Aplikasi Aljabar Boolea dalam Sistem Digital Arettha Septiez 354093 Program Studi Tekik Iformatika Sekolah Tekik Elektro da Iformatika Istitut Tekologi Badug, Jl. Gaesha Badug 403, Idoesia 354093@std.ste.itb.ac.id Abstract Sistem Digital adalah salah satu sistem elektroika yag meguaka kosep diskrit Boolea dalam pemecaha masalah. Sistem Digital bergua utuk mempermudah komputasi masuka dari ligkuga yag umumya bersifat kotiu Keywords Boolea, Diskrit, Sistem Digital. sistem kerjaya. Sistem Digital megguaka operaopera yag sama dega yag diguaka pada Aljabar Boolea. Dalam praktikya Sistem Digital megguaka Gerbag yag mejadi opera dalam sistemya. Gerbag-gerbag ii yag atiya aka meetuka apakah keluara-keluara sudah dapat diberika haya berdasarka kodisi masukaya. I. PENDAHULUAN Dewasa ii, kehidupa semaki tidak dapat dipisahka dari tekologi. Dari keperlua sederhaa higga keperlua kompleks, hampir semua megguaka alat elektroik. Cotoh dari keperlua sederhaa adalah keperlua seharihari atau keperlua rumah tagga, misalka utuk meghilagka kusut dari baju, diperluka setrika. Utuk medapatka peeraga di tempat tapa lampu, diperluka seter. Seirig dega berjalaya waktu, tekoloi yag beredar tetuya semaki caggih. Utuk itu, kedali sederhaa seperti sekedar mematika ataupu meyalaka sistem mejadi perhatia utama. Salah satu cotoh sederhaa adalah saklar. Ragkaia yag megguaka saklar meetuka apakah ragkaia tersebut dalam kodisi terhubug atau tidak. Saklar memudahka peggua utuk meyalaka atau mematika sistem. Pegguaa saklar adalah salah satu cotoh peerapa Aljabar Boolea dalam sebuah sistem ragkaia dimaa kodisi hidup da matiya sistem ditetuka oleh peggua.aljabar Boolea membatu memudahka pegedalia dasar pada suatu tekologi. Pada zama moder ii, mulai bayak dikembaga sistem saklar yag masukaya tidak dilakuka maual oleh mausia tetapi membaca kodisi ligkugaya. Salah satu cotoh sederhaaya adalah alarm. Dalam hal ii, alarm meyala tergatug dari iput dari ligkuga yag memeuhi kodisi meyala sistemya. Sebagai cotoh, alarm weker aka meyala jika jam sudah meujukka waktu tertrtu da alarm kebakara aka meyala jika medeteksi adaya paas. Alarm adalah salah satu peerapa Aljabar Boolea tigkat lajut yag berama sistem digital, dimaa dalam hal ii sistem tidak melihat odisi rakaia melaika kodisi masuka utuk meetuka apakah keluara dapat dikeluraka atau tidak Pada makalah ii aka dibahas bagaimaa Sistem Digital megaplikasika kosep Aljabar Boolea dalam II. ALJABAR BOOLEAN A. Pegertia Aljabar Boolea Aljabar Boolea adalah struktur aljabar yag memiliki basis bier, yaitu da 0, sesuai dega tipe data Boolea, yaitu true da false. Suatu sistem aljabar disebut Aljabar Boolea jika memeuhi Postulat Hutigto, yaitu formula dari eam aksioma yag dikemukaka oleh Edward Vermilye Hutigto. Postulat Hutigto : Misalka terdapat dua buah operator bier + da, sebuah operator uer, da B adalah himpua yag didefiisika dega operator-operator tersebut dega da 0 sebagai dua eleme berbeda, maka utuk setiap a, b, c yag merupaka eleme dari B berlaku aksiomaaksioma sebagai berikut,. Closure (i) a + b ϵ B (ii) a b ϵ B. Idetitas (i) a + 0 = a (ii) a = a 3. Komutatif (i) a + b = b + a (ii) a b = b a 4. Distributif (i) a ( b + c ) = ( a b ) + ( a c ) (ii) a + ( b c ) = ( a + b ) ( a + c ) 5. Kompleme (i) a + a = (ii) a a = 0 6. Terdapat palig sedikit dua eleme a, b ϵ B dega a b Terdapat juga aksioma lai yag berlaku utuk aljabar Boolea, yaitu :. Idempote Makalah IF0 Matematika Diskrit Sem. I Tahu 05/06
(i) a + a = a (ii) a a = a. Asosiatif (i) (a + b) + c = a + ( b + c) (ii) (a b) c = a (b c) Sifat-sifat aljabar Boolea memiliki beberapa perbedaa dega sifat aljabar biasa, seperti:. Pada hukum distributif kedua, diyataka bahwa a + (b c) = (a + b) (a + c). Hal tersebut tidak berlaku pada aljabar biasa karea pada aljabar biasa, b da c tetap harus dikalika terlebih dahulu.. Aljabar Boolea tidak memiliki kebalika dari pejumlaha da perkalia, oleh karea itu, aljabar Boolea tidak memiliki operasi peguraga da pembagia layakya aljabar biasa. 3. Aljabar biasa tidak memiliki operator kompleme. 4. Aljabar biasa memperlakuka himpua bilaga real sebagai eleme yag tak berhigga bayakya, sedagka aljabar Boolea memperlakuka himpua eleme B yag masih belum didefiisika. Aka tetapi pada aljabar Boolea dua-ilai, himpua B didefiisika sebagai himpua yag memiliki dua ilai, yaitu da 0. Karea defiisi himpua B utuk aljabar Boolea masih belum jelas, utuk meyataka aljabar Boolea, harus terlebih dahulu dilakuka:. Peetua eleme himpua B. Peetua atura operasi utuk operator bier da operator uer 3. Himpua B da masig-masig operator harus memeuhi Postulat Hutigto. B. Aljabar Boolea Dua-Nilai Telah dijelaska bahwa himpua B pada aljabar Boolea belum terdefiisi. Aka tetapi, terdapat jeis aljabar Boolea yag umum da sagat bayak dipakai, yaitu aljabar Boolea dua-ilai. Aljabar Boolea dua-ilai didefiisika sebagai himpua B yag memiliki dua eleme yaitu da 0 (B = {0, }), operator bier + da, da operator uer. Atura operasi utuk operator-operator tersebut adalah sebagai berikut: Tabel - Operasi Perkalia a b a b 0 0 0 0 0 0 0 Tabel - Operasi Pejumlaha a b a + b 0 0 0 0 0 Tabel -3 Operasi Kompleme a a 0 0 C. Hukum-Hukum pada Aljabar Boolea Berikut ii adalah hukum-hukum yag berlaku pada aljabar Boolea:. Idetitas (i) a + 0 = a (ii) a = a. Kompleme (i) a + a = (ii) aa = 0 3. Ivolusi (i) (a ) = a 4. Distributif (i) a (b + c) = (a b) + (a c) (ii) a + (b c) = (a + b) (a + c) 5. Komutatif (i) a + b = b + a (ii) ab = ba 6. Idempote (i) a + a = a (ii) a a = a 7. Domiasi (i) a + = (ii) a 0 = 0 8. Peyerapa (i) a + ab = a (ii) a(a + b) = a 9. Asosiatif (i) (a + b) + c = a + ( b + c) (ii) (a b) c = a (b c). De Morga (i) (a + b) = a b (ii) (ab) = a + b. 0/ (i) 0 = (ii) = 0 D. Fugsi Boolea Fugsi Boolea adalah fugsi yag dibetuk oleh beberapa variabel Boolea. Fugsi dega variabel dapat diyataka dega f(x, x,, x ). Cotoh utuk fugsi dega tiga variabel x, y, da z adalah f ( x, y, z) yz dega x, y, da z berilai atau 0. Fugsi Boolea memiliki beberapa operasi, yaitu: Makalah IF0 Matematika Diskrit Sem. I Tahu 05/06
. Pejumlaha ( f g)( x f ( x. Perkalia ( fg)( x g( x ) ) g( x ) ) f ( x ) () 3. Kompleme (dapat megguaka hukum De Morga) Fugsi Boolea memiliki betuk kaoik. Betuk kaoik tersebut terdiri dari dua macam, yaitu:. SOP (Sum of Product), pejumlaha dari kali hasil. Dapat disebut juga maxterm dega lambag M. Betukya : x + x + + x Notasi :. POS (Product of Sum), perkalia dari hasil jumlah. Dapat disebut juga miterm dega lambag m. Betukya : x x x Notasi : Tabel -4 (Muir, 6) x y Miterm Maxterm Suku Lambag Suku Lambag 0 0 x y m 0 x + y M 0 0 x y m x + y M 0 xy m x + y M xy m 3 x + y M 3 Cotoh pegguaa:. SOP f x, y y m ( m3. POS f x, ( x ( x ) M (,3) ( 0M E. Peta Karaugh (0,) Peta Karaugh atau K-Map adalah tabel yag masigmasig selya merepresetasika kombiasi variabel yag berbeda-beda dari fugsi Boolea. Peta Karaugh berfugsi utuk membatu peyederhaaa fugsi Boolea.. Dua variabel Tabel -5 Peta Karaugh Dua Variabel x\y 0 0 x y x y xy xy. Tiga variabel Tabel -6 Peta Karaugh Tiga Variabel x/yz 0 0 x y z x y z x yz x yz xy z xy z xyz xyz () ) (3) (4) 3. Empat variabel Tabel -7 Peta Karaugh Empat Variabel w x y z w x y z w x yz w x yz 0 w xy z w xy z w xyz w xyz wxy z wxy z wxyz wxyz wx y z wx y z wx yz wx yz Masig-masig tabel aka berisi 0 atau, bergatug dega fugsi Boolea yag aka dibuat peta Karaughya. 0 artiya kodisi tidak terdapat dalam fugsi, sedagka artiya kodisi terdapat dapam fugsi. Cotoh fugsi (Muir, 6): f ( w, x, y, z) w' z w' yz w' x z w' xyz w' xy wxy ' z wxyz wxyz ' w w z w yz Peta Karaugh-ya: Tabel -8 Peta Karaugh Fugsi (5) 0 0 0 0 0 0 Suatu fugsi belum tetu berada pada betuk yag palig sederhaa. Peyederhaaa fugsi Boolea dega peta Karaugh dapat dilakuka dega lagkah-lagkah berikut:. Megelompokka sel yag berilai da salig bersisia dega membetuk pasaga ( eleme), quad (4 eleme), atau oktet (8 eleme).. Megelimiasi huruf yag represetasi bierya berbeda dalam kelompok tersebut. Cotoh peyederhaaa fugsi (5): Tabel -9 Peta Karaugh Fugsi (5) dega Pegelompokka Fugsi disederhaaka mejadi: f ( w, x, y, z) z y w (6) Tekik pegguluga juga dapat dilakuka utuk peyederhaaa peta Karaugh. (5) Makalah IF0 Matematika Diskrit Sem. I Tahu 05/06
Gambar - Pegguluga Kiri-Kaa (Sumber: http://www.allaboutcircuits.com/textbook/digital/chpt- 8/logic-simplificatio-karaugh-maps/) Selai pegguluga kiri-kaa, dapat juga dilakuka pegguluga atas-bawah ataupu meyatuka pojokpojokya seperti pada Gambar - III. SISTEM DIGITAL Sistem digital adalah sistem elektroika yag dalam prosesya megolah ilai-ilai diskrit. Sistem Digital sagat serig megguaka eleme-eleme logika. Sistem Digital mejadi terobosa dalam meagai iput yag berupa kotiu. Sistem digital dapat merubah ilai yag tidak teratur dalam betuk diskrit atau digit-digit agka. Sistem digital dimodelka dega gerbag logika. Terdapat tiga gerbag logika dasar pada sistem digital, yaitu gerbag AND, OR, da NOT (Sagosaya, 997).. Gerbag AND Gambar 3- Gerbag AND Gerbag ii megoperasika iput bier dega operator (perkalia). Misalka terdapat iput A da B, gerbag aka meghasilka output AB jika A da B berilai atau true.. Gerbag OR Gambar - Pegelompokka Pojok-Pojok Peta Karaugh (Sumber: http://www.allaboutcircuits.com/textbook/digital/chpt- 8/larger-4-variable-karaugh-maps/) Selai kodisi da 0, terdapat juga kodisi do t care, yaitu kodisi yag ilaiya dapat diabaika. Misalka pada seve segmet utuk satu digit agka yag meerima masuka bier dega ukura 4 bit, masuka yag ilaiya desimalya melebihi 9 (-) masuk ke dalam kodisi do t care. Kodisi tersebut dapat dilambagka dega X. X dapat diperlakuka sebagai atau 0 tetapi tidak keduaya utuk X yag sama. Cotohya, terdapat fugsi f ( x, y (7) dega kodisi do t care d( x, peta Karaugh-ya: Tabel. Peta Karaugh Fugsi (7) da (8) (8) Gambar 3- Gerbag OR Gerbag ii megoperasika iput bier dega operator + (pejumlaha). Misalka terdapat iput A da B, gerbag aka meghasilka output A + B jika setidakya salah satu dari A atau B berilai atau true. 3. Gerbag NOT Gambar 3-3 Gerbag NOT Gerbag ii megoperasika iput bier dega operator (kompleme). Misalka terdapat iput A, gerbag aka meghasilka (A) jika A memasuki gerbag tersebut. Selai gerbag-gerbag dasar tersebut, terdapat beberapa gerbag turua yag dipakai dalam sistem digital. Gerbag-gerbag tersebut adalah:. Gerbag NAND X pada x y diaggap sebagai, sehigga dikelompokka dega xy. Fugsi yag telah disederhaaka: f ( x, (9) Gambar 3-4 Gerbag NAND Gerbag ii megoperasika iput bier dega operator gabuga da (kompleme da perkalia). Misalka terdapat iput A da B, Makalah IF0 Matematika Diskrit Sem. I Tahu 05/06
gerbag aka meghasilka (AB) jika setidakya salah satu dari A atau B berilai 0 atau false.. Gerbag NOR Gambar 3-5 Gerbag NOR Gerbag ii megoperasika iput bier dega operator gabuga da + (kompleme da pejumlaha). Misalka terdapat iput A da B, gerbag aka meghasilka (A + B) jika A da B berilai 0 atau false. 3. Gerbag XOR atau EOR Gambar 3-6 Gerbag XOR Gerbag ii aka meghasika ilai atau true jika A da B memiliki ilai yag berbeda satu sama lai. 4. Gerbag XNOR atau ENOR Seve segmet adalah alat elektroik yag dipakai utuk meampilka agka melalui kombiasi-kombiasi segmeya. Masig-masig segme aka meyala sesuai dega masuka bier yag diterima oleh gerbag logika pada sistem digital seve segmet tersebut. Misalka terdapat seve segmet yag merepresetasika bilaga 0-9 yag meerima masuka bier sebayak 4 bit. Masig-masig bit direpresetasika dega w, x, y, z (terurut dari most sigificat bit higga least sigificat bit). Dibuat peta Karaugh utuk masigmasig segme utuk medapatka fugsi keaktifa segme. melambagka bahwa segme aktif, sedagka 0 melambagka bahwa segmetidak aktif. Perlu diperhatika bahwa kodisi do t care, yaitu kodisi saat masuka bit melebihi 9 (-) diaggap sebagai kodisi yag tidak aka memiliki keluara sehigga dilambagka dega 0. Tabel 4- Peta Karaugh utuk Segme a 0 0 0 0 0 Gambar 3.7 Gerbag XNOR Gerbag ii aka meghasila ilai atau true jika A da B memiliki ilai yag sama (samasama atau sama-sama 0). IV. APLIKASI ALJABAR BOOLEAN PADA SISTEM DIGITAL Salah satu aplikasi aljabar Boolea pada sistem digital adalah pegguaa peta Karaugh utuk meetuka fugsi segmet pada seve segmet. a w' y w' xz wxy ' Tabel 4- Peta Karaugh utuk Segme b 0 0 0 0 0 b w' yz Tabel 4-3 Peta Karaugh utuk Segme c 0 0 0 0 () () c w' z x () Gambar 4- Seve Segmet Makalah IF0 Matematika Diskrit Sem. I Tahu 05/06
Tabel 4-4 Peta Karaugh utuk Segme d 0 Tabel 4-6 Peta Karaugh utuk Segme f 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 d w' y w' y w x z Tabel 4-5 Peta Karaugh utuk Segme e 0 0 (3) f w' x x w Tabel 4-7 Peta Karaugh utuk Segme g 0 0 (5) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 e w' y (4) g wxy ' w y w' y (6) Berikut ii adalah ragkaia gerbag logika utuk fugsi-fugsi segme dari seve segmet tersebut: Gambar 4- Gerbag Logika Seve Segmet Makalah IF0 Matematika Diskrit Sem. I Tahu 05/06
V. SIMPULAN Aljabar Boolea merupaka dasar dari sistem digital. Sistem digital pada umumya megguaka gerbag logika utuk melakuka proses-proses yag dibutuhka sebagai represetasi operasi logika pada aljabar boolea. Sistem Digital haya megluarka dua macam ilai, yaitu da 0, sama dega Aljabar Boolea dega True da False. VI. UCAPAN TERIMA KASIH Pertama-tama saya memajatka puji syukur kepada Tuha Yag Maha Esa yag telah melimpahka berkat da rahmat-nya dalam pegerjaa makalah ii higga makalah ii dapat diselesaika. Saya juga megucapka terima kasih pada Dr. Ir. Rialdi Muir, MT. da Dra. Harlili S., M.Sc. selaku dose Matematika Diskrit prodi Tekik Iformatika ITB atas bimbigaya. Tidak lupa saya ucapka terima kasih kepada tema-tema yag telah memberika ispirasi dalam peyempuraa makalah ii. REFERENCES [] Slide Slide Presetasi Aljabar Boolea Tekik Iformatika Uiversitas Pasuda Diakses pada 9 Desember 05, pukul.3 WIB [] http://www.ee.surrey.ac.uk/projects/cal/digitallogic/gatesfuc/idex.html Diakses pada 9 Desember 05, pukul 0.56 WIB [3] Slide Presetasi EL095: Boolea Algebra Diakses pada Desember 05, pukul.5 WIB [4] Muir, Rialdi. 6. Diktat Kuliah IF0 Matematika Diskrit. Badug: Program Studi Tekik Iformatika STEI ITB. PERNYATAAN Dega ii saya meyataka bahwa makalah yag saya tulis ii adalah tulisa saya sediri, buka sadura, atau terjemaha dari makalah orag lai, da buka plagiasi. Badug, 8 Desember 05 Arettha Septiez (35493) Makalah IF0 Matematika Diskrit Sem. I Tahu 05/06