FAMILI BARU DARI METODE ITERASI ORDE TIGA UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR DENGAN AKAR GANDA ABSTRACT

Transkripsi

1 FAMILI BARU DARI METODE ITERASI ORDE TIGA UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR DENGAN AKAR GANDA Elvi Syahriah 1, Khozin Mu taar 2 1,2 Progra Studi S1 Mateatika Jurusan Mateatika Fakultas Mateatika dan Ilu Pengetahuan Ala Universitas Riau Kapus Bina Widya, Pekanbaru syahriahelvi@gail.co ABSTRACT This article discusses a new faily of iterative ethod for finding ultiple root of a nonlinear equation with known ultiplicity. Using Taylor expansion, Geoetric and Binoial series, it is shown that the ethod is of order three. At the end soe nuerical exaples are given to show the perforance of the presented ethod and to copare with soe known ethods. Keywords: Nonlinear equation, orde of convergence, ultiple root, iterative ethods, third order ABSTRAK Artikel ini ebahas keluarga baru etode iterasi untuk eneukan beberapa akar ganda persaaan nonlinear dengan ultiplisitas diketahui. Dengan enggunakan polinoial Taylor, deret geoetri dan deret Binoial ditunjukkan bahwa etode ini berorde tiga. Untuk elihat kinerja etode yang diusulkan digunakan uji koputasi enggunakan beberapa fungsi uji dan ebandingkan dengan etode yang sudah dikenal. Kata kunci: Persaaan nonlinear, orde konvergensi, akar ganda, etode iterasi, orde tiga 1. PENDAHULUAN Persaaan nonlinear eiliki peranan yang sangat penting dala seluruh bidang iliah seperti fisika dan biologi, terutaa dibidang ateatika. Persoalan yang sering dijupai adalah bagaiana eneukan akar dari persaaan nonlinear fx) = 0. 1) 1

2 Akar-akar dari persaaan nonlinear dapat dihitung dengan etode analitik dan etode nuerik. Karena tidak seua kasus persaaan 1) dapat diselesaikan secara analitik, sehingga solusi nuerik enjadi etode alternatif. Salah satu etode nuerik yang diodifikasi untuk akar ganda adalah etode Newton odifikasi dengan orde konvergensi kuadratik yang dijelaskan oleh Ralston dan Rabinowitz [5, h. 354] yang bentuk iterasinya adalah x n+1 = x n fx n) f x n ), n = 0,1,2,..., dengan adalah bilangan ultiplisitas akar dan > 1. Modifikasi etode nuerik untuk akar ganda telah dikebangkan oleh beberapa penulis yaitu Hansen dan Patrick [2] dan Neta [4]. Disaping itu Lin et al.[3] engebangkan pula etode iterasi untuk endapatkan akar ganda yang didasarkan kepada etode Halley. Pada artikel ini bagian dua didiskusikan etode Lin et al.[3] berserta orde konvergensinya. Keudian dilanjutkan di bagian tiga dengan elakukan uji koputasi terhadap lia contoh fungsi persaaan nonlinear. 2. SKEMA ITERASI PADA ORDE TIGA Diberikan skea iterasi pada orde tiga untuk encari akar ganda: y n = x n α fx n) f x n ), x n+1 = y n Afx n)+bfy n ) fx n ) Cfx n )+Dfy n ) f x n ), 2) dan y n = x n α fx n) f x n ), x n+1 = y n Afx n)+bfy n ) fy n ) Cfx n )+Dfy n ) f x n ), 3) dengan α,a,b,c dan D adalah paraeter yang akan ditentukan. Pada persaaan 2) disebut skea iterasi 1 dan persaaan 3) disebut skea iterasi 2. Teorea 1 Orde Konvergensi) Asusikan bahwa fungsi f : I R yang terdiferensial secukupnya pada interval terbuka I. Misalkan x I adalah akar ganda dari fx) = 0 dengan bilangan ultiplisitas > 1) dengan N. Jika x 0 cukup dekat dengan x, aka etode yang didefinisikan oleh tipe skea iterasi 1 pada persaaan 2) eiliki konvergensi berorde tiga dengan α 0 dan eenuhi nilai paraeter 2

3 1 1) α = 1,A = 1,B = ) 1 ), C = 0,D = 1), Bukti. Misalkan x adalah akar ganda dari fx) = 0 dengan bilangan ultiplisitas > 1) dengan N. Asusikan e n = x n x, keudian dengan elakukan ekspansi Taylor dari fx) di sekitar x = x dan dievaluasi di titik x = x n dengan engabaikan suku yang euat x n x ) i untuk i +4 diperoleh ) fx n ) = f) x ) e n 1+C 1 e n + e 2 n +C 3 e 3 n +Oe 4! n), 4) dengan C i =!f+i) x ) +i)!f ) x ), i = 1,2,3. Keudian dilakukan ekspansi Taylor f x) di sekitar x = x dan dievaluasikan di titik x = x n dengan engabaikan suku yang euat x n x ) i untuk i +4 diperoleh ) f x n ) = f) x ) 1)! e 1 n 1+D 1 e n +D 2 e 2 n +D 3 e 3 n +Oe 4 n), 5) dengan D i = 1)!f+i) x ) +i 1)!f ) x ), i = 1,2,3. Selanjutnya fx n) dihitung enggunakan persaaan 4) dan persaaan f x n ) 5), sehingga dengan enggunakan deret geoetri diperoleh fx n ) f x n ) = e n e2 nc 1 2 +Oe 4 n). 6) Keudian persaaan 6) disubstitusikan ke persaaan 2), diperoleh y n = x + αe2 n 2 +α)e n +Oe 4 n). 7) Selanjutnya isalkan E n = y n x dan dilakukan ekspansi Taylor terhadap fx) di sekitar x = x dan dievaluasi di titik x = y n dengan engabaikan suku yang euat y n x ) i untuk i +4 diperoleh ) fy n ) = f) x ) En 1+C 1 E n + En 2 +C 3 En 3 +OE 4! n). 8) Selanjutnya dihitung E n = y n x dengan ensubstitusikan persaaan 7), 3

4 aka diperoleh E n = αe2 n 2 +α)e n +Oe 4 n). 9) Selanjutnya dihitung E n, dengan enggunakan deret binoial diperoleh dengan E n = e na 1 e n +A 2 e 2 n +A 3 e 3 n +Oe 4 n)), 10) A 1 = αc 1e 2 n 2 A 2 = α )2 e 2 n 2 α )e n, A 3 = α )3 e 3 n 3. 2α )αc 1e 3 n 3, Keudian persaaan 9) dan persaaan 10) disubstitusikan ke persaaan 8), aka diperoleh fy n ) = 1 1 α ) 15e α ) 3 n α 3 3 C e +2 n α 2 4 C1 2 6e +2 n α 5 C e +3 n α 5 C 3 12e +3 n α 5 C 1 90e +3 n α 4 2 C e +3 n α 3 3 C 3 2e +3 n α 3 C1 3 90e +3 n α 2 4 C 3 +36e +3 n α 5 C 3 +6e +2 n α 5 30en +2 α e +2 n α 4 C1 2 +6e +2 n α e +2 n α 3 2 C1 2 60e +2 n α e +2 n α 2 3 C e +2 n α 5 6e +2 n α 4 C1 2 6e +1 n α 4 2 C 1 +18e +1 n α 3 3 C 1 24e +1 n α 2 4 C 1 +18e +1 n α 5 C 1 3e +3 n α 4 2 C e +3 n α 3 3 C 3 1 3e +3 n α 2 4 C 3 1 3e +3 n α 4 C e +3 n α 3 2 C 3 1 3e +3 n α 2 3 C e +2 n α e n 6 6e +3 n α 5 C 1 +24e +3 n α 4 2 C 1 36e +3 n α 3 3 C 1 +24e +3 n α 2 4 C 1 6e +3 n α 5 C 1 +48e +3 n α 4 C 1 72e +3 n α 3 2 C 1 +48e +3 n α 2 3 C 1 12e +3 n α 4 C 1 6e +3 n α 6 C 3 6e +3 n 6 C 3 6e +2 n 6 6e +1 n 6 C 1 +6e nα e nα e nα 5 )). 11) Keudian untuk skea iterasi 1, substitusikan persaaan 4), 6), 7) dan 11) ke persaaan 2), sehingga diperoleh x n+1 = x +K 1 e n +K 2 e 2 n +K 3 e 3 n +Oe 4 n), 12) 4

5 dengan α ) αd+b α ) +Cα+A K 1 = 1 α ), D+C) 1 K 2 = α ) ) 2 α ) ) 2 α 2 D 2 D+C 2 α ) α ) ) 2 αd A 2 α ) α 2 D +BC α ) α +B 2 α ) ) 2 αd B α ) ) 2 D+2C α ) α 2 D 2C α ) αd+a α ) αa A α ) D+BC α ) α BC α ) ) + α 2 Cα+ACα AC)C 1, dan K 3 = 1 2 ) α ) 2 3 α D+C ) 1 ) 3 AD BC) α ) α 2 α 1α 3 D+4 α ) 1α 2 D 5 α ) C1αD α ) 1D 3 +4CC1α 2 2 5CC1α CC α ) 1α 2 D 7 α ) 1αD+2 α ) C1D α ) α D 8 3 α ) α 2 D +10 α ) αd 4 2 α ) D 3 +4C 1α 2 7C 1α+2C C 1α 3 8C α 2 +10C α 2 4C 3 )). 13) 5

6 Karena e n+1 = x n+1 x pada persaaan 12) dapat ditulis e n+1 = K 1 e n +K 2 e 2 n +K 3 e 3 n +Oe 4 n), 14) untuk endapatkan orde tiga aka nilai K 1 = K 2 = 0 dengan α 0 dan A,C R adalah variabel bebas yang keduanya tak nol bersaaan. Misalkan dipilih } A = 1, 15) C = 0, sehingga diperoleh nilai paraeter B = 1 1) ) 1 D = 1). ), 16) Selanjutnya substitusikan nilai paraater α, A, B, C dan D pada persaaaan 15) dan 16) ke persaaan 14), sehingga diperoleh e n+1 = K 3 e 3 n +Oe 4 n), 17) dengank 3 diberikanpadapersaaan13)dana,c,b,ddiberikanpadapersaaan 15) dan 16). Berdasarkan persaaan 17) aka enurut definisi persaaan eror [6] skea iterasi 1 pada persaaan 2) terbukti eiliki orde tiga. Teorea 2 Asusikan bahwa fungsi f : I R yang terdiferensial secukupnya pada interval terbuka I. Misalkan x I adalah akar ganda dari fx) = 0 dengan bilangan ultiplisitas > 1) dengan N. Jika x 0 cukup dekat dengan x, aka etode yang didefinisikan oleh tipe skea iterasi 2 pada persaaan 3) eiliki konvergensi berorde tiga dengan α 0 dan eenuhi nilai paraeter ) 1 α = 1,A = 1,B = 0,C =,D = 1. 1 Bukti. Teorea 2 dapat dibuktikan dengan enggunakan cara yang saa pada Teorea CONTOH NUMERIK Pada bagian ini akan dilakukan uji koputasi untuk ebandingkan Skea iterasi 1 MS1) dan Skea iterasi 2 MS2) dengan etode Newton MN), etode 6

7 Chebyshev MC), dan etode Halley MH). Adapun persaaan nonlinear yang digunakan dala elakukan perbandingan etode adalah sebagai berikut: 1. f 1 x) = sin 2 x x 2 +1) 2, = 2, 2. f 2 x) = cosx x) 3, = 3, 3. f 3 x) = x 3 10) 8, = 8, 4. f 4 x) = x 3 +4x 2 10) 3, = f 5 x) = 1 xexp1 x) = 2. Untuk elakukan uji koputasi dari contoh-contoh persaaan nonlinear di atas digunakan progra Maple 13. Dala eneukan akar persaaan nonlinear ditentukan juga kriteria peberhentian jalannya progra koputasi yang saa untuk seua etode, di antaranya yaitu: 1. Nilai utlak fungsi lebih kecil dari toleransi yang diberikan. 2. Selisih nilai utlak antara dua akar hapiran yang berdekatan bernilai lebih kecil dari toleransi yang diberikan. 3. Julah iterasi encapai aksiu iterasi. Tabel 1: Perbandingan hasil koputasi dari beberapa etode iterasi f i x 0 Metode n+1 fx n+1 ) x n+1 x n MN e e 24 MC e e MH e e 14 MS e e 12 MS e e 14 f 1 MN e e 19 MC e e MH e e 11 MS e e 27 MS e e 11 MN e e 21 MC e e MH e e 10 MS e e 09 MS e e 10 f 2 MN e e 12 MC e e MH e e 12 MS e e 12 MS e e 14 7

8 f i x 0 Metode n+1 fx n+1 ) x n+1 x n MN e e 09 MC e e MH e e 07 MS e e 04 MS e e 07 f 3 MN e e 05 MC e e MH e e 08 MS e e 04 MS e e 08 MN e e 19 MC e e MH e e 11 MS e e 10 MS e e 12 f 4 MN e e 13 MC e e MH e e 13 MS e e 09 MS e e 13 MN e e 24 MC e e MH e e 26 MS e e 14 MS e e 26 f 5 MN e e 19 MC e e MH e e 23 MS e e 26 MS e e 22 Pada Tabel 1 kolo pertaa enyatakan persaaan nonlinear, kolo kedua erupakan tebakan awal yang dinotasikan dengan x 0, kolo ketiga erupakan etode iterasi yang dibandingkan, kolo keepat erupakan julah iterasi yang dinotasikan dengan n + 1, kolo kelia erupakan nilai fungsi yang dinotasikan dengan fx n+1 ) dan kolo terakhir erupakan tingkat kesalahan eror dari setiap etode yang dibandingkan yang dinotasikan dengan x n+1 x n. Berdasarkan Tabel 1 julah iterasi pada etode pebanding seperti etode Newton, etode Chebyshev, dan etode Halley eiliki perbedaan yang tidak begitu signifikan dengan skea iterasi 1 dan skea iterasi 2 dala eneukan akar pendekatan untuk fungsi nonlinear yang saa. Selanjutnya jika ebandingkan nilai fungsi dan tingkat kesalahan dari iterasi terakhir pada etode Chebyshev dan etode Halley yang eiliki orde tiga dapat dilihat pada tabel 1 pada contoh fungsi pertaadenganx 0 = 1.45etodeHalleylebihungguldaripadaetodeChebyshev, tetapi jika tebakan awalnya x 0 = 1.50 aka etode Chebyshev lebih unggul dari pada etode Halley. Untuk fungsi yang kedua dengan x 0 = 1.0 etode Halley lebih unggul dari pada etode Chebyshev, begitu juga dengan x 0 = 2.0 etode Halley 8

9 juga lebih unggul dari pada etode Chebyshev. Secara keseluruhan etode Halley dan etode Chebyshev lebih unggul dari etode Newton yang berorde dua. Keudianjikaebandingkan nilai fungsi dan tingkat kesalahan dari iterasi terakhir pada skea iterasi 1 dan skea iterasi 2 yang berorde tiga dapat dilihat pada tabel 1 pada contoh fungsi pertaa dengan x 0 = 1.45, skea iterasi 2 lebih unggul dari pada skea iterasi 2, tatapi jika tebakan awalnya dengan x 0 = 1.50 skea iterasi 1 lebih unggul dari pada skea iterasi 2. Untuk fungsi kedua dengan x 0 = 1.0, skea iterasi 2 juga asih lebih unggul dari pada skea iterasi 1, begitu juga dengan x 0 = 2.0 skea iterasi 2 asih lebih unggul dari skea iterasi 1. Secara keseluruhan skea iterasi 2 lebih unggul dari pada skea iterasi 1. Berdasarkan hasil uji koputasi pada Tabel 1 bahwa skea iterasi 2 enghasilkan iterasi yang lebih sedikit dibandingkan dengan skea iterasi 1 sehingga skea iterasi 2 lebih baik dala encapai akar pendekatannya. Tetapi apabila dilihat dari keseluruhan contoh fungsi yang disajikan, etode Halley MH) untuk akar ganda enghasilkan julah iterasi yang lebih sedikit jika dibandingkan dengan skea iterasi 1 MS1), skea iterasi 2 MS2), etode Newton MN) dan etode Chebyshev MC). Sehingga dapat dikatakan bahwa skea iterasi 1 MS1) dan skea iterasi 2 MS2) untuk akar ganda dapat dijadikan etode alternatif dala encari akar persaaan. DAFTAR PUSTAKA [1] R. G. Bartle dan R. D. Shebert, Introduction to Real Analysis, 4 th Ed., John Wiley and Sons, New York, [2] E. Hansen dan M. Patrick, A faily of root finding ethods, Nuerical Matheatics, ), [3] R. F. Lin, H. M. Ren, Z. Sarda, Q. B. Wu, Y. Khan and J. L. Hu, New failies of third-order iterative ethods for finding ultiple roots, Journal of Applied Coputation, 2014), 1 9. [4] B. Neta, New third order nonlinear solvers for ultiple roots, Applied Matheatics and Coputation, ), [5] A. Ralston dan P. Rabinowitz, A First Course in Nuerical Analysis, 2 nd Ed., McGraw-Hill, Inc., New York, [6] S. Weerakoon dan T. G. I. Fernando, A variant of Newton s ethod with accelerated third-order convergence, Applied Matheatics Letters, ),