BAB II LANDASAN TEORI 2. Graf Graf G= (V G,E G ) adalah suatu siste yang terdiri dari hipunan berhingga tak kosong V G dari objek yang dinaakan titik (ertex) dan hipunan E G, pasangan tak berurut dari titik. Eleen dari E G dinaakan sisi (edge). Kardinalitas dari hipunan titik V G di G, dinotasikan dengan, disebut orde dari graf G. Sedangkan kardinalitas dari hipunan sisi dengan ukuran dari graf G. E G, dinotasikan dengan e, disebut Dua titik u dan, u, V(G), dikatakan bertetangga jika terdapat suatu sisi e= u E( G) yang engaitkan u dan, dan sisi tersebut disebut enghubungkan titik u dan. Derajat, d(), dari suatu titik di G adalah banyaknya titik yang bertetangga dengan di G. Suatu graf dikatakan terhubung jika untuk setiap u dan di V(G), terdapat suatu lintasan subgraf dari G yang euat kedua titik tersebut. Suatu graf H adalah subgraf dari G (tulis H G) jika dan hanya jika V(H) V(G) dan E(H) E(G). Suatu graf G dapat kita gabarkan dengan enggunakan atriks ketetanggaan A= a ij ; i, j =,2,..,, i,j =,2,, dengan adalah orde dari graf G. Sebagai contoh dapat kita lihat graf G pada Gabar 2. berikut. 4
2 4 Gabar 2. Matriks ketetanggaan dari graf G tersebut adalah 2 4 2 4 0 0 0 0 0 0 0 0 Pewarnaan-n titik dari graf G adalah suatu fungsi f : V ( G) {, 2,..., n} sedeikian sehingga f ( u) f ( ), u E( G). Graf yang epunyai pewarnaan-n disebut graf n-terwarnai. Bilangan kroatik, χ(g), adalah bilangan asli terkecil k sehingga G epunyai perwarnaan-k. Untuk contoh graf G pada Gabar 2. dapat ditunjukkan bahwa χ (G) =. warna 0 2 warna 0 4 warna warna 2 Gabar 2.2 Suatu graf yang terwarnai juga dapat ditapilkan dala bentuk atriks ketetanggaan special A*, yang juga enggabarkan warna dari titik-titik pada graf tersebut. Matriks ketetanggaan spesial erupakan atriks ketetanggaan diana bagian diagonalnya enunjukkan warna yang digunakan untuk ewarnai 5
titik-titik pada graf G. Dengan enggunakan graf pada Gabar 2.2 diperoleh atriks ketetanggaan spesial A*(G) sebagai berikut: 2 4 2 4 0 0 0 0 0 2 0 2.2 Kriptografi Kunci Publik Ide tentang siste kriptografi kunci publik pertaa kali dikeukakan oleh Diffie dan Hellan pada tahun 976. Ide ini berawal dari suatu peikiran untuk eperoleh suatu kriptosiste yang sulit secara koputasi untuk enetukan kunci dekripsi (eecahkan sandi) d k dengan diketahuinya kunci enkripsi (enyandikan) e k, sehingga kunci enkripsi e k dapat dipublikasikan. Kelebihan dari siste kriptografi kunci publik ini adalah setiap orang dapat engirikan pesan yang telah dienkripsi dengan enggunakan kunci e k, tapi hanya yang eegang kunci d k, yang dapat endekripsinya. Dala siste kriptografi kunci publik ini, kunci dekripsi asih tetap terhubung secara ateatika dengan kunci enkripsi yang dipublikasikan. Sehingga, selalu ada keungkinan bagi orang lain untuk engetahui kunci dekripsinya dengan suatu pengolahan ateatika terhadap kunci enkripsi. Siste kriptografi kunci publik yang baik adalah siste diana peluang seseorang untuk engetahui kunci dekripsinya sangat kecil. Sebagai contoh, siste kriptografi kunci publik yang didasarkan pada proses pefaktoran bilangan yang sangat besar. Inilah ynag endasari unculnya siste kriptografi kunci publik pertaa, RSA (Riest, Shair, dan Adlean). Hingga saat ini telah banyak siste kriptografi kunci publik yang dapat digunakan, diantaranya RSA, Merkle-Hellan Knapsack, ElGaal, dan Elliptic Cure. Pada pebahasan tugas akhir ini, siste kriptografi kunci publik yang 6
digunakan adalah Polly Cracker. Siste ini pertaa kali dipublikasikan oleh M. Fellows dan N. Koblitz pada tahun 994. Polly Cracker erupakan siste yang enitikberatkan proses pada aljabar koutatif dala suatu lapangan polynoial berderajat n. Yang enjadi kunci enkripsi pada siste ini adalah suatu hipunan hingga polino berderajat n, f,f 2,,f F [x,x 2,,x n ], dan kunci dekripsinya adalah akar dari f, f 2,f. Tahap-tahap pada siste ini dapat kita lihat sebagai berikut :. kunci dekripsi adalah hipunan berhingga buah polino berderajat n, f,f 2,, f F [x,x 2,, x n ]; 2. kunci enkripsi adalah ektor a ( a a a ) =, 2,..., n yang erupakan akar bersaa dari f,f 2,, f F [x,x 2,,x n ], sehingga f i (a)= 0, untuk i =,,;. untuk engenkripsi suatu pesan s F, pilih secara acak polino q,q 2,,q F [x,x 2,, x n ] dan hitung c = c(s) = s + f i iq = i ; 4. untuk endekripsi suatu pesan c F [x,x 2,,x n ], hitung + (a) = c(a) = ( s f i iq = i) s+ f ( a) q ( a) = i= i i s+ 0 q ( ) i a = s. = i Tingkat keaanan siste ini dapat kita lihat pada tingkat kesulitan dala encari solusi dari siste persaaan aljabar diatas. Perasalahan ini erupakan perasalahan NP-Coplete sehingga ebutuhkan waktu yang sangat laa untuk enyelesaikannya. Contoh khusus dari kriptografi kunci publik Polly Cracker adalah pada graf - coloring. Yang enjadi kunci publiknya (kunci enkripsi) adalah suatu graf G= (V G,E G ) dan kunci priatnya (kunci dekripsi) adalah proper -coloring dari graf tersebut, yaitu peetaan { 0,, 2} i diana VG, sehingga berlaku Dennis Hofheinz, Rainer Steinwandt, A Differential Attack on Polly Cracker (subitted for publication GE c, 200), hl.. 7
. Konstruksi suatu hipunan polynoial B B( G) u EG iu i ariabel { ti, : V,0 i 2} eenuhi : = dala diana B = B B2 B dengan B, B2, B { : } { i j:,0 2} { ui i:,0 2} B = t + t + t V,,2, B = t t V i j 2,, B = t t u E i,, Dengan ebuat ariabel t i, saa dengan jika titik diwarnai oleh warna i dan 0 untuk lainnya, diperoleh suatu titik di hipunan nol B jika kita engetahui kunci priatnya 2. 2. Skea Pebagian Rahasia Skea pebagian rahasia pertaa kali dikenalkan oleh Blakley, Shair, dan Chau pada tahun 979. Skea pebagian rahasia adalah etode yang digunakan untuk ebagi atau endistribusikan suatu rahasia S pada suatu hipunan partisipan P, sehingga jika seua partisipan A P yang berhak engetahui rahasia engupulkan rahasianya, aka ereka dapat erekonstruksi rahasia S. Tetapi, jika hipunan B P yang tidak berhak engetahui S engupulkan seua rahasianya, aka ereka tidak bisa untuk erekonstruksi rahasia tersebut. Kunci rahasia S dipilih dan didistribusikan oleh suatu dealer D, diana D P. Dealer eberikan inforasi parsial yang dinaakan share pada setiap partisipan ketika ebagi rahasia S. Suatu struktur akses Γ adalah gabungan seua hipunan bagian dari partisipan yang dapat erekonstruksi rahasia. Hipunan dari P yang terasuk struktur akses Γ disebut hipunan yang diberi kuasa (authorized set) dan yang tidak terasuk dala struktur akses dinaakan hipunan yang tidak diberi kuasa (anauthorized set). 2 Neal Koblitz, Algebraic Aspects of Cryptography (Springer, 999), hl. 06. 8
Definisi 2. Misalkan t dan w adalah bilangan bulat positif dengan t w. (t,w)- treshold schee adalah suatu etode untuk ebagi suatu kunci K(rahasia) enjadi suatu hipunan yang terdiri atas w partisipan (dinotasikan dengan P), diana gabungan dari t partisipan Γ dapat enghitung/enentukan nilai K, tapi kurang atau saa dengan t- tidak eberikan hasil apa-apa. 2.. Metode Karnin-Greene-Hellan(KGH) Suatu skea pebagian rahasia dikatakan sepurna jika suatu unauthorised set, B P, engupulkan share ereka, aka ereka tidak akan endapatkan hasil apa-apa untuk engetahui rahasia K. Karnin-Greene-Hellan (KGH) erupakan salah satu skea pebagian rahasia yang sepurna. Dala etode KGH, rahasia erupakan suatu ektor dari η bilangan, Sη=(s,s 2,...,s η ). Seua partisipan P ( P = t) akan endapatkan share berupa suatu ektor dengan panjang η, Sη (j), j=,2,...,t yang anggota-anggotanya erupakan eleen di k, untuk suatu k > ax(s,s 2,...,s η ). Rahasia dapat direkonstruksi dengan enjulahkan ektor-ektor share dala k. Contoh: Misalkan rahasia S 5 = (,,,2,4), pilih bilangan k = 6 > ax(,,,2,4). Misalkan banyak partisipan adalah t = 7, aka S 5 = (5,2,4,4,), S5 2 = (0,0,,,), S 5 = (2,4,5,0,), S5 4 = (4,,5,,2), S5 5 =(,,2,2,2), S5 6 = (,0,0,,4), dan S 7 5 = (2,,4,,5) dapat enjadi salah satu KGH, karena julah seua ektor tersebut dala adalah S 6 5 =(,,,2,4). E.T. Baskoro, R. Sianjuntak, and M.T. Adithia, Secret Sharing Schee Based On Magic Labelling (Bandung), hl. 6. 9