PEMBUKTIAN SIFAT RUANG BANACH PADA D(K)

JMP : Volume 4 Nomor 1, Jui 2012, hal. 41-50 PEMBUKTIAN SIFAT RUANG BANACH PADA D(K) Malahayati Program Studi Matematia Faultas Sais da Teologi UIN Sua Kalijaga malahayati_01@yahoo.co.id ABSTRACT. I this paper we study class of all fuctios which are differeces of bouded semicotiuous fuctios o a separable metric space K deoted by D K. Haydo, Odell ad Rosethal (1991) proved that D K is a Baach space by usig the series criterio for completeess. I this paper we prove the statemet i a differet way. Keywords: Baach Space, Semicotiuous fuctio, The Class D K. ABSTRAK. Di dalam paper ii dipelajari elas semua fugsi yag merupaa selisih fugsi-fugsi semiotiu terbatas pada ruag metri separabel K yag diotasia dega D K. Haydo, Odell da Rosethal (1991) membutia bahwa D K merupaa ruag Baach dega megguaa riteria deret utu elegapa. Di dalam paper ii hal tersebut dibutia dega cara yag berbeda. Kata Kuci: Ruag Baach, Fugsi Semiotiu, Kelas D K. 1. PENDAHULUAN Himpua semua fugsi Baire elas satu yag terbatas pada K ditulis B 1 K, dega K sembarag ruag metri separabel. Salah satu elas bagia terpetig dari B 1 K adalah D K, yag meotasia elas semua fugsi pada K yag merupaa selisih fugsi-fugsi semiotiu terbatas pada K. Kelas D K pertama ali dieala oleh A.S Kechris da Louveau pada tahu 1990. Sejala dega emajua sais da teologi, ajia tetag D K juga megalami perembaga sehigga mucul beberapa pegertia tetag D K da orma pada D K, seperti yag ditulis oleh Haydo, Odell, Rosethal (1991) da Rosethal (1994) serta Farmai (1996). Kelas fugsi D K memilii peraa petig dalam cabag matematia diataraya aalisis fugsioal, hususya dalam pegapliasia teori ruag Baach.

42 Malayahati Hasil temua Haydo, Odell, Rosethal da Farmai tersebut memberia iisiatif utu mempelajari lebih dalam tetag elas fugsi D K. Lebih lajut, area belum ada pembutia secara detail tetag sifat ruag Baach pada D K maa dalam paper ii aa diberia pembutia sifat tersebut. Sebelumya diberia terlebih dahulu defiisi fugsi semiotiu yag aa diguaa dalam pedefiisia elas fugsi D K. Fugsi fugsi yag dibicaraa berilai real da didefiisia pada E, dega E himpua bagia dari sebarag ruag metri. Defiisi 1.1 Diberia fugsi f yag didefiisia pada E da x 0 E. 1) Limit atas (upper limit) fugsi f utu x medeati x 0 ditulis dega lim x x0 f x da didefiisia : lim f x = if M ε f, x 0 : ε > 0, x x 0 dega M ε f, x 0 = sup f x : x N ε x 0 E. 2) Limit bawah (lower limit) fugsi f etia x medeati x 0 ditulis dega lim x x0 f x da didefiisia : lim x x0 f x = sup m ε f, x 0 : ε > 0, dega m ε f, x 0 = if f x : x N ε x 0 E. Defiisi 1.2 Diberia fugsi f yag didefiisia pada E da x 0 E. 1) Fugsi f diataa semiotiu atas (upper semicotiuous) di x 0 apabila f x 0 = lim x x0 f x. Selajutya, fugsi f diataa semiotiu atas pada E apabila fugsi f semiotiu atas disetiap x E. 2) Fugsi f diataa semiotiu bawah (lower semicotiuous) di x 0 apabila f x 0 = lim x x 0 f x. Selajutya, fugsi f diataa semiotiu bawah pada E apabila fugsi f semiotiu bawah disetiap x E. 3) Fugsi yag semiotiu atas atau semiotiu bawah diamaa fugsi semiotiu.

Pembutia Sifat Ruag Baach pada D(K) 43 2. HASIL DAN PEMBAHASAN Pada bagia ii aa dibahas pegertia da beberapa sifat pada D K dilajuta dega membutia sifat ruag Baach pada D K. Fugsi fugsi yag dibicaraa berilai real da didefiisia pada K, dega K sebarag ruag metri separabel ecuali disebuta lai. Selai itu, himpua semua fugsi fugsi otiu pada K diotasia dega C K. Fugsi f diataa aggota D K jia terdapat fugsi fugsi semiotiu terbatas u da v pada K sehigga f = u v. Di dalam membahas sifat-sifat D(K), pemaaia defiisi D(K) secara lagsug cuup meyulita. Oleh area itu, diperlua suatu hasil yag lebih memudaha dalam pembahasa yag dimasud. Hal ii telah ditulis oleh Farmai (1996) yag tertuag dalam lemma-lemma beriut ii. Lemma 2.1 Fugsi f D K jia da haya jia terdapat fugsi-fugsi semiotiu bawah terbatas u da v pada K, sehigga f = u v. Lemma 2.2 Fugsi f D K jia da haya jia terdapat fugsi fugsi semiotiu bawah terbatas u, v 0 pada K, sehigga f = u v. Utu sembarag ruag metri separabel K, jelas bahwa D(K) merupaa ruag liear. Selajutya, diberia defiisi fugsi. D, yag aa sagat bermafaat dalam pembutia beriutya. Defiisi 2.3 Diberia ruag metri separabel K, didefiisia fugsi. D : D K R, dega f D = if u + v f = u v, dega u, v 0 fugsi fugsi semiotiu bawa terbatas pada K, utu setiap f D K. Selajutya aa dibutia bahwa D K merupaa ruag berorma terhadap fugsi. D. Terlebih dahulu diberia beberapa lemma yag aa diguaa dalam pembutia.

44 Malayahati Lemma 2.4 Jia f D K maa f f D. Lemma 2.5 Jia f D K da α R maa berlau α u + v : αf = αu αv, dega u, v 0 fugsi fugsi semiotiu bawah terbatas pada K = + g αf = g, dega, g 0 fugsi fugsi semiotiu bawah terbatas pada K. Seperti yag telah disebuta sebelumya, dega megguaa Lemma 2.4 da Lemma 2.5, dibutia bahwa fugsi. D adalah orma pada D K. Teorema 2.6 Fugsi. D adalah orma pada D K. Buti : N1. Diambil sembarag f D K. Karea f D = if u + v f = u v, dega u, v 0 fugsi fugsi semiotiu bawah terbatas pada K, maa diperoleh f D 0. Selajutya, jia f D = 0 maa meurut Lemma 2.4 diperoleh f = 0. Oleh area itu, f x = 0 utu setiap x K, dega ata lai f = 0. Sebaliya, jia f = 0 maa terdapat fugsi-fugsi semiotiu bawah terbatas u = 0 da v = 0, sehigga f = u v = 0, aibatya diperoleh f D = if u + v f = u v, dega u, v 0 fugsi fugsi semiotiu bawah terbatas pada K = 0. N2. Diambil sembarag f D K da α R. Berdasara Lemma 2.5, diperoleh α. f D = α if u + v f = u v, dega u, v 0 fugsi fugsi semiotiu bawah terbatas pada K = if α u + v f = u v, dega u, v 0 fugsi fugsi semiotiu bawah terbatas pada K = if α u + v αf = αu αv, dega u, v 0 fugsi fugsi semiotiu bawah terbatas pada K = if + g αf = g dega, g 0 fugsi fugsi semiotiu bawah terbatas pada K = αf D.

Pembutia Sifat Ruag Baach pada D(K) 45 N3. Diambil sembarag f, g D K da ε > 0 sembarag, maa terdapat fugsi fugsi semiotiu bawah terbatas u, v, s, t 0 dega f = u v da g = s t, sehigga berlau u + v < f D + ε 2 da s + t < g D + ε 2. Oleh area itu, diperoleh f D + g D + ε > u + v + s + t u + v + s + t = u + s + v + t f + g D. Karea berlau utu ε > 0 sembarag, maa diperoleh f + g D f D + g D. Berdasara (N1), (N2), da (N3), maa terbuti bahwa fugsi. D adalah orma pada D K. Pegertia orma pada D(K) dapat juga disajia lai, yag tertuag dalam teorema-teorema beriut ii. Teorema 2.7 Fugsi f D(K) jia da haya jia terdapat barisa C(K) da sup x K lajut, f D = if seigga f x < sehigga f f di = f titi demi titi. Lebih =0 f f =0 C K da sup x K =0 f x =0 f = f titi demi titi. < Buti : (Syarat perlu). Dietahui f D K, maa terdapat fugsi-fugsi semiotiu bawah terbatas u, v 0 pada K, sehigga f = u v. Karea u fugsi semiotiu bawah terbatas, maa terdapat barisa φ C(K) sehigga φ 0 φ 1 φ 2 φ 3 dega φ 0 = 0 da φ demi titi e u. Oleh area itu, diperoleh u x = lim φ x = lim j =1 φ j φ j 1 x = j =1 φ j φ j 1 x, overge titi utu setiap x K. Selajutya, area v juga fugsi semiotiu bawah terbatas, maa terdapat barisa ψ C(K) sehigga ψ 0 ψ 1 ψ 2

46 Malayahati dega ψ 0 = 0 da ψ overge titi demi titi e v. Oleh area itu, diperoleh v x = lim ψ x = lim j =1 ψ j ψ j 1 x = j =1 ψ j ψ j 1 x, utu setiap x K. Sehigga utu sebarag x K diperoleh f x = u x v x = j =1 φ j φ j 1 x j =1 ψ j ψ j 1 x = j =1 φ j φ j 1 ψ j + ψ j 1 x. Selajutya, amaa f j = φ j φ j 1 ψ j + ψ j 1, utu setiap j N dega f 0 = 0, sehigga diperoleh barisa f C K. Oleh area itu, f x = =1 f x, utu setiap x K. Dilai piha, area u da v terbatas, maa terdapat M 1, M 2 > 0 sehigga u x M 1 da v x M 2, utu setiap x K. Aibatya, utu sembarag x K berlau =1 f x = =1 φ φ 1 ψ + ψ 1 x M 1 +M 2. Karea berlau utu sebarag x K, maa diperoleh sup x K Dega ata lai, ada barisa f C(K) da sup x K f = f titi demi titi. Oleh area itu, diperoleh f D if sehigga =1 f x <. f x < sehigga =0 f f =0 C K da sup x K =0 f x <, =0 f = f titi demi titi. (Syarat cuup). Dietahui barisa f C K da sup x K =0 f x sehigga =0 f = f titi demi titi. Utu sembarag x K, berlau f x = =1 f x = lim =1 f x = lim =1 f + f x = lim =1 f + x f x < = lim =1 f + x lim =1 f x =1 = f + x f x =1.

Pembutia Sifat Ruag Baach pada D(K) 47 + Selajutya, amaa u = =1 f da v = =1 f. Karea f +, f 0 maa diperoleh u, v 0. Diperhatia bahwa +1 =1 f + x =1 f + x utu setiap x K, da lim f + =1 x = =1 f + x. Aibatya, u merupaa fugsi semiotiu bawah terbatas pada K. Dega cara yag sama, diperoleh v merupaa fugsi semiotiu bawah terbatas pada K. Oleh area itu, terdapat fugsi-fugsi semiotiu bawah terbatas u, v 0 pada K, sehigga f = u v. Dega ata lai, f D(K). Aibatya, diperoleh f D if sehigga =0 f f =0 C K da sup x K =0 f x <, =0 f = f titi demi titi. Teorema 2.8 Fugsi f D K jia da haya jia terdapat barisa f di C(K) da C <, sehigga f overge titi demi titi e f dega f 0 = 0 da =0 f +1 x f x C utu setiap x K. Lebih lajut, f D = if C f C K, f 0 = 0 da =0 f +1 x f x C, x K seigga f overge titi demi titi e f. Buti : (Syarat perlu). Dietahui f D(K) maa meurut Teorema 2.7, terdapat barisa g C(K), sehigga g = f titi demi titi da sup x K g x <. Namaa C = sup x K g x N dibetu f =, da utu setiap i=1 g i dega f 0 = 0, maa diperoleh barisa f di C(K) da f overge titi demi titi e f. Utu sembarag x K diperoleh =0 +1 f +1 x f x = =0 i=1 g i x i=1 g i x = =0 g +1 x C. Dega ata lai, terdapat barisa f C(K) da C <, sehigga f overge titi demi titi e f dega f 0 = 0 da utu setiap x K. Oleh area itu, diperoleh f D if C f C K, f 0 = 0 da sehigga f overge titi demi titi e f. =0 f +1 x f x C =0 f +1 x f x C, x K

48 Malayahati (Syarat cuup). Utu setiap N, dibetu g = f +1 f dega g 0 = 0. Aibatya, diperoleh barisa g C(K), da Selajutya, utu sebarag x K, diperoleh =0 g =0 g x = =0 f +1 x f x C <. Karea berlau utu sembarag x K, maa diperoleh sup x K Dega ata lai, terbuti f D K. Oleh area itu, diperoleh f D if C f C K, f 0 = 0 da sehigga f overge titi demi titi e f. = f titi demi titi. g x <. =0 f +1 x f x C, x K Telah dibutia bahwa D K,. D merupaa ruag berorma, selajutya tiggal ditujua bahwa D K legap. Teorema 2.9 Diberia ruag metri separabel K, D(K) merupaa ruag Baach. Buti : Berdasara Teorema 2.6, D K,. D merupaa ruag berorma, selajutya aa dibutia D K legap. Diambil sebarag barisa Cauchy f D K. Oleh area itu, dapat diasumsia f +1 f D < 1, utu setiap N. Karea f +1 f D K, maa utu setiap N terdapat barisa φ m m=1 di C(K), sehigga φ m m=1 overge titi demi titi e f +1 f da memeuhi m=0 φ m+1 x φ m x 2 1, utu setiap x K. Karea f barisa Cauchy di D K, maa diperoleh f m f 0, utu, m. Oleh area itu, utu setiap x K diperoleh f x barisa Cauchy di R. Karea R legap, maa utu setiap x K, terdapat f x R sehigga f x overge e f x. Aibatya diperoleh f f 0. Diambil sembarag 0 N. Dibetu g = f +1 f, utu setiap N da ψ = φ 0 l + + φ + φ l+1 l+1 +1 φ + + φ +1 φ, utu setiap l, N dega 0 l <. Oleh area itu didapat barisa ψ C K da berlau 2

Pembutia Sifat Ruag Baach pada D(K) 49 g = 0 = 0 = lim g = lim = 0 f +1 f = lim f +1 f 0 = f f 0. Selajutya, aa dibutia f f 0 D K. Utu setiap l, N dega 0 l <, diperoleh ψ φ 0 l + + φ = φ l+1 l+1 +1 φ + + φ +1 φ 1 i=l+1 1 2 l. Oleh area itu, apabila maa utu setiap x K da l 0, diperoleh Aibatya, diperoleh lim ψ x φ 0 + + φ l x 1 2 l. g 0 x + + g l x 1 lim 2l ψ x g 0 x + + g l x + 1 2 l. Selajutya, apabila l, maa diperoleh ψ overge titi demi titi e f f 0. Disisi lai, diperoleh =0 ψ +1 x ψ x φ +1 2 i 0 x 0 =0 φ x + + l x φ l x =0 φ +1 + l+1 x φ l+1 x =0 φ +1 + + x φ x =0 φ +1 + =0 l+1 l+1 φ +2 x φ +1 x +1 + + =0 φ +2 x φ +1 +1 1 i= 0 1 2, utu setiap x K. Dega demiia terdapat barisa overge titi demi titi e f f 0, da ata lai bear bahwa 2 i =0 +1 x ψ C K yag ψ +1 x ψ x. Dega 2 f f 0 D K. Karea D K ruag liear, maa diperoleh f D K. Selajutya, berdasara asumsi diawal pembutia, maa diperoleh 1

50 Malayahati f f 0 D = = 0 g D = = 0 f +1 f D = 0 f +1 f D 1 = 0 1 2 2 0 1, utu setiap 0 N. Karea berlau utu sembarag 0 N, maa diperoleh barisa f overge e f. Jadi, terbuti D(K) ruag Baach. 3. KESIMPULAN DAN SARAN Berdasara hasil da pembahasa pada bagia 2 (dua), dapat disimpula bahwa dalam membutia sifat ruag Baach pada D(K) dibutuha beberapa sifat terait dega defiisi orma pada D K. Berdasara hasil ii, peulis meyaraa agar dapat dibutia sifat aljabar pada D(K) da sifat-sifat D(K) lebih lajut. 4. UCAPAN TERIMA KASIH Terima asih peulis ucapa epada bapa Ato Zulijato atas bimbigaya selama ii. DAFTAR PUSTAKA A.S. Kechris, A.S. da Louveau.A, (1990) A classificatio of Baire Class 1 Fuctios, Tras. Amer. Math. Soc. 318 209-236. Farmai, V., (1996) O Baire- 1 4 Fuctios, Tras. Amer. Math. Soc, 348, 10 Haydo, R., Odell, E. da Rosethal, H.P., (1991) O Certai Classes of Baire-1 Fuctios with Applicatios to Baach Space Theory, Lecture Notes i Math., 1470, Spriger, New Yor. McShae, E.J., (1944) Itegratio, Priceto Uiversity Press, Priceto. Rosethal, H.P., (1994) A Characterizatio of Baach Spaces Cotaiig C0, J. Amer. Math. Soc, 7, 3, 707-748. Rosethal, H.P., (1994) Differeces of Bouded Semi-Cotiuous Fuctios I, http://www.arxiv.org/abs/math/9406217, 20 Jui 1994, diases pada taggal 27 Agustus 2009.