Jural Mateatika Muri da Terapa Vol 4 No Deseber : - 3 TEOREMA TITIK TETAP BANACH PADA RUANG METRIK-D Muhaad Ahsar Kari, Dewi Sri Susati, da Nurul Huda Progra Studi Mateatika Uiversitas Labug Magkurat Jl Jed A Yai k 36 Kapus Ula Bajarbaru Eail: _ahsar@yahooco ABSTRAK Pada ruag etrik dikeal teorea titik tetap Baach Di dala tulisa ii, teorea tersebut tersebut aka dikostruksi pada ruag etrik-d Kajia ii diulai dega egkostruksi kosep-kosep: bola terbuka, hipua terbuka, barisa koverge, da barisa Cauchy asigasig pada ruag etrik-d Keudia diberika kosep peetaa kotiu da peetaa kotiu seraga pada ruag etrik-d Selajutya dikostruksi teorea titik tetap Baach di dala ruag etrik-d Kata Kuci: Ruag Metrik-D, Bola Terbuka-D, Hipua Terbuka-D, Barisa Koverge-D, Barisa Cauchy-D, Peetaa Kotiu-D, Peetaa Kotiu-D Seraga, da Peetaa Kotraksi-D PENDAHULUAN Aalisis abstrak erupaka salah satu ateri di bidag aalisis ateatika yag terus egalai perkebaga dari waktu ke waktu, baik dari segi teori aupu aplikasiya Salah satu pebahasa di dala aalisis abstrak adalah ruag etrik (etric space) Kosep ii pertaa kali diperkealka oleh Mourice Frechet pada tahu 96 Pada tahu 99, kosep ruag etrik diperluas oleh Dhage, yag dikeal dega kosep ruag etrik-d (D-etric space) Keudia pada tahu 7, kosep ruag etrik-d diodifikasi oleh Sedghi da Shobe, yag dikeal dega ruag etrik-d* Di dala ruag etrik-d, Dhage telah elakuka beberapa kostruksi da perluasa terhadap kosep-kosep dasar pada ruag etrik Deikia pula oleh Sedghi da Shobe di dala ruag etrik-d* Diatara kosep-kosep tersebut adalah: bola terbuka, hipua terbuka, hipua tertutup, barisa koverge, barisa Cauchy, da kelegkapa Perluasa kosep tersebut edorog peulis egkostruksi geeralisasi dari salah satu kosep pada ruag etrik, yaitu teorea titik tetap Baach pada ruag etrik-d* Selajutya, di dala tulisa ii, ruag etrik-d* cukup ditulis ruag etrik-d saja TINJAUAN PUSTAKA Ruag Metrik Di dala kehidupa sehari-hari, etrik diartika sebagai jarak Secara ateatis, defiisi etrik pada hipua diruuska sebagai berikut Defiisi Diberika X hipua tak kosog (i) Fugsi d : X X R (R eyataka siste bilaga real) yag eeuhi sifat-sifat:
Jural Mateatika Muri da Terapa Vol 4 No Deseber : - 3 (M) d( x, y) utuk setiap x, y X, d( x, y) jika da haya jika x y, (M d( x, y) d( y, x) utuk setiap x, y X, da (M3) d( x, y) d( x, z) d( z, y) utuk setiap x, y, z X, disebut etrik pada X (ii) Hipua X yag dilegkapi dega etrik d, dituliska dega ( Xd, ), disebut ruag etrik Selajutya, jika etrikya telah diketahui (tertetu), ruag etrik biasa ditulis dega X saja Siste bilaga real R erupaka ruag etrik terhadap etrik d dega d( x, y) x y, utuk setiap x, y R Ruag etrik ( Rd, ) disebut ruag etrik biasa Siste bilaga kopleks C erupaka ruag etrik terhadap odulusya, yaitu d( z, z z z utuk setiap z, z C, ditulis ( Cd, ) Jika diberika hipua tak kosog X da didefiisika d : X X R dega: utuk x y da x, y X d( x, y) utuk x y da x, y X, aka dapat ditujukka pula bahwa ( Xd, ) erupaka ruag etrik, selajutya disebut ruag etrik diskrit Lea Diberika ruag etrik ( X, d ) sebarag Utuk setiap A X, ( Ad, ) erupaka ruag etrik Selajutya diberika pegertia bola terbuka di dala ruag etrik Defiisi Diberika ruag etrik ( Xd, ) Utuk sebarag x X da bilaga real r, didefiisika hipua B( x, r) { y X : d( y, x) r} Hipua B( x, r ) disebut persekitara x dega jari-jari r, biasa juga disebut bola terbuka dega pusat x da jari-jari r Di dala ruag etrik dikeal beberapa jeis keduduka titik terhadap hipua Misalka ( Xd, ) ruag etrik, x X, da A X Titik x disebut titik dala A jika ada bilaga r sehigga B( x, r) A Titik x disebut titik liit A jika utuk setiap bilaga r berlaku B( x, r) A { x} Selajutya diberika pegertia hipua terbuka da pegertia hipua tertutup di dala ruag etrik Defiisi 3 Diberika ruag etrik ( Xd, ) da hipua A X (i) Hipua A dikataka terbuka jika setiap aggotaya erupaka titik dala hipua A c (ii) Hipua A dikataka tertutup jika A terbuka Dari Defiisi da Defiisi 3 dapat dikataka bahwa hipua A terbuka jika da haya jika utuk setiap x A ada bilaga r sehigga
Jural Mateatika Muri da Terapa Vol 4 No Deseber : - 3 B( x, r) A Di dala ruag etrik, setiap bola terbuka erupaka hipua terbuka Hal ii diyataka di dala teorea berikut ii Teorea Diberika ruag etrik ( Xd, ) Utuk setiap x X da r, bola terbuka B( x, r ) erupaka hipua terbuka Selajutya diberika sifat operasi hipua terbuka pada ruag etrik Teorea Diberika ruag etrik ( Xd, ) Jika eyataka koleksi seua hipua terbuka di dala X, aka (i), X, (ii) A, B A B, (iii) utuk sebarag berlaku A A Koleksi seua hipua terbuka di dala X yag eeuhi (i), (ii), da (iii) disebut topologi pada X Dari Defiisi 3, diketahui bahwa koplee hipua terbuka erupaka hipua tertutup, deikia pula sebalikya Berdasarka hal tersebut diperoleh teorea berikut ii Teorea 3 Diberika ruag etrik ( Xd, ) Jika eyataka koleksi seua hipua tertutup di dala X, aka (i), X, (ii) A, B A B, (iii) utuk sebarag berlaku C C Barisa Kosep barisa (sequece) di dala ruag etrik erupaka abstraksi dari kosep barisa di dala siste bilaga real R Diberika ruag etrik ( Xd, ), barisa di dala X, ditulis dega { x }, erupaka fugsi dari siste bilaga asli N ke X Berikut ii diberika beberapa pegertia petig berdasarka ciri atau karakter suatu barisa di dala ruag etrik Defiisi Diberika ruag etrik ( Xd, ) da barisa { x } X Barisa { x } dikataka koverge (coverget) jika terdapat x X sehigga utuk setiap bilaga terdapat bilaga asli sehigga utuk setiap bilaga asli berlaku d( x, x) Dala hal { x } koverge, dikataka bahwa barisa { x } koverge ke x atau barisa { x } epuyai liit x utuk da dituliska dega li d( x, x), atau li x x Selajutya, x disebut liit barisa { x } Barisa yag tak koverge dikataka diverge (diverget) 3
Jural Mateatika Muri da Terapa Vol 4 No Deseber : - 3 Diberika ruag etrik biasa ( Rd, ) da barisa,,,3, Dapat ditujukka bahwa barisa koverge ke, tetapi barisa diverge di dala ruag etrik ((,], d ) Selajutya diberika sifat ketuggala liit dari barisa koverge di dala ruag etrik Teorea Diberika ruag etrik ( Xd, ) da barisa { x } X Jika barisa { x } koverge, aka liitya tuggal Pegertia barisa Cauchy di dala ruag etrik sebagai berikut Defiisi Diberika ruag etrik ( Xd, ) da barisa { x } X Barisa { x } disebut barisa Cauchy atau barisa fudaetal, jika utuk setiap bilaga terdapat bilaga asli sehigga utuk setiap dua bilaga asli, berlaku d( x, x ) Di dala ruag etrik, setiap barisa koverge erupaka barisa Cauchy Hal ii ditujukka di dala teorea berikut ii Teorea Diberika ruag etrik ( Xd, ) da barisa { x } X Jika barisa { x } koverge, aka { x } erupaka barisa Cauchy Kovers dari Teorea belu tetu bear Jika setiap barisa Cauchy erupaka barisa koverge, aka ruag etrik ( Xd, ) dikataka legkap Ruag etrik biasa ( Rd, ) erupaka ruag etrik legkap Sedagka ruag etrik,,d pada tidak legkap sebab barisa Cauchy, koverge di dala ruag etrik,,d tidak Selajutya diberika pegertia peetaa kotiu da peetaa kotiu seraga pada ruag etrik Kosep tersebut erupaka geeralisasi kosep peetaa kotiu da peetaa kotiu seraga pada siste bilaga real R Defiisi 3 Diberika ruag etrik ( X, d ) da ( Yd, Peetaa T : X Y dikataka kotiu (cotiuous) di (at) a X, jika utuk setiap bilaga ada bilaga sehigga utuk setiap x X dega d ( x, a) berakibat d ( T ( x ), T ( a )) Peetaa T dikataka kotiu pada (o) A X jika T kotiu di setiap a A Defiisi 3 dapat dituliska sebagai berikut: peetaa T : X Y dikataka kotiu di a, jika utuk setiap bilaga terdapat bilaga sehigga, jika x B ( a) T( x) B T( a) Jelas bahwa bilaga berakibat tersebut ditetuka oleh titik a da Jika terdapat bilaga yag haya ditetuka oleh bilaga saja, aka diperoleh pegertia berikut ii 4
Jural Mateatika Muri da Terapa Vol 4 No Deseber : - 3 Defiisi 4 Diberika ruag etrik-ruag etrik ( X, d ) da ( Yd, Peetaa T : X Y dikataka kotiu seraga (uiforly cotiuous) pada A X, jika utuk setiap terdapat ( ) sehigga utuk setiap x, y A dega d ( x, y) berakibat d ( T ( x ), T ( y )) Dapat ditujukka bahwa peetaa kotiu seraga pada X erupaka peetaa kotiu pada X, tetapi sebalikya belu tetu berlaku Selajutya diberika teorea peetaa kotiu pada ruag etrik yag eyataka hubuga peetaa kotiu dega barisa koverge da hubuga peetaa kotiu seraga dega barisa Cauchy Teorea 3 Diberika ruag etrik ( X, d ) da ( Yd, Peetaa T : X Y kotiu di a X jika da haya jika utuk setiap barisa { x } X yag koverge ke a berakibat barisa { T( x )} koverge ke Ta ( ) Teorea 4 Diberika ruag etrik ( X, d ) da ( Yd, Jika T : X Y peetaa kotiu seraga pada X da { x } X barisa Cauchy, aka { T( x )} barisa Cauchy 3 Ruag Metrik-D Pada bagia ii diberika kosep dasar ruag etrik tergeeralisasi yag diperkealka oleh Sedghi da Shobe, sebagai odifikasi dari ruag etrik tergeeralisasi yag diperkealka oleh Dhage Defiisi 3 Diberika X hipua tak kosog (i) Fugsi : X X X dega sifat, utuk setiap x, y, z, a X berlaku: (G) ( x, y, z), (G ( x, y, z) jika da haya jika x y z, (G3) ( x, y, z) ( p{ x, y, z}), (sietri) dega p erupaka fugsi (ii) 3 perutasi pada X, da (G4) ( x, y, z) ( x, y, a) ( a, z, z), disebut etrik tergeeralisasi pada X, disigkat, etrik-d Hipua X yag dilegkapi dega etrik-d, dituliska dega ( X, ), disebut ruag etrik tergeeralisasi, disigkat, ruag etrik-d Diberika ruag etrik biasa ( R, d) Jika didefiisika fugsi : X X X R dega ( x, y, z) aks{ d( x, y), d( y, z), d( z, x)} (atau ( x, y, z) d( x, y) d( y, z) d( z, x) ), utuk setiap x, y, z R, aka dapat ditujukka bahwa ( R, ) erupaka ruag etrik-d Selajutya, ( R, ) disebut ruag etrik-d biasa 5
Jural Mateatika Muri da Terapa Vol 4 No Deseber : - 3 Teorea 3 Setiap ruag etrik dapat dibetuk ejadi ruag etrik-d Bukti: Diberika ruag etrik ( Xd, ) sebarag da didefiiska fugsi : X X X R dega ( x, y, z) aks{ d( x, y), d( y, z), d( z, x)}, utuk setiap x, y, z X Diabil sebarag x, y, z X, aka berlaku: (G) ( x, y, z) aks{ d( x, y), d( y, z), d( z, x)}, sebab d( x, y ), d( y, z ), d( z, x) ; (G ( x, y, z) aks{ d( x, y), d( y, z), d( z, x)} d( x, y), d( y, z), da d( z, x) x y, y z, da z x x y z ; (G3) ( x, y, z) aks{ d( x, y), d( y, z), d( z, x)} ( p{ x, y, z}) sebab d( x, y) d( y, x), d( y, z) d( z, y), da d( z, x) d( x, z) ; (G4) ( x, y, z) aks{ d( x, y), d( y, z), d( z, x)} aks{ d( x, y) d( z, z), d( y, a) d( a, z), d( z, a) d( a, x)} aks{ d( x, y), d( y, a), d( a, x)} aks{ d( a, z), d( z, z), d( z, a)} ( x, y, a) ( a, z, z), utuk setiap a R Jadi, ( X, ) erupaka ruag etrik-d Aalog dapat ditujukka bahwa ( X, ) dega ( x, y, z) d( x, y) d( y, z) d( z, x), utuk setiap x, y, z X erupaka ruag etrik-d Selajutya, ruag etrik-d ( X, ) disebut ruag etrik-d stadar Lea 3 Diberika ( X, ) ruag etrik-d Utuk setiap x, y X berlaku ( x, x, y) ( x, y, y) Kosep bola terbuka di dala ruag etrik diperluas di dala ruag etrik-d sebagai berikut Defiisi 3 Diberika ruag etrik-d ( X, ) Utuk setiap bilaga r didefiisika: B ( x, r) { y X : ( x, y, y) r} Selajutya, B ( x, r) disebut bola (pejal) terbuka di dala ruag etrik-d ( X, ) dega pusat x da jarijari r, disigkat, bola terbuka-d Pegertia hipua terbuka, hipua tertutup, da hipua terbatas di dala ruag etrik-d diberika sebagai berikut Defiisi 33 Diberika ( X, ) ruag etrik-d da A X (i) Hipua A dikataka terbuka di dala ruag etrik-d ( X, ), disigkat, terbuka-d, jika utuk setiap x A, terdapat bilaga r sehigga B ( x, r) A (ii) Hipua A dikataka tertutup di dala ruag etrik-d ( X, ), disigkat, tertutup-d, jika c A terbuka-d 6
Jural Mateatika Muri da Terapa Vol 4 No Deseber : - 3 (iii) Hipua A dikataka terbatas di dala ruag etrik-d ( X, ), disigkat, terbatas-d, jika terdapat bilaga r sehigga ( x, y, y) r, utuk setiap x, y A Diperhatika ruag etrik ( Xd, ) da barisa { x } X Jika barisa { x } koverge, kataka koverge ke x X, yaitu d x, x utuk, aka di dala ruag etrik-d stadar ( X, ) diperoleh ( x, x, x), utuk Deikia pula bahwa, jika { x } erupaka barisa Cauchy, yaitu d( y, y ) utuk,, aka di dala ruag etrik-d stadar ( X, ), diperoleh ( y, y, y), utuk, Berdasarka uraia di atas, dibagu kosep kekovergea da barisa Cauchy di dala ruag etrik-d dega defiisi sebagai berikut Defiisi 34 Diberika ( X, ) ruag etrik-d da barisa { x } X (i) Barisa { x } dikataka koverge di dala ruag etrik-d ( X, ) ke x X, disigkat, koverge-d, jika ( x, x, x) ( x, x, x), utuk Jika deikia halya, dikataka bahwa barisa { x } epuyai liit x utuk da dituliska dega li x x, sedagka x disebut liit barisa { x } Barisa yag tak koverge-d dikataka diverge-d (ii) Barisa { x } disebut barisa Cauchy di dala ruag etrik-d ( X, ), disigkat, barisa Cauchy-D, jika utuk setiap bilaga terdapat sehigga ( x, x, x), utuk setiap, Pada Defiisi 34 (i), ( x, x, x) ( x, x, x ) utuk, berarti bahwa, utuk setiap bilaga terdapat sehigga utuk setiap berlaku ( xxx,, ) Hal ii ekuivale dega peryataa, utuk setiap bilaga terdapat sehigga utuk setiap, berlaku ( x, x, x ) 3 METODE PENELITIAN Peelitia ii erupaka peelitia studi literatur Metodologi yag diguaka adalah egupulka baha peelitia dari buku-buku da juraljural yag ebahas kosep ruag etrik da kosep ruag etrik-d, da selajutya elakuka kajia terhadap kosep-kosep tersebut utuk egkostruksi peetaa kotiu, peetaa kotiu seraga, da teorea titik tetap Baach pada ruag etrik-d 7
Jural Mateatika Muri da Terapa Vol 4 No Deseber : - 3 4 HASIL DAN PEMBAHASAN Diberika ruag etrik X, d, ruag etrik-d stadar X,, da x X sebarag Utuk setiap bilaga r dapat ditujukka bahwa B ( x, r) B( x, r) Hal ii erupaka geeralisasi Teorea yag secara legkap diberika pada teorea berikut ii Teorea 4 Diberika ( X, ) ruag etrik-d Setiap bola terbuka-d di dala ( X, ) erupaka hipua terbuka-d Selajutya diberika geeralisasi Teorea, yaitu sifat dari operasi hipua-hipua terbuka-d di dala ruag etrik-d berikut ii Teorea 4 Diberika ruag etrik-d ( X, ) Jika eyataka koleksi seua hipua terbuka-d di dala X, aka: (i), X, (ii) A, B A B, (iii) utuk sebarag berlaku A A Dari Defiisi 33 diketahui bahwa koplee hipua terbuka-d erupaka hipua tertutup-d, deikia pula sebalikya Berdasarka hal tersebut diperoleh teorea berikut ii Teorea 43 Diberika ruag etrik-d ( X, ) Jika eyataka koleksi seua hipua tertutup-d di dala X, aka: (i), X, (ii) A, B A B, (iii) utuk sebarag berlaku C C Selajutya hubuga atara kosep-kosep di dala ruag etrik dega kosep-kosep tersebut di dala ruag etrik-d stadar diberika sebagai berikut Lea 44 Diberika ruag etrik X, d sebarag da ruag etrik-d stadar X, (i) Utuk setiap A X berlaku: A terbuka A terbuka-d (ii) Barisa x X koverge jika da haya jika x koverge-d (iii) Barisa x X erupaka barisa Cauchy jika da haya jika x barisa Cauchy-D di dala ruag etrik-d stadar X, Sifat dari barisa koverge da barisa Cauchy di dala ruag etrik-d diberika sebagai berikut 8
Jural Mateatika Muri da Terapa Vol 4 No Deseber : - 3 Teorea 45 Diberika ruag etrik-d ( X, ) da barisa Cauchy-D { x } X koverge-d ke titik liit yag saa Jika terdapat barisa bagia dari x yag koverge-d, aka x Teorea 46 Diberika ( X, ) ruag etrik-d, da barisa { x } X Jika barisa x koverge-d, aka x erupaka barisa Cauchy-D Kovers dari Teorea 46 belu tetu bear Diberika hipua X (,] da d etrik biasa pada Jelas bahwa (,],d erupaka ruag etrik da (,], erupaka ruag etrik-d dega etrik-d biasa pada Diabil barisa (,] ;,,3, Jelas pula bahwa barisa diverge di dala ruag etrik (,],d Meurut kotraposisi Lea 45 (ii), diverge-d di dala ruag etrik-d (,], Di pihak lai, barisa Cauchy da eurut Lea 44 (iii), barisa Cauchy-D Jadi, di dala ruag etrik-d, barisa Cauchy-D belu tetu koverge-d Jika setiap barisa Cauchy-D erupaka barisa koverge-d, aka ruag etrik-d ( X, ) dikataka legkap-d Ruag etrik-d biasa (, ) erupaka ruag etrik-d legkap-d 4 Peetaa Kotiu-D da Peetaa Kotiu-D Seraga Diberika ruag etrik ( Xd, ) da ruag etrik-d stadar ( X, ) Utuk setiap bilaga, jika d( x, a), aka x, x, a aks d( x, x), d( x, a), d( a, x), utuk setiap x, a X Berdasarka hal ii, dapat dikostruksi defiisi peetaa kotiu pada ruag etrik-d yag erupaka geeralisasi dari kosep peetaa kotiu pada ruag etrik Defiisi 4 Diberika ruag etrik-d ( X, ) da ( Y, Peeta T : X Y dikataka kotiu (cotiuous) di (at) a X, disigkat, kotiu-d, jika utuk setiap bilaga terdapat bilaga sehigga utuk setiap x X dega sifat ( x, x, a) berlaku T( x), T( x), T ( a) Selajutya, peetaa T dikataka kotiu-d pada (o) A X, jika T kotiu-d di setiap a A Defiisi 4 ekuivale dega: peetaa T : X Y dikataka kotiu-d di a, jika utuk setiap bilaga terdapat bilaga sehigga, jika x B ( a, ) berakibat T( x) B T ( a), Jelas bahwa bilaga tersebut ditetuka oleh titik a da Jika terdapat bilaga yag haya ditetuka oleh bilaga saja, aka dapat dikostruksi pegertia kotiu seraga pada ruag etrik-d berikut ii 9
Jural Mateatika Muri da Terapa Vol 4 No Deseber : - 3 Defiisi 4 Diberika ruag etrik-d ( X, ) da ( Y, Peeta T : X Y dikataka kotiu-d seraga (uifor D-cotiuous), jika utuk setiap (,) terdapat (,) sehigga utuk setiap x, y X dega sifat ( x, x, y) berakibat T( x), T( x), T( y) Dapat ditujukka bahwa peetaa kotiu-d seraga pada X erupaka peetaa kotiu-d, tetapi sebalikya belu tetu berlaku Selajutya dikostruksi geeralisasi Teorea 3 da 4, yaitu teorea yag eyataka hubuga peetaa kotiu-d dega barisa koverge-d da hubuga peetaa kotiu-d seraga dega barisa Cauchy-D pada ruag etrik-d berikut ii Teorea 43 Diberika ruag etrik-d ( X, ) da ( Y, Peeta T : X Y kotiu-d di a X jika da haya jika setiap barisa { x } X yag koverge-d ke a berakibat barisa T( x ) koverge-d ke Ta ( ) Bukti: Diketahui T kotiu-d di a X Artiya, utuk setiap bilaga terdapat bilaga sehigga utuk setiap x X dega sifat ( x, x, a) berlaku T( x), T( x), T ( a) Oleh karea itu, jika diabil sebarag barisa { x } X yag koverge-d ke a, aka terdapat bilaga asli sehigga utuk setiap bilaga asli berlaku (,, ) x x a Meurut hipotesis, diperoleh T( x), T( x), T( a) Jadi, T( x ) koverge-d ke Ta ( ) Diketahui bahwa setiap barisa { x } X yag koverge-d ke a berakibat barisa T( x ) koverge-d ke Ta ( ) Aka ditujukka bahwa T kotiu-d di a X Adaika T tidak kotiu-d di a Berarti terdapat bilaga sehigga utuk setiap bilaga asli terdapat x x,, x a, tetapi T( x), T( x), T( a) X dega sifat Dega deikia, diperoleh barisa x X yag koverge-d ke a, tetapi barisa T ( x ) Y tidak koverge-d ke Ta ( ) Kotradiksi Jadi, T kotiu-d di a Teorea 44 Diberika ruag etrik-d ( X, ) da ( Y, Jika T : X Y kotiu-d seraga pada X da { x } X barisa Cauchy-D, aka T( x ) barisa Cauchy-D Bukti: Diketahui T kotiu-d seraga pada X Artiya, utuk setiap (,) terdapat (,) sehigga utuk setiap x, y X dega sifat ( x, x, y) ( ), ( ), ( ) Diabil sebarag barisa Cauchy-D { x } X, aka utuk bilaga positif tersebut di atas ada bilaga asli sehigga utuk setiap dua bilaga asli, berakibat ( x, x, x) berakibat T x T x T y
Jural Mateatika Muri da Terapa Vol 4 No Deseber : - 3 Meurut yag diketahui, aka diperoleh T( x), T( x), T( x) setiap (,) Jadi, T( x ) barisa Cauchy-D, utuk 4 Teorea Titik Tetap Baach pada ruag etrik-d Di dala ruag etrik, salah satu cotoh peetaa kotiu adalah peetaa kotraksi Diberika ruag etrik ( Xd, ) da peetaa T : X X Jika T peetaa kotraksi, aka utuk setiap x, y, z X terdapat bilaga-bilaga,, 3 (,) sehigga berlaku: d( T( x), T( y)) d( x, y), d( T( y), T( z)) d( y, z), da d( T( z), T( x)) 3d( z, x) Selajutya, diperhatika ruag etrik-d stadar X, Jika dipilih 3 da berlaku: T( x), T( y), T( z) d T( x), T( y) d T ( y), T ( z) d T ( z), T ( x) a aks,,, aka diperoleh (,) d( x, y) d( y, z) d( z, x) d( x, y) d( y, z) d( z, x) ( x, y, z) Berdasarka hal ii dikostruksi pegertia peetaa kotraksi di dala ruag etrik-d sebagai berikut Defiisi 4 Diberika ruag etrik-d ( X, ) da peetaa A: X X Peeta A disebut peetaa kotraksi-d, jika terdapat bilaga k (,) sehigga berlaku ( A( x), A( y), A( z)) k ( x, y, z), utuk setiap x, y, z X Peetaa kotraksi-d erupaka peetaa kotiu Sifat ii diberika di dala lea berikut ii Lea 4 Diberika ruag etrik-d ( X, ) da peetaa A: X X Jika A peetaa kotraksi-d aka A kotiu-d Bukti: Diabil sebarag barisa koverge-d x X, kataka koverge-d ke x X Artiya, utuk setiap bilaga terdapat bilaga asli sehigga utuk setiap bilaga asli berlaku ( x, x, x) Meurut yag diketahui, A peetaa kotraksi-d, aka terdapat bilaga k (,) sehigga ( A( x ), A( x), A( x)) k ( x, x, x) k, utuk setiap bilaga da bilaga asli Ii berarti bahwa Ax ( ) koverge ke Ax ( ) Jadi, peetaa kotraksi-d A kotiu Dapat ditujukka pula bahwa peetaa kotraksi-d pada ruag etrik-d erupaka peetaa kotiu-d seraga Selajutya, aka dikostruksi geeralisasi Teorea Titik Tetap Baach pada ruag etrik-d Utuk efisiesi, di dala peulisa selajutya diguaka otasiotasi: Ax A( x), A x A( A( x)),, A ( x) A( A ( x))
Jural Mateatika Muri da Terapa Vol 4 No Deseber : - 3 Teorea 43 (Perluasa Teorea Baach) Diberika ( X, ) ruag etrik-d legkap-d Peetaa kotraksi-d A: X X epuyai titik tetap tuggal Bukti: Diberika x X da diisalka: x Ax, x Ax A x, x Ax A 3 x,, 3 x A( x ) A ( x); dega N Klai bahwa { x } erupaka barisa Cauchy-D Bukti klai Diberika bilaga-bilaga asli, aka diperoleh: ( x, x, x ) ( A x, A x, A x ) k ( x, x, x ); k (,) k [ ( x, x, x ) ( x, x, x ( x, x, x)]; k (,) k ( x, x, x )[ k k ]; k (,) k ( x, x, x ) ; k (,) k Karea k (,), aka utuk diperoleh k ( x, x, x ) Jadi, k ( x, x, x) utuk setiap Dega kata lai, { x } erupaka barisa Cauchy-D Selajutya, karea ( X, ) legkap-d aka barisa { x } koverge-d, kataka koverge-d ke x X Lebih lajut, karea A kotiu-d aka Ax A(li x ) li Ax li x x Diperoleh bahwa x titik tetap dari A Berikutya, ditujukka bahwa x tuggal Misalka ada x, y X sehigga Ax x da Ay y Diperoleh ( Ax, Ax, Ay) k( x, x, y) k( Ax, Ax, Ay) Karea k (,), aka ( Ax, Ax, Ay) Akibatya, ( x, x, y) ( Ax, Ax, Ay) x y Jadi, peetaa kotraksi A epuyai titik tetap tuggal Akibat dari Teorea 43 diberika berikut ii Akibat 44 Diberika ruag etrik-d legkap-d ( X, ) da peetaa A yag terdefiisi pada X Jika salah satu dari A (,,3,) erupaka peetaa kotraksi, aka A epuyai titik tetap tuggal Bukti: Diabil A ( {,,3,}) peetaa kotraksi Meurut Teorea 43, terdapat titik tetap tuggal dari A, kataka ( ) A( x) A( A ( x)) A ( A( x)) Ii berarti bahwa Ax ( ) juga erupaka titik tetap dari A tuggal, aka A( x) A x x Akibatya, A Karea titik tetap dari x Ii berarti bahwa x erupaka titik tetap tuggal dari A Jadi, A epuyai titik tetap tuggal
Jural Mateatika Muri da Terapa Vol 4 No Deseber : - 3 5 DAFTAR PUSTAKA [] Brucker, A M, Brucker, J B, & Thoso, B S, 997, Real Aalysis, Pretice-Hall, New Jersey [] Kreyszig, E, 978, Itroductory Fuctioal Aalysis with Applicatios, Joh Wiley & Sos, New York [3] Liaye, B V, 98, Fuctioal Aalysis, Wiley Easter Liited, New Delhi [4] Royde, H L, 989, Real Aalysis, Macilla Publishig Copay, New York [5] Sedghi S, Shobe, N, & Zhou, H, 7, A coo fixed poit theore i D -etric spaces, Fixed Poit Theory ad Applicatios, Hidawi Publishig Corporatio, Vol 7, Article ID 796, 3 pages 3