BAB II TEORI DASAR 2.1 Aljabar Liier Defiisi 2. 1. 1 Grup Himpua tak kosog G disebut grup (G, ) jika pada G terdefiisi operasi, sedemikia rupa sehigga berlaku : a. Jika a, b eleme dari G, maka a b eleme dari G. Dega kata lai, G tertutup terhadap operasi. b. Berlaku hukum asosiatif di G, yaitu diberika a, b, c eleme dari G, maka a b c = a b c. c. Terdapat e eleme dari G sedemikia rupa sehigga utuk setiap a eleme dari G berlaku a e = e a = a. Selajuya eleme e disebut eleme idetitas atau uit di G. d. Utuk setiap a eleme dari G, terdapat a 1 G sedemikia rupa sehigga a a 1 = a 1 a = e. Eleme a 1 disebut ivers dari a di G. Defiisi 2. 1. 2 Grup G disebut grup komutatif atau grup abel jika berlaku hukum komutatif di G, yaitu a b = b a, utuk setiap a, b G. Cotoh 2.1.3 Himpua bilaga bulat (Z, +) merupaka grup komutatif terhadap operasi pejumlaha. Defiisi 2. 1. 4 Lapaga Lapaga adalah sebuah himpua F, eleme-elemaya diamaka skalar, bersama dega dua buah operasi bier yaitu pejumlaha diotasika dega +, da perkalia diotasika dega ; bersama dega dua buah eleme 0, 1 ε F sedemikia rupa sehigga berlaku : a. Utuk Setiap x, y, z F 1. x + y F 2
2. x + y = y + x 3. x + y + z = x + (y + z) 4. 0 + x = x 5. terdapat ( x) F sedemikia rupa sehigga ( x) + x = 0 b. Utuk setiap x, y, z F 6. x y F 7. x y = y x 8. x y z = x (y z) 9. 1 x = x c. Utuk setiap x F, x 0, terdapat eleme x 1 di F sedemikia rupa sehigga x x 1 = x 1 x = 1. d. Utuk setiap x, y, z F, berlaku hukum distributif yaitu x + y z = x y + x z. Lapaga F disebut lapaga higga jika F memiliki sebayak higga eleme. Bayakya eleme di suatu lapaga higga diamaka orde lapaga. Jika lapaga F memiliki tak higga eleme, F disebut lapaga tak higga. Cotoh 2.1.5 Himpua F 2 = {0,1} dega operasi pejumlaha da perkalia dilakuka dalam modulo 2, merupaka lapaga higga berorde 2. Lapaga F 2 biasa disebut lapaga bier. Himpua bilaga riil R merupaka salah satu cotoh lapaga tak higga. Defiisi 2. 1. 5 Sub Ruag Vektor Sub Ruag Vektor dari F p adalah sub himpua V F p dari p-vektor dega 0 V sedemikia rupa sehigga berlaku: a. Jika v V da a F, maka a v V b. Jika u, v V maka u + v V Defiisi ii ekuivale dega, suatu subruag vektor dari F p adalah himpua tak kosog dari p-vektor da tertutup terhadap operasi pejumlaha da perkalia skalar. 3
Defiisi 2. 1. 6 Ruag Vektor Ruag vektor V atas lapaga F adalah suatu himpua tak kosog V, dega elemeelemeya diamaka vektor, sebuah eleme dari V yaitu 0 disebut vektor ol, bersama dega sebuah operasi bier +, disebut pejumlaha vektor, da suatu perkalia skalar diotasika, dari vektor dega eleme dari F; sedemikia rupa sehigga memeuhi sifat-sifat : a. Utuk Setiap u, v, w ε V 1. u + v V 2. 0 + v = v 3. u + v = v + u 4. u + v + w = v + u + w b. Utuk setiap u, v ε V da utuk setiap r, s ε F 5. r v V 6. 1 v = v 7. 0 v = 0 8. r(u + v) = r u + r v 9. (r + s) v = r v + s v 10. (r s) v = r (s v) Kodisi a 1 meyataka V tertutup terhadap operasi pejumlaha, sedagka kodisi b 5 meyataka V tertutup terhadap operasi perkalia skalar. Defiisi 2. 1. 7 Subruag dari suatu ruag vektor V adalah sebuah subhimpua U V, sedemikia rupa sehigga U merupaka suatu ruag vektor dega operasi bier pejumlaha da perkalia skalar yag dimiliki V. Defiisi subruag berbeda dega defiisi subruag vektor, aka tetapi lemma berikut ii meujuka kedua defiisi tersebut medefiisika kosep yag sama. Lemma 2. 1. 8 Sebuah subhimpua tak hampa U V dari suatu ruag vektor V merupaka suatu subruag dari V jika da haya jika : 4
(i) Jika u, v ε V, maka u + v ε U (ii) Jika k ε F da u ε U, maka k u ε U Bukti : Bukti terdapat pada lampira 1. Defiisi 2. 1. 9 Misal F suatu ruag vektor atas lapaga F, betuk biliier pada adalah suatu fugsi <,>: F x F F yag memeuhi : F a. < u, v >=< v, u > utuk setiap u, v ε b. < k u, v >= k < v, u > utuk setiap k ε F da utuk semua u,v ε c. < u + v, w >=< u, v > +< v, w > F Cotoh 2.1.10 : Hasil kali titik pada F 2 yag didefiisika sebagai u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + + u v utuk sebarag u = (u 1 u 2 u ) da v = (v 1 + v 2 + + v ) eleme dari F 2 merupaka suatu betuk biliier pada F 2. Jika u v = 0, u da v diamaka vektor-vektor yag salig orthogoal. Defiisi 2. 1. 11 Misal V suatu ruag vektor atas lapaga F, da W adalah subhimpua tak kosog dari V. Kompleme orthogoal dari W di V didefiisika sebagai subruag W (dibaca S perpedikular), dega W = {v V < v, w 0 utuk semua w W}. Defiisi 2.1.12 Sebuah vektor w disebut kombiasi liier dari vektor-vektor v1, v2,..., v r, jika w dapat dituliska dalam betuk w k1v1 k2v2... krvr, dega k1, k2,..., kr merupaka skalar. Defiisi 2.1.13 Jika S = {v 1, v 2,, v r } merupaka suatu subhimpua dari suatu ruag vektor V, maka subruag W dari ruag vektor V, yag terdiri atas semua kombiasi liier dari vektor-vektor di S diamaka ruag yag dibagu oleh v 1, v 2,, v r. Selajutya, kita sebut vektor-vektor v 1, v 2,, v r membagu W. Utuk meadaka W adalah ruag yag dibagu oleh vektor-vektor di S = {v 1, v 2,, v r } kita tuliska W = spa(s) atau W = spa{v 1, v 2,, v r }. F 5
Defiisi 2.1.14 Jika S = {v 1, v 2,, v r } merupaka himpua tak kosog dari vektorvektor, maka persamaa vektor k 1 v 1 + k 2 v 2 + + k r v r = 0 memiliki palig sedikit satu buah solusi yaitu k 1 = 0, k 2 = 0,, k r = 0. Jika ii merupaka satu-satuya solusi, maka S diamaka himpua yag bebas liier. Jika terdapat solusi lai, maka S diamaka himpua yag bergatug liier. Defisi 2.1.14 Misal V suatu ruag vektor atas sebarag lapaga F, da S = {v 1, v 2,, v r } merupaka himpua dari beberapa vektor di V. S diamaka basis bagi V, jika terpeuhi dua buah kodisi berikut : a. S bebas lier b. S membagu V Cotoh 2.1.15 Misal e i = (0,0,,1,0,.0) vektor di F dega etri ke-i sama dega 1 da etri laiya sama dega ol. Dega mudah dapat dilihat bahwa e 1, e 2,, e merupaka basis bagi F. Secara umum e 1, e 2,, e dikeal sebagai basis stadar bagi F. Defiisi 2.1.16 Misalka V suatu ruag vektor dega B merupaka basis bagi V, misal B terdiri dari sebayak higga eleme, sebut sebayak utuk suatu ε N. Maka kita sebut V berdimesi. Jika V memiliki dimesi, V disebut ruag vektor berdimesi higga. Jika V tidak berdimesi higga (tidak memiliki suatu basis dega bayak elemeya berhigga), V disebut ruag vektor berdimesi tak higga. 2.2 Teori Kodig Defiisi 2.2.1 Sebuah katakode dega pajag atas lapaga F adalah sebuah vektor eleme dari ruag vektor F. Defiisi 2.2.2 Kode dega pajag adalah kumpula katakode dega pajag. Cotoh 2.2.3 u=10011, v=11000, u da v merupaka kata kode dega pajag 5 atas lapaga F2. Di sampig itu, C ={10011, 11000,} merupaka kode dega pajag 5. 6
Dalam Tugas Akhir kita haya aka membahas tetag katakode da kode atas lapaga bier. Selai itu, operasi pejumlaha kode pada ruag vektor yag dibagu atas lapaga bier dilakuka dalam modulo 2. Defiisi 2.2.4 Bobot Hammig dari suatu kata kode x = x 1 x 2 x ditulis wt(x) adalah bayakya etri tak ol pada x. Defiisi 2.2.5 Jarak Hammig atara dua buah kata kode x = x 1 x 2 x da y = y 1 y 2 y diotasika dega dist(x, y) adalah bayakya posisi x da y berbeda. Cotoh 2.2.6 Utuk u=10011 da v=11000, diperoleh wt(u)=3, wt(v)=2, da dist(u,v)= dist(10011, 10001)=1. Perlu diperhatika bahwa jarak Hammig atara sebarag dua katakode u da v dega pajag sama dega bobot Hammig dari (u+v), karea keduaya merujuk pada bayakya posisi u da v berbeda. sehigga diperoleh dist(u,v)=wt(u+v). Defiisi 2.2.7 Misal C suatu kode, da d = mi dist u, v, utuk setiap u C, v C, u v. d diamaka jarak miimum kode C. Cotoh 2.2.8 Kode C1 = {00, 10, 01, 11}. Jarak miimum kode C1 adalah 1. Dalam Tugas Akhir ii, istilah bobot Hammig ditulis sebagai bobot da istilah jarak Hammig ditulis sebagai jarak. Disampig itu, istilah jarak miimum kode ditulis sebagai jarak miimum. Sekarag kita memasuki salah satu bagia petig dari teori kodig, yaitu tetag kode pedeteksi da pegoreksi kesalaha. Kode C dikataka dapat medeteksi pola kesalaha u jika da haya jika v + u C utuk setiap v C. Dega kata lai, u dapat dideteksi oleh C bila setiap katakode v yag ditrasmisika, dekoder dapat megeali bahwa katakode yag diterimaya, yaki u+v, buka merupaka katakode; sehigga dapat disimpulka terjadi kesalaha. 7
Suatu kode dikataka kode pedeteksi t kesalaha bila ia dapat medeteksi semua pola kesalaha takol dega bobot kurag dari atau sama dega t, da tidak dapat medeteksi sedikitya satu pola kesalaha dega bobot t + 1. Teorema berikut ii meujuka setiap kode C dega jarak d merupaka kode pedeteksi d-1 kesalaha. Teorema 2.2.9 Suatu kode C dega jarak d aka dapat medeteksi sedikitya semua pola kesalaha takol dega bobot d 1. Tapi, ada sedikitya satu pola kesalaha dega bobot d yag tidak dapat dideteksi oleh C. Bukti : Bukti terdapat pada lampira 2. Suatu kode C dikataka dapat megoreksi pola kesalaha u jika utuk semua v C, v+u berjarak lebih dekat ke v dibadig dega jarak ke katakode lai di C. Kode C dikataka kode pegoreksi t kesalaha bila ia megoreksi semua pola kesalaha dega bobot t da tidak megoreksi sedikitya satu pola kesalaha dega bobot t + 1. Teorema berikut ii meujuka setiap kode C dega jarak d merupaka kode pegoreksi [(d 1)/2] kesalaha, (otasi [x] meujuka bilaga bulat terbesar yag kurag dari atau sama dega bilaga riil x). Teorema 2.2.10 Suatu kode C berjarak d aka megoreksi semua pola kesalaha dega bobot kurag dari atau sama dega [(d 1)/2]. Namu, C tidak dapat megoreksi sedikitya satu pola kesalaha berbobot 1 + [(d 1)/2]. Bukti : Bukti terdapat pada lampira 3. Cotoh 2.2.11 Utuk kode C1 = {00, 10, 01, 11}. Maka setiap katakode yag diterima merupaka katakode di C1, sehigga C1 tidak dapat medeteksi adaya kesalaha. Kode C1 tidak dapat megoreksi kesalaha karea setiap kata yag diterima tidak perlu perubaha utuk mejadi katakode. Cotoh 2.2.12 Ubah kode C1 dega megulag setiap katakodeya 3 kali da didapat kode C2 = {000000, 101010, 010101, 111111}. Misal kata 111010 yag diterima. Karea kata ii tidak di C2, maka kita dapat medeteksi sedikitya ada satu kesalaha. Utuk mejadika katakode, kata 111010 perlu diubah sedikitya pada satu digitya mejadi 101010. Sehigga kita megharap bahwa 101010 memag kata yag ditrasmisika, 8
sehigga kita megoreksi 111010 mejadi 101010. Kode C2 dapat megoreksi satu kesalaha. Defiisi 2.2.14 Suatu kode C dega pajag atas lapaga F disebut kode liier jika C membetuk subruag dari ruag vektor F. Defiisi di atas memberika pegertia bahwa kode liier adalah kode yag tertutup terhadap operasi pejumlaha katakode. Disampig itu, C tetulah memuat vektor ol, karea utuk sebarag v C, megakibatka v + v = 0 C. Dalam Tugas Akhir ii, suatu kode liier C dega pajag, dimesi k, da jarak miimum d ditulis sebagai kode C [, k, d]. Cotoh sederhaa kode liier adalah C4 = {000, 111}, karea 000 + 000 = 000, 111 + 000 = 111, 000 + 111 = 111, da 111 + 111 = 000 semuaya ada di C4. Namu, C5 = {000, 100, 110} buka kode liier, karea 100 + 110 = 010 C5. Salah satu keuggula megguaka kode liier adalah mudah utuk dihitug jarakya. Yaki, jarak suatu kode liier C sama dega bobot terkecil katakode takol di C. Keapa demikia? Perhatika pejelasa berikut ii. Misal jarak miimum C adalah k, da v da w dua katakode di C yag memberika d(v,w) = k. Misal c bobot terkecil di C. Karea C liier maka z = v + w C, da wt(z) = wt(v + w) = d(v,w) = k. Jadi c k, karea c merupaka bobot terkecil di C. Sebalikya, jika c bobot terkecil di C da wt(u) = c, maka keliiera C mejami adaya 0 C, da d(0, u) = c. Sehigga k c, karea k merupaka jarak miimum di C. Jadi diperoleh k = c. Misalka C adalah kode liier [, k, d] atas F. Misalka pula A i adalah bayakya katakode yag berbobot i di C. Eumerator bobot Hammig dari kode C adalah poliom homoge berderajat dalam dua variabel, yaitu : W C x, y = A i x i y i i=0 Eumerator bobot hammig juga bisa ditulis mejadi : W C x, y = u C x wt (u) wt (u) y Misal C kode liier [, k], kode dual atau kode orthogoal dari C, ditulis C adalah himpua vektor-vektor yag ortogoal dega semua katakode dari C. Secara eksplisit 9
kita dapat meuliska C ={v (F 2 ) v. w = 0, utuk semua w C}. Jika C C, kode C diamaka kode swa-dual lemah(weakly self-dual), sedagka jika C = C, kode C diamaka kode swa-dual(self-dual). Misal A j adalah bayakya katakode yag berbobot j di C. Maka pecacah bobot Hammig dari kode C adalah poliom homoge berderajat dalam dua variabel, yaitu : W C x, y = A j x j y j j =0 = x wt (u ) wt (u ) u C y Utuk kode swa-dual C, tetulah C tidak memuat katakode berbobot gajil. Adaika terdapat v C da v berbobot gajil, akibatya v. v = 1. Kotradiksi dega C swa-dual (seharusya v. v = 0). Lebih lajut, utuk suatu, kita bisa medapatka kode swa-dual dega pajag da bobot setiap katakodeya merupaka kelipata 4. Kode swa-dual semacam ii diamaka kode swa-dual geap. Utuk kode swa-dual geap dega pajag, kode tersebut tetulah memuat katakode berbobot. Karea vektor berbobot tetu orthogoal dega setiap katakode di C. Matriks Pembagu dari suatu kode liier C[, k, d] adalah suatu matriks G berukura k x, rak(g) = k, da himpua semua vektor baris dari G merupaka basis bagi C. Utuk kode C yag sama, didefiisika Matriks Cek Paritas H, yaitu suatu matriks berukura x ( k), rak(h) = ( k), da himpua semua vektor kolom dari H merupaka basis bagi C. Teorema 2.2.15 Matriks G da H berturut-turut merupaka matriks pembagu da matriks cek paritas utuk suatu kode liier C jika da haya jika: i. Baris dari G bebas liier, ii. Kolom dari H bebas liier, iii. Bayakya baris dari G + Bayakya kolom dari H = Bayakya kolom dari G = Bayakya baris dari H, da iv. GH = 0. 10
Bukti : Utuk (i), (ii), da (iii) cukup jelas dari defiisi matriks pembagu da matriks cek paritas. Defiisi kode dual meyebabka (iv). Terbukti. Selajutya, karea H T G T = (GH) T = 0 da berdasar teorema 2. 2. 8, maka didapat teorema berikut : Teorema 2.2.16 H adalah matriks cek paritas dari C jika da haya jika H T matriks pembagu dari C, G matriks pembagu dari C jika da haya jika G T matriks cek paritas dari C. Jadi, utuk kode swa-dual kita peroleh G = H T. Sekarag kita tijau suatu fakta mearik pada kode dual bier, yaitu pecacah bobot dari kode dual bier C ditetuka secara uik oleh pecacah bobot kode C. Fakta ii diyataka dalam teorema Mac Williams di bawah ii. Teorema ii memberika jala bagi kita utuk medapatka pecacah bobot kode dual C tapa harus medaftar katakode-katakode pada kode dual C. Teorema 2.2.17 (Teorema Mac Williams) Jika C [, k, d] merupaka suatu kode liier bier dega kode dualya adalah C, maka W C x, y = 1 C W C(x + y, x y), (i) dega C = 2 k adalah bayakya katakode di C. Persamaa (i) ekuivale dega persamaa : (ii) k=0 A i x k y k = 1 C i=0 A i (x + y) i (x y) i, atau (iii) x wt (u) y wt (u) = u C 1 C (x + y) wt(u) wt (u) u C (x y). Persamaa (i), (ii), da (iii) dikeal sebagai idetitas MacWilliams. Pembuktia Teorema Mac Williams memakai lemma berikut ii : Lemma 2.2.18 Misal f sebarag pemetaa yag didefiisika pada F. Trasformasi Hadamard f dari f didefiisika sebagai f u = 11 1 u.v v F f v, u F.
Jika C[, k, d] merupaka kode liier, maka f u = 1 u C C u C f(u). Bukti : Bukti terdapat pada lampira 4. Bukti Teorema Mac Williams : Cukup dibuktika persamaa (iii). Misalka f u = x wt (u) y wt (u), sehigga diperoleh f u = ( 1) u.v x wt (v) wt (v) v F y. Misal u = u 1 u, v = (v 1 v ), maka didapatka : f u = ( 1) u 1v 1 + +u v x i v iy v i v F = 1 1 1 v1 =0 ( 1) u iv i x 1 v iy v i i=1 1 w =0 i=1 = ( 1) u iw x 1 w y w Utuk u i = 0, otasi sigma meghasilka x + y. Jika u i = 1, otasi sigma memberika x y. Akibatya, f u = (x + y) wt (u) (x y) wt (u), terapka lemma 2.2.18 pada v 2 =0 v =0 i=1 persamaa ii meghasilka x wt (u) y wt (u) = u C 1 C Terbukti. (x + y) wt (u ) wt (u) u C (x y). 12