Bab 2. Landasan Teori. 2.1 Persamaan Air Dangkal (SWE)

Transkripsi

1 Bab 2 Landasan Teori Dalam bab ini akan dibahas mengenai Persamaan Air Dangkal dan dasar-dasar teori mengenai metode beda hingga untuk menghampiri solusi dari persamaan diferensial parsial. 2.1 Persamaan Air Dangkal (SWE) SWE merupakan persamaan yang memodelkan gerak gelombang air yang permukaannya dipengaruhi seberapa besar kedalaman fluida. konservasi massa dan persamaan momentum. SWE diturunkan dari hukum Dalam tugas akhir ini SWE yang akan dibahas adalah SWE 1-dimensi dimana profil gelombang air diasumsikan sebagai fungsi satu variabel ruang x dan variabel waktu t. Dengan domain fluida pada Gambar 2.1 maka SWE 1-d adalah sebagai berikut : η + ((η + h(x))u) x + u (η + h(x)) + g x x (2.1.1) dengan h(x) kedalaman fluida sebagai fungsi dari x, η(x, t) menyatakan simpangan permukaan air dari kondisi setimbang z untuk setiap waktu t dan u(x, t) menyatakan komponen horisontal vektor kecepatan partikel fluida. 5

2 BAB 2. LANDASAN TEORI 6 Sedangkan untuk dasar yang rata dimana kedalaman fluida h(x) = h dengan h konstanta maka SWE 1-d menjadi : η + ((η + h)u) x + u (η + h) + g x x (2.1.2) z η(x,t) u(x,t) h(x) Gambar 2.1: Domain fluida keberlakuan SWE dengan dasar tidak rata Perhatikan bahwa ˆη û = 0 0 adalah kondisi equlibrium dari persamaan SWE (2.1.1). Dengan mensubtitusikan η dan u dapat diperiksa bahwa kondisi equilibrium ini memenuhi persamaan SWE. Selanjutnya diasumsikan bahwa: ˆη η(x, t) = ε (2.1.3) û u(x, t) Baris pertama (2.1.3) berarti bahwa simpangan air dari keadaan setimbang (z ) cukup kecil, disini dimisalkan berorde ε. Hal serupa juga berlaku untuk u(x, t). Subtitusikan (2.1.3) ke dalam (2.1.2) kemudian dengan mengabaikan suku-suku berorde O(ε 2 ) dan menuliskan kembali η(x, t) = η(x, t) dan ū(x, t) = u(x, t) sehingga akan diperoleh persamaan linier berikut: η + h x (2.1.4)

3 BAB 2. LANDASAN TEORI 7 + g η x (2.1.5) Persamaan (2.1.4) dan (2.1.5) dikenal dengan nama persamaan SWE linier. Pada persamaan SWE linier persamaan bagi η(x, t) dan u(x, t) saling terkait. Persamaan SWE linier dapat dituliskan dalam bentuk lain dimana persamaan bagi η dan u saling terpisah yaitu sebagai persamaan gelombang : η tt = c 2 η xx (2.1.6) u tt = c 2 u xx (2.1.7) dengan c 2 = g h. Persamaan (2.1.6) diperoleh dengan cara mengeliminasi u dari (2.1.4) dan (2.1.5). Hal serupa juga dilakukan untuk mendapatkan u yaitu (2.1.7). 2.2 Metoda Beda Hingga Salah satu metoda numerik yang sering dipakai untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial adalah metoda beda hingga. Hal utama pada metode beda hingga adalah menghampiri nilai dari turunan suatu fungsi dengan perbandingan selisih dari ekspansi deret Taylor. Misalkan u(x) fungsi satu peubah terdiferensialkan tiga kali, ekspansi Taylor dari u(x + ) di sekitar x adalah : u(x + ) = u(x) + u (x) u (x)() u (x)() 3 + O() 4 (2.2.1) Dengan mengganti dengan maka persamaan (2.2.1) menjadi u(x ) = u(x) u (x) u (x)() u (x)() 3 + O() 4 (2.2.2) dari persamaan (2.2.1) dan (2.2.2) akan diperoleh u (x) = u(x) u(x ) + O() = u(x + ) u(x) + O() (2.2.3) = u(x + ) u(x ) 2 + O( 2 )

4 BAB 2. LANDASAN TEORI 8 Untuk lebar grid maka nilai fungsi di titik x = j yaitu u(j) atau biasa ditulis u j. Dari persamaan di atas maka diperoleh 3 hampiran yang paling umum bagi u (x) sebagai berikut: Hampiran beda mundur : dengan akurasi O(). Hampiran beda maju : dengan akurasi O(). Hampiran beda pusat : dengan akurasi O( 2 ). u j u j u j 1 u j u j+1 u j u j u j+1 u j 1 2 (2.2.4) (2.2.5) (2.2.6) Untuk turunan kedua u (x) maka hampiran yang paling sederhana adalah hampiran beda pusat kedua yaitu u j u j+1 2u j + u j 1, dengan akurasi O( 2 ). Untuk () 2 fungsi dua peubah misal u(x, t) maka dipilih lebar grid untuk kedua variabel yaitu, t dan dinotasikan u(j, n t) u n j sehingga hampiran beda maju untuk adalah: u t j n un+1 j u n j t dengan cara yang sama hampiran beda maju untuk x adalah: (2.2.7) u x n j un j+1 u n j (2.2.8) Langkah-langkah dalam menggunakan metoda beda hingga adalah pertama-tama mendiskritkan domain dari persaman diferensial parsial dengan cara mempartisi domain dengan nilai, t yang dipilih, kemudian mensubtitusi hampiran bagi turunan u(x, t) dengan salah satu hampiran di atas. Persamaan yang diperoleh dari hasil subtitusi hampiran tersebut dinamakan persamaan beda. Dalam hampiran numerik ada tiga hal yang harus diperhatikan yaitu: 1. Kestabilan solusi

5 BAB 2. LANDASAN TEORI 9 2. Kekonsistenan persamaan beda dengan persamaan diferensial parsialnya 3. Kekonvergenan persamaan beda Berikut ini akan dijelaskan satu persatu mengenai ketiga hal di atas. 2.3 Analisa Kestabilan Persamaan Beda Penerapan suatu skema numerik pada suatu persamaan diferensial parsial menghasilkan suatu persamaan beda. Solusi numerik dari persamaan beda tersebut belum tentu menghasilkan solusi yang sama dengan solusi eksak persamaan diferensial parsial tersebut. Suatu persamaan beda dikatakan stabil jika skema tersebut menghasilkan solusi yang terbatas dan dikatakan tidak stabil jika menghasilkan solusi yang tidak terbatas. Sehingga dalam merumuskan suatu persamaan beda diperlukan suatu analisa kestabilan. Dalam menganalisa kestabilan suatu persamaan beda ada beberapa metode yang dapat digunakan. Metoda yang banyak dipakai dalam menganalisis kestabilan adalah metoda von Neumann. Dalam metode ini nilai u(x j, t n ) diganti dengan komponen Fourier ρ n e (i)j. Kemudian subtitusikan komponen Fourier tersebut ke dalam persamaan beda. Setelah disubtitusikan tentukan kondisi bagi dan t agar ρ selalu lebih kecil atau sama dengan satu yang artinya untuk kondisi tersebut persamaan beda yang dibuat menghasilkan solusi yang berhingga. Jika untuk nilai dan t tertentu ρ 1 maka persamaan beda yang dibuat bersifat stabil bersyarat. Apabila ρ 1 untuk semua nilai dan t maka persamaan beda tersebut bersifat stabil tak bersyarat, sebaliknya jika tidak dapat ditemukan dan t sehingga nilai ρ 1 maka persamaan beda tersebut bersifat tidak stabil. Untuk persamaan diferensial parsial yang berupa sistem maka metoda yang dipakai untuk menganalisis kestabilan adalah metode matriks. Metode matriks ini hampir sama dengan metoda von Neumann hanya komponen Fourier yang disubtitusikan berupa e (i)j dan sistem persamaan beda yang ada dituliskan dalam bentuk

6 BAB 2. LANDASAN TEORI 10 Af n+1 = Bf n. Setelah itu dicari nilai eigen (λ) dari A 1 B. Nilai eigen inilah yang menentukan apakah persamaan beda yang diperoleh stabil atau tidak. Persamaan beda akan menghasilkan solusi yang stabil jika dan hanya jika λ Kekonsistenan Persamaan Beda dengan Persamaan Diferensial Parsialnya Suatu persamaan beda dikatakan konsisten dengan persamaan diferensial yang dihampiri jika selisih antara persamaan beda dengan persamaan diferensial parsialnya menuju nilai nol ketika lebar grid yang digunakan juga menuju nilai nol. Selisih antara persamaan diferensial parsial yang dihampiri dengan persamaan bedanya disebut truncation term. Ekspansi Taylor dari u n j±1 di sekitar u n j u n j±1 = u n j ± (u x ) n j () + (u xx) n j 2 () 2 ± (u 3x) n j 3! Sedangkan ekspansi Taylor dari u n±1 j di sekitar u n j adalah: adalah: () (2.4.1) u n±1 j = u n j ± (u t ) n j ( t) + (u tt) n j 2 ( t) 2 ± (u 3t) n j 3! ( t) (2.4.2) Cara memeriksa kekonsistenan suatu persamaan beda ialah dengan mensubtitusikan (2.4.1) dan (2.4.2) ke dalam persamaan beda yang telah diturunkan. Jika nilai-nilai dari truncation term semakin menuju nol ketika, t menuju nol maka dikatakan persamaan beda yang dibuat konsisten dengan persamaan yang dihampiri. 2.5 Kekonvergenan Persamaan Beda Suatu persamaan beda dikatakan konvergen jika solusi dari persamaan beda semakin mendekati solusi eksak dari persamaan diferensial parsial yang dihampiri ketika ukuran grid, t menuju nilai nol. Kekonvergenan persamaan beda biasanya tidak diperiksa secara langsung karena terdapat Teorema Ekivalensi Lax.

7 BAB 2. LANDASAN TEORI 11 Teorema Ekuivalensi Lax: Diberikan sebuah persamaan diferensial linear dan masalah nilai awal yang well-possed dan suatu metode beda hingga yang konsisten terhadap persamaan diferensial tersebut, maka kestabilan merupakan syarat perlu dan cukup agar metode beda hingga tersebut konvergen. Maka dengan adanya teorema ini, kita cukup membuktikan suatu persamaan beda stabil dan konsisten maka solusi persamaan beda tersebut juga akan konvergen ke solusi eksaknya.