PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL PDP MATEMATIKA FISIKA II JURDIK FISIKA FPMIPA UPI BANDUNG
PDP: Persamaa ag pada suku-sukua megadug betuk turua diferesia parsia aitu turua terhadap ebih dari satu variabe bebas. Daam persoaa fisika baak sekai di jumpai bahwa perubaha iai suatu besara dipegaruhi oeh beberapa faktor variabe besas, baik variabe ruag maupu waktu, beberapa cotoh fisika ag terumuska daam PDP adaah:
Persamaa Lapace : U U adaah Skaar Persamaa Difusi : du U, α α dt Difusivitas u t Persamaa Geombag : U v v Kecepata Geombag
Kompetesi ag igi dicapai adaah mampu mecari sousi umum da khusus PDP terkait persoaa fisika ag ditijau
Kasus Fisika : Persamaa Lapace Kasus Fisika : Distribusi keadaa matap temperatur daam ruag ag dibatasi oeh peat semi tak higga.
Peat semi tak higga T o C T o C T? T o C T
Peat semi tak higga T o C T o C T? T o C T o C
Karea T tergatug pada da tapi tidak bergatug pada z maka persamaa Lapacea: T T T + T, PDP Utuk mecari sousi umum dari PDP ii dimisaka T, P Q, Dega demikia PDP dapat dituiska sebagai :
+ Q P Q P Q P + Q P P Q atau Q Q P P
Ruas kiri fugsi saja, sedagka ruas kaa fugsi Saja. Kedua ruas aka sama jika keduaa merupaka kostata ag sama, misaka: k. Sehigga: k Q Q P P
k P + P k dp atau k P + P k d k Q Q Q k d dq
Sousi I P A cos k + B si k Sousi II Q Ce k + De -k Dega demikia, T, PQ T, A cos k + B si k Ce k +De -k Ii sousi umum dari PDP terkait kasus fisika ag ditijau
Dari sousi umum ii seajuta dapat dicari sousi khusus, dega cara meijau saratsarat batas Sb ag diberika pada kasus fisika ag ditijau: Sb I : T, o C Sb II : T, o C Sb III : T, o C Sb IV : T, o C
Terapka sarat batas I : T, A cos k + B si k Ce +De - C, D tidak sama dega T, A cos k + B si k De -k Terapka Sarat batas II : T, A cos + B si De k A, B tidak sama dega T, B si k D e -k Atau T, BD si k e -k
Terapka sarat batas III: T, BD si k ke -k Si k atau k atau k Sehigga : T, BDsi e
b Terapka sarat batas IV : T, f L C b BD si BD si si L f si d L L e o C Deret Fourier Sius Fugsi gaji BD BD b BD b b si cos d cos
BD 4,, geap gaji sehigga T, 4 si e Iiah Sousi Khusus dari persoaa ag kita tijau
Atau jika kita cek pada T5,5 : e e T si si 4, 3 + + L C e e T e e T o 6,4 3 si 3 si 7 5,5 si 3 si, 3 + + + + L L
Peat segi empat T o C T o C T o C T? T o C
Peat segiempat T o C T o C T? T o C T o C
Sama seperti sebeuma kita muai dari sousi umum T, A cos k + B si k Ce k +De -k
Dari sousi umum ii seajuta dapat dicari sousi khusus, dega cara meijau saratsarat batas Sb ag diberika pada kasus fisika ag ditijau: Sb I : T, o C Sb II : T, o C Sb III : T, o C Sb IV : T, o C
Utuk kasus seperti ii, kita harus megeimiasi suku e k, karea peat kita tiggia tidak tak higga, sehigga : T, A cos k + B si k De -k Kemudia akuka modifikasi betuk suku e -k dega betuk ai sedemikia rupa sehigga memeuhi sarat batas I : T, C. Betuk ag dimaksud adaah kombiasi iier : k k e ae + ag iaia ketika. be k
Saah satu piiha ag tepat adaah : a sehigga k k e b e e k k k k e e e e k e k e k k e
Pada, iaia sama dega o, seperti persoaa kita. e k e k k e e k e k
Dega demikia : T, Acos k + B si k C sih k T Terapka Sb II, seperti sebeuma, didapat : Sehigga : T, Acos + Bsi C sih k A, B, B C si k sih k
Terapka sarat batas III: T, BC sik sih k Si k atau k atau k Sehigga : T, BC si sih
Terapka sarat batas IV : T, BC si sih BC sih si o C b f L b si L f si d L L Deret Fourier Sius Fugsi gaji b b b si cos d cos
BC sih b 4,, geap gaji sehigga BC b sih 4, sih, geap gaji
Dega demikia : T, 4 si sih sih, gaji Sousi khusus utuk persoaa keadaa matap temperatur daam pat segiempat
Persamaa Difusi : Difusi Kaor U α U T Kasus Fisika : Difusi kaor pada batag ogam, berarti T suhu T T T T t t>
Difusi kaor terjadi dari tempat ag temperatura ebih tiggi ke tempat ag temperatura ebih redah. Jika dibatasi arah difusi haa ke sb saja, maka temperatur di setiap titik pada batag ogam aka bergatug pada posisi da waktu t.
Daam kasus ii u T temperatur da Tf,t dega demikia persamaa difusi mejadi : d T d α dt dt Misaka: T,t P St Maka persamaa difusi mejadi:
atau kedua ruas aka sama jika merupaka suatu kedua ruas aka sama jika merupaka suatu kostata ag sama k, jadi :
Sousi * P A cos k + B Si k Sousi ** S t Sehigga Ce k α α t T, t A cos k + B si kce -k α t Sousi umum persamaa difusi
Sarat awa da sarat batas : Sarat awa: pada t SA: T, Sarat Batas : t > SB I : T,t o C SB II : T,t o C
Terapka SB I diperoeh : Terapka SB II diperoeh: T, t k BC si atau ke α k k t
Dega demikia : T, BC si e α t Terapka Sarat Awa : T, BC si
Atau : BC si f b si
si si d BC d f b BC si cos si M BC d BC
T, t M si e α t
Persamaa Geombag u v t u v kecepata Geombag Sebuah dawai ag pajaga h diikat kedua ujuga sehigga setiap sudut tetap karea disimpagka padabagia tegaha sejauh h seperti pada gambar.jika kemudia pada t > dawai diepaska maka dawaitersebut aka bergetar, akibata aka membetuk geombag daam ha ii u ag merupaka simpaga da bergatug pada posisi da waktu t, Y f,t
Kasus Fisika, t Kodisi Awa h /
Sebuah dawai ag pajaga h diikat kedua ujuga. sehigga setiap sudut tetap karea disimpagka pada bagia tegaha sejauh h seperti pada gambar di atas. Jika kemudia pada t > dawai diepaska maka dawai tersebut aka bergetar, akibata aka membetuk geombag daam ha ii u ag merupaka simpaga. Niaia bergatug pada posisi da waktu t. Y f,t
Misaka :,t M Nt Persamaa geombag mejadi: dt d v d d t N M d t N M d PDP dt t N M d v d t N M d dt t N d M v d M d t N
Ruas kiri da kaa dikai dega t N M k dt t N d t N v d M d M Didapat : k d M d M k dt t N d t N v M k d M d + t N v k dt t N d
Didapat sousi utuk masig-masig : M Acos k + Bsi k N t C cos kvt + D si kvt [ Acos k + B si k] [ C cos kvt Dsi kvt], t + Sousi umum persamaa getara dawai
Sarat batas da awa : Sb I :,t Sb II :, t SA I d : dt t SA II, seperti pada gambar Sousi khusus, h + ; < < h + h; < <
Terapka sb I:, t A cos + B si C cos kvt + D si kvt A, B, t B si k C cos kvt + D si kvt Terapka sb II:,t B si kc cos kvt + D si kvt k k
+ kvt D kvt C B t si cos si, + vt D vt C B t si cos si,
Terapka SA I : + cos si si v v d vt v D vt v C B dt d + cos si,, cos si si t vt BC t D C v D v C B dt d
Terapka SA II: < < < < + ; ; cos si, h h h BC < < BC h, si + + < < + d h h d h L b BC b f BC L L L h h / /, si si si si
BC b L BC b L BC b M, t M si cos vt
Pada Dawai Piao t Diberika kecepata awa dega cara piao tuts diteka, v, h /
SB I:,t SB II:,t SA I :, SA II : v, ihat gambar
Muai dari sousi umum : [ Acos k + B si k] [ C cos kvt Dsi kvt], t + Terapka SB I da SB II didapat :, t Bsi C cos vt + D si vt Terapka SA I:, Bsi D C, D [ C cos + si ]
Sehigga :, t B D si si vt Terapka SA II : d dt BD v si cos cos vt
{ } si cos si t v BD v BD dt d L L L L si b f + + / / si si vd h h vd h b
v BD b BD b v, t Sousi khusus R R si si vt