Soal Uian 2 Persamaan Differensial Parsial M. Jamhuri April 15, 2013
1 Buktikan bahwa ux,t) = πˆ 1 x e θ2 dθ merupakan solusi persamaan difusi u t = u xx untuk setiap x R,t > 0. Untuk x 0 tunukkan bahwa { lim ux,t) = 1, x > 0 t 0 + 0, x < 0 Jawaban: misalkan φθ) = e θ2, maka t ux, t) = 1 πˆ x t xt 1 2 2 ux, t) = 1 πˆ x θ e θ dθ = 1 πˆ x = xt 3 2 4 [e θ2] θ t = x 4t t φθ) dθ ˆ x 2x dθ = 4t θe θ2 dθ πt 2x ux, t) = t 4t πt x 2 = xe 4t 4t πt [ ] 1 2 x 2 e θ 1)
Next x ux, t) = 1 πˆ x θ [e θ2] θ x dθ = 1 πˆ x 2θe θ2 1 ) 2 dθ t Dari 1) dan 2) maka x ux, t) = 1 πtˆ x θe θ2 dθ = 1 πt [ 1 2 e θ2] x x2 e 4t = 2 πt 2 x 2 ux, t) = e 4t x2 x 2 πt = 1 2 2x x 2 ) πt 4t e 4t x 2 = xe 4t 4t πt u t u xx = 0. 2)
2 Buktikan prinsip perbandingan bagi persamaan difusi: ika u dan v masing-masing adalah solusi persamaan difusi pada domain Ω = {x,t) 0 < x < L,t > 0}, dan ika u v untuk t = 0, x = 0,x = L, maka tunukkan bahwa u v pada Ω = Ω Ω Jawaban: Definisikan w x, t) = v x, t) ux, t), Definisikan uga {x, t) : t = 0 atau x = 0 atau x = l} dan D {x, t) : t > 0, x 0, l)} Maka dengan menggunakan informasi yang diberikan pada soal Dari prinsip maksimum diperoleh sup w x, t) 0. x,t) sup w x, t) 0. x,t) D Maka ux, t) v x, t) untuk 0 x l, t > 0
L 3 1 Bagaimanakah besaran energy E t) = 0 2 u2 dx berubah terhadap waktu ika ux,t) memenuhi u t = u xx, 0 < x < L, t > 0 u x 0, t) = u0, t), u x L,t) = ul, t) Jawaban: Perubahan energi diatas terhadap waktu adalah ˆ de L ) 1 = dt t 0 2 u2 dx = 1 ˆ L 2 0 t u2 dx = 1 ˆ L u tu + uu t) dx 2 0 ˆ L = uu tdx 0 ˆ de L dt = uu xxdx 0
Misalkan dan v = u dv = u xdx dw = u xxdx ˆ w = u xxdx Now = u x ˆ ˆ L L uu xxdx = uu x L 0 u 2 x dx 0 0 ˆ L = [ul, t) u x L, t) u0, t) u x 0, t)] u 2 x dx 0 karena u x 0, t) = u0, t) dan u x L, t) = ul, t) = 0, maka dan sehingga ul, t) u x L, t) = ul, t) ul, t) u0, t) u x 0, t) = u0, t) u0, t) ˆ de dt = [ul, t)]2 [u0, t)] 2 u 2 x dx Karena ruas kanan dari persamaan diatas de ), maka perubahan energi terhadap dt waktu selalu turun.
4 Bahas kestabilan metoda BTCS implisit) bagi persamaan u t = u xx. Jawaban: Metode BTCS untuk persamaan difusi di atas adalah u n t = un+1 +1 2un+1 + 1 x 2 substitusi u n = ρ n e ia pada persamaan diatas diperoleh ρ n+1 e ia ρ n e ia = t x 2 ρ n+1 e ia+1) 2ρ n+1 e ia + ρ n+1 e ia 1)) bagi kedua sisi persamaan diatas dengan ρ n e ia diperoleh ρ 1 = S ρe ia 2ρ + ρe ia), S = t x 2 ρ 1 = S e ia 2 + e ia) ρ ρ 1 = S 2 cos a 2)ρ ρ 2S cos a 1)ρ = 1 [1 2S cos a 1)]ρ = 1 ρ = = 1 1 2S cos a 1) 1 1 + 2S 1 cos a)
Karena 0 1 cosa 2, maka 1 + 2S 1 cos a) 1 dan 1 1 + 2S 1 cos a) 1, S sehingga metode BTCS untuk persamaan difusi diatas stabil tanpa syarat.
5 Bahas kekonsistenan persamaan beda u n 1 = 2S u +1 n bagi persamaan difusi u t = ku xx. Jawaban: Dengan menggunakan deret taylor ) ) + u n 1 + u 1 n, S = k t x 2 u n±1 = u n ± t u t n + 1 2 t2 u tt n ± 1 6 t3 u ttt n + 1 24 t4 u tttt n ± u n ±1 = u n ± x u x n + 1 2 x2 u xx n ± 1 6 x3 u xxx n + 1 24 x4 u xxxx n ± maka u n 1 = 2 t u t n + 2 6 t3 u ttt n + + u n 1 = 2u n + 2 2 t2 u tt n + 2 24 t4 u tttt n + u n +1 + un 1 = 2u n + 2 2 x2 u xx n + 2 24 x4 u xxxx n + dan [ ] [ u n +1 + un 1 ] + u n 1 = [ x 2 u xx n + 1 ] x4 u xxxx n + [ t 2 u tt n + 1 ] t4 u tttt n +
Jika deret Taylor diatas kita substitusikan pada persamaan beda-nya diperoleh 2 t ut n + 1 t 3 uttt n ) + = 2k t [ 6 x 2 x 2 uxx n + 1 x 4 uxxxx n ) + t 2 utt n + 1 t 4 utttt n )] + t ut n ut n ut n + 1 t 3 uttt n + = 6 + 1 t 2 uttt n + = 6 + 1 t 2 uttt n 6 k t x 2 x 2 + = k uxx n k ut n k uxx n ) Perhatikan bahwa ut = kuxx, maka + [ x 2 uxx n + 1 x 4 uxxxx n ) + t 2 utt n + 1 t 4 utttt n )] + [ x 2 uxx n + 1 x 4 uxxxx n ) + t 2 utt n + 1 t 4 utttt n )] + + 1 x 2 uxxxx n ) + k t2 x 2 u tt n k x2 utt = ) u = k 2 u t t t x 2 = k 2 ) u x 2 t uxxxx n = k 2 x 2 t2 x 2 u tt n + 1 t 4 x 2 u tttt n + + 1 t 2 uttt n + = 0 3) 6 k 2 u x 2 = k 2 4 u x 4 = k2 uxxxx dan k t 2 x 2 u tt n k x2 uxxxx n = = k 3 t 2 x 2 uxxxx n k x2 uxxxx n k3 t 2 x 2 k x 2 uxxxx n k 2 1 ) uxxxx n
6 Tentukan solusinya dengan metoda separasi variabel: { u t = ku xx, 0 < x < L,t > 0 u x 0,t) = 0, ul, t) = 0 selanutnya tentukan lim t ux,t), dan interpretasikan hasilnya. Jawaban: Misalkan ux, t) = X x) T t), substitusi pada persamaan difusi diatas menghasilkan XT T kt = kx T = X X = λ Persamaan diatas dapat dituliskan secara terpisah sebagai dengan syarat batas dan X + λx = 0 4) X 0) = 0, dan X L) = 0 T + λkt = 0 5)
Solusi umum untuk ODE 4) dan 5) diatas adalah X x) = A cosβx + B sinβx dengan λ = β 2. dan dt dt ˆ 1 T dt = λkt ˆ = λk dt log T = λk [t + C 1] log T = λkt λkc 1 log T = λkt + C 2 explog T) = exp λkt + C 2) T t) = Ce λkt Now, syarat batas pada x = 0, memberikan X x) = Aβ sinβx + Bβ cosβx Aβ sin 0 + Bβ cos 0 = 0 Bβ = 0 kita tidak ingin β = 0, maka B = 0, sehingga X x) = A cosβx
Syarat batas pada x = L, memberikan dan A cosβl = 0 cos βl = 0 βl = arccos 0 βl = n + 1 ) π, n = 0, 1, 2,... 2 n + 1 β = 2) π L ) n + 1 2 2 π 2 λ n = L 2 [ ] n + 1 X n x) = cos 2) πx, T n t) = C ne n+ 1 ) 2π 2 kt 2 L 2 L solusi untuk u adalah u n x, t) = C ne n+ 1 2π 2 kt [ ] 2) n + 1 L 2 cos 2) πx L
Karena kombinasi linier dari sulosi persamaan difusi uga solusi, maka ux, t) = C ne n+ 2 1 ) 2π 2 kt [ n + 1 L 2 cos 2) πx L n=0 [ ] lim ux, t) = n + 1 C n 0 cos 2) πx = 0 t L n=0 Bayangkan penyebaran tinta pada suatu daerah 0 x L), Karena ada tinta yang keluar dari daerah lewat x = L yang direpresentasikan oleh ul, t) = 0, maka konsentrasi tinta pada waktu yang sangat lama ) akan sama dengan nol. ]
7 Penerapan metode BTCS implisit) dengan x = 1 pada { u t = ku xx, 0 < x < 5, t > 0 u x 0, t) = 0, u5,t) = d akan menghasilkan sistem persamaan linier berbentuk Au = b Tentukan matriks A dan vektor b. Cermati ukuran A dan b. Jawaban: Metode BTCS untuk persamaan difusi diatas adalah u n t [ = k u n = S +1 2un+1 + 1 [ +1 2un+1 + 1 ] ], S = k t S 1 + 1 + 2S) un+1 S +1 = un 6)
untuk 0 < x < 5, dan sehingga 6) dapat ditulis ulang sebagai 1 = 0 = 1 S + 1 + 2S) S +1 = u n dan permasalahan diatas dapat digambarkan sebagai berikut: 2S S +1 = u n 7) n = 1 : d n = 0 : 0 0 0 0 0 d = 0 = 1 = 2 = 3 = 4 = 5 n 0 0 2Su0 1 Su1 1 = u 0 1 0 2Su 1 Su1 2 = u 0 1 2 0 2Su 1 2 Su1 3 = u 0 2 3 0 2Su 1 3 Su1 4 = u 0 3 4 0 2Su4 1 Su1 5 = u4 0 Matriks A-nya adalah 2S S 0 0 0 u 1 0 0 2S S 0 0 0 0 2S S 0 u 1 A = 0 0 0 2S S u 1 2 0 0 0 0 2S u 1 = 3 0 0 0 0 0 u 1 4 u 0 0 u 0 1 u 0 2 u 0 3 u 0 4 + d