Jurusan Matematika FMIPA Unsyiah September 9, 2011
Sebuah kurva bidang (plane curve) ditentukan oleh pasangan persamaan parametrik x = f(t), y = g(t), t dalam I dengan f dan g kontinu pada selang I. I biasanya selang tertutup [a, b] dan t disebut parameter. Ketika t berjalan dari a ke b, titik (x, y) akan bergerak menelusuri seluruh kurva pada bidang xy. Jika I = [a, b] maka titik P = (x(a), y(a)) disebut titik ujung awal (initial end point) dan titik Q = ((x(b), y(b)) disebut titik ujung akhir (final end point).
Jika suatu kurva mempunyai titik-titik ujung yang saling berhimpit maka disebut kurva tertutup (closed). Jika untuk nilai t yang berbeda menghasilkan titik yang berbeda pada bidang (kecuali mungkin untuk t = a dan t = b) maka kurva tersebut disebut kurva sederhana (simple). Pasangan x = f(t), y = g(t) bersama dengan selang I disebut parametrisasi (parametrization) dari suatu kurva.
Gambar: Jenis-jenis kurva
Tidak sederhana, tertutup Sederhana, tertutup Gambar: Jenis-jenis kurva
Untuk mengenali sebuah kurva yang dinyatakan dalam parametrik dapat dilakukan dengan menghilangkan parameternya, yaitu menyelesaikan satu persamaan untuk t dan kemudian mensubstitusikannya ke dalam persamaan lainnya. Contoh 1 Tentukan kurva yang bersesuaian dan buatlah grafiknya dari persamaan-persamaan berikut ini x = t 2 + 2t, y = t 3, 2 t 3.
Penyelesaian Dari persamaan y = t 3 kita peroleh t = y + 3. Selanjutnya t ini disubstitusikan ke dalam persamaan pertama, x = (y + 3) 2 + 2(y + 3) = y 2 + 8y + 15 atau x + 1 = (y + 4) 2. Persamaan di atas adalah sebuah parabola yang tebuka ke kanan. Lihat gambar berikut ini.
Gambar: Grafik dari x = t 2 + 2t, y = t 3, 2 t 3.
Contoh 2 Tunjukkan bahwa x = a cos t, y = b sin t, 0 t 2π merepresentasikan elips seperti pada gambar berikut.
Penyelesaian Pertama sekali selesaikan persamaan-persamaan untuk cos t dan sin t. Selanjutnya kuadratkan dan jumlahkan sehingga diperoleh ( x a ) 2 + ( y b ) 2 = cos 2 t + sin 2 t = 1 atau ( x ) 2 ( y ) 2 + = 1. a b Persamaan di atas adalah sebuah elips.
Sebuah sikloid (cycloid) adalah suatu kurva yang dibentuk oleh sebuah titik P pada bagian terluar dari sebuah roda ketika roda tersebut berputar di sepanjang garis lurus tanpa tergelincir. Perhatikan gambar berikut.
Untuk menentukan persamaan parametrik sikloid, misalkan roda berputar di sepanjang sumbu x dengan P merupakan titik asal. Misalkan dinotasikan pusat roda adalah C dengan jari-jarinya adalah a. Pilih parameter t dalam radian dengan sudut searah jarum jam dimana ruas CP akan berada pada posisi vertikal ketika P berada pada titik asal. Karena ON = busur P N = at, dan x = OM = ON MN = at a sin t = a(t sin t) y = MP = NR = NC + CR = a a cos t = a(t cos t) maka persamaan-persamaan parametrik untuk sikloid adalah x = a(t sin t), y = a(t cos t)
Teorema Misalkan f dan g secara kontinu dapat didiferensialkan dengan f (t) 0 pada α < β, maka persamaan-persamaan parametrik x = f(t), y = g(t) mendefinisikan y sebagai fungsi x yang dapat didiferensialkan dan dy dx = dy/dt dx/dt
Contoh 3 Tentukan dy/dx dan d 2 y/dx 2 untuk fungsi berikut ini Penyelesaian x = 5 cos t, y = sin t, 0 < t < 3. Misalkan y menotasikan dy/dx, maka dy dx = dy/dt dx/dt = 4 cos t 5 sin t = 4 5 cot t d 2 y dx 2 = dy dx = dy 4 /dt dx/dt = 5 csc2 t 5 sin t = 4 25 csc2 t
1. Tentukan persamaan Cartesius dari kurva x = 4 t, y = 2t; 0 t 4. 2. Tentukan dy/dx dengan menghilangkan parameternya jika x = 1 cos t, y = 1 + sin t; t nπ 3. Tentukan persamaan garis singgung terhadap kurva pada titik yang telah diberikan tanpa menghilangkan parameternya jika diberikan x = t 2, y = t 3 ; t = 2.