Harur Rahma da Soeara Darmawjaya, Keovergea Itegral Hestoc KEKONVERGENN INTEGRL HENSTOCK-PETTIS PD RUNG EUCLIDE R (Hestoc-Petts Itegral Covergece Eucldea Sace Harur Rahma da Soeara Darmawjaya 2 Uverstas Muhamadyah Malag 2 Jurusa Matemata FMIP UGM, Se Utara Yogyaarta BSTRK Dalam aer dbcaraa tegral Hestoc-Petts ada ruag Euclde R. Pembahasaya melut beberaa sat ugs tertegral Hestoc-Petts ada ruag Euclde R, ugs rmt, lemma Hestoc, da beberaa teorema eovergeaya. Kata uc: Itegral Hestoc, Ruag Euclde R, ugs tertegral Hestoc Petts BSTRCT Hestoc-Petts Itegral o the Euclde a Sace s dscussed ths aer. Ds cussos cover some roertes o Hestoc-Petts tegrable ucto o the Euclde a Sace R, rmtve ucto, Hestoc lemma, ad some covergece theorems. Maalah dterma taggal 2 Maret 2006. PENDHULUN Pada tahu 9, Perro megembaga erluasa la tegral Lebesgue da meujua bahwa tegralya memuya sat bahwa seta dervatya tertegral ada gars lurus.selajutya Hastoc da Kurzwel secara tersah megtlaa tegral Rema dega megubah ostata ost δ mejad ugs ost δ da teryata tegral yag dsusu eduaya euvale. Oleh area tu, tegral yag merea susu tereal dega ama Hestoc-Kurzwel. Dar aja tetag tegral Hestoc baya sat-satya yag telah dugaa ba dalam R mauu ruag R. Meurut eelta, masalah megea sat-sat ada tegral Hestoc emuga daat dembaga mejad masalah yag lebh luas dalam tegral hestoc-petts, hususya sejauh maa sat-sat tegral Hestoc dar ugs berla real daat dembaga e dalam tegral Hestoc-Petts ada ruag Euclde R. Hmua semua blaga real dotasa dega R. Utu blaga asl, R meyataa hmua semua asaga atas blaga real, yatu : R R R... R. ( ator { (,..., : R, }, 2 Utu seta R da, y R. Ja hmua baga ta osog ddalam R, dameter hmua ddesa dam( su { y :, y Α} Utu R, ersetara (eghborhood tt dega jar-jar r >0 B, r, ddesa dotasa dega 2
Berala MIP, 6(2, Me 2006 B ( r { y : y R da y r},. Des. Dbera sel E R. ( Dvs ada sel E adalah oles sel berhgga D yag tda salg tumag tdh sehgga U DD D E. Jad ( E, ( HP E, d. ( HP d ( H d. (2 Segmetas ada oles sehgga sel-sel C adalah oles berh gga sel D yag tda salg tumag tdh sehgga memeuh (a Utu seta D D terdaat sel C C sehgga D C (b Utu seta C C oles { D D : D C} adalah artas ada C Des.2. Dbera ugs volume ada R, sel E R da E ruag Baach. Fugs : E? X dataa tertegral- Hestoc ada E terhada, dtuls sgat H (E,, X ja terdaat vetor Α Χ sehgga utu seta blaga > 0 terhada ugs ost δ ada E da utu seta arts Perro δ-e D {( D,, ( D,,...( D, } ada E 2 2 berlau 22 ( D ( ( D ( D Des.3. Dbera X ruag Baach da X * ruag dualya, volume ada R, da E R. Fumgs : E? X dataa tertegral Hestoc-Petts ada E, dtuls sgat dega HP(E,, ja utu seta * tertegral- Hestoc ada terdaat vetor (,, X sehgga ( (,, ( H d Selajutya vetor (,, d atas dsebut la Itegral Hestoc-Petts ugs ada da dtuls hususya (, ( H, d, 2. HSIL DN PEMBHSN a dbahas sat-sat lajut dar tegral Hestoc-Petts ada ruag Euclde R, beberaa eovegea dar tegral Hestoc-Petts ada ruag Euclde R. Teorema 2.. ( Krtera Cauchy Fugs HP( E, ja da haya ja utu seta blaga > 0 terdaat ugs ost δ ada E sehgga ja E sel da D {( Β,,..., ( Β, } da D 2 {( C,,..., ( C q, q } masg-masg arts Perro δ-e ada memeuh ( D ( ( B ( D ( y ( C 2 utu seta X. Teorema 2.2. Ja HP( E, HP(, E. q maa utu seta sel baga But : Cuu jelas, berdasara Des.3. Des 2.3. Ja HP( E, da J (E oles semua sel baga d dalam E maa ugs F : J (E? X dega rumus F ( (, ( HP d,, da F( 0 / 0, utu seta F ( E rmt-h ugs. dsebut
Harur Rahma da Soeara Darmawjaya, Keovergea Itegral Hestoc Teorema 2.. Dbera ugs volume d dalam R da sel E R. Ja HP( E, dega sebaga rmt-hp ya da E, E 2,..., E sel-sel d dalam E yag ta salg U E tumag tdh da E maa F ( E F ( E (,, But: Karea HP( E, rmt-hp ugs ada E, I j dega E U E 0 0 dega E E 0/ utu seta j, deroleh F ( E F F (, ( E, U (, E,... (, E, ( E... F( E F U E ( E (,,. Selajutya berdasara Des.3. maa tegral Hestoc-Petts terhada ada E daat juga dyataa seert dalam teorema berut. Teorema 2.5. Fugs HP( E, ja da haya ja terdaat ugs adt sehgga utu seta blaga > 0 yag dbera da X daat dtemua ugs ost δ ada E sehgga ja E sel da D {( D, } arts Perro δ-e ada berlau ( ( D F( D. Teorema 2.6. ( Lemma Hestoc Dbera X ruag Baach da X ruag dualya, volume ada R da sel E R. HP E, dega rmt F, yatu Ja utu seta blaga > 0 da X terdaatlah ugs ost δ ada E sel da {} sehgga ja E D D, arts Perro δ-e ada berlau ( D ( ( D F( D maa utu seta jumlaha baga da ( D Σ berlau ( D ( ( D F( D Teorema 2.7. ( Teorema Keovergea Seragam Dbera ugs volume ada R, sel E R da HP( E, utu seta. Ja utu seta sel E barsa ugs { } overge lemah seragam e suatu ugs ada, maa HP E, da (,, lm (,,. But : Dbera E sel sebarag. Barsa ugs { } overge lemah seragam e ada ja utu seta blaga > 0 da terdaat blaga asl m m, sehgga ja m berlau. Utu seta E. HP E, ja utu seta Fugs blaga > 0 tersebut da X terdaat ugs ost δ -e ada berlau da ( ( D ( D (,, ( P ( D ( D ( D Ja P {( D, }, D {( D, } sebarag arts Perro δ-e ada berlau 23
Berala MIP, 6(2, Me 2006 ( P ( D ( D ( D ( P ( ( D ( P ( D ( P ( D ( D ( ( D ( D ( ( D ( D ( D m m ( ( Hal meujua bahwa tertegral Hestoc ada da utu E sel d atas jad terdaat vetor (,, X sehgga ( ( H,, d Dega ata la, HP( E, Selajutya, area HP( E,.. Jad terdaat umgs ost δ ada E sehgga utu E sel da ja {( D, } arts Perro δ -e ada berlau ( ( Q ( D (,, Utu seta teta da m, dlh δ m { δ (, δ ( } utu seta E. Utu E sel d atas da ja J sebarag arts Perro ada, deroleh ( ( J ( D,, D J D (,, ( (,, (,, ( J ( D ( J ( ( Dega ata la terbut lm,, (,, Teorema 2.8. (Teorema eovergea Mooto Dbera ugs volume ada R, sel E R, da HP( E, utu seta, da { } mooto lemah ada E. Ja utu seta sel E barsa ugs 2 m m { } overge lemah e ada da utu seta X, lm (,, ada HP E, da maa. lm,, (,, But : Dambl sebarag blaga > 0 da X. Cuu dbuta utu asus barsa ugs { } yag a mooto lemah ada utu seta E caraya sama. Meurut yag detahu terdaat a lm ( (,,. Karea barsa ugs { } a mooto lemah ada, maa barsa { (,, } a mooto lemah dega a sebaga batas atas tereclya. Jad utu blaga > 0 tersebut da * X *, daat dlh blaga asl 0 0 (, * sehgga ja 0 berlau a ( (,, Karea barsa ugs { } overge lemah ada, maa utu seta blaga > 0 d atas, X da E. Terdaat blaga asl m m (,, o o sehgga ja m o berlau ( Karea HP(E, utu seta, maa utu seta blaga > 0 d atas da * X * terdaat ugs ost δ ada E sehgga utu E. sel d atas da utu seta arts Perro δ -e D {( D, } ada berlau ( D D (,, 2 Dbetu ugs ost δ ada E dega rumus δ δ m(, utu seta E da * X * dega m,, ma,, m,. Jad { }, o o
Harur Rahma da Soeara Darmawjaya, Keovergea Itegral Hestoc utu E sel d atas da ja D {( D,,( D2,,...( D, } Parts Perro δ-e ada berlau ( D ( D a ( ( D ( { ( ( D }, D, D,,, m ( ( ( D, D,,, m a m,, a 2 2 ( D m,, (,, D m, D,,, m (,, D m, D,,, m (,, lm (,, But : Dbera E sel sebarag. Dbetu ugs h utu seta dega rumus h ( utu seta E. Oleh area tu utu seta sel E d atas deroleh barsa ugs a mooto lemah { h } h utu seta ada da E da X. Selajutya, lm ( h,, lm (,, da barsa ugs { h } overge lemah e. Karea lm ( h,, ada, maa meurut Teorema Keovergea HP E, da Mooto, ( (,, lm ( h,, lm,, Dar uraa d atas berart * tertegral Hestoc ada E da utu sel E d atas terdaat vetor (,, X sehgga dega ata la, ( (,, lm (,, ( ( H,, Jad HP( E,, da d a (,, lm (,, Dega ata la, lm,, (,, Teorema 2.9. ( Lemma Fatou Dbera ugs volume ada R, da sel E R HP E, utu seta. Ja ugs utu seta sel E barsa ugs { } overge lemah e ugs ada da h.d ada utu seta maa 0 bat dar Lemma Fatou deroleh Teorema Keovergea Terdomas Lebesgue, dsajua berut. Teorema 2.0. ( Teorema Keovergea Terdomas lebesgue Dbera ugs volume ada R, da sel E R da (, 9, HP E. Ja utu seta sel E overge lemah e ada barsa { } da 9 da utu seta, * X * maa, HP( E, da lm,, (,, But : Dbera E sel sebarag. Karea utu seta E, X da 9 utu 25
Berala MIP, 6(2, Me 2006 seta, deroleh 9 0 barsa { ( } da 9 overge e ( 9 ada. Oleh area tu meurut Lemma Fatou, ( ( 9,, lm ( 9,, Karea 9 9 E, X, da 9 HP( E, HP( E, da 0 utu seta ( ( ( 9,,,, 9,, ( ( 9,, { ( ( 9,, ( (,, } ( H 9d lm ( H 9d lm H d 9d lm su H d ( lm su ( 9,,,, lm lm lm, maa { d} ( H ( H Dar s deroleh, ( Lm su (,, (,, Selajutya utu 9 0 atau 0 lm lm lm lm lm lm deroleh ( 9,, ( ( 9,, { ( (,, ( ( 9,, } { } H d H 9 d ( H d ( H 9d ( H d ( H 9d ( (,, 9,, ( 9,, (,, ( (,, lm (,, dar ( da (2 deroleh (2 (,, lm (,, a dega ata la, lm,, (,, Teorema 2.. ( Teorema Keovergea Terbatas. Dbera ugs volme ada R, da sel E R da 9, HP( E,. Ja utu seta sel E barsa { } overge lemah e ada da ( M utu seta, X da maa, HP( E, da lm,, (,,. KESIMPULN Berdasara embahasa dalam babbab sebelumya esmula bahwa beberaa sat tegral Hestoc mash berlau utu tegral Hestoc-Petts ada ruag Euclde R. Dema juga utu teorema eovergea tegral Hestoc, yatu Teorema Keovergea Seragam, Teorema Keovergea Mooto, Lemma Fatau, Teorema Keovergea Tedomas Lebesgue, da Teorema Keovergea terbatas mash berlau utu tegral Hestoc-Petts ada ruag Euclde R. Teor tegral Hestoc-Petts dalam tulsa daat dembaga atara la aja megea sat-sat rmt ugs tertegral Hestoc-Petts ada ruag Euclde R, da alas tegral Hestoc- Petts ada ruag Euclde R serta alas ada lmu-lmu atau bdag sa da ma. DFTR PUSTK Dharmawdjaya, S., 2003, O The Bouded Iterval Fuctos, Proccedgs o the Iteratoal Coerece 2003 O Mathematcs d Its lcato, SEMS-Gadjah Mada uversty, Uverstas Gadjah Mada, Idoesa. 26
Harur Rahma da Soeara Darmawjaya, Keovergea Itegral Hestoc Idart, Ch.R., 2002, Itegral Hestoc - Kurzwel ada ruag Euclde R berdmes-, Dserta, Uverstas Gadjah Mada, Idoesa. Gordo, R.., 99, The Itegral o Lebesgue, Dejoy, Perro ad Hestoc, Mathematcal Socety, US. Guoju, Ye da Taqg, 200, O Hestoc-Duord ad Hestoc-Petts Itegral, IJMMS, 25:7, Hdaw Publshg Cor. 67-78. Guoju, Ye da, Swab.S, 200, The MacShae ad The Wea. MacShae Itegral o Baach Sace value Fuche Dee O R, Mathematcal Notes, Mscole, Vol, 2., No, 2., 27-36. Guoju, Ye, ad Swab.S, 200, Tocs Baach Sace Itegrato, Mauscr Prearato. Idart, Ch.R., 2002, Itegral Hestoc - Kurzwel ada ruag Euclde R berdmes-, Dserta, Uverstas Gadjah Mada, Idoesa. Rahma, Harur, 2005, Itegral Hestoc - Petts ada ruag Euclde R, Tess Uverstas Gadjah Mada, Idoesa. Lee, P.Y., 989, Lazhou Lectures O Hestoc Itegrato, Word Scetc, Sgaore. Lee, P.Y. da Vbor, R., 2000, Itegral : Easy roach ater Kurzwel ad Hestoc, Cambrdge Uversty Press. Preer, W.F., 993, The Rema roach to Itegrato, Cambrdge Uversty Press, New Yor, US. Royde, H.L., 989, Real alyss, thrd edto, Macmlla Publshg Comay, New Yor, US. Swab.S. da Guoju., Ye, 99, The macshe ad The Petts Itegral o Baach Sace value Fucto deed o R, Chzech, Math Joural. 27
Berala MIP, 6(2, Me 2006 28