Metode Beda Hingga pada Persamaan Gelombang

Transkripsi

1 Metode Beda Hingga pada Persamaan Gelombang Tulisan ini diadaptasi dari buku PDP yang disusun oleh Dr. Sri Redeki Pudaprasetia M. Jamhuri UIN Malang July 2, 2013 M. Jamhuri UIN Malang Metode Beda Hingga pada Persamaan Gelombang July 2, / 13

2 Metode Beda Hingga Perhatikan persamaan gelombang dengan syarat awal u tt c 2 u xx = 0 1 u x, 0 = φ x, dan u t x, 0 = ψ x 2 Persamaan beda skema CTCS central time central space untuk persamaan 1 adalah sebagai berikut 2u n + u n 1 t 2 c 2 un +1 2un + un 1 x 2 = 0 3 atau dapat dituliskan sebagai dengan = S u+1 n + un S u n u n 1 4 S = c2 t 2 x 2 Perhatikan bahwa persamaan beda 4 memerlukan dua baris syarat awal, sementara permasalahan kita hanya mempunyai syarat awal 2, yang berarti u 0, untuk = 1,..., Mx. Untuk memperoleh u 1 terapkan beda pusat dengan akurasi O t 2 pada u t 0, yaitu u 1 u 1 2 t = ψ 5 M. Jamhuri UIN Malang Metode Beda Hingga pada Persamaan Gelombang July 2, / 13

3 Persamaan 4 untuk n = 0 menghasilkan u 1 = S u u S u 0 u 1 dan karena maka diperoleh atau u 1 u 1 = 2 tψ u 1 = S u u S u tψ u 1 u 1 = S 2 u u S u 0 + tψ 6 Berikutnya, substitusikan kondisi u 0 = φ pada persamaan 6 sehingga diperoleh u 1 = S 2 φ φ S φ 0 + tψ 7 Jadi, persamaan beda 4 dapat diterapkan dengan menggunakan u 0 7 sebagai nilai awal untuk dua baris pertama. = φ dan persamaan M. Jamhuri UIN Malang Metode Beda Hingga pada Persamaan Gelombang July 2, / 13

4 Syarat Kestabilan Syarat kestabilan dari persamaan beda 4 dapat dicari dengan cara mensubstitusikan u n = ρ n e ia kedalam persamaan tersebut, yaitu ρ n+1 e ia = S ρ n e ia+1 + ρ n e ia S ρ n e ia ρ n 1 e ia selanutnya bagi persamaan diatas dengan ρ n e ia, sehingga diperoleh ρ = S e ia + e ia S ρ 1 8 Karena e ±ia = cos a ± i sin a, maka persamaan 8 dapat ditulis sebagai atau ρ = S [cos a + i sin a] + [cos a i sin a] S ρ 1 ρ 2 = [2S cos a 1 + 2] ρ 1 Misalkan S cos a 1 = p, maka diperoleh sehingga akar-akarnya adalah ρ 2 [2S cos a 1 + 2] ρ + 1 = 0 9 ρ 2 2p + 2 ρ + 1 = 0 ρ 1 = p p 2 + 2p dan ρ 2 = p + 1 p 2 + 2p M. Jamhuri UIN Malang Metode Beda Hingga pada Persamaan Gelombang July 2, / 13

5 Nilai dari ρ 1 dan ρ 2 terbagi menadi tiga kasus yaitu: 1 Jika p 2 + 2p > 0 dan p < 2, diperoleh ρ 1 dan ρ 2 bernilai riil dan salah satu diantaranya bernilai < 1, adi skema tidak stabil. 2 Jika p 2 + 2p < 0 dan 2 < p 0, diperoleh ρ 1 dan ρ 2 ρ 1,2 = p + 1 ± i p 2 2p merupakan bilangan kompleks dengan ρ 1,2 = 1. Jadi ρ 1,2 = cos θ + i sin θ. 3 Jika p = 2, maka akan diperoleh ρ = 1. Dengan demikian, skema beda hingga stabil ika p [ 2, 0], a, dan 2 S cos a x 1 0, a dan karena 2 cos a x 1 0, a, maka diperoleh atau 2 2S 0 0 < S 1 Jasi syarat kestabilan untuk persamaan gelombang skema CTCS adalah S = c 2 t2 x 2 1 M. Jamhuri UIN Malang Metode Beda Hingga pada Persamaan Gelombang July 2, / 13

6 Kekonsistenan Perhatikan uraian deret Taylor berikut: u n±1 = u n ± t u t n t2 u tt n ± 1 6 t3 u ttt n t4 u tttt n + 10 u n ±1 = u n ± x u x n x2 u xx n ± 1 6 x3 u xxx n x4 u xxxx n + 11 Dari persamaan 10 dan 11 diperoleh u+1 n + un 1 = 2 u n t2 u xx n x4 u xxxx n + + u n 1 = 2 u n t2 u tt n x4 u tttt n Substitusikan persamaan 12 dan 13 ke dalam persamaan beda 4 dan dengan sedikit manipulasi alabar di peroleh 2u n + t2 u tt n t4 u tttt n 2Sun S x2 u xx n S 2 24 x4 u xxxx n = 2 1 S u n 14 Persamaan 14 diatas dapat disederhanakan menadi t 2 u tt c 2 u xx n + 2 t 4 u tttt S x 4 u xxxx n 24 M. Jamhuri UIN Malang Metode Beda Hingga pada Persamaan Gelombang July 2, / 13

7 Skema diatas konsisten, Selanutnya suku pertama truncation terms-nya adalah 2 t 4 u tttt S x 4 u xxxx 4! = 2 4! t 4 c 2 u xxxx S x 4 u xxxx = 2 4! x4 S 2 S u xxxx yang berupa suku difusi, dan akan bernilai nol ika dan hanya ika S 2 S = 0 atau S = c 2 t2 x 2 = 1 M. Jamhuri UIN Malang Metode Beda Hingga pada Persamaan Gelombang July 2, / 13

8 Simulasi Perhatikan persamaan gelombang u tt = u xx, untuk 0 x 10, dengan syarat batas u x 0, t = 0 dan u 10, t = 0, dan syarat awal u t x, 0 = 0 dan { 2 u x, 0 = 16 x 32 x 7 2, 3 x 7 0, untuk x lainnya Terapkan skema beda hingga orde-2 untuk persamaan gelombang. Gunakan pula hampiran orde-2 untuk menaksir u x, t, uga untuk syarat batas kiri. Jika dipilih x = 1, diperoleh suatu hampiran bagi simpangan awal berikut u x, 0 = Hitung u x, t untuk beberapa selang waktu hand-calculation, pilih t = 1. Apa yang anda lihat pada batas? Implementasikan dan simulasikan perpecahan gundukan awal sampai gelombang pecahannya menabrak batas kanan dan kiri, kemudian berbalik. Amatilah! Kerakan soal c namun simpangan awal nol, dan kecepatan awal { 1, x 5 1 u t x, 0 = 0, x lainnya M. Jamhuri UIN Malang Metode Beda Hingga pada Persamaan Gelombang July 2, / 13

9 Jawaban Soal 1.a Skema beda hingga orde-2 untuk persamaan gelombang diatas adalah = S u+1 n + un 1 dengan S u n u n 1 15 S = t2 x 2 Hampiran orde-2 untuk syarat awal u t x, 0 = 0 adalah u 1 u 1 = 0 t u 1 = u 1 16 Hampiran orde-2 untuk syarat batas kiri u x 0, t = 0 adalah u1 n un 1 = 0 2 t u 1 n = un 1 17 Jawaban Soal 1.b untuk x = t = 1, maka S = 1 dan persamaan 15, menadi = u n +1 + un 1 un 1 18 untuk = 0, dan n = 0 maka u 0 1 = u0 1 dan u 1 0 = u substitusikan 19 ke persamaan 18 untuk n = 0, dan = 0 diperoleh u 1 0 = u untuk n = 0, dan = 1 M x 1, berlaku u 1 = u u 1 u 1 dengan mensubstitusikan 16 pada persamaan diatas diperoleh u 1 = u u M. Jamhuri UIN Malang Metode Beda Hingga pada Persamaan Gelombang July 2, / 13

10 Jawaban soal 1.b untuk n = 1 N t dan = 0, berlaku u0 n+1 = u1 n + un 1 un 1 0 dan dengan mensubstitusikan 17 pada persamaan diatas diperoleh 0 = 2u n 1 un Dengan menggunakan kondisi awal dan kondisi batas 20, 21, dan 22 diperoleh hasil sebagai berikut: t/x M. Jamhuri UIN Malang Metode Beda Hingga pada Persamaan Gelombang July 2, / 13

11 Jawaban Soal 1.c Persamaan beda untuk persamaan gelombang u tt = u xx adalah = S u+1 n + un S u n u n 1, S = t2 x 2 23 untuk = 0, dan n = 0, maka persamaan 23 menadi u0 1 = S u1 0 + u S u 0 0 u substitusikan persamaan 16 untuk = 0, dan persamaan 17 untuk n = 0 pada persamaan 24, diperoleh atau u 1 0 = S u u S u 0 0 u 1 0 2u 1 0 = 2Su S u0 0 u 1 0 = Su S u untuk n = 0 dan = 1 M x 1 persamaan 23 menadi u 1 = S u u S u 0 u 1 dengan menggunakan 16, persamaan 26 menadi u 1 = S 2 u u S u 0 untuk = 0 dan n = 2 N t persamaan 23 menadi u0 n+1 = S u1 n + un S u n 0 un dengan menggunakan 17, persamaan 28 menadi u0 n+1 = 2Su1 n S un 0 un M. Jamhuri UIN Malang Metode Beda Hingga pada Persamaan Gelombang July 2, / 13

12 Simulasi Soal 1.c Hasil Simulai M. Jamhuri UIN Malang Metode Beda Hingga pada Persamaan Gelombang July 2, / 13

13 Simulasi Soal 1.d Hasil Simulasi M. Jamhuri UIN Malang Metode Beda Hingga pada Persamaan Gelombang July 2, / 13