Abstrak. Kata Kunci : Elliptic Curve Cryptography, Digital Signature. 1. Pendahuluan

Transkripsi

1 Abstrak Analisis Penggunaan Elliptic Curve Cryptography pada Digital Signature Aulia Raha Ain Eail : aulia@students.itb.ac.id Progra Studi Teknik Inforatika, Sekolah Teknik Elektro dan Inforatika Institut Teknologi Bandung Elliptic Curve Digital Signature Algorith (ECDSA) adalah Elliptic Curve yang analog dengan Digital Signature Algorith (DSA). DSA ditetapkan sebagai standard ANSI pada tahun 999 dan ditetapkan sebagai standard IEEE dan NIST pada tahun 000. Dan pada tahun 998 DSA diteria sebagai standard ISO. Tidak seperti perasalahan logarita diskrit dan pefaktoran bilangan bulat biasa, perasalahan logarita diskrit pada Elliptic Curve tidak engenal adanya perpangkatan waktu secara sub-eksponensial untuk eecahkannya. Oleh karena itu, kekuatan algorita Elliptic Curve lebih besar untuk panjang bit kunci yang saa. Makalah ini enjelaskan engenai Elliptic Curve Digital Signature Algorith (ECDSA) dan endiskusikan ipleentasinya. Kata Kunci : Elliptic Curve Cryptography, Digital Signature. Pendahuluan Digital Signature Algorith (DSA) diperkenalkan dala Federal Inforation Processing Standard (FIPS) oleh peerintah Aerika Serikat, yang dikenal dengan Digital Signature Standard (DSS). Keaannya bergantung pada kesulitan dala eecahkan perasalahan logarita diskrit (Discrete Logarith Proble) pada bilangan pria dala ruang Z. * p Elliptic Curve Cryptosyste (ECC) diteukan oleh Neal Koblitz dan Victor Miller pada tahun 985. ECC dapat dipandang sebagai Discrete Logarith (DL) cryptosyste diana ruang Z diganti dengan kupulan * p titik pada sebuah kurva elips (Elliptic Curve) pada bidang terbatas. Basis ateatis keaanan Elliptic Curve cryptosyste adalah kesulitan dala koputasi Elliptic Curve Discrete Logarith Proble (ECDLP). Karena ECDLP secara signifikan lebih sulit dipecahkan daripada DLP, aka kekuatan siste Elliptic Curve jauh lebih besar daripada siste logarita diskrit konvensional untuk panjang bit kunci yang saa. Oleh karena itu, dengan paraeter yang lebih kecil naun dengan tingkat keaanan yang saa dapat diperoleh apabila kita enggunakan ECC dibanding dengan enggunakan siste DL konvensional. Keuntungan yang bisa didapatkan dengan paraeter yang lebih kecil adalah kecepatan koputasi lebih tinggi, penggunaan kunci dan sertifikat yang ebih kecil. Keuntungan ini sangat penting apabila kita elakukan koputasi pada lingkungan diana resource koputasi, ruang penyipanan, bandwidth, atau konsusi energi yang terbatas. Elliptic Curve Digital Signature Algorith (ECDSA) adalah Elliptic Curve yang analog dengan Digital Signature Algorith (DSA). ECDSA

2 pertaa kali diajukan pada tahun 99 oleh Scott Vanstone untuk erespon perintaan NIST (National Institute of Standard and Technology) akan koentar publik terhadap proposal pertaa ereka untuk DSS. ECDSA diteria sebagai standard ISO pada tahun 998, standard ANSI pada 999, standard IEEE dan FIPS pada tahun Skea Digital Signature.. Latar Belakang Skea Digital Signature dirancang untuk enyediakan persaaan dari tandatangan konvensional (tulisan tangan), bahkan eberikan fungsi lebih. Angka Digital Signature bergantung pada angka rahasia yang hanya diketahui oleh peberi signature (kunci privat) dan isi pesan yang diberi tandatangan. Signature harus dapat diverifikasi. Apabila terjadi perselisihan, aka tandatangan harus dapat diverifikasi tanpa eerlukan akses ke kunci privat. Perselisihan bisa terjadi apabila orang yang enandatangani pesan berusaha enyangkal bahwa ia telah enandatangani pesan tersebut atau apabila ada orang yang berusaha engklai pesan tersebut iliknya. Pada akalah ini hanya akan dibahas skea asyetric Digital Signature yang berarti bahwa untuk setiap kunci privat, terdapat kunci publik yang bersesuaian. Tiap entitas enjaga kerahasiaan kunci privat iliknya yang digunakan untuk enandatangani pesan, dan epublikasikan kunci privat yang bersesuaian yang berfungsi untuk elakukan verifikasi tandatangan. Penyandian tidak dilakukan pada pesan, elainkan pada essage digest yang dihasilkan dengan enjalankan fungsi hash terhadap pesan. Idealnya, skea Digital Signature tidak dapat dipecahkan dengan serangan chosen-essage. Ini eastikan bahwa siapapun yang berhasil endapatkan signature suatu entitas A pada sebarang pesan, tidak dapat eecahkan signature entitas A pada pesan yang lain. Skea Digital Signature dapat digunakan untuk hal-hal sebagai a. Kerahasiaan Pesan b. Integritas Data (Data integrity) Meastikan bahwa data tidak diubah oleh orang yang tidak berhak atau dengan cara-cara yang tidak diketahui. c. Otentikasi Meastikan bahwa data bersuber dari pihak yang benar, sesuai dengan yang tertera. d. Anti Penyangkalan (Non- Repudiation) Meastikan bahwa suatu entitas tidak dapat enyangkal aksi sebelunya yang tertulis pada pesan. Skea Digital Signature uunya digunakan pada protokol kriptografi yang enyediakan layanan lain terasuk otentikasi entitas, otentikasi pertukaran kunci, dan lain sebagainya. Skea Digital Signature yang digunakan saat ini dapat diklasifikasikan berdasarkan skea ateatis yang digunakan sebagai basis keaanannya yaitu : a. Skea Integer Factorization (Pefaktoran bilangan bulat) Skea ini endasarkan aspek keaanan pada sulitnya efaktorkan bilangan bulat besar enjadi faktor prianya. Contohnya adalah skea RSA dan Rabin. b. Skea Discrete Logarith (Logarita Diskrit)

3 Skea ini endasarkan aspek keaanannya pada sulitnya eecahkan asalah logarita diskrit biasa pada sebuah Finite Field. Contohnya adalah skea ElGaal, Schnorr, DSA, dan Nyberg-Rueppel. c. Skea Elliptic Curve Skea ini endasarkan aspek keaanannya pada sulitnya eecahkan Elliptic Curve Discrete Logarith Proble... Digital Signature Algorith (DSA) DSA diperkenalkan pada Agustus 99 oleh NIST dan dispesifikasikan dala FIPS yang disebut Digital Signature Standard (DSS). DSA adalah varian dari skea ElGaal. Kekuatan keaanannya terletak pada sulitnya eecahkan asalah logarita diskrit. Paraeter DSA adalah sebagai berikut : a. p, adalah bilangan pria dengan panjang L bit, yang dala hal ini 5 L 04 dan L harus kelipatan 64. Paraeter p bersifat publik dan dapat digunakan bersaa-saa oleh orang di dala kelopok. b. q, bilangan pria 60 bit, erupakan faktor dari p. Dengan kata lain, (p ) od q = 0. Paraeter q berisfat publik. c. g = h (p )/q od p, yang dala hal ini h < p sedeikian sehingga h (p )/q od p >. Paraeter g bersifat publik. d. x, adalah bilangan bulat kurang dari q. Paraeter x adalah kunci privat. e. y = g x od p, adalah kunci publik. f., pesan yang akan diberi tandatangan. Pebangkitan pasangan kunci DSA sebagai a. Pilih bilangan pria p dan q, yang dala hal ini (p ) od q = 0. b. Hitung g = h (p )/q od p, yang dala hal ini < h < p dan h (p )/q od p >. c. Tentukan kunci privat x, yang dala hal ini x < q. d. Hitung kunci publik y = g x od p. Jadi, prosedur di atas enghasilkan: kunci publik dinyatakan sebagai (p, q, g, y); kunci privat dinyatakan sebagai (p, q, g, x). Proses peberian tandatangan : a. Ubah pesan enjadi essage digest dengan fungsi hash SHA, H. b. Tentukan bilangan acak k < q. c. Tanda-tangan dari pesan adalah bilangan r dan s. Hitung r dan s sebagai berikut: r = (g k od p) od q s = (k (H() + x * r)) od q d. Kiri pesan beserta tandatangan r dan s. Otentikasi tandatangan : a. Hitung w = s od q od q) u = (H() * w) od q u = (r * w) od q v = ((g u * y u ) od p)

4 b. Jika v = r, aka tanda-tangan sah, yang berarti bahwa pesan asih asli dan dikiri oleh pengiri yang benar. Karena r dan s asing-asing adalah bilangan bulat kurang dari q, signature DSA berukuran 0 bit. Keaanan DSA bergantung pada dua Discrete Logarith Proble yang terpisah naun berkaitan. DLP yang pertaa eakan waktu koputasi O (exp ((c+o())(ln p) / (ln ln p) / )) diana c.9 dan ln n elabangkan fungsi logarita natural. Jika p adalah bilangan pria berukuran 04 bit, aka notasi diatas erepresentasikan nilai koputasi yang ustahil dipecahkan. Oleh karena itu, DSA dengan p bilangan pria sepanjang 04 bit tahan terhadap serangan. DLP yang kedua adalah apabila diketahui p, q, g, dan y, bagaiana eneukan x sedeikian sehingga y g x (od p). Untuk p berukuran besar (isalnya 04 bit), algorita terbaik yang pernah diketahui eakan waktu koputasi Π q /. Jika q 60, aka notasi tersebut enghasilkan nilai koputasi yang ustahil dipecahkan. Naun, tingkat keaanan DSA ditentukan oleh ukuran p dan ukuran q. Peningkatan ukuran salah satu paraeter tanpa diibangi dengan peningkatan ukuran paraeter lainnya tidak akan enghasilkan peningkatan keaanan yang efektif. Apabila diteukan algorita yang lebih baik untuk eecahkan salah satu DLP tersebut, dapat eperleah keaanan DSA. Sebagai respon dari draft pertaa, FIPS enentukan sebuah etode untuk ebangkitkan p dan q agar benar-benar acak. Fitur ini dapat encegah pebangkitan p dan q yang leah, yang dapat ebuat peecahan DLP enjadi udah. FIPS juga ebuat etode untuk ebangkitkan kunci privat secara acak seu dan ebangkitkan kunci sesi k berbasis DES dan SHA-.. Finite Fields Finite Field terdiri atas finite set of eleents F bersaa denga dua operator biner terhadap F yang disebut Addition dan Multiplication yang encakup beberapa properti aritatika. Orde dari sebuah Finite Field adalah julah eleen pada field tersebut. Sebuah Finite Field dengan orde q dinotasikan dengan F q. Banyak cara dapat digunakan untuk erepresentasikan eleen F q. Beberapa representasi bisa ebuat ipleentasi dala hardware aupun software enjadi lebih efisien. Jika q = p diana p adalah bilangan pria dan adalah bilangan bulat positif, aka p disebut karakteristik dari F q, dan disebut derajat perpangkatan dari F q. Kebanyakan standard yang enggunakan teknin Elliptic Curve Cryptography ebatasi orde Finite Field berupa bilangan pria atau perpangkatan dari (q = )... Finite Field F p Diketahui p bilangan pria. Finite Field F p disebut prie field yang terdiri atas kupulan bilangan bulat (0,,,..., p-) dengan operasi aritatika sebagai a. Addition Jika a, b ε F p, aka a + b = r, diana r adalah sisa apabila a + b dibagi dengan p dan 0 r p-. Operasi ini dikenal dengan Addition odulo p. b. Multiplication Jika a, b ε F p, aka a * b = s, diana s adalah sisa apabila a * b dibagi dengan p dan 0 s p-. 4

5 Operasi ini dikenal dengan Multiplication odulo p. c. Inversion Jika eleen tidak kosong dala F p, inverse dari a odulo p, dilabangkan dengan a -, adalah bilangan bulat c ε F p diana a*c =. Contoh. Finite Field F. Eleennya adalah {0,,,..., }. Contoh operasi aritatika : + 0 = 9; 8 * 9 = ; 8 - =... Finite Field F Finite Field F disebut characteristic two Finite Field atau binary Finite Field, dapat dipandang sebagai ruang vektor berdiensi pada field F, yang engandung dua eleen yaitu 0 dan. Ada buah eleen a 0, a,..., a - dala sedeikian hingga tiap eleen a ε F F dapat dituliskan dala bentuk : a = a 0 a 0 + a a a - a -, diana a i ε {0,}. Kupulan {a 0, a,, a - } disebut basis dari F atas F. Jika diberikan basis tersebut, field eleent a dapat direpresentasikan sebagai sebuah bist string (a 0 a a - ). Penabahan (Addition) dapat dilakukan dengan operasi bitwise XOR. Aturan Multiplication bergantung pada basis yang dipilih.... Representasi basis polinoial Diketahui f(x) = x + f - x f x + f x + f 0 (diana f i ε {0, } untuk i = 0,,..., -) adalah fungsi polinoial yang tidak dapat direduksi derajat pada F. f(x) tidak dapat difaktorkan enjadi dua buah fungsi polinoial dengan derajat kurang dari pada F. f(x) disebut reduction polynoial. F = {a - x a x + a 0 : a i ε {0,}} Finite eleent a - x a x + a 0 dinotasikan dala bit string (a - a a 0 ) sepanjang sehingga : F = {(a - a a 0 ) : a i ε {0,}} Eleen identitas perkalian () dinotasikan dengan bit string (00 0) sedangkan eleen identitas penjulahan dinotasikan dengan ( ). Apabila enggunakan representasi basis polinoial, operasi aritatika yang berlaku sebagai a. Addition Jika a = (a - a a 0 ) dan b = (b - b b 0 ) adalah eleen dari F aka a + b = c = (c - c c 0 ) diana c i = (a i + b i ) od. Addition dilakukan dala operasi bitwise. b. Multiplication Jika a = (a - a a 0 ) dan b = (b - b b 0 ) adalah eleen dari F aka a * b = r = (r - r r 0 ), diana polinoial r - x r x + r 0 adalah sisa apabila polinoial (a - x a x + a 0 ) * (b - x b x + b 0 ) dibagi dengan f(x) pada F. c. Inversion Jika a adalah eleen bukan 0 dari F, inverse dari a, dinotasikan dengan a -, adalah eleen unik c ε F diana a*c =. Contoh : Representasi basis polinoial Finite Field F 4. Diketahui f(x) = x 4 + x + adalah reduction polynoial. Maka 6 eleen dari F 4 adalah : 0(0000) (000) x (000) x + (00) 5

6 x(000) x + (00) x (000) x + (00) x + x(00) x + x + (0) x + x(00) x + x + (0) x + x (00) x + x + (0) x + x + x(0) x + x + x + () Contoh operasi aritatika pada F 4 : - (0) + (00) = (000) - (0) * (00) = () - (0) - = (000) Sebuah trinoial pada F adalah polinoial dengan bentuk x + x k +, diana k -. Sebuah pentanoal pada F adalah polinoial dengan bentuk x + x k + x k + x k +, diana k < k < k -. ANSI ebuat beberapa peraturan untuk eilih reduction polynoial untuk erepresentasikan eleen dari F : a. Jika ada trinoial yang tidak dapat direduksi (irreductible trinoial) berderajat pada F, aka reduction polynoial f(x) pasti adalah sebuah irreductible trinoial berderajat pada F. b. Jika tidak ada irreducible trinoial berderajat pada F, aka reduction polynoial f(x) pasti sebuah irreducible pentanoial berderajat pada F.... Representasi basis noral Basis noral dari F pada F adalah basis dengan bentuk {β, β, β,..., β }, diana β ε F. Basis yang deikian selalu ada. Eleen apapun diana a ε F dapat dituliskan sebagai a = i a i= 0 iβ, diana a i ε {0,}. Representasi basis noral eiliki keunggulan koputasi yaitu operasi perpangkatan dapat dilakukan secara efisien, naun operasi perkalian enjadi kurang efisien. Karena alasan inilah, ANSI enspesifikasikan penggunaan Gaussian noral bases (GNB) yang dengannya operasi perkalian enjadi lebih sederhana dan efisien. Tipe dari sebuah GNB adalah sebuah bilangan bulat positif yang enunjukkan kopleksitas operasi perkalian relatif terhadapa basis. Seakin kecil tipe GNB, seakin efisien perkalian yang dilakukan. Sebuah GNB ada ketika tidak dapat dibagi 8. Jika diketahui sebuah bilangan bulat positif yang tidak dapat dibagi 8, dan T adalah bilangan bulat positif. Maka sebuah GNB tipe T untuk F ada jika dan hanya jika p = T + adalah bilangan pria dan pbb(t/k,) =, diana k adalah orde perkalian dari odulo p. Jika {β, β, β,..., β } adalah basis noral dari F terhadap F, aka eleen a = i a i= 0 iβ direpresentasikan dengan string biner (a 0 a...a - ) dengan panjang sehingga F = {(a 0 a...a - ) : a i ε {0,}}. Eleen identitas perkalian () direpresentasikan dengan bitstring seua bernilai, dan eleen identitas penjulahan (0) direpresentasikan dengan bitstring seua bernilai 0. Operasi aritatika yang berlaku untuk GNB tipe T adalah : a. Addition Jika a = (a 0 a...a - ) dan b = (b 0 b...b - ) adalah eleen dari F, aka a + b = c = (c 0 c...c - ) diana c i = (a i + b i ) od. Penjulahan dilakukan secara bitwise. b. Squaring 6

7 Jika a = (a 0 a...a - ) adalah eleen dari F, aka a = i aiβ = i= 0 i + a iβ = i= 0 i= 0 i i a β = (a - a 0 a a - ) c. Multiplication Jika p =T +, dan u ε F p adalah eleen orde T. Definisikan barisan F(), F(),..., F(p-) dengan cara F( i u j od p) = i untuk 0 i -, 0 j T-. Jika a = (a 0 a...a - ) dan b = (b 0 b...b - ) adalah eleen dari F, aka a * b = c = (c 0 c...c - ) diana p af ( k+ ) + lbf ( p k) + l k= cl = a / k l b / k l a / + k+ l b k p k= + af ( k+ ) + lbf ( p k) + l k= ( ) 0 l -. d. Inversion Jika a adalah eleen tidak nol dari F, inverse a dala F dinotasikan a - adalah elen unik c ε F diana a*c =. ANSI enspesifikasikan aturan untuk eilih sebuah GNB sebagai a. Jika ada GNB tipe pada F aka basis ini harus digunakan. b. Jika tidak ada GNB basis pada F naun ada GNB basis, aka GNB basis harus digunakan. c. Jika tidak ada keduanya, aka GNB dengan basis terkecil yang harus digunakan. + l Jika p> adalah bilangan pria. Sebuah Elliptic Curve E pada F p didefinisikan sebagai persaaan : y = x + ax + b diana a,b eleen F p dan 4a + 7b 0 (od p). Set E(F p ) engandung seua titik (x,y), x eleen F p, y eleen F p yang eenuhi persaaan elips diatas bersaa titik O yang disebut point of infinity. Contoh : Elliptic Curve pada F. Diketahui p = dan Elliptic Curve E : y = x + x + 4. Didapatkan bahwa 4a + 7b = = 46 (od ), sehingga E adalah Elliptic Curve. Titik-titik pada E(F ) adalah O dan : (0,) (4,6) (9,) (, 4) (5,6) (8, 4) (0,) (7,) (9,) (, ) (5, 7) (,5) (,) (7,0) (0,5) (, ) (7,9) (, 9) (,) (8,8) (0, 8) (4,5) (7, 4) (4,7) (8,5) (,9) (4, 8) (8,9) Terdapat aturan yang disebut chord-and-tangent rule, untuk enjulahkan dua titik pada Elliptic Curve E(F p ) untuk endapatkan titik ketiga pada Elliptic Curve. Bersaa dengan operasi penjulahan ini, terdapat kupulan titik pada E(F p ) yang ebentuk kelopok dengan O sebagai identitasnya. Kelopok inilah yang digunakan dala ebangun Elliptic Curve cryptosyste. Aturan penjulahan dijelaskan elalui gabar 4. Elliptic Curve pada Finite Fields 4.. Elliptic Curve pada F p 7

8 Diketahui P = (x, y ) dan Q = (x, y ) adalah dua titik pada Elliptic Curve E. Maka penjulahan P dan Q dinotasikan sebagai R = (x, y ), didefinisikan sebaai berikut. Pertaa, gabar sebuah garis elalui P dan Q yang eotong Elliptic Curve pada titik ketiga. R adalah pencerinan dari titik ketiga tersebut terhadap subu x. sebagai P, dan disebut negatif dari P). c. Jika P = (x, y ) eleen dari E(F p ) dan Q = (x, y ) eleen dari E(F p ), diana P ±Q, aka P + Q = (x, y ) diana y y x x x x x = dan y y y = ( x x ) y x x d. Jika P = (x, y ) eleen dari E(F p ) diana P -P aka P = (x, y ) diana x x + a y = x y dan x + a = x x y y ( ) 4.. Elliptic Curve pada F Jika P = (x, y ), aka dua kali P, dilabangkan sebagai R = (x, y ) didefinisikan sebagai berikut. Pertaa gabar sebuah garis tangent dari titik P yang eotong Elliptic Curve pada titik kedua. R adalah pencerinan dari titik kedua tersebut terhadap subu x. Dari deskripsi diatas dapat dituliskan forula aljabar sebagai a. P + O = O + P = P untuk seua P eleen dari E(F p ). b. Jika P = (x,y) eleen dari E(F p ), aka (x,y) + (x,-y) = O. (Titik (x, -y) dinotasikan (0,) (α 5, α ) (α 9, Sebuah Elliptic Curve E pada F didefinisikan dala persaaan y + xy = x + ax + b diana a,b eleen F dan b 0. Set E( F ) terdiri atas seua titik (x,y), x eleen F, y eleen F yang eenuhi persaaan elips diatas, bersaa dengan titik khusus O yang disebut point of infinity. Contoh: Elliptic Curve pada F 4. Diketahui F direpresentasikan sebagai 4 irreducible trinoial f(x) = x 4 +x+. Diketahui Elliptic Curve E : y + xy = x + α 4 x +. b 0, sehingga E adalah sebuah Elliptic Curve.Titik-titik pada E( 4 adalah O dan titik-titik sebagai (, α 6 ) (α 5, α ) (, α ) (α 6, α 8 ) (α, α 8 ) (α 6, α 4 ) F ) (α, α ) (α 9, α 0 ) 8

9 α ) (α 0, α) (α 0, α 8 ) (α, 0) (α, α ) Sebagaiana pada F p, pada F juga terdapat chord-and-tangent rule. Forula aljabar untuk F adalah sebagai a. P + O = O + P = P untuk seua P eleen E( F ). b. Jika P = (x, y) eleen E( F ), aka (x, y) + (x, x + y) = O.( Titik (x, x + y) dinotasikan sebagai P, dan disebut negatif dari P). c. Jika P = (x, y ) eleen dari E( F ) dan Q = (x, y ) eleen dari E( F ), diana P ±Q, aka P + Q = (x, y ) diana y y + y + y x + + x + x + a x x = + x + x dan y + y y = ( x + x ) + x + y x x + d. Jika P = (x, y ) eleen dari E( F ) diana P -P aka P = (x, y ) diana b x = x + dan x y y = x + x + x + x x Contoh : Menggunakan data sebelunya. a. P = (α 6, α 8 ) dan Q = (α, α ). Maka P + Q = (x, y ) dihitung sebagai 8 8 α + α α + α 6 4 x = α α α 6 α + α α + α α α 6 4 = = α α α α α dan y 8 α + α 6 = ( α + ) + 6 α α + ( α ) + α = α α = α Sehingga P + Q = (, α ) 8 + α b. P = (α 6, α 8 ). Maka P = P + P = (x, y ) dihitung sebagai 6 x = ( α ) + 6 ( α ) 0 = α + α = α dan α 0 0 y = ( α ) + α + α α 6 α = α + α + α = α Sehingga P = (α 0, α 8 ) 5. Doain paraeter ECDSA Doain paraeter pada ECDSA terdiri atas : a. Ukuran field q, diana q = p (bilangan pria), atau q =. b. Indikator FR (Field Representation) adalah representasi yang digunakan untuk eleen dari F q. c. (optional) Sebuah bit string seede dengan panjang inial 60 bit. d. Dua eleen field a dan b pada F q yang endefinisikan persaaan Elliptic Curve E pada F q. e. Dua eleen field x G dan y G pada F q yang endefinisikan finite point G = (x G, y G ) pada E(F q ). f. Orde n dari titik G, dengan n > 60 dan n > 4 q. g. Kofaktor h = #E(F q )/n Berikut adalah etode untuk ebangkitkan doain paraeter yang aan secara kriptografi : a. Pilih koefisien a dan b dari F q secara acak. E adalah kurva y = x + ax + b untuk kasus q = p, dan y 9

10 + xy = x + ax + b pada kasus q =. b. Hitung N = #E(F q ) c. Verifikasi bahwa N dapat dibagi dengan bilangan pria besar n (n > 60 dan n > 4 q ). Jika tidak kebali ke langkah a. d. Verifikasi bahwa n tidak habis ebagi q k untuk tiap k, diana k 0. Jika tidak kebali ke langkah a. e. Verifikasi bahwa n q. Jika tidak kebali ke langkah a. f. Pilih sebarang titik G eleen E(F q ) dan set G = (N/n)G. Ulangi hingga G O. Algorita berikut dapat digunakan untuk enguji validitas doain paraeter D. Input : Doain paraeter D = (q, FR, a, b, G, n, h). Output : Peneriaan atau penolakan validitas D. a. Verifikasi bahwa q adalah bilangan pria (q = p) atau perpangkatan dari (q = ). b. Verifikasi bahwa FR adalah representasi yang valid untuk F q. c. Verifikasi bahwa G O. d. Verifikasi bahwa a, b, x G, dan y G adalah representasi yang benar dari eleen F q (sebagai contoh bilangan bulat pada interval [0, p-] pada kasus q = p, dan bit string dengan panjang bit pada kasus q = ). e. Verifikasi bahwa a dan b endefinisikan elliptic curve pada F q (isalnya 4a + 7b / 0 (od p) jika q = p; b 0 jika q = ). f. Verifikasi bahwa G terletak pada elliptic curve yang didefinisikan oleh a dan b (isalnya y G = x G + ax G + b pada kasus q = p dan y G + x G y G = x G + ax G + b pada kasus q = ). g. Verifikasi bahwa n adalah bilangan pria. h. Verifikasi bahwa ng = O. i. Hitung h = ( q + ) / n dan verifikasi bahwa h = h. j. Verifikasi bahwa n tidak habis ebagi q k - untuk tiap k diana k 0. k. Verifikasi bahwa n q. l. Jika ada diantara verifikasi diatas yang gagal, aka D tidak valid. Jika sebaliknya, aka D valid. Jainan bahwa D = (q, FR, a, b, G, n, h) adalah doain elliptic curve yang valid dapat diperoleh oleh suatu entitas dengan enerapakan salah satu dari etode a. A elakukan validasi doain paraeter enggunakan algorita diatas. b. A ebangkitkan D sendiri enggunakan siste yang terpercaya. c. A eneria jainan dari pihak terpercaya T (isalnya Certification Authority) bahwa T telah elakukan validasi D enggunakan algortia diatas. d. A eneria jainan dari pihak terpercaya T bahwa D dibangkitkan enggunakan siste yang terpercaya. 6. Pasangan Kunci ECDSA 6.. Pebangkitan Pasangan Kunci Pasangan kunci berasosiasi dengan Elliptic Curve doain paraeter D = (q, FR, a, b, G, n, h). Setiap entitas harus eastikan bahwa doain paraeter yang digunakan valid sebelu pebangkitan kunci. Pebangkitan kunci dilakukan sebagai a. Pilih bilangan bulat d secara acak atau acak seu pada interval [, n- ]. b. Hitung Q = dg. c. Kunci publik adalah Q, dan kunci privat adalah d. 0

11 6.. Validasi Kunci Publik Validasi kunci publik dilakukan untuk eastikan bahwa kunci publik eiliki properti aritatika yang diperlukan. Alasan elakukan validasi kunci publik adalah encegah adanya kunci publik yang tidak valid yang eungkinkan terjadinya serangan serta endeteksi kesalahan pada saat transisi kunci publik. Algorita yang dapat digunakan untuk engecek validitas kunci publik adalah sebagai Input : kunci publik Q = (x Q, y Q ) yang berasosiasi dengan doain paraeter valid (q, FR, a, b, G, n, h). Output : Peneriaan atau penolakan atas validitas Q. a. Cek bahwa Q O. b. Cek bahwa x Q dan y Q adalah representasi yang benar dari eleen F q (sebagai contoh bilangan bulat pada interval [0, p-] pada kasus q = p, dan bit string dengan panjang bit pada kasus q = ) c. Cek bahwa Q berada pada Elliptic Curve yang didefinisikan oleh a dan b. d. Cek bahwa nq = O. e. Jika ada pengecekan yang gagal, aka Q tidak valid. Jika sebaliknya, aka Q valid. Suatu entitas A dapat eastikan bahwa kunci publik Q valid dengan etode : a. A elakukan validasi kunci publik enggunakan algorita diatas. b. A ebangkitkan Q sendiri enggunakan sebuah siste terpercaya. c. A eneria jainan dari pihak terpercaya T (isalnya Certification Authority) bahwa T telah elakukan validasi kunci publik enggunakan algortia diatas. d. A eneria jainan dari pihak terpercaya T bahwa Q dibangkitkan enggunakan siste yang terpercaya. 6.. Pebuktian Kepeilikan Kunci Privat Jika suatu entitas C dapat ensertifikasi kunci publik A seperti kunci publiknya sendiri, aka C dapat engklai bahwa pesan yang ditandatangani A aslinya dari C. Untuk enghindari hal ini, CA harus ewajibkan seua entitas A untuk ebuktikan kepeilikan kunci privat yang berkorespondensi dengan kunci publik sebelu CA ensertifikasi kunci publik ilik A. Bukti kepeilikan ini dapat dipenuhi dengan beberapa cara, isalnya dengan engharuskan A enandatangani pesan sesuai pilihan CA. 7. Pebangkitan dan Verifikasi Tandatangan ECDSA Untuk enandatangani pesan, suatu entitas A dengan doain paraeter D = (q, FR, a, b, G, n, h) dan pasangan kunci (d, Q) elakukan hal-hal sebagai a. Pilih suatu bilangan bulat k secara acak atau acak seu diana k n-. b. Hitung kg = (x, y ) dan ubah x enjadi bilangan bulat. c. Hitung r = x od n. Jika r = 0 kebali ke langkah a. d. Hitung k - od n. e. Hitung SHA-() dan ubah bit string hasilnya enjadi bilangan bulat e. f. Hitung s = k - (e + dr) od n. Jika s = 0 kebali ke langkah a. g. Tandatangan untuk pesan adalah (r, s). Untuk elakukan verifikasi tandatangan A (r, s) pada pesan, B

12 engabil copy otentik dari doain paraeter A D = (q, FR, a, b, G, n, h) dan kunci publik Q yang berasosiasi. B elakukan hal-hal sebagai a. Pastikan bahwa r dan s adalah bilangan bulat pada interval [, n- ]. b. Hitung SHA-() dan ubah bit string hasilnya enjadi bilangan bulat e. c. Hitung w = s - od n. d. Hitung u = ew od n dan u = rw od n. e. Hitung X = u G + u Q. f. Jika X = O, tolak tandatangan. Sebaliknya, ubah koordinat x dari X enjadi bilangan bulat χ. Lalu hitung v = χ od n. g. Teria tandatangan jika dan hanya jika v = r. Jika signature (r, s) pada pesan benar-benar dibangkitkan oleh A, aka s = k - (e + dr) od n. Jika diturunkan enghasilkan : K s - (e + dr) s - e + s - rd we + wrd u + u d (od n) Sebelu elakukan verifikasi tandatangan A pada pesan, B perlu eiliki copy otentik dari doain paraeter ilik A yaitu D dan kunci publik Q yang bersesuaian. Kunci publik otentik uunya didistribusikan elalui sertifikat digital. Sertifikat digital pada kunci publik A harus engandung inforasi yang dapat engidentifikasi A (naa dan alaat), doain paraeter D ilik A, kunci publik Q, dan tandatangan CA pada inforasi ini. 8. Pertibangan Keaanan Tujuan dari ECDSA adalah agar Digital Signature yang dibangkitkan tahan terhadap serangan chosenessage. Chosen-essage attack dilakukan dengan endapatkan dan epelajari signature suatu entitas pada kupulan pesan hingga dapat eecahkan signature entitas yang saa pada pesan yang lain. Serangan yang ungkin dialai oleh ECDSA apat diklasifikasikan sebagai a. Serangan pada Elliptic Curve Discrete Logarith Proble. b. Serangan pada fungsi hash yang digunakan. c. Serangan yang lain. 8.. Elliptic Curve Discrete Logarith Proble (ECDLP) Salah satu cara bagi penyerang yang dapat sukses adalah enghitung kunci privat dari doain paraeter (q, FR, a, b, G, n, h) dan kunci publik Q. Perasalahan ECDLP adalah jika diberikan sebuah Elliptic Curve E yang terdefinisi pada sebuah Finite Field F q, sebuah titik P eleen E(F q ) pada orde n, dan sebuah titik Q = lp diana 0 l n-, tentukan l Jenis-jenis serangan yang diketahui Algorita yang telah diketahui untuk eecahkan ECDLP adalah sebagai a. Naïve exhaustive search Pada etode ini, seseorang elakukan koputasi P (P : P, P, P, P, ) secara exhaustive search (brute force), sapai Q didapatkan. Metode ini dapat eakan waktu n langkah pada kasus terburuk. b. Algorita Pohlig-Hellan Algorita ini engeksploitasi faktorisasi n, diana n adalah orde dari titik P. Akibat dari diteukannya algorita ini, apabla seseorang ingin endapatkan ECDLP yang sulit dipecahkan, harus digunakan Elliptic Curve dengan orde yang

13 dapat dibagi dengan bilangan pria besar n. c. Algorita baby-step giant-step Algorita ini eiliki trade-off antara waktu dan eori dibandingkan dengan exhaustive search. Algorita ini eerlukan storage sebanyak n titik, dan eerlukan waktu n langkah pada kasus terburuk. d. Algorita Pollard s rho Algorita ini adalah versi acak dari algorita baby-step giantstep. Algorita ini ebutuhkan waktu hapir saa dengan babystep giant-step ( πn / langkah) naun ebutuhkan storage yang jauh lebih kecil. e. Algorita Parallelized Pollard s rho Ini adalah penerapan algorita Pollard s rho pada koputer paralel sebanyak r processor, sehingga running tie enjadi π n / r langkah. f. Metode Pollard s labda Metode lain yang dikebangkan oleh Pollard. Metode ini juga dapat diparalelkan. Metode ini lebih cepat pada kondisi logarita bernilai antar interval [0,b] dan [0,n-], diana b<0.9n. g. Multiple Logarith h. Supersingular Elliptic Curve i. Prie-field anoalous curves j. Curves defined over a sall field k. Curves defined over F, bilangan koposit. l. Non-applicability of indexcalculus ethods. Xedni-calculus attacks n. HyperElliptic Curves o. Equivalence to other Discrete Logarith Probles 8.. Serangan pada fungsi hash Fungsi hash H adalah fungsi yang eetakan bit string dengan panjang tidak tentu ke bit sting dengan panjang tetap t sedeikian sehingga : a. H dapat dihitung dengan efisien. b. Untuk seua y eleen {0,} t tidak ungkin (sangat sulit secara koputasi) untuk eneukan sebuah bit string x sedeikian sehingga H(x) = y. Sifat ini disebut Preiage Resistance. Sifat ini disebut juga fungsi hash satu arah. c. Tidak ungkin (sangat sulit secara koputasi) untuk eneukan bit string x dan x sedeikian sehingga H(x ) = H(x ). Sifat ini disebut Collision Resistance. Apabila fungsi hash tidak eenuhi sifat preiage resistance dan collision resistance, serangan berikut ini dapat eecahkan ECDSA : a. Jika SHA- tidak eenuhi sifat preiage resistant, E dapat eecahkan signature A dengan cara sebagai berikut. E eilih bilangan bulat sebarang l dan enghitung r, diana x koordinat dari Q + lg dala odulo n. E engeset s = r dan enghitung e = rl od n. Jika E dapat eneukan pesan sedeikian sehingga e = SHA- (), aka (r,s) adalah signature yang valid untuk. b. Jika SHA- tidak eenuhi sifat collision resistant, aka entitas A dapat elakukan penyangkalan signature dengan cara sebagai berikut. Pertaa A ebangkitkan dua pesan dan sedeikian sehingga SHA- () = SHA-( ), hal tersebut enunjukkan adanya collision. A lantas enandatangani naun keudian enyangkalnya, dan engaku bahwa ia enandatangani (setiap

14 signature untuk adalah juga signature untuk ). 9. Pertibangan Ipleentasi Sebelu engipleentasikan ECDSA, beberapa pilihan utaa harus dipertibangkan yaitu : a. Tipe Finite Field yang digunakan (F p atau F ). b. Representasi field (basis polinoial atau noral). c. Tipe Elliptic Curve E pada F q (rando curve atau Koblitz curve). d. Representasi titik Elliptic Curve (affine atau projective). Banyak faktor yang dapat epengaruhi pilihan-pilihan diatas. Seuanya harus dipertibangkan untuk endapatkan solusi terbaik untuk aplikasi tertentu. Faktor-faktor tersebut antara lain : a. Pertibangan keaanan. b. Kecocokan dengan etode yang ada untuk engoptialkan operasi aritatika pada Finite Field (Addition, Multiplication, Squaring, Inversion). c. Kecocokan dengan etode yang ada untuk engoptialkan operasi aritatika pada Elliptic Curve (point Addition, point doubling, dan scalar Multiplication). d. Platfor aplikasi (software, hardware, firware). e. Batasan lingkungan koputasi (kecepatan processor, storage, ukuran kode, konsusi energi, eori). f. Batasan lingkungan kounikasi (bandwidth, response tie). 0. Pertibangan Interoperabilitas Tujuan standard kriptografi adalah : a. Untuk efasilitasi penggunaan teknik kriptografi yang baik dan terspesifikasi dengan baik. b. Meningkatkan interoperabilitas antar ipleentasi yang berbeda. Interoperabilitas dapat ditingkatkan dengan enspesifikasikan secara lengkap langkah-langkah skea kriptografi dan forat pertukaran data seperti doain paraeter, kunci, dan pertukaran pesan, dan dengan ebatasi pilihan yang ada pada saat ipleentasi. Faktor-faktor yang dapat epengaruhi interoperabilitas pada ECDSA antara lain : a. Julah dan tipe Finite Field yang diizinkan. b. Julah representasi eleen yang diperbolehkan untuk tiap Finite Field yang diizinkan. c. Julah Elliptic Curve yang diperbolehkan untuk tiap Finite Field yang diizinkan. d. Forat eleen field, titik pada Elliptic Curve, doain paraeter, kunci publik, dan signature.. Kesipulan a. ECDSA adalah penerapan lain dari DSA. Kedua algorita ini saasaa enggunakan SHA- untuk enghasilkan essage digest. Bedanya adalah pada enkripsi essage digest, ECDSA enggunakan Elliptic Curve Cryptosyste, sedangkan DSA enggunakan RSA. b. ECDSA eiliki tingkat keaanan yang lebih tinggi dibanding DSA dengan panjang kunci yang saa. c. ECDSA cocok diipleentasikan pada lingkungan yang eiliki keterbatasan resource koputasi, energi, aupun kounikasi seperti pada obile device dan sart card. 4

15 d. Untuk endapatkan hasil yang efisien, sebelu ipleentasi, perlu dipikirkan engenai paraeter-paraeter yang akan digunakan pada penerapan ECDSA. e. Perlu adanya standard khusus engenai penerapan ECDSA untuk eningkatkan interoperabilitas.. Referensi [] Bassha III, Lawrence E. (004). The Elliptic Curve Digital Signature Validation Syste (ECDSAVS). National Institute of Standard and Technology. [] Certico Research. (000). Standard for Efficient Cryptography : Elliptic Curve Cryptography. [] Johnson, Don. Menezes, Alfred. Vanstone, Scott. (00). The Elliptic Curve Digital Signature Algorith. Certico Research and Departent of Cobinatorics and Optiization, University of Waterloo, Canada. [4] Lopez, Julio. Dahab, Ricardo. (000). An Overview of Elliptic Curve Cryptography. Institute of Coputing, State University of Capinas, Brazil. [5] Munir, Rinaldi. (006). Tandatangan Digital Bahan Kuliah Kriptografi. Materi Kuliah Kriptografi, Teknik Inforatika ITB. 5