NOISE TERMS PADA SOLUSI DERET DEKOMPOSISI ADOMIAN DALAM MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL ABSTRACT

Transkripsi

1 NOISE TERMS PADA SOLUSI DERET DEKOMPOSISI ADOMIAN DALAM MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL Heni Kusnani 1, Leli Deswita, Zulkarnain 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru 893, Indonesia kusnanih@gmail.com ABSTRACT This article discusses the solution of nonhomogeneous linear partial differential equations of first order and homogeneous nonlinear partial differential equations of second order using Adomian decomposition method. The obtained solution is of the form series. In the series solution of nonhomogeneous linear partial differential equations of the first order appears noise terms phenomenon, which is the same terms but with opposite sign, so that the solution obtained is a finite series. Keywords: Partial differential equation, Adomian decomposition method, noise terms. ABSTRAK Artikel ini membahas tentang penyelesaian persamaan diferensial parsial linear nonhomogen orde satu dan persamaan diferensial parsial nonlinear homogen orde dua dengan menggunakan metode dekomposisi Adomian yang menghasilkan solusi dalam bentuk deret. Solusi deret yang dihasilkan persamaan diferensial parsial linear nonhomogen orde satu muncul fenomena noise terms, yaitu suku-suku yang sama tetapi dengan tanda berlawanan, sehingga solusi yang didapat merupakan deret berhingga. Kata kunci: Persamaan diferensial parsial, metode dekomposisi Adomian, noise terms. 1. PENDAHULUAN Persoalan matematika yang sering dijumpai adalah menyelesaikan persamaan diferensial parsial. Metode yang digunakan dalam menyelesaikan persamaan diferensial parsial salah satunya adalah metode dekomposisi Adomian[5, h. 19]. Solusi yang dihasilkan dari metode dekomposisi Adomian berupa deret tak hingga ux,y = u n x,y. 1 JOM FMIPA Volume No. 1 Februari

2 Ada kalanya suku-suku yang dihasilkan pada perhitungan menggunakan metode dekomposisi Adomian menghasilkan suku-suku yang saling membatalkan. Fenomena ini disebut noise terms. Pada artikel ini, di bagian dua dibahas mengenai penyelesaian persamaan diferensial parsial nonlinear homogen orde dua menggunakan metode dekomposisi Adomian merupakan review dari artikel G. Adomian and R. Rach[1] yang berjudul Equality of Partial Solution in The Decomposition Method for Linear or Nonlinear Partial Differential Equation. Kemudian dengan metode yang sama ditentukan solusi persamaan diferensial parsial linear nonhomogen orde satu yang merupakan review artikel G. Adomian and R. Rach[] dengan judul Noise Terms in Decomposition Solution Series. Kemudian dilanjutkan di bagian tiga contoh perhitungan untuk melihat fenomena noise terms pada solusi deret persamaan diferensial parsial.. METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL Pada bagian ini akan diselesaikan persamaan diferensial parsial nonlinear homogen orde dua menggunakan metode dekomposisi Adomian. Kemudian dengan metode yang sama diselesaikan persamaan diferensial parsial linear nonhomogen orde satu. Dalam menyelesaikan persamaan persamaan diferensial parsial linear nonhomogen orde satu dengan metode dekomposisi Adomian, solusi deret yang diperoleh mengandung noise terms, yaitu suku yang serupa dengan tanda berlawanan. Akan tetapi noise terms tidak ada pada solusi deret persamaan diferensial parsial nonlinear homogen orde dua dan persamaan diferensial parsial linear homogen orde satu..1 Persamaan Diferensial Parsial Nonlinear Homogen Orde Dua Perhatikan persamaan diferensial parsial nonlinear homogen orde dua berikut u+ u+nu = 0, x y dengan N u adalah komponen nonlinear. Syarat awal dari persamaan adalah ua 1,y = α 1 y,ua,y = α y, dan ux,b 1 = β 1 x, ux,b = β x. Untuk penyederhanaan notasi persamaan definisikan [1] dan invers dari 3 dan 4 berturut-turut adalah L 1 xxψ = L 1 yyψ = L xx = x, 3 L yy = y, 4 x x 0 0 y y 0 0 ψ dx dx, ψ dy dy. JOM FMIPA Volume No. 1 Februari

3 Persamaan dapat dituliskan menjadi L xx u = L yy u Nu, 5 dan xx di kedua ruas persamaan 5, diperoleh u = Φ x L 1 xxl yy u L 1 xxnu, 6 dimana Φ x = ξ 0 y + x ξ 1 y. Dalam menyelesaikan persamaan 6, metode dekomposisi Adomian memisalkan u = u n dan Nu = A n, sehingga diperoleh u n = Φ x L 1 xxl yy u n L 1 xx A n. 7 Aproksimasi solusi menggunakan m suku deret persamaan 7 adalah ϕ m = m 1 u n. 8 Selanjutnya Φ x diuraikan menjadi Φ x,m = ξ 0,m y+x ξ 1,m y, dimana ξ 0,m y dan x ξ 1,m y ditentukan dari syarat awal persamaan menggunakan solusi hampiran persamaan 8. Definisikan u 0 = Φ x,0. Selanjutnya dengan menggunakan pola rekursif pada persamaan 7 diperoleh u = m=0 m m 1 xxl yy n Φ x,m n xxl yy m 1 n L 1 xxa n. 9 m=1 Persamaan 9 adalah solusi parsial x dari persamaan. Persamaan dapat juga dituliskan sebagai berikut L yy u = L xx u Nu, 10 yy di kedua ruas persamaan 10, diperoleh u = Φ y L 1 yyl xx u L 1 yynu, 11 dimana Φ y = η 0 x + y η 1 x. Kemudian dalam menyelesaikan persamaan 11, metode dekomposisi Adomian memisalkan u = u n dan Nu = A n, sehingga diperoleh u n = Φ y L 1 yyl xx u n L 1 yy A n. Selanjutnya, Φ y juga diuraikan dengan cara yang sama seperti pada menentukan solusi parsial x, diperoleh solusi dari persamaan u = m m=0 yyl xx n Φ y,m n m 1 yyl xx m 1 n L 1 yya n. 1 m=1 JOM FMIPA Volume No. 1 Februari

4 Persamaan 1 adalah solusi parsial y dari persamaan. Untuk melihat kesetaraan solusi parsial x dan solusi parsial y, ditunjukkan dengan hampiran solusi parsial x dan solusi parsial y menggunakan satu suku. Kemudian solusi hampiran yang diperoleh memenuhi syarat awal dari persamaan. Sehingga diperoleh solusi parsial x 9 dan solusi parsial y 1 adalah sama[4].. Persamaan Diferensial Parsial Linear Nonhomogen Orde Satu Perhatikan persamaan diferensial parsial linear nonhomogen orde satu berikut x u+ u = g, 13 y dengan g fungsi tidak nol. Untuk penyederhanaan notasi persamaan 13 definisikan [] dan invers dari 14 dan 15 berturut-turut adalah L x = x, 14 L y = y, 15 L 1 x ψ = L 1 y ψ = x 0 y 0 ψ dx, ψ dy. Persamaan 13 dapat dituliskan sebagai berikut L x u = g L y u, 16 x di kedua ruas persamaan 16, diperoleh u = Φ x +L 1 x g L 1 x L y u, 17 dimana Φ x = u0,y. Dengan menggunakan metode dekomposisi Adomian pada persamaan 17 diperoleh u n = Φ x +L 1 x g L 1 x L y u n. 18 Definisikan u 0 = Φ x + L 1 x g, selanjutnya dengan menggunakan pola rekursif pada persamaan 18 diperoleh u = x L y n Φ x +L 1 x g, 19 JOM FMIPA Volume No. 1 Februari

5 persamaan 19 adalah solusi parsial x dari persamaan 13. Persamaan 13 dapat juga dituliskan sebagai berikut L y u = g L x u, 0 y di kedua ruas persamaan 0, diperoleh u = Φ y +L 1 y g L 1 y L x u, dimana Φ y = ux,0. Selanjutnya dengan menggunakan cara yang sama seperti menentukan solusi parsial x diperoleh u = y L x n Φ y +L 1 y g, 1 persamaan 1 adalah solusi parsial y dari persamaan 13. Kombinasi persamaan 19 dan 1 adalah u = 1 [ x L y n Φ x + y L x n Φ y + x L y n L 1 x g + y L x n L 1 y g]. Misalkan u = u h +u p, dengan 1 u h = 1 u p = x L y n Φ x + y L x n Φ y, x L y n L 1 x g + y L x n L 1 y g, akan ditunjukkan u h merupakan solusi homogen dan u p solusi partikular dari persamaan 13. Perhatikan bahwa [ 1 ] [L x +L y ]u h = [L x +L y ] x L y n Φ x + y L x n Φ y 1 [L x +L y ]u h = [L x Φ x + 1L y x L y n 1 Φ x +L y x L y n Φ x n=1 +L y Φ y + 1L x y L x n 1 Φ y +L x y L x n Φ y ], n=1 karena L x Φ x = 0 dan L y Φ y = 0, maka L x u h +L y u h = 0, sehingga u h adalah solusi homogen. JOM FMIPA Volume No. 1 Februari

6 Berikutnya akan ditunjukkan u p merupakan solusi partikular dari persamaan 13. Perhatikan bahwa [ 1 ] [L x +L y ]u p = [L x +L y ] x L y n L 1 x g + y L x n L 1 y g 1 = [ g + L y x L y n L 1 x g +L y x L y n L 1 x g +g + L x y L x n L 1 y g +L x y L x n L 1 y g] [L x +L y ]u p = g, Sehingga u p adalah solusi partikular dari persamaan CONTOH KOMPUTASI Pada bagian ini dilakukan perhitungan untuk melihat adanya noise terms pada penyelesaian persamaan diferensial parsial dengan metode dekomposisi Adomian. Untuk melihat penggunaan metode dekomposisi Adomian dalam meyelesaikan persamaan diferensial parsial orde dua, diberikan contoh penyelesaian persamaan diferensial parsial linear nonhomogen orde dua. 3.1 Solusi Persamaan Diferensial Parsial Linear Nonhomogen Orde Dua Perhatikan persamaan diferensial parsial linear nonhomogen orde dua[3] berikut ini L xx u+l yy u = g, dimana g = x +y dengan syarat awal u0,y = 0,u1,y = y dan ux,0 = 0, ux,1 = x. Persamaan dapat dituliskan sebagai berikut L xx u = g L yy u, 3 dengan mengalikanl 1 xx di kedua ruas persamaan 3, diperoleh u = Φ x +L 1 xxg L 1 xxl yy u. 4 Dengan menggunakan metode dekomposisi Adomian pada persamaan 4, diperoleh u n = Φ x +L 1 xxg L 1 xxl yy u n, 5 dimana Φ x = ξ 0 y+x ξ 1 y. Selanjutnya Φ x diuraikan Φ x,m = ξ 0,m y+x ξ 1,m y. Definisikan u 0 = Φ x,0 + L 1 xxg = ξ 0,0 y + x ξ 1,0 y + x4 + x y. Dengan menggunakan syarat awal x, α 1 0,y = 0 dan α 1,y = y, diperoleh ξ 0,0y = 0 dan 1 x ξ 1,0 y = x, sehingga diperoleh u 1 0 = x + x4. Selanjutnya suku-suku 1 + x y 1 JOM FMIPA Volume No. 1 Februari

7 persamaan 5 ditentukan secara rekursif diperoleh u 1 = ξ 0,1 y+x ξ 1,1 y x4 1, u = ξ 0, y+x ξ 1, y 0, dan u n = 0, untuk n 3. Aproksimasi dua suku persamaan 5 diperoleh dengan menggunakan persamaan 8 yaitu ϕ = 1 u n = x 1 + x4 1 + x y +ξ 0,1 y+x ξ 1,1 y x4 1 = x y, sehingga solusi parsial x dari persamaan adalah u n = x y. Persamaan dapat dituliskan sebagai berikut untuk menentukan solusi parsial y L yy u = g L xx u, 6 yy di kedua ruas persamaan 6, diperoleh u = Φ y +L 1 yyg L 1 yyl xx u. 7 Dengan menggunakan metode dekomposisi Adomian pada persamaan7 diperoleh u n = Φ y +L 1 yyg L 1 yyl xx u n, dimana Φ y = η 0 x+y η 1 x. Selanjutnya Φ y diuraikan Φ y,m = η 0,m x+y η 1,m x. Definisikan u 0 = Φ y,0 + L 1 yyg = η 0,0 x + y η 1,0 x + y4 + x y. Dengan menggunakan syarat awal y, β 1 x,0 = 0 dan β x,1 = x, diperoleh η 0,0x = 0 dan 1 y η 1,0 x = y. Langkah selanjutnya dilakukan dengan cara yang sama seperti 1 menentukan solusi parsial x, sehingga diperoleh u n = u 0 +u 1 +u +... = x y. Perhatikan bahwa solusi parsial x dan y yang diperoleh adalah sama. Sehingga solusi persamaan adalah ux,y = x y. 3. Solusi Persamaan Diferensial Parsial Nonlinear Homogen Orde Dua Perhatikan persamaan panas berikut ini u t = u xx, 8 dengan syarat awal ux,0 = sin πx, u0,t = ul,t = 0. Persamaan 8 dapat l dituliskan menjadi L t u = L xx u, 9 t di kedua ruas persamaan 9, diperoleh u = ux,0+l 1 t L xx u. 30 JOM FMIPA Volume No. 1 Februari

8 Dengan menggunakan metode dekomposisi Adomian pada persamaan 30, diperoleh u n = ux,0+l 1 t L xx u n. 31 Definisikan u 0 = ux,0 = sin πx, suku-suku selanjutnya diperoleh dengan l menggunakan pola rekursif pada persamaan 31, sehingga diperoleh solusi parsial t u n = 1 π l t+π4 l 4 t π6 l 6 t sin πx l = π e Perhatikan kembali persamaan 8 yang dapat dituliskan menjadi l t sin πx l. 3 L xx u = L t u, 33 xx di kedua ruas persamaan 33, diperoleh u = k 1 t+x k t+l 1 x L t u. 34 Dengan menggunakan metode dekomposisi Adomian pada persamaan 34, diperoleh u n = k 1 t+x k t+l 1 x L t u n. Definisikan u 0 = k 1 t + x k t = 0. Karena u 0 = 0, maka u n = 0, untuk n 1. Sehingga diperoleh solusi parsial x adalah u n = Perhatikan kembali syarat awal dari persamaan 8. Berdasarkan [1] apabila syarat awal bersifat umum, maka solusi parsial yang diperoleh akan sama, sementara solusi parsial akan sama secara asimtot ketika syarat awal untuk satu variabel tidak tergantung dari variabel yang lainnya. Perhatikan persamaan 3, untuk t maka u 0. Sehingga solusi pada persamaan 3 sama secara asimtot dengan solusi pada persamaan Solusi Persamaan Diferensial Parsial Linear Nonhomogen Orde Satu Perhatikan persamaan diferensial parsial linear nonhomogen orde satu berikut u x +u y = g, 36 dengan g = x+y, dan syarat awal u0,y = Φ x = 0 dan ux,0 = Φ y = 0. Solusi parsial x dan solusi parsial y dari persamaan 36 berturut-turut adalah u = L 1 x g L 1 x L y u, 37 u = L 1 y g L 1 y L x u. 38 JOM FMIPA Volume No. 1 Februari

9 Dengan menggunakan metode dekomposisi Adomian pada persamaan37 diperoleh solusi parsial x adalah u n = x xy + x +0 = xy. Sementara dengan menggunakan cara yang sama seperti pada menentukan solusi parsial x, dari persamaan 38 diperoleh solusi parsial y adalah u n = y xy + y +0 = xy. Perhatikan bahwa solusi parsial x sama dengan solusi parsial y, yaitu ux,y = xy. Selanjutnya akan ditentukan solusi kombinasi antara solusi parsial x dan y. Perhatikan persamaan 37 dan 38 yang dapat ditulis menjadi 1 1 u = L 1 x +L 1 y g L 1 x L y +L 1 y L x u, 39 subtitusikan nilai g ke persamaan 39, kemudian selesaikan menggunakan metode dekomposisi Adomian, diperoleh solusi kombinasi dari persamaan 36, yaitu x +y u n = xy + xy x 4 + +y xy x 4 +y + xy 8 4 x +y Perhatikan persamaan 40 yang diperoleh dari menjumlahkan empat suku pertama yaitu u 0 + u 1 + u + u 3. Suku-suku pada persamaan tersebut akan saling membatalkan, sehingga diperoleh suku yang tersisa yaitu xy + xy xy. Suku akan 4 4 dibatalkan oleh xy pada suku u 4 4. Suku yang tersisa pada u 4 akan dibatalkan oleh suku pada u 5 dan seterusnya. Berdasarkan pola tersebut, maka diklaim suku yang tersisa yaitu ux, y = xy adalah solusi parsial. Untuk memastikan suku yang tersisa tersebut adalah solusi parsial, perlu diperiksa apakah solusi tersebut memenuhi persamaan diferensial parsial yang diberikan. Dengan mensubstitusikan langsung ux,y = xy ke persamaan 36 diperoleh bahwa ux,y = xy adalah solusi dari persamaan 36. Perhatikan kembali persamaan 40, solusi deret untuk persamaan 36 dapat ditulis menjadi dimana φ m = m 1 u n, k 1 xy, untuk m = k,k N, φ m = k xy 1 k+ x +y, untuk m = k +1,k N. JOM FMIPA Volume No. 1 Februari

10 Perhatikan bahwa lim φ k = lim φ k+1 = xy, k k sehingga ux, y = xy adalah solusi persamaan 36. Ini memberikan cara lain untuk memeriksa bahwa ux, y = xy adalah solusi persamaan 36. Pada solusi persamaan diferensial parsial linearnonhomogenordesatu muncul noise terms, akan tetapi pada persamaan diferensial parsial linear homogen orde satu tidak menunjukkan noise terms[]. DAFTAR PUSTAKA [1] Adomian, G & Rach. R Equality of Partial Solutions in The Decomposition Method for Linear or Nonlinear Partial Differential Equation. Computers Math. Applic. 19, No. 1, pp [] Adomian, G & Rach. R Noise Terms in Decomposition Solution Series. Computers Math. Applic. 4, No. 11, pp [3] Adomian, G A Review of the Decomposition Method and Some Recent Results of Nonlinear Equations. Computers Math. Applic. 1, No. 5, pp [4] Kusnani, H Noise Terms pada Solusi Deret Dekomposisi Adomian dalam Menyelesaikan Persamaan Diferensial Parsial. Skripsi S1 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau, Pekanbaru. [5] Wazwaz, A. M Partial Differential Equation and Solitary Waves Theory. Springer. New York. JOM FMIPA Volume No. 1 Februari