 Diberika ˆ, ˆ XY da ˆ ˆ Y X = U V adalah dekomposisi ilai sigular dari Y ˆ X ˆ Misalka k adalah matriks diagoal yag didapat dari

15 44 meggati ( k) 3 ( ˆ, ˆ) ilai sigular terkecil dari dega ol Proyeksi orthogoal PC X Y pada himpua 3 C diberika oleh ( k ) ( k ) Y = Yˆ+ Xˆ + U V, X = Yˆ+ Xˆ U V (IV14) Bukti : Utuk setiap X, Y C3 didapat Y X = U % V % % utuk suatu, UV % % da % dega rak ( % ) k Utuk membuktika X ( Y X U k V ) = ˆ+ ˆ, didefiisika fugsi f ( X) : = '' Karea f ( X) 0, maka ( ) Xˆ X ˆ Y X U % % V % F f X adalah fugsi koveks [19] Lebih lajut, f ( X ) mecapai miimum pada X = ( Y + X U % V ) % ˆ ˆ % % dega ilai miimum 1 ( ) ˆ ˆ f X % = Y X U % % V % F Matriks yag palig dekat dega Y ˆ X ˆ da yag mempuyai rak k adalah U % % % didapat k V Sehigga dega memilih U = U, V = V da = k % = X Jadi ( ˆ ˆ X Y X U ) k V X Xˆ pada C 3 = + adalah proyeksi orthogoal Selajutya utuk membuktika Y ( Y X U k V ) = ˆ+ ˆ +, didefiisika fugsi ( ) f Y : = Yˆ Y ˆ X Y + U % % V % F

16 45 '' Karea f ( Y) 0, maka f ( Y ) adalah fugsi koveks [19] Lebih lajut, f ( Y ) mecapai miimum pada Y = ( Y + X + U % V ) % ˆ ˆ % % dega ilai miimum 1 ( ) ˆ ˆ f Y % = Y X U % % V % F Matriks yag palig dekat dega Y ˆ X ˆ da yag mempuyai rak k adalah U V Sehigga dega memilih U % = U, V % = V da = % k didapat k % = Y Jadi Y ( Y X U k V ) Y = ˆ+ ˆ + adalah proyeksi orthogoal Y% pada C3 IV3 Algoritma Reduksi Orde Model Setelah didapatka ilai awal barisa alteratig projectio da ekpresi ekplisit rumus masig-masig proyeksi pada tiap himpua kedala, maka dapat disusu algoritma reduksi orde model sistem LPV dega megguaka metode alteratig projectio sebagai berikut 1 Pilih suatu ε sebagai batas tolerasi kesalaha reduksi Defiisika sistem LPV politop ( ) A, B, C, D, i = 1 L i i i i 3 Cari balaced realizatio dari sistem ( ) 4 Cari matriks Σ ˆ, γ, γ 5 Hitug X ub 1 0 γub, Y0 lb ˆ 1 = Σ = Σ ˆ γ ub A, B, C, D, i = 1 L i i i i 6 Uji apakah γ ub γ lb ε Jika γub γlb ε, maka proses selesai, lajut ke lagkah 11 Jika γub γlb > ε lajut ke lagkah 7 γ 7 Lakuka biseksi lb + γ γ = ub 8 Lakuka prosedur alteratig projectio sebagai berikut : 8a Cari X P ( X ) = dega meyelesaika masalah feasibility X 1 0 C1 a dalam ( X Z) ˆ Z X X, 0 Xˆ X I

17 46 8b Cari Y P ( Y ) = dega meyelesaika masalah feasibility Y 1 0 C1 b dalam ( Y Z) ˆ Z Y Y, 0 Yˆ Y I 8c Cari X da Y dega 1+ 1 Λ Λ, Y + Y X L L Y X L L X = = 8d Cari X3 da Y 3 dega k 3, Y3 Y + X UΣ V Y + X + UΣkV X = = 9 Uji apakah X3, Y 3 koverge Jika X3, Y 3 koverge, set γub = γ, X0 = X3, Y0 = Y3 Jika X3, Y 3 tidak koverge, set γlb = γ 10 Kembali ke lagkah 6 11 Cari matriks N yag memeuhi Y X = NN 1 Cari betuk model tereduksi dari persamaa (III44) Secara skema, algoritma diatas dapat digambarka sebagai berikut :

18 47 A, B, C D i = 14 Defiisika sistem ( i i i, i) Cari balaced realizatio dari sistem ( i i i, i) A, B, C D i = 14 Cari matriks ˆΣ, γ, γ ub lb Hitug X ˆ 1 = Σ = Σ ˆ γ 1 0 γub, Y0 ub γ γ ε Selesai ub lb γ γ = lb + γ Cari X1 da Y 1 dega meyelesaika masalah feasibility IV11 da IV1 Y X = LΛL 1 1 Λ = matriks Λ dega λ egatif digati dg 0 X Λ Λ =, Y + = ub Y X L L Y X L L = Σ k 3 = k, Y3 = Y X U V Σ = matriks Σ dg (-k) ilai sigular terakhir digati dg 0 X Y + X UΣ V Y + X + UΣkV X, Y koverge 3 3 γlb = γ γ X Y ub = γ = X = Y Cari matriks N da betuk model tereduksi

19 48 IV 4 Bukti Alteratig Projectio Mempertahaka Kestabila Sistem ereduksi Matriks X0, Y 0 sebagai ilai awal dalam barisa alteratig projectio dibetuk dari matriks ˆΣ yag merupaka solusi dari ketaksamaa matriks (II33) (II35) yag merepresetasika kestabila dari sistem LPV berorde peuh Sehigga utuk membuktika bahwa pasaga matriks ( X, Y ) yag memeuhi kedala (III40) (III43) yag dihasilka dari metode alteratig projectio pada himpua-himpua kedala C 1 a, C 1 b, C, C 3 tetap mempertahaka kestabila sistem LPV berorde peuh, harus dibuktika : 1 (, ) X Y memeuhi i i 0 i i X0, Y 0 > 0, (IV15) X Aˆ + Aˆ X + Bˆ Bˆ < 0, i = 1,, L, (IV16) Aˆ X + X Aˆ + CC ˆ ˆ < 0, i = 1,, L, (IV17) i 0 0 i i i YAˆ + AY ˆ + BB ˆ ˆ < 0, i= 1,, L, (IV18) 0 i i 0 i i P C 1a da AY ˆ + YAˆ + CC ˆ ˆ < 0, i= 1,, L (IV19) i 0 0 i i i P C 1b mempertahaka kestabila sistem, yaitu ( 1, 1 ) X Y memeuhi 1 i i 1 i i X1, Y 1 > 0, (IV0) X A ˆ + A ˆ X + B ˆ B ˆ < 0, i= 1,, L, (IV1) Aˆ X + X Aˆ + Cˆ Cˆ < 0, i= 1,, L, (IV) i 1 1 i i i Y Aˆ + Aˆ Y + Bˆ Bˆ < 0, i= 1,, L, (IV3) 1 i i 1 i i 3 AY ˆ + Y Aˆ + Cˆ Cˆ < 0, i= 1,, L (IV4) i 1 1 i i i P C mempertahaka kestabila sistem, yaitu (, ) X Y memeuhi X, Y > 0, (IV5) X A ˆ + A ˆ X + B ˆ B ˆ < 0, i= 1,, L, (IV6) i i i i Aˆ X + X Aˆ + Cˆ Cˆ < 0, i= 1,, L, (IV7) i i i i

20 49 Y Aˆ + Aˆ Y + Bˆ Bˆ < 0, i= 1,, L, (IV8) i i i i 4 AY ˆ + Y Aˆ + Cˆ Cˆ < 0, i= 1,, L (IV9) i i i i P C 3 mempertahaka kestabila sistem, yaitu ( 3, 3 ) X Y memeuhi X3, Y 3 > 0, (IV30) X Aˆ + Aˆ X + Bˆ Bˆ < 0, i= 1,, L, (IV31) 3 i i 3 i i Aˆ X + X Aˆ + Cˆ Cˆ < 0, i= 1,, L, (IV3) i 3 3 i i i Y A ˆ + A ˆ Y + B ˆ B ˆ < 0, i= 1,, L, (IV33) 3 i i 3 i i AY ˆ + Y Aˆ + Cˆ Cˆ < 0, i= 1,, L (IV34) i 3 3 i i i Bukti dari (IV15) (IV19) cukup jelas karea γ ub > 0 sehigga tidak megubah kedefiita dari ketaksamaa matriks (II30) da (II31) Jadi ketaksamaa matriks (IV15) (IV19) dipeuhi Selajutya rumus perhituga umerik proyeksi X 0 dalam (IV11) meghasilka matriks X 1 dega selisih eleme diagoal yag sagat kecil dari matriks X 0 Dega demikia maka kedefiita matriks X 1 sama dega kedefiita matriks X 0 Hal yag sama juga berlaku utuk matriks Y 1 dalam (IV1) sebagai proyeksi dari matriks Y 0 Sehigga berdasarka ketaksamaa matriks (IV15) (IV19), maka didapat ketaksamaa matriks (IV0) (IV4) Bukti (IV5) (IV9) : Karea X1 > 0, Y1 > 0 da LΛ + L >0, maka X, Y > 0 Utuk membuktika ketaksamaa matriks (IV5) da (IV8), misalka utuk suatu i, ˆ ˆ ˆ ˆ X A + A X + B B i i i i Y1 + X1 LΛ L + ˆ ˆ Y1 + X1 LΛ L ˆ ˆ Ai A + + i + BiBi ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Y1 Ai X1Ai LΛ+ L Ai Ai Y1 Ai X1 Ai LΛ L ˆ ˆ BiBi (IV35)

21 50 Da utuk suatu i, Y Aˆ + Aˆ Y + Bˆ Bˆ i i i i Y X L L Y X L L Λ + ˆ ˆ Λ ˆ ˆ Ai A + i BiBi ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Y1 Ai X1Ai LΛ+ L Ai Ai Y1 Ai X1 Ai LΛ L ˆ ˆ BiBi (IV36) Dari (IV35) da (IV36) da berdasarka ketaksamaa matriks (IV1) da (IV3) didapat Y Aˆ + Aˆ Y + BB ˆ ˆ + X Aˆ + Aˆ X + BB ˆ ˆ < 0 1 i i 1 i i 1 i i 1 i i Sehigga ketaksamaa matriks (IV6) da (IV8) dipeuhi Kemudia utuk membuktika ketaksamaa matriks (IV7) da (IV9), misalka utuk suatu i, Aˆ X + X Aˆ + CC ˆ ˆ i i i i + + ˆ Y1 + X1 LΛ L Y1 X1 L L ˆ ˆ A + + Λ+ ˆ i Ai Ci Ci ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ AY i 1 Ai X1 AL i Λ+ L Y1 Ai X1Ai LΛ LAi ˆ C ˆ i Ci (IV37) Da utuk suatu i, AY ˆ + Y Aˆ + Cˆ Cˆ i i i i + + ˆ Y1 + X1 + LΛ L Y1 X1 L L ˆ ˆ A Λ+ ˆ i Ai Ci Ci ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ AY i 1 Ai X1 AL i Λ+ L Y1 Ai X1Ai LΛ LAi ˆ C ˆ i Ci (IV38) Dari (IV37) da (IV38) da berdasarka ketaksamaa matriks (IV) da (IV4) didapat AY ˆ + Y Aˆ + Cˆ Cˆ + Aˆ X + X Aˆ + Cˆ Cˆ < 0 i 1 1 i i i i 1 1 i i i Sehigga ketaksamaa matriks (IV7) da (IV9) dipeuhi

22 51 Bukti (IV30) (IV34) : Karea X > 0, Y > 0 da U k V >0, maka X3, Y 3 > 0 Utuk membuktika ketaksamaa matriks (IV31) da (IV33), misalka utuk suatu i, ˆ ˆ ˆ ˆ X A + A X + B B 3 i i 3 i i Y X U V Y X U V k ˆ ˆ + k ˆ ˆ Ai Ai BiBi ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ YAi XAi U kv Ai Ai Y Ai X Ai U kv ˆˆ BiBi (IV39) Da utuk suatu i, Y Aˆ + Aˆ Y + Bˆ Bˆ 3 i i 3 i i Y X U V Y X U V k ˆ ˆ + + k ˆ ˆ Ai Ai BiBi ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ YAi XAi U kv Ai Ai Y Ai X Ai U kv ˆˆ BiBi (IV40) Dari (IV39) da (IV40) da berdasarka ketaksamaa matriks (IV6) da (IV8) didapat Y Aˆ + Aˆ Y + BB ˆ ˆ + X Aˆ + Aˆ X + BB ˆ ˆ < 0 i i i i i i i i Sehigga ketaksamaa matriks (IV31) da (IV33) dipeuhi Kemudia utuk membuktika ketaksamaa matriks (IV3) da (IV34), misalka utuk suatu i, Aˆ X + X Aˆ + Cˆ Cˆ i 3 3 i i i + + ˆ Y + X U kv Y + X U kv ˆ ˆ A ˆ i Ai Ci Ci ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ AY i Ai X AU i kv YAi XAi U kv Ai ˆ C ˆ i Ci (IV41) Da utuk suatu i, AY ˆ + Y Aˆ + Cˆ Cˆ i 3 3 i i i

23 5 + + ˆ Y + X + U kv Y + X + U kv ˆ ˆ A ˆ i Ai Ci Ci ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ AY i Ai X AU i kv YAi XAi U kv Ai ˆ C ˆ i Ci (IV4) Dari (IV41) da (IV4) da berdasarka ketaksamaa matriks (IV7) da (IV9) didapat Aˆ Y + Y Aˆ + Cˆ Cˆ + Aˆ X + X Aˆ + Cˆ Cˆ < 0 i i i i i i i i Sehigga ketaksamaa matriks (IV3) da (IV34) dipeuhi Dari hal diatas maka dapat disimpulka bahwa sistem tereduksi (III49) yag dihasilka dari metode alteratig projectio adalah sistem yag stabil kuadratik IV5 Simulasi Program Dalam subbab ii aka disajika sebuah cotoh reduksi orde model pada sistem LPV megguaka algoritma reduksi orde model yag telah dibahas dalam subbab IV3 Diberika sebuah sistem LPV politopik [17] ( t) b x& () t = x() t + u t 0 0 a33 () t () = x() t y t dega a [ 35, 5 ] da b [ 05, 05] 33 1 (), (IV43) Parameter a33 da b 1 berada pada politop koveks yag dapat digambarka sebagai berikut

24 53 a 33 (-35,05) (-5,05) (-35,-05) (-5,-05) b 1 Gambar 41 Data paramater a33 da b 1 dalam politop koveks Dega demikia maka matriks ruag keadaa sistem (IV43) berkembag pada politop koveks Ai Bi Ω= Co, i = 14, Ci Di dega A1 = A4 =, A = A3 =, B1 = B =, B3 = B4 =, C1 = C = C3 = C4 = , D1 D D3 D = = = = Metode pemotoga setimbag meghasilka matriks Gramia keterkedalia da sekaligus matriks Gramia keterobservasia

25 ˆ P= Q=Σ= Dega megguaka algoritma reduksi orde model pada subbab IV3, utuk reduksi orde model sistem LPV politopik di atas dari orde 4 ke orde 3 didapat r, γ = 37607, dega batas tolerasi kesalaha 1, da model tereduksi yag berkembag pada politop koveks dega r r r,3 A1 B Ω = Co, i = 14, r r C 3 D r r r A1 = A = , A = r A4 = r r r r B1 = B = B3 = B4 = , r r r r C1 = C = C3 = C4 = , r r r r D1 = D = D3 = D4 = Berikut disajika perbadiga state x 1, x,da x 3 sebelum direduksi da setelah direduksi

26 55 Gambar 4 Perbadiga state x 1 orde peuh da orde tereduksi Gambar 43 Perbadiga state x orde peuh da orde tereduksi

27 56 Gambar 44 Perbadiga state x 3 orde peuh da orde tereduksi Sedagka utuk reduksi orde model sistem LPV politopik di atas dari orde 4 ke r, orde didapat sub-optimal γ = 37607, dega batas tolerasi kesalaha 1, da model tereduksi yag berkembag pada politop koveks dega r r r, A1 B Ω = Co, i = 14, r r C 3 D 4 1 r 4 r A A, A r A3 r = = = = , r r r r B1 = B = B3 = B4 = , r r r r C1 = C = C3 = C4 = , r r r r D1 = D = D3 = D4 =

28 57 Perbadiga state x 1 da x sebelum direduksi da setelah direduksi disajika dalam gambar berikut Gambar 45 Perbadiga state x 1 orde peuh da orde tereduksi Gambar 46 Perbadiga state x orde peuh da orde tereduksi Berdasarka ilai-ilai sigular Hakel yag diperumum dalam matriks ˆΣ, meduksi orde sistem LPV politopik (IV43) dari orde 4 ke orde 3 berarti

29 58 megabaika state yag bersesuaia dega ilai sigular Hakel keempat yaitu Sedagka meduksi orde sistem LPV politopik (IV43) dari orde 4 ke orde berarti megabaika state yag bersesuaia dega ilai sigular Hakel ketiga da keempat yaitu da Dikareaka selisih ilai sigular Hakel ketiga da keempat lebih kecil dibadigka dega selisih ilai sigular Hakel kedua da ketiga, maka mereduksi orde sistem LPV politopik (IV43) dari orde 4 ke orde 3 meghasilka sistem tereduksi yag lebih baik dari pada mereduksi orde sistem LPV politopik (IV43) dari orde 4 ke orde Hal ii juga dapat kita lihat dari gambar 4 46 yaitu meskipu model tereduksi orde tiga da model tereduksi orde dua sama-sama koverge pada detik ke- 6, tetapi perilaku masig-masig state pada model tereduksi orde 3 lebih dekat ke sistem asli dibadigka dega model tereduksi orde dua