TE Sistem Linier. Sistem Waktu Kontinu

Transkripsi

1 TE Sistem Linier Jimmy Hasugian Electrical Engineering - Maranatha Christian University jimlecture@gmail.com - Sistem Waktu Kontinu Jimmy Hasugian (MCU) Sistem Waktu Kontinu 1 / 58

2 Persamaan Ruang Keadaan Telah disinggung di awal, bahwa salah satu cara merepresentasikan sistem secara time domain adalah melalui persamaan ruang keadaan (state-space). Untuk memahami hal ini, misalkan persaman diferensial sebuah sistem dengan satu input u(t) dimodelkan sebagai berikut (D n + b n 1 D n b 1 D + 1)[y(t)] = a 0 u(t) (48) Untuk mendapatkan gambaran mengenai variabel-keadaan (state-variable) pertama sekali ekspresikan sistem dalam sebuah diagram blok: Jimmy Hasugian (MCU) Sistem Waktu Kontinu 43 / 58

3 Persamaan Ruang Keadaan Didefinisikan vektor keadaan (state vector) x(t) sebagai: x 1 (t) = y(t) x 2 (t) = y (t) = x 1(t) x 3 (t) = y (t) = x 2(t) x 4 (t) = y (3) (t) = x 3(t). x n (t) = y (n 1) (t) = x n 1(t) (49) Jimmy Hasugian (MCU) Sistem Waktu Kontinu 44 / 58

4 Persamaan Ruang Keadaan Dengan menyusun ulang persamaan (49) untuk mendapatkan ẋ(t) sebagai: x 1(t) = x 2 (t) x 2(t) = x 3 (t) x 3(t) = x 4 (t). x n 1(t) = x n (t) x n(t) = y (n) (t) = a 0 u(t) x 1 (t)... b n 1 x n (t) (50) Jimmy Hasugian (MCU) Sistem Waktu Kontinu 45 / 58

5 Persamaan Ruang Keadaan Persamaan (50) dapat ditulis kembali dalam bentuk matriks ẋ 1 (t) ẋ 2 (t) atau ẋ(t) =. ẋ n 1 (t) ẋ n (t) = b 1 b 2... b n 1 x 1 (t) x 2 (t). x n 1 (t) x n (t) u(t) (51) 0 a 0 ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) (52) Jimmy Hasugian (MCU) Sistem Waktu Kontinu 46 / 58

6 Persamaan Ruang Keadaan Persamaan ruang keadaan untuk sistem waktu-kontinu dinyatakan sebagai turunan (derivative) dari vektor keadaan (state vector). Kita juga dapat mengekspresikan output y(t) dalam x(t). Sehingga secara lengkap sebuah sistem dinyatakan dalam persamaan ruang keadaan: ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) (53) Apabila sistem memiliki multi-input sehingga berbentuk vektor, maka persamaan ruang keadaan di atas dapat ditulis menjadi: ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) (54) Jimmy Hasugian (MCU) Sistem Waktu Kontinu 47 / 58

7 Contoh Soal Untuk rangkaian listrik berikut ini, tentukanlah persamaan ruang keadaannya, dengan input adalah u 1 (t) dan u 2 (t) dan output y(t) (tegangan pada R 2 ) Jawaban Pada soal ini, kita misalkan variabel keadaan (state variable) x 1 (t) dan x 2 (t) adalah tegangan pada C 1 dan C 2 Jimmy Hasugian (MCU) Sistem Waktu Kontinu 48 / 58

8 Contoh Soal Dengan menerapkan Hukum I Kirchhoff (Kirchhoff s Current Law) pada simpul (node) antara R 1 dan R 2 serta antara R 2 dan R 3, maka kita akan mendapatkan persamaan: dan output y(t) adalah: ẋ 1 (t) = 1 [ u1 (t) x 1 (t) C 1 R 1 ẋ 2 (t) = 1 [ u2 (t) x 2 (t) C 2 R 3 y(t) = x 1 (t) x 2 (t) + x ] 2(t) x 1 (t) R 2 ] + x 1(t) x 2 (t) R 2 Jimmy Hasugian (MCU) Sistem Waktu Kontinu 49 / 58

9 Contoh Soal Dengan demikian persamaan ruang keadaan dari rangkaian listrik tersebut adalah: 1 ( ) 1 1 ẋ(t) = C 1 R 1 R 2 R 2 C ( ) x(t) + R 1 C 1 1 u(t) 0 R 2 C 2 C 2 R 2 R 3 R 3 C 2 dan y(t) = [ 1 1 ] x(t) Jimmy Hasugian (MCU) Sistem Waktu Kontinu 50 / 58

10 Sekarang kita akan mencari solusi dari persamaan (52) dengan pertama sekali mencari respons alami (solusi homogen); yaitu dengan mengatur u(t) = 0, sehingga persamaan (52) disederhanakan menjadi: ẋ(t) = Ax(t) (55) Dengan prinsip yang sama dalam mencari solusi homogen dalam persamaan diferensial, maka solusi persamaan di atas: x(t) = e At x(0) (56) Bila kembali meninjau pelajaran mengenai Deret Taylor (atau MacLaurin), maka e At dapat didefiniskan: e At = k=0 t k k! Ak (57) Jimmy Hasugian (MCU) Sistem Waktu Kontinu 51 / 58

11 Untuk mengevaluasi nilai x(0), gunakan persamaan (56) pada nilai x(t) yang diketahui saat t 0 : Sehingga akhirnya, solusi homogennya adalah: x(t 0 ) = e At 0 x(0) (58) x(t) = e A(t t 0) x(t 0 ) (59) Untuk mencari solusi khusus (non-homogen), kita asumsikan solusinya memiliki bentuk: x p (t) = e At q(t) (60) Nilai q(t) adalah besaran yang akan ditentukan kemudian. Jimmy Hasugian (MCU) Sistem Waktu Kontinu 52 / 58

12 Mirip seperti dalam penyelesaian persamaan diferensial, maka bentuk solusi khusus dalam persamaan (60) disubstitusikan ke persamaan ruang keadaan (54), sehingga akan diperoleh: t q(t) = q(t 0 ) + e Aτ Bu(τ)dτ (61) t 0 Substitusikan hasil ini ke dalam (60), sehingga akhirnya, solusi khusus adalah: t x p (t) = e At q(t 0 ) + e A(t τ) Bu(τ)dτ (62) t 0 Dengan menggabungkan kedua jenis solusi, serta mengevaluasi nilai x(t) pada saat t 0 sama dengan x(t 0 ), maka diperoleh bahwa q(t 0 ) = 0 Jimmy Hasugian (MCU) Sistem Waktu Kontinu 53 / 58

13 Maka solusi lengkap (umum) untuk persamaan ruang keadaan (54) adalah: Dan output-nya adalah: t x(t) = e A(t t0) x(t 0 ) + e A(t τ) Bu(τ)dτ (63) t 0 y(t) = Cx(t) + Du(t) = Ce A(t t 0) x(t 0 ) + t t 0 [Ce A(t τ) B + Dδ(t τ)]u(τ)dτ (64) Dari persamaan (64) di atas diperoleh respons impuls : { Ce At B + Dδ(t), t 0 h(t) = 0 t < 0 (65) Jimmy Hasugian (MCU) Sistem Waktu Kontinu 54 / 58

14 Pada rumus respons impuls pada persamaan (65) terdapat unsur e At yang dapat ditentukan dengan menggunakan Teorema Caley-Hamilton, yaitu: e At = β 0 I + β 1 A + β 2 A β n 1 A n 1 (66) Dengan mencari nilai-eigen (eigenvalue) dari matriks A (λ 1, λ 2,..., λ n ), maka konstanta β 0, β 1,... dapat dievaluasi melalui persamaan: e λ 1t = β 0 + λ 1 β 1 + λ 2 1β λ n 1 1 β n 1 e λ 2t = β 0 + λ 2 β 1 + λ 2 2β λ n 1 2 β n 1. e λnt = β 0 + λ n β 1 + λ 2 nβ λ n 1 n β n 1 (67) CATATAN: Sistem waktu-kontinu disebut stabil, jika dan hanya jika, semua nilai-eigen dari state matrix memiliki komponen ril yang kurang dari nol. Jimmy Hasugian (MCU) Sistem Waktu Kontinu 55 / 58

15 Contoh Soal 1 Evaluasilah nilai e At untuk matriks A = Dengan menggunakan metode persamaan ruang keadaan, carilah respons step dan respons impuls dari sistem rangkaian listrik berikut. Jimmy Hasugian (MCU) Sistem Waktu Kontinu 56 / 58

16 Respons Frekuensi Respons Frekuensi Kembali ditulis persamaan ruang keadaan (53) untuk input tunggal: ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) Untuk mencari respons frekuensi, maka sistem diberi input u(t) = e jωt dan akan menghasilkan output y(t) = H(jω)e jωt. Dengan men-substitusikan e jωt untuk u(t), X(jω)e jωt untuk x(t), dan H(jω)e jωt untuk y(t) maka diperoleh respons frekuensi: H(jω) = C(Ijω A) 1 B + D (68) Jimmy Hasugian (MCU) Sistem Waktu Kontinu 57 / 58

17 Respons Frekuensi Terimakasih Jimmy Hasugian (MCU) Sistem Waktu Kontinu 58 / 58