KONSTRUKSI KODE LINEAR BINER OPTIMAL KUAT BERJARAK MINIMUM 9 DAN

Transkripsi

1 KONSTRUKSI KODE LINEAR BINER OPTIMAL KUAT BERJARAK MINIMUM 9 DAN 11 PUTRANTO HADI UTOMO SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUTT PERTANIAN BOGOR 2011

2 .

3 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dega ii saya meyataka bahwa tesis (Kostruksi Kode Liear Bier Optimal Kuat Berjarak Miimum 9 da 11) adalah karya saya dega araha dari komisi pembimbig da belum diajuka dalam betuk apapu kepada pergurua tiggi maapu. Sumber iformasi yag berasal atau dikutip dari karya yag diterbitka maupu tidak diterbitka dari peulis lai telah disebutka dalam teks da dicatumka dalam Daftar Pustaka di bagia akhir tesis ii. Bogor, November 2011 Putrato Hadi Utomo NIM G

4 .

5 ABSTRACT PUTRANTO HADI UTOMO. Costructio of Strogly Optimal Biary Liear Code with Miimum Distace 9 ad 11. Supervised by SUGI GURITMAN ad TEDUH WULANDARI MAS OED. A biary liear code of legth over Fq is a subspace of F q. A code has three parameters that attached to it, amely legth, dimesio, ad miimum distace. A code with legth, dimesio k ad miimum distace d is ofte called [ kd,, ]-code. Usually, whe two parameters are give, the we wat to fid a code that has the best value for the last parameter. Based o Gilbert- Varshamov boud, if a [ kd,, ]-code exists ad ca ot be expaded, we call it a strogly optimal code. I this paper, we costruct strogly optimal code with miimum distace 9 ad 11. I costructig the code, we created a theorem ad algorithm based o Gilbert-Varshamov boud before we implemet the algorithm to MAPLE programmig laguage. Because of computatioal limitatios, the program ca oly costruct up to k = 10 for d = 9 ad k = 12 for d = 11. Keywords: biary liear code, Gilbert Varshamov boud, strogly optimal code.

6 .

7 RINGKASAN PUTRANTO HADI UTOMO. Kostruksi Kode Liear Bier Optimal Kuat Berjarak Miimum 9 da 11. Dibimbig oleh SUGI GURITMAN da TEDUH WULANDARI MAS OED. Media iformasi, seperti sistem komuikasi da media peyimpaa utuk data, tidak sepeuhya reliabel. Hal ii dikareaka bahwa pada praktikya ada gaggua (oise) atau iterferesi laiya sehigga pesa yag dikirim berubah (terdapat error pada pesa). Salah satu masalah dalam teori kodig (codig theory) adalah utuk medeteksi atau bahka megoreksi galat (error) tersebut. Suatu kode (code) diciptaka utuk medeteksi atau megoreksi galat akibat salura yag tergaggu. Dari masalah tersebut, igi dikostruksi kode-kode optimal kuat, yaitu kode dega parameter [,k,d] dega syarat tidak ada kode dega parameter [+1,k+1, d], lebih jauh lagi, diharapka dapat diperbaiki batas bawah dari Tabel Brouwer. Utuk mecapai hal tersebut, perlu dilakuka beberapa hal sebagai berikut, yag selajutya mejadi tujua dari peelitia ii. 1. Megkaji teorema yag terkait dega kostruksi kode liear, terutama Gilbert-Varshamov boud. 2. Meyusu algoritme-algoritme utuk megotruksi kode liear bier. 3. Megimplemetasika algoritme-algoritme tersebut dalam suatu bahasa pemograma da megujicobaka utuk kode liear dega jarak miimum 9 da 11. Setelah dipelajari teorema Gilbert-Varshamov, disusu teorema kostruksi sebagai berikut. Jika matriks B berukura k r dikostruksi berdasarka sifat sebagai berikut. 1. Semua vektor baris dari B berbeda, da 2. Jumlah setiap i vektor baris dari B berbobot palig sedikit ( d i) utuk i = 2,3,..., s di maa s= mi{ d 1, k}, da ( d 1) r, maka T H = ( B I r ) da G= ( Ik B) secara berturut-turut merupaka matriks cek paritas da matriks geerator utuk kode liear C dega parameter [ k+ r, k, d]. Selajutya, utuk membagu metode kostruksi yag efisie, perlu didefiiska struktur data yag baru, yag merepresetasika ruag vektor F 2, yaitu himpua kuasa atas A= { 0,1, 2,..., 1}. Utuk itu, perlu didefiisika korespodesi satu-satu atara suatu vektor di F q dega suatu himpua bilaga bulat tak egatif. Selajutya, operasi pejumlaha dalam represetasi himpua didefiisika sebagai operasi xor/selisih simetri. Karea struktur data

8

9 yag diguaka adalah struktur data khusus, maka perlu didefiisika terlebih dahulu program-program tetag aritmatik aljabar matriks dalam represetasi himpua, seperti meghitug pejumlaha dua vektor da operasi OBD. Setelah dibagu program-program dasar utuk proses aritmatik aljabarya, selajutya aka dikostruksi program pelacaka kode liear bier. Tiga program terpetig adalah: k 1. Melacak/mecari satu vektor baris x dalam F2 yag bisa ditambahka ke matriks B berdasarka teorema Gilbert-Vashamov. 2. Meguji apakah dua vektor x da y bisa ditambahka ke matriks B berdasarka teorema Gilbert-Varshamov. 3. Meguji apakah m+1 vektor bisa ditambahka ke matriks B Dalam peelitia ii, kode liear bier yag berhasil dikostruksi haya sampai k = 12, r = 18 utuk d = 9 da sampai k = 14, r = 22 utuk d = 11. Namu demikia, sagat sulit utuk megostruksi semua kode optimal kuat. Hal ii disebabka atara lai oleh: 1. Keterbatasa komputer yag diguaka, sehigga tidak mugki melacak semua kemugkia kombiasi. 2. Pemiliha kode dasar (matriks B awal) yag kurag baik. 3. Program kostruksi yag masih belum sempura. Dalam peelitia ii, masih bayak kekuraga yag ada di dalamya, diataraya adalah: 1. Tidak semua kode liear optimal kuat dapat dikostruksi, walaupu kode tersebut ada (telah dikostruksi oleh orag lai). 2. Algoritme kostruksi, walaupu utuk represetasi himpua sudah cukup baik, masih dapat diperbaiki dalam hal kecepata pelacaka kode-kode liear bier, terutama utuk dimesi yag cukup besar. Utuk ke depaya, dapat diperbaiki algoritme kostruksi sehigga dapat diguaka utuk mecari/melacak kode dega lebih cepat da dapat mecakup kode liear yag memiliki dimesi yag besar. Selai itu, dapat pula dikembagka program utuk megoleksi kode-kode atas F, utuk q > 2. q Kata kuci: kode liear bier, teorema Gilbert-Varshamov, kode optimal kuat

10 .

11 Hak Cipta milik IPB, tahu 2011 Hak Cipta dilidugi Udag-Udag Dilarag megutip sebagia atau seluruh karya tulis ii tapa mecatumka atau meyebutka sumberya. Pegutipa haya utuk kepetiga pedidika, peelitia, peulisa karya ilmiah, peyusua lapora, peulisa kritik, atau tijaua suatu masalah; da pegutipa tersebut tidak merugika kepetiga yag wajar IPB Dilarag megumumka da memperbayak sebagia atau seluruh karya tulis dalam betuk apa pu tapa izi IPB

12 .

13 KONSTRUKSI KODE LINEAR BINER OPTIMAL KUAT BERJARAK MINIMUM 9 DAN 11 PUTRANTO HADI UTOMO Tesis sebagai salah satu syarat utuk memperoleh gelar Magister Sais pada Program Studi Matematika Terapa SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2011

14 Peguji Luar Komisi pada Ujia Tesis: Dr. Ir. Sri Nurdiati, M.Sc.

15 Judul Tesis : Kostruksi Kode Liear Bier Optimal Kuat Berjarak Miimum 9 da 11 Nama : Putrato Hadi Utomo NIM : G Disetujui Komisi Pembimbig Dr. Sugi Guritma Ketua Teduh Wuladari, M. Si. Aggota Diketahui Ketua Program Studi Matematika Terapa Deka Sekolah Pascasarjaa Dr. Ir. Edar H. Nugrahai, M.S. Dr. Ir. Dahrul Syah, M.Sc.Agr. Taggal Ujia: 28 Oktober 2011 Taggal Lulus:

16

17

18 :.

19 Utuk Ayahada, Ibuda, serta Adik-adikku tersayag.

20 .

21 PRAKATA Puji da syukur peulis pajatka kepada Allah SWT atas segala karuia- Nya sehigga tesis ii dapat diselesaika. Tema yag dipilih dalam peelitia ii tetag masalah pada codig theory. Tesis ii merupaka syarat utuk meyelesaika studi pada Program Magister Matematika Terapa, Departeme Matematika, Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam, Istitut Pertaia Bogor. Terima kasih peulis ucapka kepada : Bapak Sugi Guritma, Ibu Teduh Wuladari, da Ibu Sri Nurdiati, selaku dose pembimbig da peguji yag telah memberi bimbiga, masuka, doroga, asihat serta segala batua sehigga tugas akhir ii dapat terselesaika. Ayah, ibu, da adik-adik yag selalu memberi kasih sayag, perhatia, dukuga moril da materi. Semua staf da dose pegajar Departeme Matematika yag telah memberika ilmu yag bermafaat selama meutut ilmu di Departeme Matematika. Sahabat yag selalu memberi kebahagiaa, semagat, tataga, perhatia, batua, ispirasi, doa, da kasih sayag. Tema-tema mahasiswa departeme Matematika. Terima kasih atas segala persahabata yag telah kita jali selama beberapa tahu ii. Peulis meyadari bahwa tulisa ii masih jauh dari kesempuraa da peulis sagat meghargai segala sara da kritik yag membagu dari pembaca. Peulis juga megharapka tulisa ii dapat bermafaat bagi semua pihak yag memerluka. Terima kasih. Bogor, November 2011 Putrato.

22

23 RIWAYAT HIDUP Peulis dilahirka di Bogor pada taggal 7 September 1986 sebagai aak pertama dari 4 bersaudara pasaga Bapak Hadi Sumaro da Ibu Dwi Aaigsih. Pedidika formal yag ditempuh peulis yaitu di SDN Paaraga 2 Kodya Bogor lulus pada tahu 1999, SLTPN 1 Darmaga Kab. Bogor lulus pada tahu 2002, SMAN 5 Bogor lulus pada tahu 2005, da pada tahu yag sama peulis diterima di Istitut pertaia Bogor melalui jalur USMI (Udaga seleksi Masuk IPB). Pedidika sarjaa ditempuh di Departeme Matematika, Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam, lulus pada tahu Peulis melajutka studi di Program Studi Matematika Terapa pada Program Pascasasarjaa IPB. Selama megikuti perkuliaha, peulis perah mejadi asiste praktikum Aalisis Numerik pada tahu 2009 da asiste praktikum Metode Komputasi pada tahu 2010.

24 .

25 DAFTAR ISI Halama DAFTAR TABEL... xiii DAFTAR GAMBAR... xiii DAFTAR LAMPIRAN... xiii 1 PENDAHULUAN Latar Belakag Tujua Peelitia TINJAUAN PUSTAKA Defiisi Dasar dalam Aljabar da Teori Kodig Ekodig Kode Liear Dekodig Tetagga Terdekat Dekodig Sidrom Dasar-dasar Kostruksi Kode HASIL DAN PEMBAHASAN Formulasi Masalah Aalisis Teori Metode Komputasi Hasil yag Diperoleh KESIMPULAN DAN SARAN DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN... 59

26 .

27 DAFTAR TABEL Halama Tabel 1. Tabel kebeara urtuk sifat asosiatif pada operasi xor Tabel 2. Perbadiga komputasi atara dua represetasi data Tabel 3. Hasil kostruksi utuk kode utuk d = 9 da d = DAFTAR GAMBAR Halama Gambar 1. Proses kodig utuk suatu pesa... 2 Gambar 2. Cotoh ekodig da dekodig dari suatu pesa... 2 Gambar 3. Cotoh iformasi yag gagal terkirim... 3 DAFTAR LAMPIRAN Halama Lampira 1. Tabel Brouwer Lampira 2. Program Kostruksi Kode... 62

28 .

29 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Media iformasi, seperti sistem komuikasi da media peyimpaa utuk data, tidak sepeuhya reliabel. Hal ii dikareaka bahwa pada praktikya ada gaggua (oise) atau iferesi laiya sehigga pesa yag dikirim berubah (terdapat galat pada pesa). Salah satu masalah dalam teori kodig (codig theory) adalah utuk medeteksi atau bahka megoreksi galat tersebut. Artikel tetag masalah tersebut pertama kali ditulis oleh C. E. Shao pada tahu 1948 dalam artikelya yag berjudul A Mathematical Theory of Commuicatio. Masalah itu dapat digambarka sebagai berikut. Apabila suatu pesa (iformasi) dikirim melalui salura tergaggu (oisy chael), serig kali terjadi bahwa pesa yag diterima tidak sama dega yag dikirim, misalya pesa yag berupa gambar atau suara mejadi tidak jelas. Di dalam komuikasi, pesa direpresetasika dalam betuk digital sebagai blok (barisa) simbol, serig kali diguaka simbol bier yag dikeal dega bitstrig. Salura biasaya berupa jariga telepo, jariga radio berfrekuesi tiggi atau jariga komuikasi satelit. Salura yag tergaggu meyebabka berubahya beberapa simbol yag dikirim, sehigga meguragi kualitas iformasi yag diterima. Suatu kode (code) diciptaka utuk medeteksi atau megoreksi galat (error) akibat salura tergaggu. Dalam hal ii sebelum dikirim, semua pesa aka diubah mejadi kata kode (codeword) dega cara meambahka beberapa simbol ekstra pada simbol pesa. Proses pegubaha pesa mejadi kata kode disebut ekodig. Peragkat yag megubah pesa mejadi kata kode disebut Ekoder. Kode merupaka himpua yag aggotaya kata kode. Pedefiisia kode ii dilakuka sedemikia sehigga apabila terjadiya perubaha beberapa simbol pada kata kode, maka galat itu bisa dipulihka lagi oleh dekoder. Dekoder merupaka peragkat yag megubah barisa simbol yag diterima mejadi kata kode. Suatu model komuikasi dapat digambarka seperti pada Gambar 1, da utuk cotohya dapat dilihat pada Gambar 2.

30 2 sumber pesa mesi peerima ekoder sumber dekoder sumber ekoder salura salura dekoder salura gaggua Gambar 1. Proses kodig utuk suatu pesa. Apel Apel chael gaggua Gambar 2. Cotoh ekodig da dekodig dari suatu pesa. Ilustrasi tetag source codig da chael codig aka dijelaska pada paragraf berikut ii. Source codig terdiri dterdiri atasari dua bagia, yaitu source ecodig da source decodig. Source ecodig meliputi perubaha pesa asal (message source) mejadi kode yag bersesuaia sehigga dapat dikirimka melalui suatu salura/jalur data, sedagka source decodig meliputi perubaha kode yag dikirimka mejadi pesa asal. Kode ASCII adalah salah satu cotoh source codig yag megubah setiap karakter mejadi suatu byte yag terdiri atas delapa bit. Sebagai cotoh, misalka source ecodig utuk empat jeis buah-buaha didefiisika sebagai berikut. Apel = 00 Pisag = 01 Ceri = 10 Aggur = 11

31 3 Misalka pula pesa Apel, yag dikodeka sebagai 00 aka dikirimka melalui oisy chael (jalur bergaggua). Pesa tersebut dapat saja meyimpag/ berubah da diterima sebagai 10. Dalam kasus ii, mesi peerima tidak dapat medeteksi kesalaha tersebut, sehigga komuikasi tersebut gagal (lihat Gambar 3). Apel Pisag 00 chael 01 gaggua Gambar 3. Cotoh iformasi yag gagal terkirim. Pesa yag telah dikodeka oleh source ecoder dapat saja berubah jika melalui oisy chael. Ide dari chael codig adalah utuk medeteksi kesalaha tersebut dega cara me-ekode lagi pesa yag aka dikirimka dega cara meambahka usur redudasi/usur ekstra sehigga kesalaha tersebut dapat dideteksi atau bahka dikoreksi. Utuk megilustrasika chael ecodig, misalka ditambahka satu bit data redudasi pada cotoh sebelumya sebagai berikut. 00 = = = 110 Misalka pula pesa apel yag dikodeka sebagai 000 (setelah dilakuka source da chael ecodig) dikirimka melalui salura yag tergaggu (oise) memiliki kesalaha satu bit, sehigga pesa yag diterima dapat berubah mejadi 001, 010, atau 100. Dalam kasus ii, kesalaha dapat dideteksi karea tidak ada satupu dari 001, 010, da 100 yag merupaka pesa awal. Utuk cotoh di atas, kesalaha pesa dapat dideteksi dega kompesasi kecepata trasfer, karea utuk megirim pesa berukura dua bit, perlu ditrasmisika kata kode berukura tiga bit. Walaupu kesalaha pada pesa dapat dideteksi, mesi

32 4 peerima tidak dapat memperbaiki kesalaha tersebut, karea jika yag diterima adalah 100. Ada kemugkia kata kode tersebut berasal dari 000, 110, atau 101. Namu, dega ditambahka lagi usur redudasi, kesalaha tersebut dapat dikoreksi. Sebagai cotoh, dapat didesai skema kodig sebagai berikut. 00 = = = = Utuk dapat membadigka dega cotoh sebelumya, misalka pesa apel aka dikirimka melalui siyal tergaggu da haya terjadi satu bit kesalaha. Dega demikia, pesa yag diterima adalah salah satu dari lima kemugkia berikut: 10000, 01000, 00100, 00010, atau Misalka yag sampai adalah 10000, mesi peerima aka dapat megambil kesimpula bahwa pesa tersebut berasal dari 0000, karea kesalaha yag terjadi haya satu bit, sehigga tidak mugki pesa tersebut berasal dari 01111, 10110, da Namu, dega skema seperti ii, lebih bayak waktu yag terbuag. Secara umum, tujua dari teori kodig adalah utuk megostruksi suatu kode (ekoder da dekoder) sehigga 1. dapat meg-ekode suatu pesa dega cepat, 2. dapat metrasmisi pesa yag sudah di-ekode dega mudah, 3. dapat me-dekode suatu pesa yag diterima dega cepat, 4. dapat memaksimumka iformasi yag ditrasfer per satua waktu, da 5. dapat secara maksimal dalam medeteksi da megoreksi kesalaha. 1.2 Tujua Peelitia Berdasarka latar belakag yag dipaparka di atas, maka tujua dari peelitia ii adalah: 1. Megkaji teorema yag terkait dega kostruksi kode liear, terutama Gilbert-Vashamov boud. 2. Meyusu algoritme-algoritme utuk megotruksi kode liear bier.

33 5 3. Megimplemetasika algoritme-algoritme tersebut dalam suatu bahasa pemograma da megujicobaka utuk kode liear dega jarak miimum 9 da 11. Dari tujua-tujua tersebut, peelitia ii diharapka dapat memberika suatu hal yag baru dalam teori kodig, yaitu memperbaiki batas bawah dari Tabel Brouwer.

34 .

35 2 TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ii diberika defiisi da teorema dalam aljabar liear maupu dalam teori kodig yag meladasi peelitia yag dilakuka. 2.1 Defiisi Dasar dalam Aljabar da Teori Kodig Berikut adalah defiisi da teorema dasar dalam aljabar yag meladasi teori kodig Defiisi: Ruag Vektor Misalka F q merupaka lapaga higga dega order q. Himpua tak kosog V (dega pejumlaha vektor da perkalia skalar oleh eleme F q ) merupaka ruag vektor dari F q jika utuk semua u, v V da utuk semua λ, μ Fq, berlaku: i. u+ v V ii. ( u+ v) + w= u+ ( v+ w) iii. usur 0 V dimaa 0 + v= v= v+ 0, v V iv., dimaa ( ) 0 ( ) u V u V u+ u = = u + u v. u+ v= v+ u vi. λ v V vii. ( ) λ u+ v = λ u+ λ v viii. ( λμ) u = λ ( μ u) ix. Jika 1 merupaka usur idetitas utuk perkalia di F q, maka 1 u = u (Lig & Xig, 2004) Defiisi: Pejumlaha Vektor da Perkalia Skalar di Misalka didefiisika ruag vektor F q F q atas F q, { ( 1, 2, 3,, ); }. Misalka pula ( 1, 2,, ) F = u u = u u u u u F q i q (,,, ) 1 2 q yaitu: V = v v v F, W = w w w F, da λ Fq. Maka pejumlaha vektor di q F q

36 8 didefiisika sebagai ( ) U + W = v1+ w1, v2 + w2,, v + w Fq, sedagka perkalia skalar didefiisika sebagai λ ( λ, λ,, λ ) Defiisi: Subruag (Subspace) v = v v v F. 1 2 q (Lig & Xig, 2004) Suatu himpua tak kosog C dari ruag vektor V merupaka subruag (ruag bagia) dari V jika C merupaka ruag vektor da memiliki sifat pejumlaha vektor da perkalia vektor yag sama dega V Proposisi 1 (Lig & Xig, 2004) Suatu himpua tak kosog C yag merupaka himpua bagia dari ruag vektor V atas F q merupaka subruag jika da haya jika utuk xy, C& λ, μ F, berlaku λx + μy C Defiisi: Kombiasi Liear q (Lig & Xig, 2004) Misalka V merupaka ruag vektor atas F q, λi Fq sembarag, maka λ1u1+ λ2u2+ + λrur merupaka kombiasi liear dari u1, u2,, ur V. (Lig & Xig, 2004) Defiisi: Bebas Liear Misalka V merupaka ruag vektor atas { v v v } 1 2 F q, himpua vektor,,, k dalam V dikataka salig bebas liear jika λ1v1+ λ2v2+ + λrvr = 0 megakibatka λ 1 = λ 2 = = λ r = 0, da tak bebas liear jika ada λi 0 yag megakibatka λ1v1+ λ2v2+ + λrvr = Defiisi: Retag Liear Misalka V merupaka ruag vektor atas q (Lig & Xig, 2004) F da S = { v v v },,, k merupaka himpua tak kosog dari V. Retag liear dari S didefiisika 1 2

37 9 sebagai S = { λ1v1+ λ2v2 + + λkvk; λi Fq} S = { 0} Defiisi: Basis. Jika S =, didefiisika (Lig & Xig, 2004) Misalka V merupaka ruag vektor atas F q. Himpua tak kosog { } B = v1, v2,, vk dari V dikataka basis utuk V jika V = B da B bebas liear. = 1, 2,, k basis utuk V, maka sembarag vektor v V Misalka B { v v v } dapat diyataka sebagai kombiasi liear dari vektor B secara uik Teorema 1 Misalka V merupaka ruag vektor atas F q. Jika dim ( V) i. V memiliki k q eleme. k 1 k i ii. V memiliki ( q q ) 1 basis yag berbeda. k! i= Defiisi: Hasil Kali Skalar Misalka (,,, ), (,,, ) V = v v v F W = w w w F 1 2 q 1 2 q skalar (dot product/hasil kali euclidia) dari q = k, maka: (Lig & Xig, 2004). Hasil kali V da W didefiisika sebagai V W = vw + v w + + v w F. Hasil kali skalar merupaka salah satu cotoh dari hasil kali dalam pada F g. Hasil kali dalam pada F q didefiisika sebagai pasaga terurut, : Fq Fq Fqyag memeuhi : uv, F q, berlaku i. u+ u, w = u, w + v, w. ii. uv, + w = uw, + vw,. iii. uv, = 0 utuk semua iv. uv, = 0 utuk semua u F q jhj v = 0. v F q jhj u = 0. (Lig & Xig, 2004)

38 Defiisi: Kompleme Orthogoal Misalka (,,, ), (,,, ) V = v v v F W = w w w F. i. Vektor V da V W = q 1 2 q W dikataka salig tegak lurus (orthogoal) jika ii. Misalka S merupaka himpua bagia dari F q. Kompleme orthogoal dari S, yaitu S didefiisika sebagai { q 0, } S = v F v s = s S. Jika S =, didefiisika S = F q. Jika S merupaka subruag dari ruag vektor F q, maka S Teorema 2 merupaka subruag dari ruag vektor F q da S = S. (Lig & Xig, 2004) dim Diberika ruag vektor ( ) dim ( ) S + S =. F q. Misalka S himpua bagia dari F q, maka (Lig & Xig, 2004) Defiisi: Kode Liear Misalka diberika lapaga higga F q. Misalka pula F q merupaka himpua dari vektor-vektor atas F q dega pajag. Kode liear C didefiisika sebagai ruag bagia dari ruag vektor pajag da dimesi k serig diamaka [, ] F q. Kode liear C dega q ary k code (kode liear dega parameter [ k, ]). Jika jarak miimum d dari C diketahui, C dapat disebut kode liear dega parameter [ kd,, ]. Atau biasa disebut kode liear- [ kd,, ]. Utuk selajutya, jika parameter dari suatu kode tidak ditekaka, cukup disebutka bahwa C adalah suatu kode liear. Aggota dari C disebut dega kata kode. (Lig & Xig, 2004)

39 Defiisi: Kode dual da dimesi dari suatu kode Misalka C merupaka kode liear, maka i. Kode dual (dual code) dari C adalah C, yag merupaka ii Teorema 3 kompleme othogoal dari C. Dimesi dari kode liear C sama dega dimesi C dalam sudut padag subruag vektor atas F q, yaitu dim( C ). Diberika ruag vektor da dimesi k di F q, maka: (Lig & Xig, 2004) F q. Misalka C adalah kode liear dega pajag i. Bayakya usur di C = dim( C ) C q dim( C) logq C = =. ii. C juga merupaka suatu kode liear da dim( C) + dim( C ) =. iii. ( C ) = C Defiisi: Self-orthogoal da Self-Dual Misalka C adalah kode liear. i. C dikataka self- orthogoal jika C C. (Lig & Xig, 2004) ii. C dikakata self-dual jika C= C. (Lig & Xig, 2004) Proposisi 2 Misalka C adalah kode liear dega pajag. i. Jika C merupaka kode yag self-orthogoal, maka dim( ) ii. Jika C merupaka kode yag self-dual, maka dim( ) C =. 2 C. 2 (Lig & Xig, 2004)

40 Defiisi: Jarak Hammig (Hammig distace) Diberika ruag vektor adalah aggota dari F q F q ( x, y F q ) atas lapaga F q. Misalka pula x da y diotasika dega d( x, y ), didefiisika sebagai berikut. (, ) (, ) (, )... (, ) d x y = d x y + d x y + d x y, dega Jarak Hammig atara x da y yag (, y ) d x i i 1 = 0 x x i i = y y i i. (Lig & Xig, 2004) Defiisi: Jarak miimum suatu kode (Miimum distace of a code) Misalka C adalah kode liear yag memiliki kata kode lebih dari satu. Jarak miimum utuk C, yag diotasika d( C ), didefiisika sebagai ( ) ( ) { } d C = mi d x, y x, y C, x y Defiisi: Bobot Hammig (Hammig weight) Diberika ruag vektor (Lig & Xig, 2004) F q. Misalka pula x F q. Bobot Hammig (Hammig Distace), yag diotasika wt() x didefiisika sebagai jumlah koordiat/usur yag tak ol: ( ) d( x,0) wt x = dega 0 adalah vektor ol atau dapat pula didefisika sebagai berikut. 1 jika x 0 wt( x) = d( x,0) =. 0 jika x = 0 (Lig & Xig, 2004) Lema 1. Diberika ruag vektor F q. Misalka x, y F q, maka dxy (, ) = wtx ( y). (Lig & Xig, 2004)

41 Lema 2 Misalka diberika bilaga prima q sembarag. Misalka pula F q suatu ruag vektor atas F q. Utuk sembarag x, y F q, berlaku wt ( x) + wt ( y) wt ( x + y) wt ( x) wt ( y) Defiisi: Bobot Miimal Hammig (Lig & Xig, 2004) Diberika kode liear C. Miimum Hammig weight (bobot miimal Hammig) dari C, diotasika wt ( C ), didefiisika sebagai bobot terkecil dari kata kode tak ol dari C. (Lig & Xig, 2004) Teorema 4 Misalka C adalah suatu kode liear, maka d( C) wt( C) Defiisi: Operasi Baris Dasar =. (Lig & Xig, 2004) Diberika lapaga higga F q. Misalka A adalah matriks dega elemeeleme di F q, yaitu A = ( a ), a F. Matriks A dikataka dikeaka operasi ij ij q baris dasar (elemetary row operatio) jika Mempertukarka baris ke-i da ke- j. Megalika baris ke-i dega suatu kostata k 0. Meambahka baris ke-i dega k kali baris ke- j Defiisi: Ekivale baris (Lig & Xig, 2004) Misalka A1 da A 2 adalah suatu matriks sembarag. Matriks A 1 dikataka ekivale baris (row equivalet) terhadap A 2 jika A 1 bisa diperoleh dari sekumpula operasi baris dasar dari matriks A 2. (Lig & Xig, 2004)

42 Defiisi: Matriks Geerator da Matriks Cek Paritas Diberika kode liear C. ii. i. G dikataka matriks geerator bagi kode liear C jika barisbarisya merupaka basis utuk C. H dikataka matriks cek paritas bagi kode liear C jika H merupaka matriks geerator bagi kode dual C Defiisi: Betuk stadar dari H da G (Lig & Xig, 2004) Diberika kode liear C. Misalka H da G, secara berturut-turut adalah matriks cek paritas da matriks geerator utuk kode liear C. i. Betuk stadar utuk matriks geerator G adalah ( ) I = Matriks idetitas berukura k k. k I X, dega ii. Betuk stadar utuk matriks cek paritas H adalah ( Y I k), Teorema 5 dega I Matriks idetitas berukura ( k) ( k) k =. k (Lig & Xig, 2004) Diberika kode liear C. Misalka H adalah suatu matriks cek paritas bagi kode liear C, maka i. d( C ) (jarak miimum dari C ) dari H salig bebas liear. ii. d( C ) (jarak miimum dari C ) d jika da haya jika d 1 kolom d jika da haya jika d kolom dari H salig bergatug liear. (Lig & Xig, 2004) Teorema 6 Diberika kode liear C. Jika G ( I X) = adalah betuk stadar dari matriks geerator utuk suatu kode C dega parameter [ k, ], maka matriks cek Τ paritas utuk kode C adalah H ( X I k) =. k (Lig & Xig, 2004)

43 Defiisi: Ekivalesi dari Kode Liear Misalka diberika sembarag kode liear C 1 da C 2. C 1 da C2 dikataka ekivale jika salah satuya dapat diperoleh dari kode yag lai dega cara megkombiasika operasi-operasi sebagai berikut. i. Mempermutasika digit-digit yag ada di kata kode tersebut. ii Teorema 7 Megalika posisi tertetu dega skalar. (Lig & Xig, 2004) Misalka C adalah suatu kode liear dega matriks geerator G. Kode C aka ekivale dega kode liear betuk stadar. 2.2 Ekodig Kode Liear C ' dega matriks geerator yag sudah dalam (Lig & Xig, 2004) Misalka C adalah suatu kode liear-[ kd,, ], da G adalah matriks geerator utuk C. Misalka pula (,,..., ) v = ug = u1g1+ u2g ukgk, karea u = u u u F. Jika didefiisika 1 2 v F q k k q, maka v merupaka salah satu kata kode di C. Proses membuat u mejadi v diamaka dega proses ekodig Defiisi: Koset (Lig & Xig, 2004) Misalka C adalah suatu kode liear dega pajag. Misalka pula u F q merupaka suatu vektor sembarag dega pajag. Koset C yag ditetuka oleh u didefiisika sebagai C u u C { v u v C} Teorema 8 + = + = +. (Lig & Xig, 2004) Diberika ruag vektor parameter [ kd,, ], maka: F q. Misalka C adalah suatu liear kode dega i. Semua vektor dari F q ada di dalam koset C.

44 16 ii. Utuk semua u F q, k C+ u = C = q. iii. Utuk semua uv, F q, jika u C+ v, maka C+ u = C+ v. iv. v. Ada Dua koset dikataka idetik jika irisaya merupaka himpua kosog. k q koset yag berbeda utuk C. vi. Utuk semua uv, F q, u v C jika da haya jika u da v ada dalam koset yag sama. (Lig & Xig, 2004) Defiisi: Coset Leader Diberika kode liear C. Suatu kata kode dalam C yag memiliki bobot (Hammig) terkecil, dikataka sebagai coset leader. 2.3 Dekodig Tetagga Terdekat (Lig & Xig, 2004) Diberika kode liear C. Misalka kata kode v dikirim da diterima sebagai kode w. Misalka didefiisika vektor galat e= w v. Dari defiisi koset, diperoleh e= w v w+ C atau w e= v C. Karea w e C, maka vektor galat e da kode w yag diterima berada dalam koset yag sama. Karea vektor galat dega bobot terkecil memiliki peluag terbesar utuk terjadi, maka ketika dekoder meerima kata kode w, dekoder memilih vektor galat e (dalam koset w+ C) dega bobot terkecil da meyimpulka kode yag dikirim adalah v= w e Defiisi: Sidrom Misalka C adalah suatu kode liear [ kd,, ] paritas utuk C. Utuk sembarag (Lig & Xig, 2004) da H adalah matriks cek w F q, sidrom dari w didefiisika sebagai ( ) T k S w = wh F. q (Lig & Xig, 2004)

45 Teorema 9 Misalka C adalah kode liear [ kd,, ], maka kode C dapat memperbaiki galat/error sebayak d 1 2. (Lig & Xig, 2004) 2.4 Dekodig Sidrom Dekodig sidrome merupaka perbaika dari dekodig tetagga terdekat. Ide dasar dari dekodig ii adalah utuk meghemat memori yag diguaka Teorema 10 Misalka C adalah kode liear [ kd,, ] utuk C. Utuk sembarag uv, F q, berlaku i. S( u+ v) = S( u) + S( v). da H adalah matriks cek paritas ii. S( u ) = 0 jika da haya jika u adalah kata kode dalam C. iii. S( u) s( v) sama. = jika da haya jika u da v ada dalam koset yag (Lig & Xig, 2004) Dari Teorema 10, dapat diambil kesimpula bahwa suatu koset dapat didefiisika oleh sidromya, da semua kata kode yag berada dalam suatu koset meghasilka sidrom yag sama, atau dapat dikataka sidrom dari suatu koset sama dega sidrom dari aggotaya. Dega kata lai, ada korespodesi satu-satu atara koset da sidromya. (Lig & Xig, 2004) 2.5 Dasar-dasar Kostruksi Kode Apabila suatu kode telah berhasil dikostruksi, maka kode dega parameter yag berbeda dapat pula dikostruksi, berikut adalah beberapa cara utuk medapatka kode lai tersebut.

46 Addig a overall parity check/extedig a code (Peambaha pada matriks cek paritas) Misalka C adalah suatu kode liear bier dega parameter [ kd,, ] dega beberapa kata kodeya berbobot gajil. Dari kode tersebut aka dibetuk kode baru Ĉ dega meambahka bit "0" di akhir kata kode yag berbobot geap, da bit "1" di akhir kata kode yag berbobot gajil. Dega peambaha ii, jarak tiap pasag kata kode mejadi geap. Jika jarak miimum kode C gajil, maka kode yag baru memiliki jarak miimum d + 1, sehigga Ĉ memiliki parameter [ + 1, k, d + 1]. Secara umum, proses peambaha simbol pada matriks cek paritas disebut sebagai exedig a code (memperluas suatu kode). (MacWilliams & Sloae,1981) Pucturig a code by deletig coordiates (Pemotoga kode dega cara meghapus koordiat tertetu) Misalka C adalah suatu kode liear. Proses pemotoga kode (pucturig) merupaka ivers/kebalika dari proses memperluas kode (extedig a code). Proses ii meghapus satu atau lebih koordiat dari setiap kata kode. Ketika suatu koordiat dihapus, pajag da jarak miimum dari kode aka berkurag satu (amu, pada kasus tertetu, ada kalaya jarak miimum tetap). yag baru Dega kata lai, jika kode awal C memiliki parameter [ kd,, ], kode * C memiliki parameter [ 1, k, d 1]. (MacWilliams & Sloae,1981) Expurgatig by thowig away codewords (Peghapusa dega cara meghilagka beberapa kata kode) Misalka kode liear bier C memiliki parameter [ kd,, ] da memiliki kata kode dega bobot gajil da geap. Kata kode dega bobot gajil dapat dihapus utuk medapatka kode baru dega parameter [ k, 1, d' ]. Pada umumya d' > d. (MacWilliams & Sloae,1981)

47 Augmetig by addig ew codeword (Memperbesar suatu kode dega cara meambahka kata kode baru) Salah satu cara utuk memperbesar suatu kode adalah dega cara meambahka satu baris vektor 1 pada matriks geerator. Jika C adalah suatu kode dega parameter [ kd,, ] da tidak memiliki a kata kode 1 (vektor satu), kode yag telah diperbesar berbetuk C = C 1+ C ( a) ( ) ( ) ( C megadug/memiliki kata kode dari kode C beserta komplemeya), sehigga da ( a) C memiliki parameter d ' = bobot terbesar dari kata kode di C. ( a ) k, + 1, d, dega ( a d ) mi { d, d' } =, (MacWilliams & Sloae,1981) Legtheig by addig message symbols (Memperpajag suatu kode dega meambahka simbol pesa) Utuk memperpajag suatu kode liear C, dapat dilakuka dega cara meambahka kata kode baru, yaitu vektor 1 (augmetig a code). Setelah itu, dilajutka dega memperluas (extedig) kode sebayak satu bit. Proses ii aka meambah satu simbol pesa Shorteig a code (Memperpedek kode) (MacWilliams & Sloae,1981) Memperpedek kode merupaka ivers/kebalika dari proses memperpajag suatu kode (legth a code). Utuk memperpedek suatu kode, diambil kata kode yag dimulai dega x 1 = 0 (simbol pertama = 0). Selajutya koordiat dari x 1 dihapus. Proses seperti ii disebut megambil cross-sectio dari suatu kode (takig a cross-sectio of the code). (MacWilliams & Sloae,1981)

48 .

49 3 HASIL DAN PEMBAHASAN 3.1 Formulasi Masalah Sejauh ii telah diperkealka bahwa terdapat tiga parameter yag terkait dega kostruksi suatu kode, yaitu pajag, dimesi, da jarak miimum. Jika C adalah kode liear bier yag mempuyai pajag, berdimesi k, da berjarak miimum d, maka C dikataka baik jika kecil, k besar da d besar. Maka fisikya, harus kecil terkait dega kecepata proses ekodig da dekodig, da juga terkait dega besarya memori yag diguaka dalam proses itu. Semetara itu k harus besar terkait dega bayakya pesa yag dapat diubah mejadi kata kode, sedagka d harus besar terkait dega bayakya galat yag dapat dikoreksi. Misalka diberika sembarag dua parameter, yaitu da k. Permasalahaya, apakah ada suatu kode [ kd,, ] utuk ilai d yag sebesarbesarya? Pertayaa tersebut megarah pada pedefiisia fugsi (, ) max { kode [,, ] ada} D k = d k d. Dalam hal ii, suatu kode C dega parameter [ kd,, ] disebut optimal D (optimal jarak miimum), jika C ada (telah berhasil dikostruksi) da tidak ada kode dega parameter [ kd+,, 1] (telah pula dibuktika). Batas bawah l da batas atas u dari fugsi D(, k ) diartika sebagai berikut. Misalya D(, k ) terletak di atara l da u ( l D(, k) u), artiya telah berhasil dikostruksi kode dega parameter [ kd,, l] da telah berhasil pula dibuktika bahwa tidak ada kode dega parameter [ kd,, u] [ kd,, ] dega l < d u merupaka masalah terbuka (ope problem). >, sedagka ada atau tidakya kode dega parameter Utuk memperbaiki satu lagkah batas bawah dari fugsi D(, k ), perlu dikostruksi kode dega parameter [ kl+,, 1], sedagka utuk perbaika satu lagkah batas atas dari fugsi D(, k ) sama dega membuktika bahwa tidak ada kode dega parameter [ ku,, ]. Iformasi terkii utuk batas fugsi

50 22 D(, k ) dapat dilihat di dalam Tabel Brouwer da bisa diakses secara o-lie pada alamat (cuplika dari Tabel Brouwer dapat dilihat pada Lampira 1). Jika berhasil diperbaiki satu saja batas (bawah atau atas) dari Tabel Brouwer, berarti telah berhasil "dipecahka satu rekor duia". Secara aalog (ekivale), utuk optimalisasi dimesi (optimal-k) dapat didefiisika fugsi K(, k ) atau fugsi (, ) N k utuk optimalisasi pajag kode (optimal-n), da sekaligus memformulasika masalahya. K(, d) : max { k kode [, k, d] ada} N( k, d) : = mi { kode [, k, d] ada}. =. Berdasarka formulasi umum problem di atas, pada peelitia ii aka didefiisika kode optimal kuat (strogly optimal codes) beserta formula kostruksiya berladaska teorema-teorema yag telah didefiisika pada tijaua pustaka. Kode liear C dega parameter [ kd,, ] disebut kode optimal kuat jika kode liear-[ kd,, ] ada da telah berhasil dibuktika bahwa kode liear-[ + 1, k+ 1, d] tidak ada, sedagka suatu kode disebut optimal- D jika kode liear-[ kd,, ] ada da telah berhasil dibuktika bahwa kode liear- [ kd+,, 1] tidak ada. Jika kode liear-[ kd,, ] ada da telah berhasil dibuktika bahwa kode liear-[ 1, k, d] tidak ada, maka kode tersebut disebut optimal- N. Selajutya, jika kode liear-[ kd,, ] ada da telah berhasil dibuktika bahwa kode liear-[ k, + 1, d] tidak ada, maka kode tersebut disebut optimal- K. Berdasarka dasar-dasar kostruksi kode, dalam peelitia ii juga diaalisis hubuga atara kode yag memiliki sifat optimal-d, optimal-k, optimal-n, da optimal kuat. Kostruksi kode yag dilakuka dalam peelitia ii dilakuka atas dasar teori kostruksi lagsug (direct costructios). Ide dasarya adalah sebagai berikut. Jika suatu kode memeuhi pertaksamaa Gilber-Varshamov, maka kode tersebut dapat diperluas [Brouwer, 1997]. Dalam peelitia ii, kostruksi kode dibatasi haya utuk jarak miimum d = 9 da d = 11. Selai itu, kode yag aka dikostruksi haya utuk kode liear

51 23 bier, yaitu kode yag ada dalam ruag vektor F 2. Pemiliha kasus cukup utuk d gajil, hal ii didasarka pada salah satu sifat kode liear yag diyataka sebagai berikut Teorema 11 Jika kode dega parameter [ kd,, ] ada utuk d gajil, maka dapat dikostruksi kode dega parameter [ 1, k, d 1] berbobot geap. Bukti: + + da setiap aggotaya Misalka telah dikostruksi kode liear dega parameter [ kd,, ], dega d gajil. Dega melakuka peambaha pada matriks cek paritas (dasar kostruksi kode yag pertama) aka diperoleh kode dega parameter [ 1, k, d 1] Aalisis Teori Diberika kode liear C dega parameter [ k, ]. Misalka H merupaka matriks cek paritas utuk C. Dari defiisi matriks cek paritas, T { q 0} = =, atau dega kata lai, C ker ( H) C x F Hx =. Hal ii karea barisbaris dari matriks H merupaka basis utuk C, kompleme orthogoal bagi C. Karea kode liear C merupaka kerel dari matriks cek paritasya, maka megostruksi suatu kode liear C sama dega megostruksi matriks cek paritasya Teorema 12 Diberika kode liear C dega pajag. Jika H adalah matriks cek paritas utuk C, maka kode tersebut mempuyai dimesi ( r) jika da haya jika ada r kolom dari H yag bebas liear tetapi tidak ada r + 1 kolom dari H yag bebas liear ( r adalah rak dari H ). Bukti:

52 24 Diberika kode liear C dega pajag. Didefiisika r = -k. Misalka H adalah matriks cek paritas bagi kode liear C. Misalka pula G adalah matriks geerator bagi kode liear C. r jika da haya jika Kode liear C memiliki pagkat ( ) rak ( G) = ( k ). [Karea G adalah basis, da bayakya baris di G meujukka dimesi suatu kode]. Karea G da H salig orthogoal, maka rak H = r. rak ( G) ( r) = jika da haya jika ( ) Teorema 13 Diberika kode liear C dega pajag. Jika H adalah matriks cek paritas utuk C, maka kode tersebut mempuyai jarak miimum d jika da haya jika setiap d 1 kolom dari H yag bebas liear da ada d kolom dari H yag tidak bebas liear. Bukti: Diberika kode liear C dega pajag. Misalka H adalah matriks cek paritas bagi kode liear C. Kode liear C berbobot miimum d jika da haya jika kedua butir berikut terpeuhi T T i. Ada vektor v F2 dega wt ( v) = d sehigga Hv = 0. T T T T ii. Hw 0 utuk setiap w F2 < d. (Jika Hw = 0, maka w C. Kotradiksi dega fakta bahwa wt ( w) < d ). Di sisi lai, kedua butir di atas (i da ii) dapat terjadi jika da haya jika ada dega wt ( w) d kolom dari H yag tidak bebas liear da setiap d 1 kolom dari H bebas liear Teorema 14: The Sigleto Boud Diberika kode liear C. Jika C adalah kode dega parameter [ kd,, ] maka ( k) ( d 1. )

53 25 Bukti: Misalka diberika kode liear C dega parameter [ kd,, ], maka kode liear C memiliki matriks cek paritas H berukura ( ) rak ( H ) ( k ). k, sehigga Dari Teorema 13, matriks H memiliki d 1 kolom yag bebas liear, sehigga rak ( H ) = ( d 1), dega kata lai ( d 1) ( k) Teorema 15: The Gilbert-Varshamov Boud Diberika kode liear C dega parameter [ kd,, ]. Jika ketaksamaa k < 2 berlaku, maka dapat dikostruksi kode dega 1 2 d 2 parameter [ 1, k 1, d] Bukti: + +. Misalka diberika kode liear yag memiliki parameter [ kd,, ]. Berdasarka Teorema 5, ada matriks cek paritas berordo ( ) ( ) H = c c c yag setiap d vektor dari { } k, yaitu c1, c2,..., c adalah bebas k liear dalam ruag vektor F 2. Jika ada vektor x F k 2 yag buka i kombiasi liear dari vektor-vektor kolom H, utuk i = 1, 2,..., d 2, maka ( ) H' = c c c x adalah matriks cek paritas utuk kode liear yag 1 2 memiliki parameter [ 1, k 1, d] da setiap 1 k vektor F Hal ii karea ' d vektor dari { c, c,...,, } 1 2 H berorde ( k) ( k+ 1) c x adalah bebas liear dalam ruag Jika bayakya kombiasi liear yag mugki dari kolom-kolom sehigga tidak ada d 1 kolom yag bergatug liear lebih besar atau sama k dega jumlah vektor tak ol dalam F 2, maka utuk kode liear dega parameter [ 1, k 1, d] H ' H ' buka matriks cek paritas + +. Bayakya vektor-vektor tak-

54 26 k ol dalam F 2 yag mugki dipilih utuk x adalah 2 k 1, sedagka bayakya kombiasi liear yag mugki dari kolom-kolom 1 2 d 2 H ' adalah Dega demikia, jika ada kode liear C dega parameter [ kd,, ] da pertaksamaa k < 2 berlaku, maka dapat 1 2 d 2 dikostruksi kode baru dega parameter [ 1, k 1, d] + + berdasarka kode liear C tersebut Lema 3 Misalka C adalah suatu kode liear dega pajag, maka jumlah usur satu pada setiap kata kode di posisi ke-i sama dega ol atau setegah dari jumlah kata kode yag ada di C. Bukti: Misalka X adalah himpua kata kode yag memiliki usur ol pada koordiat ke-i da Y adalah himpua kata kode yag memiliki usur satu pada koordiat ke-i, maka C = X Y. Jika Y =, maka C= X, sehigga tidak ada kata kode yag memiliki usur satu pada posisi ke-i. Namu demikia, jika Y, ambil c Y sembarag, karea c+ Y X, maka Y X. Selajutya, karea c+ X Y, maka X Y. Oleh karea itu, dapat diambil kesimpula bahwa Y = X Proposisi 1 i. Jika ada kode liear dega parameter [ kd,, ], maka ada kode liear dega parameter [ 1, k, d 1], di di maamaa d > 1. ii. Jika ada kode liear dega parameter [ kd,, ], maka ada kode liear dega parameter [ 1, k, d] +.

55 27 iii. Jika ada kode liear dega parameter [ kd,, ], maka ada kode liear dega parameter [ k, 1, d], di maa k > 1. iv. Jika ada kode liear dega parameter [ kd,, ], maka ada kode Bukti: liear dega parameter [ 1, k 1, d], di maa k > 1. i. Misalka C adalah kode liear dega parameter [ kd,, ] dega d > 1. Karea C memiliki jarak miimal d, maka ada kata kode c C dimaa wt ( c) = wt ( C) = d. Misalka kata kode c memiliki usur satu pada koordiat ke-i. Dega meghapus usur ke-i pada semua kata kode dalam C, aka diperoleh kode liear pajag ( 1) da c berubah mejadi c '. Karea wt ( c ) maka wt ( C ') = d 1. Utuk meujukka dim ( C' ) dim ( C' ) C ' dega ' = d 1, = k, misalka < k, maka ada x, y C, sehigga x + c= y di maa wt ( c ) = 1. Kotradiksi dega 1 d >. Haruslah dim ( C' ) = k. Dega demikia, C ' memiliki parameter [ 1, k, d 1]. ii. Misalka G k adalah matriks geerator utuk kode liear C dega parameter [ kd,, ]. Tambahka vektor ol pada kolom terakhir G sehigga membetuk matriks G ' yag berukura k ( + 1). Karea yag ditambahka adalah vektor ol, maka bayakya kombiasi liear dari baris-barisya tidak aka berubah, sehigga jarak miimumya tidak berubah. Dega kata lai, telah diperoleh kode liear dega parameter [ 1, k, d] +. iii. Misalka C adalah kode liear dega parameter [ kd,, ] dega k > 1. Karea C memiliki jarak miimal d, maka ada kata kode c C di maa wt ( c) = wt ( C) = d. Misalka G k adalah matriks geerator utuk C da c ada di salah satu baris dari G. Misalka

56 28 pula baris ke- r dari G yag tidak sama dega c dihapus sehigga membetuk kode baru, yaitu C ' dega matriks geerator Karea baris-baris di G salig bebas liear, maka semua baris di juga salig bebas liear, sehigga ( C ) G '. G ' dim ' = k 1. Karea wt ( C) = wt ( c) = d da kata kode c tetap ada di C ', maka wt ( C ') [ k, 1, d] = d, sehigga kode liear C ' memiliki parameter. iv. Misalka C adalah kode liear dega parameter [ kd,, ] dega k > 1. Karea C memiliki jarak miimal d, maka ada kata kode c C di maa wt ( c) = wt ( C) = d. Misalka G da H adalah matriks geerator da matriks cek paritas utuk C. Misalka pula kata kode c memiliki usur ol pada koordiat ke-i. Ada dua kasus yag mugki terjadi, kasus pertama adalah semua kata kode di C memiliki usur ol pada koordiat ke-i, sedagka kasus kedua tidak semua kata kode memiliki usur ol pada koordiat ke-i. Jika kasus pertama yag terjadi, maka koordiat ke-i pada semua kata kode dapat dihapus sehigga meghasilka kode dega parameter [ 1, k, d] (Proposisi 1 butir i), selajutya dega meghapus satu baris dari matriks geerator utuk kode dega parameter [ 1, k, d] tersebut, aka diperoleh kode dega parameter [ 1, k 1, d] (Proposisi 1 butir ii). Seadaiya kasus kedua yag terjadi, yaitu ada beberapa kata kode yag memiliki usur satu pada koordiat ke-i, maka berdasarka Lema 3, setegah dari kata kode yag ada di C memiliki usur satu pada koordiat ke-i. Dega meghapus koordiat ke-i pada setiap kata kode yag ada di C, aka diperoleh kode C ' yag meiliki pajag ( 1). Misalka kata kode c berubah mejadi c ', karea yag dihapus pada koordiat kei adalah usur ol, maka wt ( c' ) = d, sehigga wt ( C ') = d.

57 29 Selajutya dega meghapus satu baris dari matriks geerator utuk kode dega parameter [ 1, k, d] kode dega parameter [ 1, k 1, d] tersebut, aka diperoleh (Proposisi 1 butir ii) Proposisi 2 Diberika kode liear C dega parameter [ kd,, ]. i. Jika C optimal kuat, maka C optimal- K. ii. Jika C optimal- N, maka C optimal- D. iii. Jika C optimal- K, maka belum tetu C optimal kuat. iv. Jika C optimal- D, maka belum tetu C optimal- N. v. Jika C optimal- D, maka belum tetu C optimal- K. vi. Jika C optimal- D, maka belum tetu C optimal kuat. vii. Jika C optimal- N, maka belum tetu C optimal kuat. Bukti: i. Adaika C tidak optimal- K, maka ada kode liear C ' dega parameter [ k, 1, d] +. Karea ada kode C ' ada, maka dari Proposisi 1 bagia ii, aka ada kode liear dega parameter [ 1, k 1, d] Hal ii kotradiksi dega fakta bahwa kode C optimal kuat ii. Adaika C tidak optimal- D, maka ada kode liear C ' dega parameter [ kd+,, 1]. Karea kode C ' ada, maka dari Proposisi 1 bagia i, aka ada kode liear dega parameter [ 1, k, d]. Hal ii kotradiksi dega fakta bahwa kode C optimal-n. iii. Dari Tabel Brouwer, ada kode dega parameter [ 13,9,3 ] da tidak ada kode dega parameter [ 13,10,3 ]. Tetapi kode dega parameter [ 14,10,3 ] ada.

58 30 iv. Dari Tabel Brouwer, ada kode dega parameter [ 14,7,4 ] da tidak ada kode dega parameter [ 14,7,5 ]. Tetapi kode dega parameter [ 13,7,4 ] ada. v. Dari Tabel Brouwer, ada kode dega parameter [ 15,4,8 ] da tidak ada kode dega parameter [ 15,3,9 ]. Tetapi kode dega parameter [ 15,4,8 ] ada. vi. Dari Tabel Brouwer, ada kode dega parameter [ 17,8,6 ] da tidak ada kode dega parameter [ 17,8,9 ]. Tetapi kode dega parameter [ 18,9,6 ] ada. vii. Dari Tabel Brouwer, ada kode dega parameter [ 15,4,8 ] da tidak ada kode dega parameter [ 14,4,8 ]. Tetapi kode dega parameter [ 16,5,8 ] ada. 3.3 Metode Komputasi Dalam peelitia ii, software yag diguaka utuk megostruksi kode optimal kuat adalah MAPLE. Dari aalisis teori, dituruka algoritme-algoritme utuk megostruksi kode optimal kuat. Dalam subbab-subbab berikut ii, dibahas algoritme kostruksi da deskripsi program kostruksi Ide dasar kostruksi kode Utuk megkostruksi suatu kode, sama saja artiya dega megostruksi matriks cek paritas H. Berladaska teorema-teorema yag telah disebutka di ladasa teori, cukup dikostruksi betuk stadar dari H, yaitu H ( B T Ir ) =. Berdasarka pertimbaga efisiesi komputasi, cukup dikostruksi matriks B berukura k r. Setelah mempelajari teorema-teorema sebelumya, terutama teorema Gilbert-Varshamov, dapat dibuat teorema baru yag berkaita dega kostruksi kode liear bier, yaitu:

59 31 berikut. maka Teorema 16 Jika matriks B berukura k r dikostruksi berdasarka sifat sebagai 1. Semua vektor baris dari B berbeda, da 2. Jumlah setiap i vektor baris dari B berbobot palig sedikit ( d i) i = 2,3,..., s di maa s mi{ d 1, k} =, da ( d 1) T ( ) = da G= ( I B) H B I r k r, utuk secara berturut-turut merupaka matriks cek paritas da matriks geerator utuk kode liear C dega parameter [ k r, k, d] +. Bukti: Misalka telah dikostruksi matriks B berukura k r sebagaimaa disyaratka teorema. Aka ditujukka bahwa H t ( B I r ) cek paritas utuk kode liear C dega parameter [ k r, k, d] = merupaka matriks +. Karea H berukura r ( k+ r), maka C memiliki pajag k + r. Karea jumlah baris matriks B sama dega k, maka kode liear C berdimesi k. Selajutya, aka ditujukka bahwa kode liear C memiliki jarak miimum kurag dari atau sama dega d. Adaika ada v C dega wt ( v) < d da dituliska v= ( vm, vc) di maa v m merupaka vektor pesa dega wt ( vm ) da = i da c v adalah vektor cek dega wt ( v ) ( ) c c = j, maka berlaku i+ j< d j< d i wt v < d i (1) T v m Hv = 0 ( B I) 0 Bv Iv 0 Bv v T = + = = vc Karea wt ( vm ) T T T T T T T T T T T r m r c m c T T ( m ). (2) = i, da berdasarka pada syarat 2 dari kostruksi B, maka wt B v d i. (3)

60 32 Dari persamaa 2, diperoleh bahwa B T v T = v T, sehigga persamaa 3 ekivale dega wt ( vc ) d i. Hal ii kotradiksi dega persamaa 1. Sehigga dapat disimpulka bahwa kode liear C memiliki jarak miimum Dari Teorema 16, utuk megostruksi kode liear C-[ k r, k, d] m c d. +, sama artiya dega megostruksi matriks B yag berukura k r yag semua baris dari B berbeda da jumlah setiap i vektor baris dari B berbobot palig sedikit ( d i), utuk i 1, 2,3,..., s =, dega s= mi{ d 1, k}, da ( d ) 1 r. Misalka diberika matriks B utuk kode C dega parameter [ kd,, ], G= I B adalah matriks geerator utuk C. Aka dicari vektor k r dega [ ] x F yag bisa ditambahka ke matriks B sehigga diperoleh kode r 2 [ 1, k 1, d] + +. Utuk memilih vektor x, pertama-tama dipilih salah satu baris dari matriks B. Misalka pula bayakya usur satu dari baris tersebut sama dega v, da bayakya usur ol sama dega r v. Dari Teorema 16, salah satu syarat suatu vektor dapat ditambahka adalah memiliki bobot palig sedikit sebesar d 1, sehigga dipilih vektor memiliki ( v i) yag memiliki ( j i) x= x x dega x 1 merupaka vektor bier yag 1 v 21 ( r v) usur satu dega i = 0,1, 2,..., v da x 2 merupaka vektor bier usur satu dega j = d 2, d 1,... r yag memeuhi ketaksamaa v+ j 2i d 1 (karea bobot dari x sama dega bayakya usur satu dalam x, yaitu sama dega ( v i) ( j i) +, atau v j 2i). Pemiliha vektor dega cara di atas dilakuka utuk megefisiesika r komputasi yag dilakuka, sehigga tidak semua vektor aggota F 2 diuji berdasarka Teorema 16. Setelah diperoleh vektor x, lagkah selajutya adalah meguji apakah vektor x dapat ditambahka ke matriks B dega meguji bobot vektor wt x b d i sedemikia sehigga ( ) 1 + i, dega i x + b b adalah aggota dari semua i

61 33 kombiasi i vektor baris di B utuk i 1, 2,..., s =, da s mi{ d 1, k} =. Apabila x lulus uji, maka diperoleh satu vektor yag dapat ditambahka ke matriks B. Jika semua lagkah utuk memperoleh satu vektor diulagi sampai tidak r ada vektor aggota F 2 yag bisa ditambahka ke matriks B, maka aka diperoleh himpua satu vektor yag dapat ditambahka ke matriks B. Misalka L 1 adalah himpua satu vektor yag dapat ditambahka ke matriks B. Dari L 1, dapat dicari pasaga dua vektor yag dapat ditambahka ke matriks B sehigga diperoleh kode liear dega parameter [ 2, k 2, d] + +. Caraya adalah dega mejumlahka setiap kemugkia dua vektor yag berbeda yag ada di L 1. Misalka hasil pejumlahaya adalah vektor y. Apabila bobot y lebih besar dari ( d 2), proses dilajutka dega meguji bobot vektor ( y+ b i ) sedemikia sehigga ( i ) 2 wt y + b d i, dega b i adalah aggota dari semua kombiasi i vektor baris di B utuk i = 1, 2,..., s, da { } s= mi d 1, k. Apabila vektor y tersebut lulus uji, maka diperoleh dua vektor yag dapat ditambahka ke matriks B. Jika semua lagkah utuk memperoleh dua vektor diulagi sampai tidak ada pasaga dua vektor aggota L 1 yag bisa ditambahka ke matriks B, maka aka diperoleh himpua dari kumpula dua vektor yag dapat ditambahka ke matriks B. Secara serupa, utuk memperoleh pasaga m + 1 vektor yag bisa ditambahka ke matriks B, dapat dicari dari himpua dari kumpula m vektor yag bisa ditambahka ke matriks B. Misalka L m adalah himpua dari r kumpula m vektor aggota F 2 yag dapat ditambahka ke matriks B. Dari L m, dapat dicari ( m + 1) vektor yag bisa ditambahka ke matriks B dega cara mecari dua aggota L m yag jika digabug memiliki m + 1 vektor yag berbeda. Misalka dua kumpula m vektor tersebut adalah y 1 da y 2. Selajutya dilakuka pegujia sebagai berikut.

62 34 1. Meguji apakah kedua vektor aggota ( y y ) ( y y ) ditambahka ke matriks B. dapat Meguji apakah kedua vektor aggota ( y y ) ( y y ) yag jika ditambahka dega setiap i vektor dalam ( y y ) bisa ditambahka ke matriks B., i = 1, 2,... m Utuk meguji j vektor bisa ditambahka ke matriks B, caraya adalah dega mejumlahka j vektor tersebut, misalka hasil pejumlahaya adalah vektor y. Apabila bobot y lebih besar dari ( d j) meguji bobot vektor ( y+ b i ) sedemikia sehigga ( i ) i, proses dilajutka dega wt y + b d j i, dega b adalah aggota dari semua kombiasi i vektor baris di B utuk i = 1, 2,..., s, da s mi{ d 1, k} =. Apabila vektor y tersebut lulus uji, maka diperoleh m + 1 vektor yag dapat ditambahka ke matriks B. Misalka r L m adalah himpua dari kumpula m vektor aggota F 2 yag dapat ditambahka ke matriks B. Utuk mecari pasaga ( m + 1) vektor yag bisa ditambahka ke matriks B, dapat diilustrasika pula dega megguaka r teori graf, yaitu dega memisalka vektor xi F2 sebagai suatu verteks. Jika ada j verteks yag membetuk graf legkap, maka j vektor yag berkaita dega verteks tersebut dapat ditambahka ke matriks B. Dega demikia, utuk memperoleh pasaga ( m + 1) vektor yag bisa ditambahka ke matriks B, dipilih graf legkap (complete graph) yag terdiri atas ( m + 1) verteks. Dari pejabara di atas, proses ekstesi kode [ kd,, ] tersebut dilakuka tahap demi tahap. Hal tersebut dilakuka sampai diperoleh suatu kode C dega parameter [ ', ', '] k d yag sudah tidak bisa diperluas lagi. Jika telah dibuktika bahwa kode dega parameter [ ' 1, k' 1, d] + + tidak ada, maka C merupaka kode optimal kuat yag telah berhasil dikostruksi. Aka tetapi, ketika diperoleh iformasi bahwa ada kode dega parameter[ ' + 1, k' + 1, d], berarti kode optimal kuat tersebut telah gagal dikostrusi. Dalam hal ii, harus dilakuka rekostruksi

63 35 ulag dega strategi memilih kode dasar yag lai yag berpeluag besar dapat diperluas mejadi kode optimal kuat C Struktur data himpua Utuk membagu metode kostruksi yag efisie, perlu didefiiiska struktur data yag baru, yag merepresetasika ruag vektor F 2, yaitu himpua kuasa atas A { 0,1, 2,..., 1} =. Utuk itu, perlu didefiisika korespodesi satusatu atara suatu vektor di Misalka diberika x F2 dega x { 0,1} i dega atura/cara sebagai berikut. F q dega suatu himpua bilaga bulat tak egatif. sembarag, katakalah x ( x0, x1, x2,..., x 1) =,, maka x aka direpresetasika dalam betuk himpua - Defiisika A = { Z, }, dega { } Z =, - Jika x i = 1, maka Z = Z i, i = 0,1, 2,..., 1. Maka, x aka sama dega A (dalam represetasi himpua). Sebagai cotoh: - x = ( 0,0,0,0 ) A= {{ }, 4}. - x ( 1, 0,1,1, 0) A {{ 0, 2, 3 }, 5} = =. Selajutya, operasi pejumlah dalam represetasi himpua didefiisika sebagai operasi xor/selisih simetri, yag aka dilambagka dega. Sebagai cotoh, misalka A 1 = {{ 1, 3, 5 }, 6}, da A 2 = {{ 0,3, 4 },6}, maka A1+ A2 = {{ 0,1, 4,5 }, 6 }, atau dalam represetasi vektor bier, ( 0,1,0,1,0,1) + ( 1,0,0,1,1,0) = ( 1,1,0,0,1). Aka ditujukka bahwa dega struktur data yag baru tersebut, ruag vektor bier dega operasi pejumlaha yag direpresetasika dega himpua bilaga bulat dega operasi xor juga merupaka grup. Dega kata lai, perlu ditujukka - bersifat asosiatif, - ada usur idetitas (I), - setiap aggotaya puya iverse, ( A F2 )( A' F2 ) A A' = I. sehigga

64 36 Aka dibuktika bersifat asosiatif. Misalka diberika 3 vektor bier (dalam represetasi himpua) dega pajag sembarag, yaitu A 1, A 2, A 3, A = a, a,..., a,, a {0,1, 2,... 1} da k 1. Aka dega j {{ 0 1 k} } i ditujukka ( A A ) A = A ( A A ) Ambil sembarag usur pada A 1, misalka yag diambil adalah digit ke- l. Selajutya, ambil usur pada A 2 da A 3 di uruta digit yag sama. Misalka usurya adalah x, y, da z. Dega megguaka tabel kebeara, dapat dilihat bahwa utuk sembarag usur di A 1, A 2, da A 3 (pada koordiat yag sama), bersifat asosiatif. Tabel 1. Tabel kebeara utuk sifat asosiatif pada operasi xor (5) (7) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) x y z ( x y) ( x y) z ( y z) x ( y z) Utuk meujukka adaya usur idetitas da adaya ivers, misalka diberika vektor bier (dalam represetasi himpua) dega pajag sembarag, yaitu A {{ a0, a1,..., ak}, } I {{ }, } cotoh, {{ 0, 2,3 }, 4 } {{ },4} {{ 0, 2,3 }, 4} =, dega a {0,1, 2,... 1} da k 1. = merupaka utuk idetitas, karea I A= A I = A. Sebagai A' sehigga i =. Selajutya aka ditujukka ada A A' = I, karea A A= I, maka pilih A' setiap usur di F 2 memiliki ivers, yaitu diriya sediri. = A. Oleh karea itu, Selajutya suatu matriks bier juga aka direpresetasika sebagai list/daftar dari sejumlah himpua bilaga bulat tak egatif. Misalka diberika matriks bier sembarag. karea suatu matriks dapat diaggap sebagai kumpula vektor-vektor kolom atau sebagai kumpula dari vektor-vektor baris, maka ada dua cara utuk medefiisika matriks dalam represetasi himpua, yaitu

65 37 sebagai represetasi matriks baris jika matriks tersebut diaggap sebagai kumpula vektor-vektor baris atau sebagai represetasi matriks kolom jika matriks tersebut diaggap sebagai kumpula vektor-vektor kolom. Apabila suatu matriks diaggap sebagai represetasi matriks kolom, maka iformasi tetag bayakya baris diletakka sebelum list vektor-vektor, sebalikya jika suatu matriks diaggap sebagai represetasi matriks baris, maka iformasi tetag bayakya kolom diletakka setelah list dari vektor-vektor. Sebagai cotoh, misalka diberika matriks M = M dapat diaggap sebagai represetasi matriks baris, yaitu 1 {{ 0,3 },{ 1, 2,3}{ 0,1, 2 },3} L = atau sebagai represetasi matriks kolom, yaitu 2 { 4, { 0,2 },{ 1,2 },{ 1,2 },{ 0,1} } L =. Dega didefiisikaya struktur data yag baru tersebut, maka perlu disusu suatu program utuk melakuka perhituga aritmatik aljabar matriks Algoritme Kostruksi Pada bab-bab ii, aka dideskripsika algoritme-algoritme yag diperluka utuk megotruksi suatu kode liear bier Algoritme tetag fugsi aritmetik aljabar matriks Karea struktur data yag diguaka adalah struktur data khusus, maka perlu didefiisika terlebih dahulu program-program tetag aritmatik aljabar matriks dalam represetasi himpua, sebagai berikut.

66 38 1. Meghitug pejumlaha dua vektor. Algoritme: Misalka diberika vektor x da y, jumlah atara vektor x da y dapat dihitug dega mecari selisih simetrik atara kedua himpua tersebut. 2. Megubah tampila dari matriks kolom ke betuk matriks baris (atau sebalikya). Algoritme: Misalka diberika matriks B berukura m (dalam represetasi kolom). Utuk megubah tampila mejadi matriks baris, dapat dilakuka dega cara sebagai berikut. 1. Utuk setiap himpua vektor-vektor kolom yag ada di dalam list, periksa apakah ada bilaga i, i = 0, 1, 2,, m Jika ada, simpa ideks (uruta himpua dalam list), yag dimulai dari ol, ke dalam himpua baru, katakalah himpua s i. 3. Aka diperoleh diperoleh m himpua vektor baris. Utuk megubah tampila dari matriks baris ke matriks kolom, dapat dilakuka dega cara yag serupa. 3. Meetuka traspose dari suatu matriks. Algoritme: Misalka diberika matriks B dalam represetasi kolom. Utuk meetuka traspose dari matriks B, tampila matriks B diubah mejadi represetasi matriks baris. Selajutya, iformasi tetag bayakya kolom dipidahka ke bagia depa list (bayakya kolom mejadi bayakya baris).

67 39 4. Meukar baris ke-i da ke- j. Algoritme: Misalka diberika matriks B dega ukura m dalam represetasi kolom. Misalka yag aka ditukar adalah baris ke-i da ke-j, dega ideksya dimulai dari 0 sampai dega m-1. Utuk meukar, dilihat semua himpua yag ada di dalam list, apabila ada himpua yag megadug usur i da j atau tidak megadug kedua usur tersebut, maka himpua tersebut dibiarka (tidak berubah). Namu apabila himpua tersebut megadug usur i saja, maka usur tersebut digati dega usur j. Begitu pula sebalikya. 5. Meambahka baris ke- j dega baris ke-i di baris ke-j. Algoritme: Misalka diberika matriks B dega ukura m dalam represetasi kolom. Misalka misalka baris ke-i aka ditambahka ke dalam baris i. dega ideksya dimulai dari 0 sampai dega m-1. Utuk semua himpua dalam list, apabila di dalam himpua tersebut terkadug usur i da j, maka usur j dihapus. Apabila haya ada usur j, atau tidak megadug kedua usur tersebut, maka himpua tersebut dibiarka (tidak berubah). Namu, apabila haya megadug usur i, maka usur j ditambahka pada himpua tersebut. 6. Meetuka betuk kaoik dari suatu matriks. Algoritme: Misalka diberika matriks A dega ukura m. Aka dicari betuk kaoik dari matriks A. Dilakuka OBD (meukar baris, meambahka suatu baris dega baris yag lai, da megalika suatu baris dega skalar) pada matriks A sehigga aak matriks persegi m m di bagia kiri matriks merupaka matriks idetitas.

68 40 7. Mejumlahka dua matriks. Algoritme: Misalka diberika matriks A da matriks B (dalam represetasi yag sama, misalka represetasi baris). Utuk mejumlahka dua matriks, dij Jumlahka vektor-vektor dari A da vektor-vektor dari B (dalam posisi yag sama). 8. Meetuka hasil kali skalar (dot product) dari dua vektor. Algoritme: Misalka diberika vektor x da y. dot product dari x da y dapat dihitug dega meghitug bayakya usur dari irisa atara himpua x da y, yag selajutya dimoduloka dega bilaga Megalika matriks A berukura m dega matriks B berukura p (A da B dalam represetasi kolom). Algoritme: Misalka diberika matriks A da B. Lagkah-lagkah utuk megalika kedua matriks tersebut adalah: 1. Megubah format matriks A ke dalam represetasi matriks baris. 2. Utuk setiap vektor yag ada pada matriks A, dilakuka hasil kali skalar dega vektor-vektor matriks B. Selajutya, disimpa ideksya pada himpua baru, misalka s. 3. Setelah diperoleh sebayak p himpua s, dikumpulka jadi satu ke dalam suatu list. 10. Meambahka satu baris vektor v ke matriks B di posisi/baris terakhir. (B dalam represetasi baris). Algoritme: Misalka diberika matriks B da vektor v. utuk meambahka v ke dalam baris terakhir matriks B, ditambahka himpua vektor v pada list dari vektor-vektor baris B di posisi terakhir.

69 Meghapus baris ke-i pada matriks B. (B dalam represetasi kolom). Algoritme: Misalka diberika matriks B. Utuk meghapus baris ke-i, dihapus agka i- 1 pada list dari vektor-vektor kolom B Algoritme tetag pelacaka kode liear bier Setelah dibagu program-program dasar utuk proses aritmatik aljabarya, selajutya aka dikostruksi program pelacaka kode liear bier. Berikut diberika deskripsi sigkat tetag program-program tersebut. 1. Megubah matriks geerator yag sudah dalam betuk stadar mejadi matriks cek paritas (dalam represetasi matriks kolom). Algoritme: Diberika kode liear dega matriks geerator. Maka, matriks cek paritas utuk kode liear adalah. 2. Megkodig suatu pesa p mejadi vektor kata kode c megguaka matriks geerator G, G dalam betuk umum. Algoritme: Diberika matriks geerator da vektor pesa. Kata kode utuk vektor pesa dapat diperoleh dega cara megalika vektor dega matriks. 3. Megkodig suatu vektor pesa p mejadi kata kode c megguaka matriks B, di maa G [ I B] = merupaka matriks geerator. k Algoritme: Diberika matriks da vektor pesa. Kata kode utuk vektor pesa dapat diperoleh dega cara meghitug vektor, kemudia disusu vektor.

70 42 4. Meetuka jarak Hammig dari dua vektor. Algoritme: Misalka diberika dua vektor x da y. Utuk meetuka jarak Hammig atara vektor x da y, ditambahka x da y (dega operasi ). Misalka hasilya adalah vektor z. Selajutya, jarak atara vektor x da y adalah bayakya usur dari vektor z. deg kata lai, bayakya usur 1 di vektor z. 5. Meetuka bobot tak-ol dari suatu kode berdasaka matriks geeratorya. Algoritme: Utuk meetuka bobot tak ol dari suatu kode berdasarka matriks geeratorya, perlu dicari semua kata kode yag ada dalam kode tersebut dega cara meghitug, dega adalah dimesi dari kode tersebut. Selajutya dihitug bobot Hammig (atau jarak Hammig) dari setiap dua vektor yag berbeda. 6. Meetuka list dari semua kombiasi j vektor dari matriks B (represetasi baris), dega j 1, 2,3,..., t =, da t mi { k, d 1} =. Algoritme: List dari semua kombiasi j vektor dari matriks B dapat diperoleh dega cara: 1. Meyimpa list 1 vektor (list awal dari matriks B) 2. Utuk memperoleh list dari semua kombiasi 2 vektor, dijumlahka setiap dua vektor yag berbeda dalam list 1 vektor. Hasilya digabugka dega hasil poi Dega cara yag serupa, utuk memperoleh list dari semua kombiasi j vektor, di jumlahka setiap j vektor yag berbeda dalam list 1 vektor. Selajutya, gabugka hasilya dalam list yag sebelumya.

71 43 k 7. Melacak/mecari satu vektor baris dalam F yag bisa ditambahka ke x 2 matriks B berdasarka teorema Gilbert-Vashamov. Algoritme: Misalka diberika vektor, selajutya diuji bobot vektor sedemikia sehigga, dega adalah aggota dari semua kombiasi vektor baris di utuk, da. Apabila lulus uji, maka diperoleh satu vektor yag dapat ditambahka ke matriks. k 8. Meghimpu semua vektor-vektor baris aggota F yag bisa ditambahka ke matriks B. Algoritme: Misalka diberika matriks B yag merepresetasia kode liear bier 2 dega parameter. Utuk meghimpu semua vektor-vektor baris yag bisa ditambahka ke matriks B, perlu di cek semua vektor di dalam, apakah bisa ditambahka atau tidak. Namu, utuk meghemat waktu komputasi, cukup dipilih vektor, dega merupaka vektor bier yag memiliki usur satu dega da merupaka vektor bier yag memiliki yag memeuhi ketaksamaa usur satu dega, dega v adalah bayakya usur satu dari baris pertama pada matriks B.

72 44 9. Meguji apakah dua vektor x da y bisa ditambahka ke matriks B berdasarka teorema Gilbert-Varshamov. Algoritme: Misalka adalah himpua satu vektor yag dapat ditambahka ke matriks. Dari, dapat dicari pasaga dua vektor yag dapat ditambahka ke matriks. Caraya adalah dega mejumlahka setiap kemugkia dua vektor yag berbeda yag ada di. Misalka hasil pejumlahaya adalah vektor. Apabila bobot lebih besar dari, proses dilajutka dega meguji bobot vektor sedemikia sehigga, dega adalah aggota dari semua kombiasi vektor baris di utuk, da. Apabila vektor tersebut lulus uji, maka diperoleh dua vektor yag dapat ditambahka ke matriks. 10. Meghimpu semua pasaga vektor-vektor x da y yag bisa ditambahka ke B. Algoritme: Misalka matriks adalah himpua satu vektor yag dapat ditambahka ke. Utuk mecari semua pasaga 2 vektor yag bisa ditambahka ke matriks B, perlu dicek semua 2 vektor yag berbeda.

73 Meguji apakah m+1 vektor bisa ditambahka ke matriks B Algoritme: Misalka adalah himpua dari kumpula vektor aggota yag dapat ditambahka ke matriks. Dari, dapat dicari vektor yag bisa ditambahka ke matriks dega cara mecari dua aggota yag jika digabug memiliki vektor yag berbeda. Misalka dua kumpula vektor tersebut adalah da. Selajutya dilakuka pegujia sebagai berikut. 1. Meguji apakah kedua vektor aggota dapat ditambahka ke matriks. 2. Meguji apakah kedua vektor aggota yag jika ditambahka dega setiap vektor dalam, bisa ditambahka ke matriks. Utuk meguji j vektor bisa ditambahka ke matriks B, caraya adalah dega mejumlahka j vektor tersebut, misalka hasil pejumlahaya adalah vektor. Apabila bobot lebih besar dari, proses dilajutka dega meguji bobot vektor sedemikia sehigga, dega adalah aggota dari semua kombiasi vektor baris di utuk, da. Apabila vektor tersebut lulus uji, maka diperoleh vektor yag dapat ditambahka ke matriks.