MODUL BARISAN DAN DERET

MODUL BARISAN DAN DERET SEMESTER 2 Muhammad Zaial Abidi Persoal Blog http://meetabied.wordpress.com

BAB I. PENDAHULUAN A. Desripsi Dalam modul ii, ada aa mempelajari pola bilaga, barisa, da deret diidetifiasi berdasara ciri-ciriya. Notasi sigma da pegguaaya dalam meyederhaaa peulisa suatu deret. Barisa da deret aritmatia diidetifiasia berdasara ciri-ciriya, ilai usur e suatu barisa aritmatia ditetua dega megguaa rumus, jumlah suu pertama suatu deret aritmatia ditetua dega megguaa rumus. Barisa da deret geometri diidetifiasia berdasara ciri-ciriya, ilai usur e suatu barisa geometri ditetua dega megguaa rumus, jumlah suu pertama suatu deret geometri ditetua dega megguaa rumus, jumlah tahigga deret geometri ditetua dega megguaa rumus. B. Prasyarat Agar dapat mempelajari modul ii ada harus telah memahami operasi pada bilaga real. C. Petuju Pegguaa Modul 1. Perhatia lagah-lagah dalam setiap cotoh sehigga mempermudah dalam memahami osep pola bilaga, barisa maupu deret. 2. Apabila ada soal latiha, erjaalah soal-soal tersebut sebagai latiha utu persiapa evaluasi.

3. Jawablah tes formatif dega jelas sesuai dega emampua Ada. Jia Ada masih ragu-ragu dega jawaba yag Ada peroleh, Ada bisa melihat uci jawaba formatif yag sesuai. 4. Kerjaa soal-soal yag ada pada evaluasi. D. Tujua Ahir Setelah mempelajari modul ii diharapa Ada dapat: 1. memahami pola bilaga, barisa, da deret. 2. memahami otasi sigma da pegguaaya dalam meyederhaaa peulisa suatu deret. 3. memahami barisa da deret aritmatia. 4. meetua usur e suatu barisa aritmatia dega megguaa rumus. 5. meetua jumlah suu pertama suatu deret aritmatia dega megguaa rumus. 6. memahami barisa da deret geometri. 7. meetua usur e suatu barisa geometri dega megguaa rumus. 8. meetua jumlah suu pertama suatu deret geometri dega megguaa rumus. 9. meetua jumlah tahigga deret geometri dega megguaa rumus.

BAB II. PEMBELAJARAN A. RENCANA BELAJAR SISWA Kompetesi : Meerapa osep baris da deret. Sub Kompetesi : - Megidetifiasi pola bilaga, barisa da deret. - Meerapa osep barisa da deret aritmatia. - Meerapa osep barisa da deret geometri. Tulislah semua jeis egiata yag Ada laua di dalam tabel egiata di bawah ii. Jia ada perubaha dari recaa semula, berilah alasaya emudia memita tada taga epada guru atau istrutur Ada. Jeis Kegiata Taggal Watu Tempat Belajar Alasa perubaha Tadataga Guru

B. KEGIATAN BELAJAR 1. Kegiata Belajar 1 Pola Bilaga, Barisa, Deret da Notasi Sigma a. Tujua Kegiata Pembelajara Setelah mempelajari egiata belajar ii, diharapa ada dapat: meetua pola suatu dereta bilaga, meetua usur e suatu barisa berdasara sifat/pola yag dimilii, meetua usur pertama suatu barisa jia rumus usur e barisa itu dietahui, meetua suu e suatu barisa berdasara sifat/pola yag dimilii oleh barisa yag terait, meetua suu pertama suatu deret jia rumus suu e deret itu dietahui, meyataa suatu pejumlaha dega megguaa otasi sigma, meetua ilai pejumlaha yag diyataa dalam otasi sigma, memahami beberapa sifat pada otasi sigma. b. Uraia Materi Perhatia dereta bilaga-bilaga beriut: a. 1 2 3... b. 4 9 16... c. 31 40 21 30 16... Dereta bilaga di atas mempuyaipola tertetu. Dapatah ada meetua bilaga yag belum dietahui sesuai dega atura yag dipuyai?

Pada a, bilaga e 4 adalah 4, sebab dereta bilaga omor 1, mempuyai atura: bilaga e 2 1 + 1 2, bilaga e 3 bilaga e 2 + 1 2 + 1 3. Jadi bilaga e 4 bilaga e 3 + 1 3 + 1 4. Pada b, bilaga e 4 adalah 25, sebab dereta bilaga omor 2, mempuyai atura: bilaga e 1 (1 + 1) 2 2 2 4, bilaga e 2 (2 + 1) 2 3 2 9, bilaga e 3 (3 + 1) 2 4 2 16. Jadi bilaga e 4 (4 + 1) 2 5 2 25. Pada c, bilaga e 6 adalah 25, sebab dereta bilaga omor 3, mempuyai atura: bilaga e 3 bilaga pertama - 10 31-10 21, bilaga e 4 bilaga e 2-10 40-10 30, bilaga e 5 bilaga e 3-5 21-5 16,. Jadi bilaga e 6 bilaga e 4-5 30-5 25. Atura yag dimilii oleh dereta bilaga di atas disebut pola bilaga pada dereta itu. Pola sebuah dereta bilaga tida tuggal. Sebagai cotoh, pada dereta bilaga omor 2, bilaga e ( + 1) 2 dega 1, 2, 3, 4. Selajutya ita aa membicaraa dereta bilaga dega pola husus yag disebut barisa da deret. Defiisi Barisa bilaga real adalah suatu fugsi dega domai himpua semua bilaga asli (? ) da odomai himpua semua bilaga real (? ). Jia U merupaa fugsi dari?e?, maa barisaya serig ditulis dega U 1, U 2, U 3,..., U,... Pada barisa U 1, U 2, U 3,..., U,..., usur e atau eleme e dari barisa itu. U disebut 9

Co toh 1.1 1. 1, 2, 3,... merupaa barisa dega usur e dari barisa itu adalah U. 2. 1, -1, 1, -1,... adalah barisa dega usur e dari barisa itu adalah U (-1). Defiisi Jia U 1, U 2, U 3,..., U,... merupaa barisa bilaga real, maa U 1 + U 2 + U 3,... + U +... disebut deret, da U disebut suu e barisa itu. Cotoh 1.2 1) 1 + 2 + 3 +..., maa suu e barisa itu adalah U. 2) 1 + (-1) + 1+ (-1) +..., maa suu e dari deret itu adalah U (-1). 3) 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 +..., maa e 7 dari barisa itu adalah 13. Notasi Sigma Perhatia jumlaha bilaga-bilaga beriut. 1. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7. 2. 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12. 3. 1 + 1 + 1. 3 9 27 4. 1 + 3 + 5 + 7 + 9. Jumlaha bilaga-bilaga dari dereta bilaga yag mempuyai pola dapat ditulisa dega otasi (dibaca: sigma), Sehigga jumlaha bilaga diatas dapat ditulis embali : 1. 1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 7 1 6 2. 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 2 1 10

3 1 1 1 1 3. + + 3 9 27 1 3 5 4. 1+ 3 + 5 + 7 + 9 (2 1) 1 11

Beberapa sifat otasi sigma Jia m da adalah bilaga asli, dega m da c R, maa berlau : 1. + + m m m b a b (a ) 2. m m a c ca 3. c m c m ( +1) 4. p a a p p m m + + 5. + + + m m m m b b a a b a 2 2. 2 ) (

c. Raguma 1 1. Atura yag dimilii oleh dereta bilaga disebut pola bilaga pada dereta itu. 2. Barisa bilaga real adalah suatu fugsi dega domai himpua semua bilaga asli (N) da odomai himpua semua bilaga real (R). Jia U merupaa fugsi dari N e R, maa barisaya serig ditulis dega U 1, U 2, U 3,..., U,... Pada barisa U 1, U 2, U 3,..., U,..., U disebut usur e atau eleme e dari barisa itu. 3. Jia U 1, U 2, U 3,..., U,... merupaa barisa bilaga real, maa U 1 + U 2 + U 3,... + U +...disebut deret, da U disebut suu e barisa itu. 4. Jumlaha bilaga-bilaga dari dereta bilaga yag mempuyai pola dapat ditulisa dega otasi (dibaca: sigma).

d. Tugas 1 1. Tetua suu yag dicatuma di ahir barisa da juga suu e- dari setiap barisa beriut: a. 13, 9, 5,..., U 31 b. 25, 21, 17, 13,..., U 20 c. -10, -8, -6, -4,..., U100 2. Tetua betu otasi sigma dari setiap deret beriut : a. 2 + 5 + 8 +... + 119 b. 100 + 90 + 80 +... + 0 c. 4 + 1 + 4 1 +... 3. Hituglah deret-deret beriut : 5 a. (2 + 1) 1 4 b. 2 1 6 1 c. 3.2 1 2. Kegiata Belajar 2: Barisa Aritmatia da Deret Aritmatia a. Tujua Kegiata pembelajara Setelah mempelajari egiata belajar 2, diharapa Ada dapat: memahami barisa aritmatia, meetua usur e suatu barisa aritmatia, memahami deret aritmatia, meetua jumlah suu pertama deret aritmatia. b. Uraia Materi Kadag-adag, suatu barisa mempuyai pola husus. Pada barisa 1, 2, 3, 4,, selisih atara usur yag beruruta, yaitu: e 1 dega e 2, e 2 dega e 3, e dega e + 1, da seterusya adalah

tetap, yaitu sama dega 1. Barisa semacam ii disebut barisa aritmatia. Secara matemati, pegertia barisa arimatia dapat ditulisa sebagai beriut. Defiisi Barisa U 1, U 2, U 3,..., U,... disebut barisa aritmatia jia dega 2, 3, 4,... U - U -1 osta, Kostata pada barisa aritmatia di atas disebut beda dari barisa itu da serig diotasia dega b, da U 1 serig diotasia dega a. Cotoh 2.1 1. 1, 2, 3,... merupaa barisa aritmatia dega beda, b 1. 2. 1, 3, 5, merupaa barisa aritmatia dega beda, b 2. 3. 1, -1, 1, -1,... bua barisa aritmatia sebab U 2 U 1-1 1-2? 2 1 (-1) U 3 U 2 Meurua Rumus Usur e Barisa Aritmatia Jia U 1 a, U 2, U 3,..., U,... merupaa barisa aritmatia, maa usur e dari barisa itu dapat diturua dega cara beriut. U 1 a U 2 a + b U 3 U 2 + b (a + b) + b a + 2b U 4 U 3 + b (a + 2b) + b a + 3b U 5 U 4 + b (a + 3b) +... U a + ( -1)b b a + 4b Jadi rumus umum usur e suatu barisa aritmatia dega usur pertama a da beda b adalah: U a + ( -1)b

Cotoh 2.2 Dietahui barisa aritmatia dega usur e 2 adalah 10 da beda 2. Tetua usur e 7 barisa itu. Peyelesaia: Dietahui U 2 10, b 2. Dega megguaa rumus U a + ( -1)b, diperoleh U 2 a + (2-1)b U 2 a + b a U 2 - b 10-2 8 U 7 a + (7-1) b a + 6 b 8 + 6 (2) 8 + 12 20. Jadi usur e 7 dari barisa adalah 20. Cotoh 2.3 Mulai tahu 2000, Pa Arma mempuyai ebu tebu. Peghasila ebu tebu Pa Arma pada ahir tahu 2000 adalah Rp 6.000.000,-. Mulai tahu 2001, Pa Arma memupu ebu tebuya dega pupu adag. Pa Arma memperiraa bahwa setiap ahir tahu, peghasila ebu tebuya ai Rp 500.000,-. Berapa periraa peghasila ebu tebu Pa Arma pada ahir tahu 2005?

Peyelesaia: Misala: a peghasila ebu tebu Pa Arma pada ahir tahu 2000. b periraa eaia peghasila ebu tebu Pa Arma setiap ahir tahu. P 2005 periraa peghasila ebu Pa Arma pada ahir tahu 2005. Jadi a Rp 6.000.000,-, b Rp 500.000,-, da P 2005 aa dicari. Karea periraa eaia peghasila ebu tebu Pa Arma setiap ahir tahu adalah tetap, maa utu meetua peghasila ebu Pa Arma pada ahir tahu 2005, ita dapat meerapa rumus usur e dari barisa aritmatia dega U 1 a a Rp 6.000.000,-, b Rp 500.000. P 2005 U 6 a + 5b 6.000.000 + 5(500.000) 6.000.000 + 2.500.000 8.500.000. Jadi periraa peghasila ebu tebu Pa Arma pada ahir tahu 2005 adalah Rp 8.500.000,- Dega adaya deret aritmatia, ita dapat membetu barisa yag terait dega deret tersebut. Barisa demiia disebut barisa aritmatia. Defiisi Jia U 1, U 2, U 3,..., U,... merupaa barisa aritmata, maa U 1 + U 2 + U 3 +... + U,... disebut deret aritmatia. U disebut suu e dari deret itu. Jia S meyataa jumlah suu pertama deret aritmatia U 1 + U 2 + U 3 +... + U,..., maa S U 1 + U 2 + U 3 +... + U dapat

diturua dega cara sebagai beriut. S U + (U - b) + (U - 2b) +... + a S a + (a - b) + (a + 2b) +... + U 2S (a + U ) + (a + U ) + (a + U ) +... + (a + U ), sebaya suu. 2 S. (a + U ) 1 S ( a + U ) 2 1 1 Jadi S ( a + U ) atau S (2a + ( 1) b) 2 2 + c. Raguma 2 1. Barisa U 1, U 2, U 3,..., U,... disebut barisa aritmatia jia U - U -1 osta. U disebut usur e barisa itu, da ostata tersebut disebut beda, yag diotasia dega b. 2. Jia U 1, U 2, U 3,..., U,... merupaa barisa aritmata dega beda b da usur pertama U 1 a, maa rumus usur e dari barisa itu adalah U a + ( - 1)b 3. Jia U 1, U 2, U 3,..., U,... merupaa barisa aritmata, maa U 1 + U 2 + U 3 +... + U,...disebut deret aritmatia. U disebut suu e dari deret itu. 4. Jumlah suu deret aritmatia dega beda b da usur pertama U 1 a 1 1 adalah S ( a + U ) atau S (2a + ( 1) b) 2 2 d. Tugas 2 1. Tetua rumus suu e- dari barisa aritmatia dibawah ii : a. 3, 6, 9, 12,... b. 1, 6, 11, 16,... c. -15, -8, -1, 6,... 2. Carilah suu yag dimita dalam setiap barisa aritmatia beriut :

a. 1, 4, 7, 10,..., suu e-50 b. 25, 21, 17, 13,..., suu e-20 c. -10, -8, -1, 6,..., suu e-50 3. Tetua ilai dari: a. 2 + 7 + 12 +... + 297 b. 30 + 26 + 22 +... + 2. 4. Tetua x jia: a. 100 + 96 + 92 + + x 0. b. 1 + 4 + 7 + + x 835. e. Tes Formatif 1 Selidii, apaah barisa-barisa beriut merupaa barisa aritmatia? 1. - 1, 3, -12, 48,... 2 2. a, a + x 2, a + 2x 2, a + 3x 2,... Tetua usur e dari barisa beriut utu yag dietahui. 3. 1, -1, -3, -5,...; 15. 4. 4, 8, 12,...; 50. Hituglah: 5. 30 + 25 + 20 +... + (-40). 6. 2 + 10 + 18 +... + 72. 7. Suu e 5 suatu deret aritmatia adalah 22, jumlah suu e 7 dega suu e 2 adalah 39. Tetua jumlah 5 suu pertamaya. Tetua suu pertama da beda dari barisa aritmatia yag mempuyai:

8. U 6 5; U 12-13. 9. U 13 8; U 17 48. 10. U 7 14; U 10 20.

3. Kegiata Belajar 3 Barisa Geometri da Deret Geometri a. Tujua Kegiata Pembelajara Setelah mempelajari egiata belajar 3, diharapa Ada dapat: memahami barisa geometri, meetua usur e suatu barisa geometri, memahami deret geometri, meetua jumlah suu pertama deret geometri, meetua jumlah deret geometri ta higga. b. Uraia Materi Rumus usur e barisa geometri U 1, U 2, U 3, U 4,..., U,... dega U 1 a da rasio r dapat diturua dega cara beriut. U 1 a U 2 a r U 3 U 2 r (a r)r ar 2 U 4 U 3 r (a r 2 )r ar 3... U U -1 r ar -1 Jadi rumus usur e barisa geometri U 1, U 2, U 3, U 4,..., U,... dega U 1 a da rasio r adalah: -1 U ar Defiisi

Jia U 1, U 2, U 3,..., U,... dega usur merupaa barisa geometri pertama adalah a U 1 da rasio r, maa U 1 + U 2 + U 3 +... + U +... disebut deret geometri dega U ar -1 Rumus jumlah suu pertama deret geometri dega suu pertama a da rasio r, dapat diturua dega cara sebagai beriut. Misala S U 1 + U 2 + U 3 +... + U, maa S a + ar 2 + ar 3 +... + ar -1 r S ar + ar 3 + ar 4 +... + ar -1 + ar S - r S a - ar (1 - r) S (1 -r )a Jadi rumus jumlah suu pertama deret geometri dega suu pertama a da rasio r adalah a(1 r ) S utu r < 1 atau 1 r a( r 1) S utu r > 1 r 1 Deret geometri ta higga adalah deret geometri dega r < 1 Jumlah deret geomatri ta higga adalah : a S lim S 1 r Rumus pada deret geometri berlau juga utu ta terhigga. Adapu utu ta terhigga ada dua asus : a(1 0) a. Jia -1 < r < 1, maa r meuju 0 aibatya S 1 r 1 r Deret geometri dega -1 < r < 1 ii disebut deret geometri overge (memusat). Jia r < -1 atau r > 1, maa utu ilai r mai besar aibatya a(1 ± ) S ± 1 r Deret geometri dega r < -1 atau r > 1 disebut deret geometri diverge (memecar) Cotoh 3.1 Dietahui barisa 27, 9, 3, 1,... Tetualah : a. Rumus suu e- b. Suu e-8

Jawab : a. Rasio pada barisa tersebut adalah tetap yaitu r 3 1 sehigga barisa tersebut adalah barisa geometri. Rumus suu e- barisa geometri tersebut adalah U 1 27.( ) 3 1 3 3.(3-1 ) -1 3 3.3 - + 1 3 4 b. Suu e-8 barisa geometri tersebut adalah U8 3 4 8 3-4 81 1 Cotoh 3.2 Suatu deret geometri mempuyai suu e-5 sama dega 64 da suu e-2 sama dega 8. Tetualah jumlah 10 suu pertama da jumlah suu pertama deret geometri tersebut. Jawab : U2 8, berarti ar 8 U3 64, berarti ar 4 64 ar.r 3 64 8r 3 64 r 3 8 didapat r 2 dega mesubstitusia r 2 e persamaa ar 8, aa didapata a.2 8 sehigga a 4. 4(1 2 ) Jumlah suu pertama deret ii adalah S 1 2 4 4.2 1 4.2 4 2 2.2 4 2 2 + 4 Jumlah 10 suu pertama deret ii adalah S10 2 2+10 4 2 12 4 4096 4 4092 c. Raguma 3 U 1. Barisa U 1, U 2, U 3,..., U,...disebut barisa geometri jia osta U 1 dega 2, 2, 3,... Kostata pada barisa geometri di

atas disebut rasio dari barisa itu da serig diotasia dega r. 2. Rumus usur e barisa geometri U 1, U 2, U 3, U 4,..., U,... dega U 1 a da rasio r adalah: U ar -1 3. Jia U 1, U 2, U 3,..., U,... merupaa barisa geometri dega usur pertama adalah a U 1 da rasio r, maa U 1 + U 2 + U 3 +... + U +...disebut deret geometri dega U ar -1 4. Rumus jumlah suu pertama deret geometri dega suu pertama a da rasio r adalah: a(1 r ) a( r 1) S utu r < 1 atau S utu r > 1 1 r r 1 Jia meuju ta higga S berhigga, maa deret yag bersaguta disebut deret overge, da jia tida demiia disebut deret diverge. 5. Jumlah ta higga suatu deret geometri dega suu pertama a a da rasio r adalah S 1 r d. Tugas 3 1. Tetua suu yag dimita dari barisa geometri pada setiap soal beriut : a. 2, 4, 8, 16,..., U 12 b. 3, -9, 27, -81,..., U10 c. 2, 3,3 2,3 6,..., U5 2. Tulislah rumus suu e- dari barisa beriut : a. 1, 2, 4,... 1 1 1 b.,,,... 2 4 8 c. 2,2,2 2,... 1 1 3. Dietahui deret geometri : 3 + 1+ + +... 3 9 Tetua : a. Rasio b. Suu e-10 c. Jumlah 10 suu pertama 4. Dietahui deret geometri suu e-3 adalah 16 da suu e-5 sama dega 64. Tetua : a. rasio b. rumus jumlah suu pertama e. Tes Formatif 3

Selidii, apaah barisa-barisa beriut merupaa barisa aritmatia? 1. 1,3,9,27,... 1 1 1 2.,,,... 4 8 16 Tetua usur e dari barisa beriut utu yag dietahui. 3. 2, -4, 8,..., 10 4. 3,3,3 3,... 10 Hituglah: 5. 2 6 + 18... sampai 10 suu 6. 3 + 1 + 3 1 + 9 1 +... sampai ta higga 7. Dari etiggia 2 m sebuah bola dijatuha e latai. Setiap ali mematul etiggia bola tersebut tiggal 3/5 dari tiggi sebelumya. Berapaah jara yag yag ditempuh bola selama 10 ali patula 8. Dietahui jumlah suu pertama deret geometri adalah S 5(2 1) Tetua : a. Suu pertama da rasio b. Rumus suu e-

BAB III. EVALUASI 1. Bayaya suu suatu deret aritmatia adalah 15. Suu terahir adalah 47 da jumlah deret tersebut 285. Tetua suu pertama deret tersebut. 2. Tetua jumlah semua bilaga asli atara 1 sampai 50 yag tida habis dibagi 3. 3. Suu edua deret geometri adalah 12, da suu e-8 adalah 96, da suu e- adalah 160. Jia suu-suu deret geometri tersebut merupaa suu positif, tetua jumlah suu pertama deret tersebut. 4. Pada barisa bilaga 4, x, y, z dietahui tiga suu pertama membetu barisa geometri da tiga suu terahir membetu barisa aritmatia. Tetua ilai x + y. 5. Sebuah bola dijatuha dari etiggia 1 meter. Setiap ali sesudah jatuh megeai latai, bola itu dipatula lagi da mecapai ¾ dari tiggi sebelumya. Tetua pajag seluruh jala yag dilalui bola itu sampai berheti.

BAB IV. PENUTUP Setelah meyelesaia modul ii, ada berha utu megiuti tes utu eguji ompetesi yag telah ada pelajari. Apabila ada diyataa memeuhi syarat etutasa dari hasil evaluasi dalam modul ii, maa ada berha utu melajuta e topi/modul beriutya.

DAFTAR PUSTAKA MGMP Matematia Kota Semarag, 2006. Matematia SMA/MA Kelas XII Program Ilmu Pegetahua Sosial, Semarag : PT Mascom Graphy, Semarag.