Dalam kehidupan sehari-hari terdapat banyak benda yang bergetar.

Transkripsi

1

2 Getara (Vibratio) Dalam kehidupa sehari-hari terdapat bayak beda yag bergetar. Sear gitar yag serig ada maika, Soud system, Garpu tala, Demikia juga rumah ada yag bergetar dasyat higga rusak ketika terjadi gempa bumi. Igat juga ketika ada tertawa terpigkal-pigkal tubuh ada juga bergetar

3 Getara (Vibratio) Getara adalah geraka bolak-balik dalam suatu iterval waktu tertetu. Getara da gelombag merupaka dua hal yag salig berkaita. Baik itu gelombag air laut, gelombag gempa bumi, gelombag suara yag merambat di udara; semuaya bersumber pada getara. Dega kata lai, getara adalah peyebab adaya gelombag.

4 Getara Bebas (Free Vibratio) Getara bebas terjadi jika sistem berosilasi karea bekerjaya gaya yag ada dalam sistem itu sediri.

5 Persamaa gerak secara umum : mu cu ku p(t) Kecepata da perpidaha saat t=0 : u( 0) u u 0, u(0) Sehigga persamaa gerak dapat ditulis : 0 u u u k p( t) dimaa k m

6 da c c cr c cr dimaa m k ω adalah frekuesi alami sudut tak teredam (rad/s), ζ adalah faktor redama liat da ccr adalah koefisie redama kritis. k c

7 Getara bebas system SDOF Respo total : K c m I u P(t) u( t) u ( t) u ( t) p c u p (t) = forced motio related p(t) u c (t) = atural motio Di dalam istilah matematika, peyelesaia umum dari persamaa diferesial terdiri dari peyelesaia sesugguhya u p (t) da peyelesaia kompleme/pelegkap u c (t).

8 Getara bebas system SDOF Utuk getara bebas P(t)=0: mu cu ku 0 u u u 0 Solusi umum, utuk meyelesaika persamaa diatas : st u Ce substitusika Maka.

9 Getara bebas system SDOF ( s s ) Ce st 0 Supaya dapat valid utuk semua ilai t, maka : s s 0 Persamaa Karakteristik (persamaa polyomial derajat dalam besara yag mempuyai buah harga ) s s

10 Getara bebas system SDOF SDOF Tak Teredam (Udamped) SDOF Teredam (Damped)

11 Persamaa geraka utuk sistem "Udamped SDOF" adalah atau u u 0 mu ku 0 da persamaa karakteristik yag sesuai adalah s 0 akar dari persamaa diatas adalah s1, i dimaa i -1

12 Sehigga peyelesaia umum : u it C1e C e i t dega memperkealka persamaa Euler e i cos isi kita dapat meulis ulag persamaa dalam betuk fugsi trigoometri, yaitu u A cos t A 1 si t

13 dimaa A 1 da A adalah kostata real, ditetuka dari kodisi awal perpidaha da kecepata, u(0) u (0) jadi u u 0 0 A A 1 u u 0 u0 cos t si t adalah respo getara bebas dari sistem "udamped SDOF". Jika ů(0) = 0, jadi u u 0 cos t

14 u u 0 cos t Dapat dilihat bahwa respo merupaka geraka harmoik sederhaa dega amplitudo u o, da periode dari "udamped atural" T (s) da sebuah frekuesi dari "udamped atural" f 1 T (Hz)

15 t U t U t u cos ) cos( ) ( t u t u t u cos si ) ( 0 0 A B t B A t B t A t u cos si ta ), cos( si cos ) (

16 Cotoh F(t) 00 lb/ft 5 ft Model Struktur : E = psi W8x4 15 ft I = 8,5 i 4 W = 00 x 5 = 5000 lb g = 386 i/s Persamaa Gerak da persamaa respos getara bebasya (F(t)=0)?

17 00 lb/ft Model SDOF F(t) F(t) W8x4 15 ft Model Matematis FBD y K m F(t) f s m F(t) I

18 Peyelesaia : I t fs F f m s F(t) m. y k. y K m f 1E L W g k m Ft 6 I , lb. s y 10185y / i 8.04rad / s 4.46 sps lb / i T I 0.4s Persamaa Gerak

19 Persamaa Respos Getara Bebas : u u t) u cost si t 0 ( 0 u 0 u( t) u0 cos 8.04t si 8. 04t 8.04

20 Latiha Jika: Simpaga awal y 0 0,001 ft Kecepata awal y 0 0,1 ft/dt Gambarka Respos Struktur!! (Masuka ila t=0 sampai t=5, dega iterval waktu 0.) u u t) u cost si t 0 ( 0 u 0 u( t) u0 cos 8.04t si 8. 04t 8.04

21 Respo Getara Bebas SDOF Tak Teredam u(t) t(time)

22

23 Tued Mass Damper

24

25 Persamaa geraka utuk sistem "Udamped SDOF" adalah atau u u u 0 mu cu ku 0 da persamaa karakteristik yag sesuai adalah s s 0 dimaa akar-akarya, s 1 da s diberika oleh s 1, 1

26 Besarya faktor "dampig" ( ), dapat diguaka utuk membedaka 3 kasus, yaitu: overdamped ( 1 ) critically damped ( = 1 ) uderdamped (0 < < 1)

27 Kasus critically damped ( = 1 ) s Ketika ζ=1 maka persamaa 1, mejadi s1, 1 Solusiya mejadi: u ( 1 t) ( C C t) e t maka respo dari sistem redama kritis adalah: u( t) [ u ( u u ) t] e o o o t

28 Kasus overdamped ( > 1 ) s 1 ( > 1) 1, Persamaa diatas dapat ditulis s * 1, dimaa * 1

29 Kasus Uderdamped ( 0 < < 1) s 1 ( 0 < < 1) 1, Lebih mudah bila meulis persamaa diatas dalam betuk s 1, i d dimaa d adalah frekuesi alami " damped circular " yag diberika oleh d 1 yag sesuai dega periode damped, T d diberika oleh T d d, yag

30 Dega batua dari formula Euler, peyelesaia umum, u (t), dapat ditulis dalam betuk t u( t) e ( A1 cos dt A si dt) da juga, uo da ůo diguaka utuk megevaluasi A 1 da A, dega hasil: u t u 0 u t) e u cos 0 dt si dt) d ( 0 u( t) Acos t Bsi t A B cos( t ), ta si cos B A u( t) Ue t cos( t ) d

31 Gambar diatas meujukka perbadiga atara respo-respo dari sistem-sistem SDOF mempuyai level-level yag berbeda dalam subcritical dampig. Dalam tiap kasus, karea u o = 0, respo yag didapat

32 Peyelesaia umum, u (t), dapat ditulis dalam betuk u( t) e t * * ( A1 cosh t A sih t) da juga, uo da ůo diguaka utuk megevaluasi A 1 da A, dega hasil: u( t) e t * u 0 u0 * u0 cosh t sih t) *

33 u( t) e t * u 0 u0 * u0 cosh t sih t) * 1.6 5rad / s u 0 0i / s

34

35

36 Eksperime Peetua dari Frekuesi Alami Dasar da Faktor Dampig dari sebuah sistem SDOF Faktor dampig,, umumya diukur, da bila diigika, ilai efektif dari c dapat dihitug dari persamaa c c cr Frekuesi alami udamped dari sebuah sistem SDOF sederhaa dapat ditetuka dari pegukura statis.

37 Cotoh Tetuka frekuesi alami dari sebuah sistem pegas sederhaa dega megguaka pegukura statis. Peyelesaia : k L o k fs=ku st u st w w

38 = k/m 1 keseimbaga berat dari massa yag tergatug pada pegas ditujukka pada F 0 k L o k fs=ku st atau u st w W f s 0 w 3 dari persamaa gaya yag meyebabka perpajaga pada pegas f s ku st persamaa 3 da 4 digabugka medapat f s ku st 4 mg 5

39 jadi, dari persamaa 1 da 5 g u st 6

40

41 Cotoh Frekuesi atural dari balok katilever dega massa lumped (terpusat) bergerak diamis. Massa bergerak dega amplitudo A = 1 i kemudia dilepaska. Geraka yag terjadi ditujukka gambar di bawah yag megidikasika bahwa redama pada struktur sagat kecil. Hitug frekuesi atural dalam radia per detik da hertz. Berapa periodeya?

42 Peyelesaia : Pada titik a, beba telah bergerak 1¼ putara f 1.5 putara 3.15 Hz 0.4 s (6.8)(3.15) 19.6 rad/s f 1 1 T 0. f s

43 Terdapat dua metode yag hampir sama utuk meetuka the dampig factor,, dega megguaka rekama melemahya getara bebas dari sebuah sistem SDOF : metoda logarithmic decremet da metoda setegah amplitudo.

44 Dalam metoda logarithmic decremet, amplitudo geraka, U P, pada permulaa dari putara da amplitudoya, U Q, pada akhir. Didapat persamaa u u P Q e T d the logarithmic decremet dijelaska sebagai berikut : u P l u Q T d

45 dimaa T d adalah periode atural damped, dijelaska sebagai berikut : T d d 1 jadi, kita medapatka T d 1 Utuk dampig kecil ( < 0. ), perkiraaya : dapat diterima, memugkika faktor dampig utuk didapat dari persamaa : U l U 1 P Q

46 Prosedur yag sama juga diterapka pada metoda setegah amplitudo, dimaa hasilya merupaka perhituga yag sederhaa utuk faktor dampig. Metoda setegah amplitudo berdasarka pada amplitudo dari evelope curve (kurva evelope). uˆ( t) uˆ R uˆ P Ue t pada dua titik P da R, dimaa : Titik-titik tersebut adalah N periode damped yag terpisah, dimaa N tidak harus sebuah bilaga bulat. Kemudia, uˆ uˆ P R e NT d

47 Sehigga diperoleh persamaa N 1 l() Grafik hubuga atara da N.

48 Tetapi, utuk ilai dampig yag kecil, << 1, meghasilka: N l() atau 0.11 N Persamaa diatas meyediaka cara yag mudah utuk memperkiraka the dampig dalam sebuah sistem yag damped secara riga ( < 0.1, misal N > 1 )

49 Cotoh Sebuah sistem bergetar terdiri dari berat W = 10 lb da pegas dega kekakua K = 0 lb/i. Akibat redama viskous (liat) sehigga terjadi amplitudo pucak 1,0 da 0,85. a). Frekuesi atural tak teredam (ω) b). Peguraga logaritmis( ) c). Rasio redama(ζ) d). Koefisie redama(c) e). Frekuesi atural redama (ω)

50 Peyelesaia : a). Frekuesi atural tak teredam (ω) K m K = 0 lb/i, 10 lb 386 i/sec m g W ,78 rad sec atau f 7,78 4,4 sps b). Peguraga logaritmis y l 1 y y1 = 1,00 y = 0,85 1,0 l 0,85 0,165 c). Rasio redama(ζ) 0,163 0, 06

51 d). Koefisie redama(c) c c cr c c cr c cr 0, , 037 lb dt i k m e). Frekuesi atural redama (ωd) D D 1, (0.06) 7.77 rad/det

52 Cotoh Guaka metode setegah amplitudo utuk memperkiraka the dampig dari sebuah sistem yag gerakaya terekam dalam gambar berikut,

53 Peyelesaia : Gambar sketsa dari the evelope curve ( terdapat pada gambar) Ambil titik P pada pucak da ukur u P ; u P = 0.44 i. Cari titik R, dimaa amplitudo dari the evelope curve adalah u P / = 0. i. Perkiraka jumlah putara atara P da R : N =.5 putara Guaka persamaa dibawah ii utuk memperkiraka : 0.11 N