Algoritma Pencarian A* dengan Fungsi Heuristik Jarak Manhattan

Transkripsi

1 Algorita Pencarian A* dengan Fungsi Heuristik Jarak Manhattan Puanta Della Maharani Riyadi Teknik Inforatika Institut Teknologi Bandung Jl. Ganesha no. 10, Bandung If17135@students.if.itb.ac.id ABSTRAK Perasalahan encari dua titik terdekat sudah sering dijupai dala kehidupan sehari-hari. Dala dunia koputasi, sangat banyak algorita yang dapat digunakan untuk encari 2 pasang titik yang terdapat pada suatu atriks (peta). Salah satu dari algorita pencari pasangan titik terdekat itu ialah algorita A*. Algorita ini sangat irip dengan algorita BFS, naun ia eiliki fungsi heuristik tabahan. Algorita A* juga terkenal sebagai algorita yang angkus dan pasti eberikan hasil yang optial. Keberhasilan dari algorita A* dala eecahkan puzzle tak lepas dari penggunaan fungsi heuristik didalanya, bahkan sifat (kelakuan) dari algorita A* ini bisa berubah-rubah tergantung fungsi heuristik yang digunakannya. Fungsi heuristik ini sangat berpengaruh terhadap kecepatan kinerja aupun penggunaan suber daya eori dari algorita A*. Disini akan diuji coba jenis fungsi heuristik jarak Manhattan. Dari hasil pengujian itu akan dapat kita lihat kinerja A* dengan suatu fungsi heuristik tertentu. Pengujian algorita A* akan dilakukan dengan 2 atriks berbeda. Kata kunci: Algorita A*, Heuristik, Jarak Manhattan, BFS, DFS, labirin. 1. PENDAHULUAN Gabar 1. Hasil algorita pencarian A* A* (dibaca "A bintang"/"a star") adalah algorita pencarian graf/pohon yang encari jalur dari satu titik awal ke sebuah titik akhir yang telah ditentukan. Algorita A* enggunakan pendekatan heuristik h(x) yang eberikan peringkat ke tiap-tiap titik x dengan cara eperkirakan rute terbaik yang dapat dilalui dari titik tersebut. Setelah itu tiap-tiap titk x tersebut dicek satu-persatu berdasarkan urutan yang dibuat dengan pendekatan heuristik tersebut. Maka dari itulah algorita A* adalah contoh dari best-first search. Algorita ini pertaa kali diteukan pada tahun 1968 oleh Peter Hart, Nils Nilsson dan Bertra Raphael. Dala tulisan ereka, algorita ini dinaakan algorita A. Penggunaan algorita ini dengan fungsi heuristik yang tepat dapat eberikan hasil yang optial, aka algorita inipun disebut A*. 1.1 Deskripsi Algorita Berikut diberikan pseudo-code dari algorita A*: function A*(start,goal) closedset := the epty set % The set of nodes already evaluated. openset := set containing the initial node % The set of tentative nodes to be evaluated. g_score[start] := 0 % Distance fro start along optial path. h_score[start] := heuristic_estiate_of_distance(start, goal) f_score[start] := h_score[start] % Estiated total distance fro start to goal through y. while openset is not epty x := the node in openset having the lowest f_score[] value if x = goal return reconstruct_path(cae_fro,goal) reove x fro openset add x to closedset foreach y in neighbor_nodes(x)

2 if y in closedset continue tentative_g_score := g_score[x] + dist_between(x,y) if y not in openset add y to openset := true elseif tentative_g_score < g_score[y] := true else := false if = true cae_fro[y] := x g_score[y] := tentative_g_score h_score[y] := heuristic_estiate_of_distance(y, goal) f_score[y] := g_score[y] + h_score[y] return failure function reconstruct_path(cae_fro,current_no de) if cae_fro[current_node] is set p = reconstruct_path(cae_fro,cae_fro[ current_node]) return (p + current_node) else return the epty path queue). Prioritas yang diberikan pada suatu jalur ditentukan oleh fungsi f(x) = g(x) + h(x). Di sini, g(x) adalah ongkos yang diperlukan sapai ke titik x sejauh ini, h(x) adalah perkiraan heuristik dari ongkos inial untuk eraih titik tujuan dari titik x. Singkat kata, ongkos adalah jarak yang telah ditepuh sejauh ini, dan panjang garis lurus antara titik x dengan titik akhir adalah perkiraan heuristiknya. Seakin rendah nilai f(x), seakin tinggi prioritasnya. Di sini, suksesor(p) engebalikan sebuah hipunan titik yang bertetangga dengan p. Diasusikan bahwa antrian disini enjaga urutan anggotanya dengan nilai f secara otoatis. Gabar 2. Arah gerak pencarian algorita A* Sebenarnya, Depth-first search(dfs) dan breadth-first search(bfs) adalah dua kasus khusus dari algorita A*. Algorita Dijkstra, salah satu BFS, adalah kasus khusus dari A* diana h(x) = 0 untuk seua nilai x. Untuk DFS, ciptakan suatu counter global C yang diinisialisasi dengan nilai yang sangat besar. Pada setiap langkahnya, periksa sebuah titik, lalu berikan nilai C ke seua titik yang bertetangga dengan titik tadi. Setelah tiap-tiap peberian nilai, kurangi counter C dengan 1. Jadi seakin awal sebuah titik diproses, seakin tinggi nilai h(x) yang diilikinya. A* enyipan sebuah hipunan solusi parsial, jalur yang diabil yang berawal dari titik awal, disipan dala sebuah antrian berprioritas(priority Gabar 3. Hasil pencarian algorita A* Dala hipunan hipunan_tertutup, seua titik akhir dari p (titik diana asih terdapat jalur) disipan, untuk enghindari pengulangan dan peutaran. Antrian yang digunakan disini juga biasa disebut sebagai hipunan terbuka. Hipunan tertutup bisa saja dihilangkan (yang akan enghasilkan algorita pencarian pada pohon) apabila sebuah solusi(jalur) telah dijain keberadaannya, atau apabila fungsi suksesor telah disesuaikan agar tidak eneria titik yang sudah pernah diperiksa.

3 1.2 Sifat Seperti BFS, A* akan selalu eneukan sebuah solusi, jika eang ada. Apabila fungsi heuristik h dapat diteria, yang berarti nilai h tidak akan pernah elebihi ongkos inial untuk eraih tujuan yang sebenarnya, aka A* sendiri akan dapat diteria (atau dapat disebut optial) apabila hipunan tertutup tidak digunakan. Apabila digunakan sebuah hipunan tertutup, aka h harus onoton (atau konsisten) agar A* dapat enjadi optial. Ini berarti fungsi heuristik tidak akan pernah berlebihan dala enghitung ongkos dari sebuah titik ke titik tetangganya. Secara foral, unutuk seua jalur x,y diana y adalah suksesor dari x: h(x) g(y) - g(x) + h(y) (1) A* juga dapat dijain keoptialannya untuk sebarang heuristikh, yang berarti bahwa tidak ada satupun algorita lain yang epergunakan heuristik yang saa akan engecek lebih sedikit titik dari A*, kecuali ketika ada beberapa solusi parsial diana h dapat dengan tepat eprediksi ongkos jalur inial. 1.3 Kopleksitas Kopleksitas waktu dari A* sangat bergantung dari heuristik yang digunakannya. Pada kasus terburuk, julah titik yang diperiksa berjulah eksponensial terhadap panjang solusi (jalur terpendek), tetapi A* akan eiliki kopleksitas waktu polinoial apabila fungsi eenuhi kondisi berikut: h(x) - h*(x) O(log h*(x) (2) diana h* adalah heuristik optial, yaitu ongkos sebenarnya dari jalur x ke tujuan. Dengan kata lain, galat dari h tidak akan elaju lebih cepat dari logarita dari heuristik optial h* yang eberikan jarak sebenarnya dari x ke tujuan (Russel dan Norvig 2003, p. 101). Penggunaan eori dari A* bahkan lebih berasalah dari kopleksitas waktunya. Beberapa varian dari A* telah dikebangkan untuk engatasi asalah ini, terasuk diantaranya Iterative-Deepening- A*, Meory-Bounded-A* (MA*) dan Siplified- Meory-Bounded-A* (SMA*) dan Recursive-Best- First-Search (RBFS). RBFS juga akan eberikan hasil yang optial apabila heuristiknya dapat diteria. 2. FUNGSI HEURISTIK UNTUK A* Seperti yang telah disebutkan diatas, fungsi heuristik sangat berpengaruh terhadap kelakuan algorita A*: Apabila h(n) selalu bernilai 0, aka hanya g(n) yang akan berperan, dan A* berubah enjadi Algorita Dijkstra, yang enjain selalu akan eneukan jalur terpendek. Apabila h(n) selalu lebih rendah atau saa dengan ongkos perpindahan dari titik n ke tujuan, aka A* dijain akan selalu eneukan jalur terpendek. Seakin rendah nilai h(n), seakin banyak titik-titik yang diperiksa A*, ebuatnya seakin labat. Apabila h(n) tepat saa dengan ongkos perpindahan dari n ke tujuan, aka A* hanya akan engikuti jalur terbaik dan tidak pernah eeriksa satupun titik lainnya, ebuatnya sangat cepat. Walaupun hal ini belu tentu bisa diaplikasikan ke seua kasus, ada beberapa kasus khusus yang dapat enggunakannya. Apabila h(n) kadangkala lebih besar dari ongkos perpindahan dari n ke tujuan, aka A* tidak enjain diteukannya jalur terpendek, tapi prosesnya cepat. Apabila h(n) secara relatif jauh lebih besar dari g(n), aka hanya h(n) yang eainkan peran, dan A* berubah enjadi BFS. Heuristik yang paling uu digunakan adalah jarak Manhattan. Fungsi heuristik ini hanya akan enjulahkan selisih nilai x dan nilai y dari dua buah titik. Heuristik ini dinaakan Manhattan ungkin karena di kota Manhattan di Aerika, jarak dari dua lokasi uunya dihitung dari blok-blok yang harus dilalui saja dan tentunya tidak bisa dilintasi secara diagonal. Perhitungannya dapat ditulis sebagai berikut: h(n) = abs(n.x-tujuan.x) + abs(n.y-tujuan.y) (3) Hal lain yang harus diperhatikan adalah seberapa cepat fungsi heuristik dapat dikoputasi. Selalu akan ada trade-off antara akurasi dari fungsi heuristik dan waktu yang dibutuhkannya untuk engoputasinya. Napaknya bagus jika fungsi heuristik yang digunakan sangat akurat, dilihat dari berbagai aca percobaan bahwa jika heuristik yang digunakan sepurna aka A* akan selalu elewati jalur yang tepat dan akan selalu eberikan optiu global. Naun, heuristik yang sepurna seaca itu tidak ada (dan tidak akan pernah ada), dan bahkan untuk endekatinya saja akan eerlukan tabahan koputasi yang tidak ringan. Seringkali dala aplikasinya heuristik yang eberikan hasil yang sangat akurat naun labat, kurang disenangi dibanding heuristik yang tidak begitu optial naun eberikan hasil dengan cepat. Maka dari itu, peilihan heuristik sangat bergantung pada tujuan penggunaan A*. Jika hasil yang dibutuhkan adalah optiu global, aka fungsi heuristik yang digunakannya haruslah "sepurna", sedang jika yang dibutuhkan adalah hasil yang cepat dan tidak harus jalur

4 terpendek, aka lebih bijak enggunakan heuristik yang lebih ringan. 3. PENGAPLIKASIAN ALGORITMA A* Algorita A* akan diaplikasikan pada dua buah peta yang berbeda disini. Peta pertaa adalah suatu atriks yang berisi tebok-tebok sei labirin, dengan tapilan seperti di gabar 2. Untuk selanjutnya atriks tersebut akan disebut sebagai Peta 1 untuk eudahkan. Peta kedua erupakan suatu atriks kosong yang dikelilingi tebok seperti yang tertera pada gabar 3, yang berikutnya akan disebut Peta 2. Seua atriks yang digunakan disini eiliki ukuran 12x12, dengan hitungan untuk tebok, aka atriks yang digunakan enjadi 10x10 saja. A 0 Gabar 2. Peta 1 A 0 Gabar 3. Peta 2 Karakter A dan 0 dipergunakan untuk enunjukkan lokasi titik awal(a) dan titik akhir(0), sedangkan adalah tebok (penghalang). Tujuan dala percobaan kali ini bukan untuk eneukan suatu optiu global dari suatu peta, elainkan hanya gabaran kasar dari sangat bergantungnya kecepatan algorita A* dari fungsi heuristik yang digunakannya. Perhitungan keangkusan dari suatu heuristik disini enggunakan banyaknya titik yang diperiksa sebelu didapat suatu hasil akhir. Perbandingan dari segi waktu tidak ditapilkan disini karena hasilnya bisa sangat bervariasi tergantung pada keapuan koputasi koputer yang digunakan, selain itu julah titik yang diperiksa juga selalu berbanding lurus dengan waktu. Hasil yang akan didapat ungkin saja lebih besar dari banyak titik yang berada pada peta yang digunakan (10x10). Hal ini dikarenakan algorita A* bisa saja engganti nilai g(n) dari suatu titik n, jika terdapat jalur yang lebih dekat untuk eraih titik tersebut. 3.1 Hasil Percobaan Peta 1 Tanpa Heuristik: 124 titik yang diperiksa sebelu titik tujuan diteukan. Jarak Manhattan: 175 titik yang diperiksa sebelu titik tujuan diteukan. A Gabar 4. Peta 1 setelah diaplikasikan algorita A* A Gabar 5. Peta 2 setelah diaplikasikan algorita A*

5 Peta 2 Tanpa Heuristik: 344 titik yang diperiksa sebelu titik tujuan diteukan. Jarak Manhattan: 344 titik yang diperiksa sebelu titik tujuan diteukan. 3.2 Analisis Hasil Jika elihat hasil yang didapatkan diatas aka satu hal pasti yang dapat kita lihat adalah betapa berpengaruhnya fungsi heuristik terhadap algorita A* ini, walaupun dala kasus ini hasil yang didapat jika enggunakan fungsi heuristik alah lebih buruk. 4. KESIMPULAN Seperti yang telah disapaikan di awal, algorita A* ini benar-benar terpengaruh oleh fungsi heuristik yang digunakannya. Hasil yang didapat jika kita enggunakan fungsi heuristik yang tepat benar-benar dapat engoptialisasi waktu yang dibutuhkan untuk encari solusi. Selain ini, dapat dibuktikan untuk kasus ini ketiga fungsi heuristik jarak Manhattan, jarak Euclid dan jarak Euclid yang dikuadratkan saa-saa berpengaruh buruk terhadap kinerja algorita A*. Mungkin saja pendekatan-pendekatan fungsi heuristik lainnya bisa ebantu eningkatkan kinerja algorita A* ini. REFERENSI [1] A* search algorith, Wikipedia, tanggal akses 2 januari 2010 pukul WIB. [2] www. policyalanac.org/gaes/ Tanggal akses 2 Januari 2010 pukul [3] theory.stanford.edu/~aitp/ Tanggal akses 2 Januari 2010 pukul [4]Russell, S. J., Norvig, P, Artificial Intelligence: A Modern Approach, [3] Munir, Rinaldi, Diktat Kuliah IF2251 Strategi Algoritik, Penerbit ITB, 2007.