DERET TAYLOR UNTUK METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN ABSTRACT

Transkripsi

1 DERET TAYLOR UNTUK METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN Lucy L. Batubara 1, Deswita. Leli 2, Zulkarnain 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Laboratorium Matematika Terapan, Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (2829), Indonesia lucylestarib@ymail.com ABSTRACT This article discusses the application of Taylor series to the Adomian decomposition method to determine the solution of Cauchy-Kovalevska equation. The obtained solution is of the form infinite series. Application of the Taylor series to several eamples of Cauchy-Kovalevska equations shows that this technique is more practical and provides better solutions than the solutions obtained by the Adomian decomposition method. Keywords: Cauchy-Kovalevska equation, Adomian decomposition method, Taylor series. ABSTRAK Artikel ini membahas penerapan deret Taylor pada metode dekomposisi Adomian dalam menetukan solusi persamaan Cauchy-Kovalevska. Solusi yang diperoleh berbentuk deret tak hingga. Penerapan deret Taylor ini kebeberapa contoh persamaan Cauchy-Kovalevska menunjukkan bahwa teknis ini lebih praktis dan memberikan solusi yang lebih baik dibandingkan dengan solusi yang diperoleh dari metode dekomposisi Adomian. Kata kunci: persamaan Cauchy-Kovalevska, metode dekomposisi Adomian, deret Taylor. 1. PENDAHULUAN Salah satu bagian dari persamaan diferensial parsial nonlinear adalah persamaan Cauchy-Kovalevska, dengan bentuk umum [2] u t (,t) = F(u,u,u,...,u n)+g(), (1) dengan syarat awal u(,) = f (). (2) 1

2 Banyak metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan (1), salah satunya adalah metode dekomposisi Adomian [5]. Berbagai modifikasi telah dikembang dari metode dekomposisi Adomian, diantaranya penerapan deret Taylor untuk menyelesaikan persamaan (1). Pada artikel dibahas bagaimana menemukan solusi u(, t) dalam bentuk deret yang memenuhi persamaan (1) dan (2). Pembahasan dimulai dengan menggunakan metode dekomposisi Adomian pada bagian 2, kemudian dilanjutkan pada bagian dengan menerapkan deret Taylor untuk metode dekomposisi Adomian yang merupakan review dari artikel Ekaterina Kutafina [2], dengan judul Taylor series for the Adomian decomposition method dan pada bagian terakhir diberikan perbandingan komputasi numerik untuk dua Contoh persamaan Cauchy-Kovalevska. 2. METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN Untukmenyederhanakannotasi,misalkanF[u] = F(u,u,,u n),l t ( ) := ( )/ t, L t (.) := (.)dt, dan g() adalah fungsi yang diketahui. Metode dekomposisi Adomian menguraikan F[u] menjadi dua bagian yaitu L F [u]+n F [u], dengan L F [u] adalah operator linear, dan N F [u] adalah operator nonlinear. Sehingga persamaan (1) dapat ditulis menjadi L t L t u = L t L F [u]+l t N F [u]+l t g(). () Jadi ruas kiri persamaan () dapat dinyatakan dengan L t L t u = L t u dt, L t L t u = u(,t) u(,), (4) kemudian subsitusikan persamaan (4) ke persamaan () dan berdasarkan persamaan (2), diperoleh u(,t) = f ()+g()t+ Misalkan solusi persamaan (1) dinyatakan dalam bentuk (L F [u]+n F [u])dt. (5) u(,t) = u i (,t) (6) i= danbentuknonlinearn F [u]diuraikanmenjadiderettakhinggadaripolinomialadomian yaitu N F [u] = i= A i(u,u 1,...,u i ), dimana A i disebut polinomial Adomian yang didefinisikan sebagai A i = 1 [ ( n )] d n F λ i u n! dλ n i i= λ=, n =,1,2,,, (7) 2

3 dengan λ adalah suatu parameter. Untuk memahami dalam memperoleh polinomial Adomian A i dijelaskan pada contoh berikut Contoh 1 [2] Misalkan bentuk nonlinear dari persamaan (1) adalah N F [u] = uu. Penyelesaian: Berdasarkan persamaan (6) maka dan u = (u +ǫu 1 +ǫ 2 u 2 +ǫ i u i ), u = (u +ǫu 1 +ǫ 2 u 2 +ǫ i u i ), sehingga bentuk nonlinear dapat ditulis menjadi N F [u] = (u +ǫu 1 +ǫ 2 u ǫ i u i )(u +ǫu 1 +ǫ 2 u ǫ i u i ) N F [u] = u u }{{} +ǫ(u 1 u +u u 1 ) +ǫ 2 (u }{{} u 2 +u 1 u 1 +u 2 u ). }{{} A A 1 A 2 Identifikasi A i dengan koefisien ǫ i. Hasil ini juga akan diperoleh dengan menggunakan persamaan (7) diperoleh ( A = F λ i u i ), i= = F(u ) = u u A 1 = 1 [ ( 1 )] d F λ i u i 1! dλ i= A 1 = u 1 u +u u 1 Kembali ke persamaan (5) subsitusikan persamaan (6) dan N F [u] = i= A i, diperoleh u i (,t) = f ()+g()t+ i= i= λ=, [ ( ) ( L F u i (,t) + A i )]dt, (8) dari persamaan (8), suku u i (,t) dapat ditentukan dengan relasi rekursif berikut u = f ()+g()t, u 1 = u i = (L F [u ]+A )dt, (L F [u i ]+A i )dt, i=

4 sehingga diperoleh solusi persamaan (1) adalah u(,t) = lim k k u i. Solusi dari u(, t) juga dapat ditentukan dengan menggunakan rumus Taylor pada metode dekomposisi Adomian [2]. i=. PENERAPAN DERET TAYLOR UNTUK METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN Dalam artikel ini, persamaan (1) dapat dibentuk menjadi u t = F[u] + g(). Pada metode dekomposisi Adomian, F[u] dibagi menjadi dua bagian, yaitu bagian linear dan nonlinear. Sementara disini F[u] akan dihampiri dengan suatu polinomial F[u] = i= B i. Untuk itu definisikan dan u (k) = k u i B = F[u ], i= B i = F[u (i) ] F[u (i) ], i = 1,2,,. (9) Sebagai ilustrasi dari definisi ini, perhatikan kembali Contoh 1, bentuk nonlinear F[u] = uu dihampiri dengan persamaan (9), sehingga diperoleh B = A = u u. Selanjutnya, untuk B 1,B 2,...,B k dapat diperoleh dengan mengunakan (9). Metode rekursif untuk menentukan solusi persamaan (1) adalah sehingga, u = f +g()t, u 1 = u k = u k = B dt = B k 2 dt = B k dt = F[u () ]dt, u (k) = u + ( ) F[u (k 2) ] F[u (k ) ] dt, ( ) F[u (k) ] F[u (k 2) ] dt, F[u (k) ]dt. (1) Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa untuk k,u (k) (,t) merupakan solusi dari persamaan (1). Dengan memanfaatkan persamaan (1), deret Taylor untuk metode dekomposisi Adomian dapat diperoleh dari teorema berikut 4

5 Teorema 1 [2] Perhatikan persamaan (1) dapat ditulis u t = F[u]+g(), (11) dan syarat awal u(,) = f (), untuk,t R, u : R 2 R, u i = i u i dan F[u(,t)] = F(u(,t),u (,t),,u n(,t)). Asumsikan bahwa F[u(,t)] adalah fungsi analitik dan F[] =. Solusi dari persamaan (11) adalah dengan t 2 t u(,t) a +a 1 t! +a 2 2! +a, (12)! a = f, a 1 = F[f ]+g(), a 2 = F[f ] u a 1 + F[f ] a 1 + F[f ] a 1 n, u u n a = 2 F[f ] a 2 u F[f ] a 2 u F[f ] a 1 a 1 u u + F[f ] u a 2 + F[f ] a 2 n, u n t (1) Bukti: Dari persamaan (1), diperoleh u (k+1) = u + F[u (k) ]dt. (14) Selanjutnya, berdasarkan uraian deret Taylor F[u (k) ] disekitar t = sebagai berikut F[u (k) (,t)] = F[u (k) (,)]+ F[u(k) (,)] t diperoleh bentuk ekspansi deret Taylor F[u (k) ] adalah t+ 2 F[u (k) (,)] t 2 t 2 2!, [ F[u F[u (k) (,t)] = F[u (k) (k) ] u (k) ] t= + + F[u(k) ] u (k) u (k) t u (k) t + F[u(k) (k)] [ ( ) ] u t 2 n u (k) t n t=1! + F[u (k) ] u (k) 2 (u (k) ) 2 t ( u (k) 2 F[u (k) ] u (k) ) +2 t u (k) u (k) t + F[u(k) ] 2 (k)] u t 2 n, (15) u (k) t 2 n t=2! 5

6 dengan menggunakan persamaan (15) pada persamaan (14), diperoleh u (k+1) = u + F[u (k) ]dt u (k+1) = u + F[u (k) ] t= [ F[u (k) ] u (k) + + F[u(k) ] u (k) + F[u(k) (k)] ] u t n u (k) t u (k) t u (k) t n t=1! [ ( ) 2 F[u (k) ] u (k) 2 u (k) + +2( 2 F[u (k) ] u (k) ) (u (k) ) 2 t t u (k) u (k) t + F[u(k) ] 2 (k)] u t 2 n dt, (16) u (k) t 2 n t=2! kemudian dengan menghitung integral terhadap t, solusi untuk u (k+1) pada persamaan (16) menjadi [ F[u u (k+1) = u +F[u (k) (k) ] u (k) ] t= t+ + F[u(k) ] u (k) u (k) t u (k) t + F[u(k) (k)] [ ( ) ] u t 2 2 n u (k) t n t=2! + F[u (k) ] u (k) 2 (u (k) ) 2 t ( u (k) 2 F[u (k) ] u (k) ) +2 + F[u(k) ] 2 (k)] u t n. (17) t u (k) u (k) t u (k) t 2 n t=! Perhatikan bahwa untuk t =, u (k) (,) u(,t) = f untuk k diperoleh F[u (k) ] t= = F[f ], dan u (k) / t u/ t = u t, dan u = f + g()t. Sehingga, persamaan (17) menjadi [ u (k+1) F[f ] = f +g()t+f[f ]t+ u (g()+f[f ])+ F[f ] (g()+f[f (k) u (k) ]) + F[f ] [ ] t 2 2 (g()+f[f u (k) ]) n 2! + F[f ] (u (k) ) 2((g()+F[f ])) 2 ( n +2 + F[f ] (u (k) ) n (g()+f[f ]) 2 F[f ] (g()+f[f u (k) u (k) ]) ) ( F[f ] u (g()+f[f ]) (k) )] t, (18)! + F[f ] u (k) n (g()+f[f ]) karena u (k+1), untuk k maka persamaan (11) memenuhi (12) yaitu t u(,t) = a +a 1 t! +a t 2 2 2! +a t!, dengan a,a 1,a 2,, memenuhi persamaan (1). 6

7 4. SIMULASI NUMERIK Contoh 2 Selesaikan persamaan panas non-autonomous berikut u t = u +sin, u(,) = cos (19) Penyelesaian: Persamaan (19) akan diselesaikan dengan 2 metode. Pertama, diselesaikan dengan metode dekomposisi Adomian. Berdasarkan persamaan(5) dan persamaan (8), sehingga persamaan (19) menjadi i= u i (,t) = cos+l t sin+l t L ( Selanjutnya, dengan memanfaatkan relasi rekursif untuk u i diperoleh u = cos+tsin, u 1 = tcos 1 2 t2 sin, u 2 = 1 2! t2 cos+ 1! t sin, i= ) u i (,t). (2) jadi, solusi persamaan (19) dengan menggunakan metode dekomposisi Adomian adalah u(,t) = u +u 1 +u 2 = (cos+tsin)+( tcos 1 2! t2 sin)+( 1 2! t2 cos+ 1! t sin), +( 1! t cos 1 4! t4 sin). (21) Berikutnya, akan digunakan Teorema 1 pada persamaan (19), dengan menggunakan notasi f = u(,) = cos(),g() = sin,f[u] = u dan memanfaatkan persamaan (1) diperoleh a = f = cos, a 1 = g()+f[f ] = sin+[cos] = sin cos, a 2 = F u [f ]a 1 = sin+cos, 7

8 jadi, solusi u(,t) persamaan (19) dengan menggunakan penerapan derettaylor adalah t u(,t) = a +a 1 t! +a t 2 2 2! +a t!, = (cos)+(tsin tcos)+( 1 2! t2 sin+ 1 2! t2 cos), +( 1! t sin 1! t cos). (22) Berdasarkan hasil dari contoh 2, diperoleh dua catatan, yaitu Catatan 1: Untuk memperoleh solusi eksak persamaan(19), perhatikan persamaan (21) dan persamaan (22) yang dapat dibentuk menjadi u(,t) = cos+( sin+cos)(1 t+ t2 )+sin cos, (2) 2! karena e t = (1 t+ t2 t ), sehingga persamaan (2) menjadi 2!! u(,t) = cose t +sin(1 e t ). (24) Persamaan (24) merupakan solusi eksak untuk persamaan (19). Catatan 2: Perhatikan suku-suku yang diperoleh dari kedua metode tersebut, yaitu u,u 1,,u k dan a,a 1,,a k. Jika solusi hampiran menggunakan banyak suku yang sama untuk kedua metode, yaitu N suku, maka berlaku N N k u k = k a k t k k! +() N tn+1 sin. (25) (N +1)! Berdasarkan persamaan (25) terlihat bahwa jika kedua metode sama-sama menggunakan N suku untuk menghampiri solusi persamaan (19), maka terdapat perbedaan (N) tn+1 antara kedua metode sebesar () (N+1)! sin. Contoh Selesaikan persamaan nonlinear berikut u t +u 2 =, u(,) = 2 (26) Penyelesaian: Dengan menggunakan metode yang sama berdasarkan contoh 1, diperoleh solusi persamaan (26) adalah u(,t) = 2 [ 4t (4t) 2 (4t) ]. dengan solusi eksak untuk persamaan (26) yaitu u(,t) = 2, 4t < 1, 1 4t karena, (1+4t+(4t) 2 ) = ()(1/1 4t), untuk 4t < 1. Berikut ini diberikan grafik perbandingan solusi hampiran masalah nilai awal Contoh 2 dan Contoh untuk N yang berbeda, dengan solusi eksak. 8

9 (a) (b) u(,t) u(,t) (c) (d) u(,t) u(,t) deret Taylor Adomian eksak Gambar 1: Perbandingan grafik dari solusi metode dekomposisi Adomian, solusi deret Taylor dan solusi eksak Contoh 2 dengan menyatakan N suku untuk setiap saat t =.8 (a). N=2 (b). N=8.5.5 u(,t) u(,t) (c). N= Adomian deret Taylor eksak (d). N= u(,t) u(,t) Gambar 2: Perbandingan Grafik dari solusi metode dekomposisi Adomian, solusi deret Taylor dan solusi eksak Contoh dengan menyatakan N suku yang berbeda untuk setiap saat t =.24 9

10 (a) (b) Error Error N (c) N (d) Error1 Adomian Error2 deret Taylor Error 1 Error N N Gambar : Grafik perbandingan antara eror solusi Metode dekomposisi Adomian dan eror solusi Taylor Contoh 2 dengan (a). =, (b). = 2.8, (c). = 5.8, (d). = 1, saat t = 1 disetiap N suku Berdasarkan beberapa ilustrasi numerik yang diberikan Gambar 1 dan Gambar 2 terlihat bahwa semakin besar N maka solusi hampiran akan semakin dekat dengan solusi eksak. Sedangkan Gambar untuk Contoh 2, terlihat bahwa error solusi hampiran mencapai nilai maksimum saat N = 1. Selanjutnya solusi hampiran akan konvergen ke solusi eksak, untuk N 25. Hal ini terlihat dari errornya semakin mendekati nol. Selain itu terlihat juga bahwa tidak ada perbedaan antara solusi hampiran yang diperoleh dari Metode dekomposisi Adomian dengan solusi dari penerapan deret taylor untuk Contoh. DAFTAR PUSTAKA [1] Adomian, G Solving Frontier Problems of Physics: The Decomposition Method. Kluwer-Academic Press, Boston. [2] Kutafina, E Taylor Series for the Adomian Decomposition Method. International Journal of Computer Mathematics. 17: [] Kaya, D A New Approach to Solve a Nonlinear Wave Equation. Bulletin of Malaysian Mathematical Society. 21: [4] Philips, G. M. M. & P. J. Taylor Theory and Applications of Numerical Analisis, 2 nd Ed. Academic Press Inc, San Diego. [5] Wazwaz, A. M. 29. Parsial Differential Equation and Solitary Waves Teory. Higher Education Press. Beijing. 1