MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2016/2017 3 Februari 2017
Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg Batas Tak Terhigga 8.4 Itegral Tak Wajar dg Itegra Tak Terbatas 2/12/2014 (c) Hedra Guawa 2
MA1201 MATEMATIKA 2A BAB 9. DERET TAK TERHINGGA 2/12/2014 (c) Hedra Guawa 3
Sasara Kuliah Hari Ii 9.1 Barisa Tak Terhigga Memeriksa kekovergea suatu barisa da, bila mugki, meghitug itya 2/12/2014 (c) Hedra Guawa 4
MA1201 MATEMATIKA 2A 9.1 BARISAN TAK TERHINGGA Memeriksa kekovergea suatu barisa da, bila mugki, meghitug itya 2/12/2014 (c) Hedra Guawa 5
Megapa Barisa Tak Terhigga Masih igatkah Metode Bagi Dua utuk medapatka hampira akar dari suatu persamaa f(x) = 0 pada suatu selag? Pada setiap lagkah, kita membagi dua selag da meaksir akar persamaa itu dega titik tegah selag tersebut. Dega metode ii, kita dapatka barisa titiktitik tegah selag x 1, x 2, x 3, yag merupaka hampira akar persamaa. 2/12/2014 (c) Hedra Guawa 6
Apa itu Barisa Tak Terhigga Barisa tak terhigga, atau sigkatya barisa (dari bilaga real) adalah suatu fugsi dega daerah asal N da daerah ilai R, yag biasaya disajika sebagai {a } atau a 1, a 2, a 3, dega a ϵ R utuk setiap ϵ N. Cotoh 1: Barisa {2 1} adalah barisa bilaga gajil 1, 3, 5, 7,. 2/12/2014 (c) Hedra Guawa 7
Cotoh Lagi 2. Barisa {(-1) } adalah barisa bilaga -1, 1, -1, 1, -1, 1, Catata: Barisa {(-1) } tidak sama dega himpua {(-1) : ϵ N} = {-1, 1}. 3. Barisa {a } yag didefiisika dega rumus rekursif: a 1 = 1 da a +1 = 0.5(a + 2), utuk = 1, 2, 3, adalah barisa bilaga 1, 1.5, 1.75, 2/12/2014 (c) Hedra Guawa 8
Grafik Barisa (1) Barisa dapat kita plot pada bidag koordiat x 5 x 4 3 x 2 x 1 1 2 3 4 5 2/12/2014 (c) Hedra Guawa 9
Grafik Barisa (2) Barisa dapat kita plot pada garis bilaga real x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 Cotoh: {1/} 0 1/4 1/3 1/2 1 2/12/2014 (c) Hedra Guawa 10
Kekovergea Barisa Diberika suatu barisa {a }, apa yag terjadi bila? Defiisi: Barisa {a } dikataka koverge ke suatu bilaga L, ditulis L, a apabila utuk tiap ε > 0 terdapat N ϵ N sehigga N a L. 2/12/2014 (c) Hedra Guawa 11
Catata. Tidak semua barisa koverge. Barisa yag tidak koverge disebut diverge. Cotoh: 1. Barisa 1 koverge ke 0, yaki 1 0 Utuk tiap ε > 0, dapat dipilih N > 1/ε sehigga jika N, maka 1 0 1 1. N 2/12/2014 (c) Hedra Guawa 12
2. Barisa {(-1) } merupaka barisa yag diverge, yaki: utuk tiap L ϵ R, ( 1) Sebagai cotoh, utuk L = 1, ada ε = 1 sehigga berapapu N ϵ N yag kita pilih, selalu ada bilaga gajil N sehigga Ii meujukka bahwa L. ( 1) 1 2. ( 1) 1. 2/12/2014 (c) Hedra Guawa 13
9.1b Beberapa Teorema Batua utuk Memeriksa Kekovergea Barisa da Meghitug Limitya 2/12/2014 (c) Hedra Guawa 14
Teorema Limit Barisa Misalka {a } da {b } barisa yag koverge, da k kostata. Maka 1. 2. 3. 4. 5. ka ( a k a a b b k b k ) a b a a a 2/12/2014 (c) Hedra Guawa 15 b b, asalka b 0.
Teorema Limit Barisa Jika x f ( x) L, maka f ( ) L. L 1 2 3 4 5 6 2/12/2014 (c) Hedra Guawa 16
Cotoh: 1. 1 1 1 1 23 23/ 23 1/ 230 2. 2. 2 4 2 3 31... 3.... e 2/12/2014 (c) Hedra Guawa 17
Teorema Apit utuk Barisa Jika a b c utuk K (K ϵ N tertetu) da a c L, maka L. b 2/12/2014 (c) Hedra Guawa 18
Cotoh: 1. da 0 si, 1 0. 1 karea 1 si 2. Jika a 0, maka a 0, karea a a a N. 2/12/2014 (c) Hedra Guawa 19
Barisa Mooto Barisa {a } dikataka aik apabila a a +1 utuk setiap ϵ N. Barisa {a } dikataka turu apabila a a +1 utuk setiap ϵ N. Barisa aik atau turu disebut barisa mooto. Cotoh: {1/} turu, sedagka {2 } aik. 2/12/2014 (c) Hedra Guawa 20
Latiha Selidiki apakah barisa berikut mooto (aik atau turu) atau tidak. 1. {1 2 - } 2. {(-1) } 3. {l } 4. { l } 5. {(l )/} 2/12/2014 (c) Hedra Guawa 21
Teorema Barisa Mooto Jika barisa {a } aik da terbatas di atas, yaki terdapat M ϵ R sehigga a M utuk tiap ϵ N, maka {a } koverge. Jika barisa {a } turu da terbatas di bawah, yaki terdapat m ϵ R sehigga apabila m a utuk tiap ϵ N, maka {a } koverge. 2/12/2014 (c) Hedra Guawa 22
Cotoh/Latiha Barisa {a } yag didefiisika dega rumus rekursif: a 1 = 1 da a +1 = 0.5(a + 2), utuk = 1, 2, 3, adalah barisa bilaga 1, 1.5, 1.75,. Dega Prisip Iduksi Matematika*, dapat dibuktika bahwa barisa ii aik da terbatas di atas. Karea itu, meurut Teorema Barisa Mooto, barisa {a } koverge. Ke maakah barisa {a } koverge? 2/12/2014 (c) Hedra Guawa 23
*Prisip Iduksi Matematika Misalka P() adalah peryataa atau kaat matematika yag berkeaa dega ϵ N. [Sebagai cotoh, P() adalah kaat < 2.] Jika: maka: (i) P(1) bear, da (ii) P(k) bear megakibatka P(k+1) bear, P() bear utuk setiap ϵ N. 2/12/2014 (c) Hedra Guawa 24