DISTRIBUSI KONTINU Uniform Normal Gamma & Eksponensial MA 2081 Statistika ti tik Dasar Utriweni Mukhaiyar Maret 2012 By NN 2008
Distribusi Uniform Distribusi kontinu yang paling sederhana Notasi: X ~ U (a,b) fkp: f.k.p: f(x) 1, a x b f(x) = b a 0, x li lainnya a b b a Rataan : E [ X ] = 2 ( b- a) Variansi : Var( X ) 12 2 2
Distribusi Normal (Gauss) Karl Friedrich Gauss 1777-1855 Penting dipelajari i Notasi: X ~ N (, 2 ) fkp: f.k.p: - Banyak digunakan - Aproksimasi Binomial - Teorema limit pusat rataan f ( x ) 1 2 e 1 x 2 2, - < x < Simpangan baku /standar deviasi i 3 = 3.14159 e = 2.71828 N(0,1) disebut normal standar (baku)
Kurva Normal Modus tunggal Titik belok Titik belok Total luas daerah di bawah kurva =1 Simetri terhadap x = 4 http://www.comfsm.fm/~dleeling/statistics/normal_curve.gif Peluang X di sekitar 1, 2, dan 3
Pengaruh dan Kurva normal dengan yang sama 1 < 2 < 3 parameter skala 2 1 < 2 < 3 3 Kurva normal dengan yang sama parameter lokasi 5
Luas di bawah kurva Normal P( X ) 1 X ~ N(,( 2 ) P (z 1 < Z < z 2 ) P(a ( < X < b) X ~ N(,( 2 ) Z ~ N(0,1) 6 z a-m s 0 1 = 2 z b- m = s
Menghitung Peluang Normal Sulit!!! 1. Cara langsung g Harus dihitung secara numerik b 1 x 2 1 P( a X b) e dx 2 a 2. Dengan tabel normal standar P (Z z) 2 Z X N(0,1) 7
Arti Tabel Normal Misal Z ~ N(0,1) dan z R, -3,4 z 3,4 z 1 x 2 /2 PZ ( z) e dx 2 P(Z z) DITABELKAN untuk -3.4 z 3.4 P(Z z ) 8
Membaca Tabel Normal P(Z 124) 1,24 9
Hitung P (0 Z 124) 1,24 P(0 ( Z 1,24 ) = P(Z ( 1,24 ) - P(Z ( < 0 ) P(Z ( 0 ) = 0,8925 0,5 = 0,3925 P(Z 1,24 ) 10
Contoh 1 Suatu perusahaan listrik menghasilkan bola lampu yang umurnya berdistribusi normal dengan rataan 800 jam dan standar deviasi 40 jam. Hitunglah peluang suatu bola lampu dapat menyala antara 778 dan 834 jam http://ismailfahmi.org/wp/wpcontent/uploads/2007/07/light-bulb.jpg http://www.nataliedee.com/101906/nightshift-at- the-factory-factory.jpg 11
Jawab Misal X : umur bola lampu X ~ N (800,40 2 ) X -m Dengan transformasi Z = : s 778 800 834 800 P(778 X 834) P Z 40 40 P( 0,55 Z 0,85) PZ ( 0,85) PZ ( 0,55) 0,80230,2912 0,5111 12
Contoh 2 Suatu pabrik dapat memproduksi voltmeter dengan kemampuan pengukuran tegangan, rataan 40 volt dan standar deviasi i 2 volt. Misalkan tegangan tersebut berdistribusi normal. Dari 1000 voltmeter yang diproduksi, berapa voltmeter yang tegangannya melebihi 43 volt? 13
Jawab Misal X : tegangan voltmeter X ~ N (40, 4) X -m Dengan transformasi Z = s 43 40 PX ( 43) PZ 2 P( Z 1,5) 1 PZ ( 1,5) 1 0,9332 0, 0668 Banyaknya y voltmeter yang tegangannya lebih dari 43 volt adalah 1000 unit x 0,0668 0668 66 unit 14
Aproksimasi i Binomial i dengan Normal Jika n maka B(n,p) N (, 2 ) dimana = np dan 2 =np(1-p) ( 1 p) B (6;0,2) B (15;0,2) 15 Semakin besar n, binomial semakin dekat ke normal
Contoh 3 Misal peluang seorang pasien sembuh dari suatu penyakit demam berdarah adalah 0,4. http://www.bratachem.com/abate/imag es/demam.jpg Bila diketahui ada 100 pasien demam berdarah, berapa peluangnya bahwa yang sembuh a. tepat 30 orang b. kurang dari 30 orang 16
Jawab Misal X : banyaknya pasien yang sembuh X ~ B(n,p), n = 100 ; p = 0,4 Rataan: = np = 100 x 0,4 = 40 St.Dev: np (1 p ) 400, 6 4,899 a. Peluang bahwa banyaknya y pasien yang sembuh tepat 30 orang adalah: PX ( 30) P(29,5 X30,5) 29,5 40 30,5 40 P Z 4,899 4,899 P( 2,14 Z 1,94) PZ ( 1,94) PZ ( 2,14) 0, 0262 0, 0162 001 0,01 17
Jawaban lanjutan b. Peluang bahwa banyaknya pasien yang sembuh akan kurang dari 30 adalah: 29,5 40 PX ( 30) PZ 4,899 PZ ( 2,14) 0, 0162 18
Distribusi Gamma Notasi X ~ Gamma(,) f.k.p 1 1 x / x e,0 x f( x) ( ) 0, x lainnya 0 dan 0 () disebut fungsi gamma 1 y ( ) y e dy 0 dimana (1) = 1 dan ()= ( -1)!, jika > 1 E[X] = dan Var(X) = 2 Digunakan untuk memodelkan waktu tunggu Keluarga Gamma(,): distribusi eksponensial, khi kuadrat, Weibull, dan Erlang 19
Distribusi Eksponensial Keluarga distribusi gamma (1, 1/) Notasi: X ~ Exp p( () f.k.p x e,0 x f ( x ) 0, x lainnya E[X] = 1/ Var(X) = 1/ 2 Digunakan untuk memodelkan waktu antar kedatangan 20
Contoh 4 Misalkan lama pembicaraan telepon dapat dimodelkan oleh distribusi eksponensial, dengan rataan 10 menit/orang. http://www.beritajakarta.com/images/foto/antri-pasar-muraha.jpg&imgrefurl=http://pdpjaktim.blogspot.com/2007/09/ Bila seseorang tiba-tiba mendahului anda di suatu telepon umum, carilah peluangnya bahwa anda harus menunggu: a. lebih dari 10 menit b. antara 10 sampai 20 menit 21
Jawab 22 Misalkan X : lama pembicaraan telepon Dik. X ~ exp(1/10) sehingga f( x) e x 1 /10 10 Tapi lama pembicaraan setara dengan waktu menunggu. Jadi, a. PX ( 10) 1 PX ( 10) b. 1 10 1 x /10 e dx 10 1 0,368 0,632 0 20 1 x /10 10 10 P (10 X 20) e dx 0,233
Referensi Walpole, Ronald E. dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB, 1995. Walpole, Ronald E., et.al, 2007, Statistitic for Scientist and Engineering, 8th Ed., New Jersey: Prentice Hall. Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika. 23