BINOVATIF LISTRIK DAN MAGNET. Hani Nurbiantoro Santosa, PhD.

Transkripsi

1 BINOVATIF LISTRIK DAN MAGNET Hani Nurbiantoro Santosa, PhD

2 2 BAB 2 MEDAN LISTRIK DAN HUKUM GAUSS Pendahuluan, Distribusi Muatan Kontinu, Mencari Medan Listrik Menggunakan Integral, Fluks Medan Listrik, Hukum Gauss, Simetri Silinder, Simetri Bola, Simetri Bidang, Hukum Gauss versi Differensial

3 Pendahuluan 3 Medan listrik akibat satu muatan titik: z E r P E r = Q 4πε 0 r 2 r r dengan r = r R O R +Q y x

4 Pendahuluan 4

5 Pendahuluan 5 E

6 Pendahuluan 6 E

7 Pendahuluan 7 +2Q Q

8 Distribusi Muatan Kontinu 8 Kita bisa menghitung medan listrik akibat satu atau beberapa muatan titik. Bagaimana cara menghitung medan listrik akibat distribusi muatan kontinu (muatan yang terdistribusi dalam bentuk bola, kawat lurus, cincin, pelat, dll)? Ada dua cara: Integral (selalu bisa, tetapi perhitungannya kadang rumit) Hukum Gauss (tidak selalu bisa, tetapi perhitungannya sederhana) +

9 de r = z dq 4πε 0 r 2 r Medan listrik akibat distribusi muatan kontinu: 9 P E r = d 3 R ρ R 4πε 0 r 2 r O r R dq y dq = ρ R d 3 R dimana d 3 R = dx. dy. dz adalah elemen volume di tempat muatan sumber berada. x

10 Integral 10 Kawat panjang semi infinite memiliki muatan per satuan panjang λ. Hitunglah medan listrik pada titik P E = ds l s de = 1 dq 4πε 0 s 2 = 1 λ. ds 4πε 0 s 2 1 4πε 0 λ. ds s 2 = 1 4πε 0 λ s l l P = 1 4πε 0 λ l Perhatikan: medan de akibat semua elemen ds memiliki arah yang sama, sehingga bisa langsung diintegralkan. de

11 de z = de cos θ de 11 P θ θ de x Cincin dengan jari-jari R memiliki muatan total Q. Hitunglah medan listrik pada jarak z dari pusat cincin. y z x Perhatikan: medan listrik komponen x dan y dari semua elemen akan saling menghilangkan! ds R + O

12 Integral 12 de = k dq R 2 + z 2 = k ds 2πR Q 1 R 2 + z 2 ; cos θ = z R 2 + z 2 de z = de cos θ = k ds 2πR Q z R 2 + z E z = 2πR 0 k Q 2πR z R 2 + z ds = kqz R 2 + z 2 3 2

13 Integral 13 Kawat panjang infinite memiliki muatan per satuan panjang λ. Hitunglah medan listrik pada jarak r dari kawat. de θ de y = de cos θ y de x = de sin θ P θ r Perhatikan: komponen medan de x (sejajar kawat) akibat semua elemen akan saling menghilangkan, sehingga hanya komponen medan de y (tegak lurus kawat) yang tersisa. x dx x

14 Integral 14 de = k dq r 2 + x 2 = kλ dx r 2 + x 2 ; cos θ = r de y = de cos θ = E y = kλr x 2 + r 2 kλr dx x 2 + r dx = r 2 + x 2 Jika Anda kesulitan mengerjakan integral di atas, cobalah melakukan substitusi x = r tan θ. Pada akhirnya, Anda akan mendapatkan: E y = λ 2πrε 0

15 Fluks Medan Listrik 15 Fluks medan listrik didefinisikan sebagai banyaknya garis medan listrik yang menembus suatu permukaan. A adalah vektor luas: arahnya tegak lurus permukaan, dan besarnya sama dengan luas permukaan. E adalah medan listrik. θ A φ E = E A = EA cos θ E

16 Fluks Medan Listrik 16 A A A θ E E E θ = 0 φ E = EA cos 0 = EA Fluks maksimum θ 0 φ E = EA cos θ θ = 90 φ E = EA cos 90 = 0 Fluks nol (tidak ada garis medan yang menembus permukaan)

17 Fluks Medan Listrik 17 A A E θ θ A θ E E A φ = A E cos θ = AE Fluks = luas permukaan dikali komponen medan yang tegak lurus permukaan φ = E A cos θ = EA Fluks = medan dikali luas permukaan yang tegak lurus medan

18 Fluks Medan Listrik 18 Untuk permukaan tertutup, vektor luas mengarah tegak lurus keluar. A 2 A 3 A 1 A 5 A 4

19 Fluks Medan Listrik 19 φ 3 = EA 3 cos 0 = EA 3 (keluar permukaan) A 2 φ 2 = EA 2 cos 90 = 0 A 3 E A 1 φ 1 = EA 1 cos 180 = EA 1 (masuk permukaan) A 5 A 4 φ 4 = EA 4 cos 90 = 0

20 Fluks Medan Listrik 20 Untuk medan listrik yang berubah-ubah dan/atau permukaan yang tidak beraturan, kita harus memakai integral: φ E = E d A

21 Hukum Gauss 21 Fluks medan listrik total yang melewati suatu permukaan tertutup (permukaan Gauss) sebanding dengan muatan total yang terbungkus : φ tot = E d A = q in ε 0

22 z R dθ 22 da = R 2 sin θ dθ dφ θ dω = da = sin θ dθ dφ R2 R φ dφ y x

23 dω = sin θ dθ dφ ds cos α = da = r 2 dω d S E 23 dφ = E d S = E ds cos α = Q ds cos α 4πε 0 r 2 = Q 4πε 0 dω ds α α da = r 2 dω Perhatikan bahwa dφ hanya bergantung pada dω! Integralkan hasil di atas untuk semua arah pada permukaan Gauss menghasilkan: r dω φ = dφ = Q 4πε 0 dω = Q ε 0 +Q

24 Hukum Gauss 24 E +Q Ω φ 1 = d A 1 d A 2 Q 4πε 0 ΔΩ 1 φ 2 = + 2 Q 4πε 0 ΔΩ φ tot = φ 1 + φ 2 = 0!!

25 Hukum Gauss 25 S 1 φ 1 = 0 S 4 φ 2 = 0 S 3 φ 3 = q ε 0 S 2 φ 4 = +q ε 0

26 Hukum Gauss 26 Pada umumnya, Hukum Gauss bisa digunakan untuk mencari medan listrik dalam situasi-situasi berikut ini: Simetri silinder (contoh: kawat panjang infinite) Simetri bidang (contoh: bidang datar infinite) Simetri bola (contoh: muatan titik) Langkah-langkah dalam menggunakan Hukum Gauss: Carilah arah medan listrik di tiap-tiap titik menggunakan logika atau prinsip simetri. Buatlah permukaan Gauss yang sesuai dengan simetrinya. Pastikan bahwa E d A pada permukaan tersebut mudah dihitung. Hitunglah fluks medan listrik pada permukaan tersebut.

27 Simetri Silinder y 27 E E x Kawat panjang infinite bermuatan λ per satuan panjang. Arah medan listrik tegak lurus kawat.

28 Simetri Silinder 28 Kita juga bisa menentukan bahwa arah medan listrik tegak lurus kawat menggunakan prinsip simetri sebagai berikut. Misalnya arah medan listrik sejajar kawat ke kanan (sumbu x positif). Jika ini benar, sesudah kawatnya kita putar 180 terhadap sumbu y, arah medan listrik akan berubah ke kiri. Tetapi hal ini tidak masuk akal! Sesudah kawat diputar 180 terhadap sumbu y, kawat tetap sama seperti sebelumnya: tidak ada yang berubah dari posisi, orientasi, atau muatannya. Jadi, tidak masuk akal kalau sekarang arah medan berubah ke kiri! Oleh karena itu, kesimpulan yang masuk akal adalah arah medan pasti tegak lurus kawat.

29 Buatlah permukaan Gauss berbentuk silinder: φ a = E A a = 0 E 29 φ t = E A t = 0 A a A t h r 0 0 d A s φ s = E d A s = 2πrhE φ tot = φ a + φ s + φ t = φ s φ tot = φ s = q in ε 0 2πrhE = λh ε 0 E = λ 2πrε 0

30 Simetri Bidang 30 Pelat infinite dengan muatan per satuan luas σ. Kita bisa menggunakan logika atau prinsip simetri untuk menentukan bahwa arah medan listrik tegak lurus pelat.

31 Buatlah permukaan Gauss berbentuk silinder atau balok yang menembus pelat: 31 φ a = E A a = EA φ t = E A t = EA a s t φ s = E d A s = 0 φ tot = φ a + φ t = 2EA φ tot = q in ε 0 2EA = Aσ ε 0 E = σ 2ε 0

32 Simetri Bola 32 r q d A E Arah medan listrik dan arah d A radial keluar. Buatlah permukaan Gauss berbentuk bola. φ tot = E d A = q in ε 0 E. 4πr 2 = q ε 0 Muatan titik q. E = q 4πr 2 ε 0