Isaro Elevas Jurusan Ten Spl dan Lngungan FT UGM U J I A N A K H I R S E M E S T E R M A T E M A T I K A T E K N I K SABTU JULI OPE N BOOK WAKTU ME NIT PETUNJUK ) Saudara bole menggunaan ompuer unu mengerjaan soal-soal ujan n. Tabel ungan Saudara saln e lembar jawab. ) Harap Saudara memperaan sauan pada seap varabel. ) Seap bur soal meml bobo nla ang sama. SOAL 4 4 7 4 8 4 8 4 Jara Gambar d aas menunjuan prol ana melnas sebua bu. Bu ersebu aan draaan dengan cara dpoong (dgal) ngga elevas + m unu eperluan pembangunan sebua pabr. Dengan asums prol ersebu den pada ara ega lurus bdang gambar ungla dengan cara numers volume poongan (per meer lebar ega lurus bdang gambar) ang arus dlauan. PENYELESAIAN Volume poongan per meer lebar ega lurus bdang gambar adala sama dengan luas awasan d bawa urva prol mua ana dan d aas bdang pada elevas + m sera dbaas ole jara m d ss r dan 4 m d ss anan. Secara maemas luas ersebu dnaaan dalam benu negral sebaga beru: UAS Meoda Numer lm. dar 8
Isaro Jurusan Ten Spl dan Lngungan FT UGM A 4 dx Dalam persamaan ersebu A adala luas (m ) adala elevas mua ana dan x adala jara. Secara numers negral d aas dapa dung dengan memaa sala sau meoda ang ela dbaas pada saa ula. D sn dpl meoda rapesum. Pada gambar ampa ada bua rapesum dengan lebar seragam = x = 4 m. A 4 A d x A 4 8 4... A d x... 4 4 d x... 4 Hungan dlauan dengan cara abulas seper dsajan pada abel d bawa n. TABEL. HITUNGAN VOLUME GALIAN DENGAN INTEGRASI NUMERIS METODA TRAPESIUM T uur Jara x Elevas Luas (m ) A --- 4 7 8 8 4 4 7 4 84 4 8 4 8 7 8 8 8 44 8 4 4 48 Jad luas aau volume peerjaan galan ana ang arus dlauan unu peraaan ana ngga elevas + m adala 4 48 m /m'. Pada meoda rapesum benu prol bu ddea dengan gars lurus ang mengubungan - daa uur elevas ana. Benu prol u sendr da deau arena daa elevas ana d anara - uur da deau. Meoda rapesum dapa meml esalaan ung ang besar ususna apabla benu prol bu pada enaaanna menmpang dar gars-gars lurus anar - daa uur. Unu menngaan eelan asl ungan dapa dpaa meoda Smpson /. Pada meoda n anara daa uur dubungan dengan gars lengung ang dperole dar ungs polnomal orde. Karena ada daa maa ada pasang ga daa aau pas ang masng-masng meml lebar 8 m. Smpson / derapan pada elma pas ersebu: UAS Meoda Numer lm. dar 8
Isaro Elevas Jurusan Ten Spl dan Lngungan FT UGM A 8 A dx A 8 8 A 4 dx A 4 4 dx A 8 4 dx 4 4 dx 4... 8 8 4 Hungan dlauan dengan cara abulas seper dsajan pada abel d bawa n. TABEL. HITUNGAN VOLUME GALIAN DENGAN INTEGRASI NUMERIS METODA SIMPSON / T uur Jara x Elevas Luas (m ) A --- 4 7 --- 8 4 8.7 --- 4.7 4 --- 4 8 7 8 --- 8 7 --- 4 4. Jad luas aau volume peerjaan galan ana ang arus dlauan unu peraaan ana ngga elevas + m adala 4. m /m'. SOAL 8 7 4 4 7 7 4 8 4 8 4 8 4 8 4 Jara UAS Meoda Numer lm. dar 8
Isaro Jurusan Ten Spl dan Lngungan FT UGM Menjelang pelasanaan pemoongan bu pada Soal dlauan penguuran ulang dengan penambaan uur. Hasl penguuran ulang dsajan pada gambar d bawa n. Hung embal volume peerjaan pemoongan bu ersebu dengan meoda numers. Gunaan meoda negras numers Smpson / aau /8. Pada pas ang da memungnan penggunaan meoda Smpson paala meoda rapesum. Tunjuan pada abel ungan Saudara meoda ang dpaa pada seap pas. PENYELESAIAN Meoda Smpson / membuuan pasang daa berjara seragam dan meoda Smpson /8 membuuan 4 pasang daa berjara seragam. Luas d bawa urva aau nla negral menuru meoda Smpson /8 unu suau pas adala: A dx x x 8 x x Pada Soal ada beberapa pas ang luasna dapa dung dengan meoda Smpson /8 sebagan ang lan dung dengan meoda Smpson / dan ada pula ang ana dapa dung dengan meoda rapesum. Hungan dsajan pada Tabel. Hungan negras numers dengan berbaga meoda menunjuan bawa luas aau volume peerjaan galan ana unu peraaan ana ngga elevas + m adala 4 44.7 m /m'. TABEL. HITUNGAN VOLUME GALIAN DENGAN INTEGRASI NUMERIS METODA SIMPSON /8 SIMPSON / DAN TRAPESIUM T uur Jara Elevas Lebar pas Luas (m ) x x A Meoda --- --- 4 7 4 --- 8 4 4 8.7 Smpson / 8 --- 4 7 Smpson / 4 84 Trapesum 8 7 --- 7 4 8 Smpson / 8 4 4 8 Trapesum 7 --- 8 8 Smpson / Trapesum --- --- 4 4 Smpson /8 --- 8 --- 7 4 8 Smpson /8 444.7 UAS Meoda Numer lm. 4 dar 8
Isaro Jurusan Ten Spl dan Lngungan FT UGM SOAL Sebua benda bergera na urun dengan ecepaan ang beruba-uba. Dar penguuran selama de dengan selang penguuran. de (reuens samplng Herz) dperole normas bawa ecepaan gera benda ersebu dapa dnaaan dengan persamaan: d v cos.4. sn.4. pada s m d Dalam persamaan d aas v adala ecepaan gera benda adala elevas dan adala wau (s). Pada saa penguuran dmula = s poss benda berada pada elevas = m. Hungla dengan cara numers poss benda ersebu seap selang wau = =. s pada renang wau = s.d. s. Paala sala sau meoda: Euler Heun aau Polgon. Apabla Saudara menambaan meoda Runge-Kua unu mengung poss benda ersebu ambaan (bonus) nla aan dberan. PENYELESAIAN Penelesaan persamaan derensal ordner (ordnar derenal equaons ODE) dengan sara awal ang deau seper pada Soal n dlauan dengan beda ngga ang dapa dnaaan dalam benu: Dalam persamaan ersebu + dan beruru-uru adala poss aau elevas benda pada wau + dan adala selang wau aau = + dan adala slope aau graden penggal urva anara dan +. Graden merupaan ungs dan = d/d = (). Dalam al n graden da lan adala ecepaan benda v saa bergera dar e +. Tga meoda ungan au Euler Heun dan Polgon berbeda dalam meneapan graden : a) pada meoda Euler deapan sebaga graden d b) pada meoda Heun deapan sebaga graden raa-raa anara graden d dan graden d + c) pada meoda Polgon deapan sebaga graden d enga anara dan +. Meoda penelesaan ang palng muda dan cepa unu dselesaan adala meoda Euler: v =. s Hungan dsajan dalam pada Tabel 4. Sampa d sn Saudara ela selesa menjawab semua soal ujan. Namun deman apabla Saudara mas meml wau Saudara dapa mencoba menelesaan Soal n dengan memaa meoda-meoda ang lan. Pada abel Tabel Tabel dan Tabel 7 dsajan ungan penelesaan ODE secara numers dengan memaa meoda Heun Polgon dan Runge-Kua. Pada pemaaan meoda Heun ana dlauan sau al ores jad + ang dperole dar langa perama sebaga predor dores pada langa edua ang mengaslan oreor. Seela u ungan berlanju pada langa wau beruna. Meoda n denal sebaga sngle-correcor Heun. UAS Meoda Numer lm. dar 8
Jurusan Ten Spl dan Lngungan FT UGM UAS Meoda Numer lm. dar 8 Isaro v predor predor raa raa raa raa oreor Meoda Polgon mendensan graden graden (au ecepaan v) anara dan + sebaga graden d +½ au d enga anara dan +. Langa ungan adala sebaga beru: v Meoda Runge-Kua (RK) ada beberapa jens anara lan second-order RK rd-order RK aau our-order RK. Pada Tabel 7 dsajan penelesaan ODE dengan meoda our-order RK. Persamaan-persamaan ang dpaa pada meoda n adala: 4 4 v Hasl ungan poss benda pada wau = s.d. de dengan berbaga meoda dsajan pada gambar d bawa n..4..8..4... Elevas Wau (s) Euler Heun Polgon 4-order RK
Isaro Jurusan Ten Spl dan Lngungan FT UGM TABEL 4. HITUNGAN POSISI BENDA DENGAN PENYELESAIAN ODE SECARA NUMERIS MEMAKAI METODA EULER (s) ( ).7......7..8.7 4.4 -.4.4. -.8.47. -.8. 7.7 -.474. 8.8 -.48.. -.7.4 -..8. -.7.74. -.4.. -..87 4.4..7..7.8..7. 7.7.87.8 8.8.8.77...878 --- TABEL. HITUNGAN POSISI BENDA DENGAN PENYELESAIAN ODE SECARA NUMERIS MEMAKAI METODA HEUN (s) ( ) (predor) ( ) raa-raa (oreor).7....4.44.4..74.77.47.4.8....4..7 4.4 -.4.47..8.48. -..44 -.4 -.4.44. -..84 -. -.8.8 7.7 -.. -.4 -.8. 8.8 -.4.8 -. -.4.7. -.8.7 -.4 -.44.8 -.8.844 -. -.87.84. -.787.74 -. -..7. -.4.7 -.7 -.74.7. -.. -.44 -.4. 4.4.4.4 -.8 -....4.7.7..7..7.7.47.44. 7.7.4.7.744.7.74 8.8.7.84...84..8.8.4.. ---...4. UAS Meoda Numer lm. 7 dar 8
Isaro Jurusan Ten Spl dan Lngungan FT UGM TABEL. HITUNGAN POSISI BENDA DENGAN PENYELESAIAN ODE SECARA NUMERIS MEMAKAI METODA POLIGON (s) ( ) +½ (s) +½ ( +½ +½ ).7....8.......4.7..7...88.4 4.4 -...7.7.. -.4.4.7 -..4. -.7.. -.8.44 7.7 -...8 -.48. 8.8 -.48.7. -..8. -..8. -..8 -...7 -.88.744. -.4.. -.88.. -.48..7 -... -.4..8 -.8.78 4.4...7 -..77..8.4.8.4.......4 7.7.4..87.7.7 8.8.78.7.78.8.8..7.8.88.8. ---.... TABEL 7. HITUNGAN POSISI BENDA DENGAN PENYELESAIAN ODE SECARA NUMERIS MEMAKAI 4TH-ORDER RUNGE-KUTTA (s) 4.7......4..8......8.8.7.8...7.7.7 -..7.8 4.4 -. -. -.48 -. -.4.. -.4 -.87 -.888 -. -.884.. -. -.4 -.8 -. -..4 7.7 -. -. -.4 -.48 -.. 8.8 -.4 -. -. -. -.87.8. -.4 -. -.7 -. -..84 -.7 -.8 -.87 -.4 -.8.74. -. -. -. -.48 -... -.48 -.8 -.84 -.4 -.8.. -.4 -. -.. -..78 4.4..4..8..77..8........7.8..7.4 7.7...8.8..74 8.8.7.7.7.4..84...4..4.7.7. -oo- UAS Meoda Numer lm. 8 dar 8