KELUARGA EKSPONENSIAL Utuk Memeuhi Tugas Mata Kuliah Statistika Iferesial Dose Pegampu: Nedra Mursetya Somasih Dwipa, M.Pd Disusu Oleh : V A4 Kelompok. Nuuk Rohaigsih (444009). Rochayati (444000) 3. Siam Tri Khasaah (44400) 4. Emi Suryai (444006) 5. Puika Dwi Yati (4440043) PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA 06
KELUARGA EKSPONENSIAL A. Keluarga Ekspoesial Keluarga fugsi kepadata probabilitas yag tergatug pada parameter θ da berbetuk f(x; θ) = C(θ)e [Q(θ)T(x)] h(x) Dega x R, θ Ω( R) da C(θ) > 0 serta h(x) > 0 utuk x S diamaka keluarga ekspoesial. Jika variabel radom salig bebas da berdistribusi idetik dega f(x; θ) dega θ Ω R maka fugsi kepadata probabilitas dari X sebagai f(x; θ) = C(θ)e [Q(θ)T(x)] h(x). Cotoh : Misalka f(x; θ) = ( x ) θx ( θ) x I A (x) dega A = {0,,, }. Fugsi probabilitas tersebut dapat diyataka sebagai f(x; θ) = ( x ) θx ( θ) x I A (x) x = ( θ) θ [ θ ] ( x ) I A(x) = ( θ) θ [log( e θ )] ( x ) I A(x) maka fugsi probabilitas dari distribusi biomial f(x; θ) = ( x ) θx ( θ) x I A (x) adalah f(x; θ) = ( θ) θ [log( e θ )] ( x ) I A(x). Sehigga distribusi Biomial merupaka aggota keluarga ekspoesial dega C(θ) = ( θ), Q(θ) = log ( θ θ ), T(x) = x, h(x) = ( x ) I A(x). Cotoh : Misalka variabel radom X berdistribusi N (μ, σ ). Jika σ diketahui μ = θ maka fugsi kepadata probabilitas dari X adalah
f(x, θ) = (x μ) πσ e[ σ ] f(x, θ) = = (x θ) πσ e[ σ ] = (x xθ+θ ) πσ e[ σ ] = πσ e[ x σ ] e [xθ σ ] e [ θ σ ] θ πσ e[ σ ] e [ θ σ x] e [ σ x ] dega θ R sehigga distribusi tersebut merupaka aggota keluarga ekspoesial dega c (θ) = θ πσ e[ σ ], Q (θ) = θ σ, Jika μ diketahui da σ = θ maka X adalah, T(x) = x, h (x) = e[ f(x, θ) = (x μ) πσ e[ σ ] x σ ]. fugsikepadata probabilitas dari = (x μ) πθ e[ θ ] f(x; θ) = πθ e[ θ (x μ) ] Dega θ (0, ) sehigga distribusi tersebut keluarga ekspoesial dega c(θ) = πθ, Q(θ) = θ, T(x) = (x μ), h(x) =. merupaka aggota Jika ruag parameter dari keluarga fugsi kepadata ekspoesial parameter megadug iterval o degeerate maka keluarga tersebut legkap. Teorema.6 Misalka X variabel radom dega fugsi kepadata probabilitas f(x; θ) dega θ Ω R seperti tersebut diatas. Keluarga
G = {g(x; θ) θ Ω} merupaka fugsi kepadata probabilitas dari T (X) maka G legkap asalka Ω megadug iterval o degeerate. Teorema.7 Misalka X, X,,.. X variabel radom salig bebas da berdistribusi idetik dega fugsi kepadata probabilitas merupaka aggota keluarga ekspoesial parameter.. Statistik T = i= T (X ) merupaka statistik cukup utuk θ.. Fugsi kepadata probabilitas dari T* selalu berbetuk g( t; ) Q t c e h* t 3. Jika variabel radom kotiu maka fugsi kepadata probilitasya dapat diyataka sebagai g Q t t; c e h* t
Teorema berikut ii meyataka sifat kelegkapa dari suatu keluarga distribusi. Teorema.8 Keluarga G gx; degeerate. legkap asalka megadug iterval o Dalam hal ii G gx; dega kepadata probabilitas dari statistik cukup Teorema.9 Misalka X,..., g( x; ) T * adalah keluarga fugsi, X X variabel radom salig bebas da berdistribusi idetik dega fugsi kepadata probabilitas merupaka aggota keluarga ekspoesial da T * seperti didefiisika pada Teorema.7.. Jika V sebarag statistik yag lai, V salig bebas jika da haya jika distribusi dari V da Cotoh 3: Misalka T * tidak tergatug pada X X,..., X variabel radom salig bebas dega fusi, kepadata N,. Statistik yag merupaka aggota keluarga ekspoesial dalam X X i i Merupaka statistik cukup utuk sedagka S i X X merupaka statistik lai yag tidak tergatug pada θ maka dega megguaka Teorema.9 diperoleh bahwa x da S salig bebas. B. Geeralisasi dari Keluarga Ekspoesial Misalka X, X,, X variabel radom salig bebas da X = (X, X,, X ) t. Fugsi kepadata probabilitas bersama dari merupaka aggota keluarga ekspoesial r parameter jika mempuyai betuk i
f(x; θ) = c(θ)e [ i= Q i(θ)t i (x)] h(x) dega x = (x, x,, x ) t utuk i =,,., k da k, θ = (θ, θ,, θ ) t ε Ω R r, C(θ) > 0, θ ε Ω da h(x) > 0 utuk x ε S himpua ilai positif dari f(x; θ) yag salig bebas terhadap θ. Cotoh 4: Misalka variabel radom X berdistribusi N(θ, θ ). Fugsi kepadata probalitas dari X dapat diyataka sebagai f(x, μ) = (x μ) πσ e[ σ ] f(x, θ) = (x θ) πσ e[ σ ] = (x xθ+θ ) πσ e[ σ ] = πσ e[ = x σ ] e [xθ f(x; θ, θ ) = e [ θ πθ σ ] e [ θ σ ] θ πσ e[ σ ] e [ θ σ x] e [ σ x ] x] θ [ θ x x e θ θ ] Hal ii berarti keluarga distribusi ormal merupaka aggota keluarga distribusi ekspoesial dega da c(θ) = e [ θ ] θ, Q (θ) = θ, Q πθ θ (θ) = θ Dalam hal ii θ = (θ, θ ). T (x) = x, T (x) = x, h(x) =