MATEMATIKA. Sesi TRANSFORMASI 2 CONTOH SOAL A. ROTASI

Transkripsi

1 MATEMATIKA KELAS XII IPA - KURIKULUM GABUNGAN 14 Sesi NGAN TRANSFORMASI A. ROTASI Rotasi adalah memindahkan posisi suatu titik (, y) dengan cara dirotasikan pada titik tertentu sebesar sudut tertentu. Titik tertentu tersebut dinamakan sebagai titik pusat, sedangkan sudut tertentu dinotasikan sebagai α. Sudah menjadi kesepakatan untuk α > 0 maka arah putaran berlawanan arah jarum jam, sedangkan untuk α < 0 maka arah putaran searah jarum jam. Suatu titik A(, y) yang dirotasikan terhadap titik pusat rotasi (a, b) dengan sudut putar α atau dinotasikan R[(a, b), α], menghasilkan bayangan (, ) dengan alur R ( a, b), α ( y, ) (, ) cosα sinα sinα cosα Di mana persamaan transformasinya adalah a cosα = b sinα sinα a cosα y b CONTOH SOAL 1. Bayangan titik (-4, 5) oleh rotasi terhadap titik pusat dengan sudut putar 30 adalah. 1

2 Alur R( 030, ) ( 45, ) (, ) cos30 sin30 4 = sin30 cos = = Bayangan titik (-1, 7) oleh rotasi terhadap titik (1, ) dengan putaran 45 searah jarum jam adalah... Karena disebutkan searah jarum jam maka α < 0 atau α = -45 Alur R (, 1), 45 ( 17, ) (, ) cos 45 sin 45 = 1 si n 45 cos = = = 3 4 Maka bayangannya adalah 3, 4

3 3. Bayangan titik (, y) oleh rotasi dengan pusat (0, 0) dengan sudut putar 70 adalah (-, 3). Maka koordinat dari (, y) adalah... R ( 0, 0), 70 (,y) ( 3, ) cos70 sin70 = 3 si n70 cos70 y = 1 0 y 3 = y Maka, koordinat (, y) = (-3, -). 4. Bayangan garis y = 5 bila dirotasi pada titik (0, 0) sebesar 90 searah jarum jam adalah. Karena diputar searah jarum jam, α = -90 o R ( 00, ), 90 y= 5? (,y) (,) Persamaan transformasinya cos 90 sin 90 = sin cos y cos90 sin90 = sin90 cos90 y 0 1 = 1 0 y = y = Maka y= dan = Jadi, persamaan bayangannya = = 0 3

4 5. Bayangan garis m bila dirotasikan oleh R[(1, 1), 180 ] adalah 4 5y = 3. Maka persamaan garis m adalah. m R (,), = 3 (,y) (,) Persamaan transformasinya 1 cos180 sin180 1 = 1 sin180 cos180 y 1 1 = y = + 1 y + 1 Maka 1= + 1 = + 1= y+ 1 = y + Sehingga persamaan awal 4( + ) 5( y + ) = y 10= y = 5 atau 4 5y = 0 a. Rotasi Gabungan Suatu titik dapat dirotasikan lebih dari satu kali. Hanya saja untuk rotasi gabungan perlu diperhatikan kondisi titik pusatnya. Apabila semua rotasi memiliki titik pusat yang sama maka sudut bisa digabungkan, akan tetapi bila titik pusatnya berbeda maka bayangan titiknya harus ditelusuri satu persatu tanpa ada gabungan. R (a,b), α R (a,b), β (,y) (,) Dapat ditulis R (a,b), α+ β (,y) (,) 4

5 CONTOH SOAL 1. Peta titik (4, 7) dengan rotasi berpusat di (1, 0) dengan sudut putar 15 dilanjutkan dengan rotasi yang berpusat di (1, 0) dengan sudut putar 30 adalah. R1 (, 10), 15 R (, 10), 30 ( 47, ) (,) Sama dengan R (, 10), 45 ( 47, ) (,) 1 cos45 sin = 0 sin45 cos = = 5 Sehingga 1= = 1 = 5 Maka titik bayangannya ( 1 5, ).. Peta atau bayangan dari garis 6 + y =1 oleh rotasi yang berpusat di (1, 1) dengan sudut putar 0 dilanjutkan dengan rotasi yang berpusat di (1, 1) dengan sudut putar 70 adalah. Alur R (,), y= 1 (,y) R ( 11,), 90 1 R ((,), )? (,) 5

6 Persamaan transformasinya 1 cos90 sin90 1 = 1 sin90 cos90 y = y y = 1 1 Maka y= dan = Sehingga persamaan bayangannya 6 + = 1 6 = 1 3. Peta atau bayangan titik (4, ) oleh rotasi R1(0, 30 ) dilanjutkan dengan rotasi R((-1, ), 90 ) adalah. R 030, ( 1, ), 90 R ( 4, ) (,) (", y") Persamaan transformasi pertama cos30 sin30 = sin cos = = + 3 Persamaan transformasi kedua " + 1 cos90 sin = y" sin90 cos = = 3 3 Maka, persamaan bayangannya ( 1 3, + 3 ). 6

7 b. Transformasi Gabungan Persamaan transformasi gabungan yang melibatkan rotasi dapat dibentuk bila: 1. Rotasi pusat (0, 0) digabung dengan transformasi matriks ( ). Rotasi pusat (a, b) digabung dengan dilatasi pusat (a, b) Selain dua kondisi diatas maka tidak dapat dibentuk persamaan transformasi gabungan. CONTOH SOAL 1. Bayangan dari titik (-1, ) bila diputar sebesar 90 searah jarum jam dengan pusat rotasi 1 (0, 0) dilanjutkan dengan transformasi matriks adalah. -1 Alur R 0, 90 M ( 1, ) (,) Persamaan transformasi gabungannya = = = 5 0 Bayangannya (5, 0).. Bayangan kurva y = 3 jika dirotasi dengan pusat O(0, 0) sejauh 90 dilanjutkan dengan dilatasi dengan pusat (0, 0) dan faktor skala 3 adalah. Alur y= 3 (,y) R 090, D( 03, ) =... (,) 7

8 Persamaan transformasi gabungan = y 0 3 = 3 0 y = 3y 3 Maka 1 1 = dany= 3 3 Maka bayangannya 1 = = = Ellips dengan persamaan 4 + 9y = 36 digeser (-1, ). Persamaan bayangan ellips itu adalah. kemudian diputar 90 dengan pusat Alur R(, ), 4 + 9y = ,y (, ) Persamaan transformasi pertama = 1 + y + 1 = Persamaan bayangan pertama 4( + 1) + 9( ) = 36 8

9 Persamaan transformasi kedua = = + 1 Maka = + 1 = 1 + 1= = 3 Persamaan bayangan kedua 4( 3+ 1) + 9( 1 ) = 36 4( ) + 9( 1) = 36 4( ) + 9( + 1) = 36 B. REFLEKSI Refleksi atau pencerminan adalah transformasi titik (, y) dengan mencerminkannya pada suatu reflektor (cermin) tertentu untuk mendapatkan kedudukan titik baru (, ). Reflektor pada proses refleksi bisa bermacam-macam, dan semuanya bisa dinyatakan dalam bentuk matriks. Perhatikan tabel di bawah ini: No. Cermin Matriks Reflektor Persamaan Transformasi 1 Sumbu Sumbu -y Titik pusat Garis y = Garis y = = y = y = y = y = y 9

10 No. Cermin Matriks Reflektor Persamaan Transformasi 6 Garis y = + k Garis y = + k Garis y = (tanα) + k cosα sinα sinα cosα k = y k k = y k cos sin k = α α sinα cosα y k 9 Garis = h h = 1 0 y Garis y = k = 1 0 y k CONTOH SOAL 1. Bayangan dari titik (3,1) bila direfleksikan terhadap sumbu adalah. = = Maka bayangannya (3,-1). Bayangan dari garis 4 y =10 bila direfleksikan dengan sumbu y adalah. = y = y Maka = dan y = sehingga persamaan bayangannya adalah -4 =10 atau = 0 10

11 3. Bayangan dari garis a + by = c dengan pencerminan terhadap garis y = adalah 4 7y = 10. Maka persamaan garis a + by = c adalah... Diketahui persamaan bayangan 4 7 = 10 = y y = Sehingga = y dan = Maka persamaan asalnya 4y 7 =10 atau 7 4y + 10 = 0 4. Bayangan kurva dengan pencerminan terhadap garis + y = 0 adalah. Reflektor + y = 0 sama dengan y = Maka persamaan matriksnya = y y = Sehingga y = dan = Maka persamaan bayangan dari y = + 1 adalah = ( ) + ( ) 1 = 1 5. Bayangan titik (3, 4) oleh pencerminan garis y = + 5 adalah. Nilai k = 5, sehingga persamaan matriks transformasinya = ( ) + ( ) 1 = 1 Maka = 1 dan = 8 Sehingga bayangannya adalah (-1, 8) 11

12 6. Bayangan kurva y = bila dicerminkan terhadap y = 4 adalah. Nilai k = -4 + = y + 4 y + = 4 4 Maka = 4 dan y = 4 Sehingga persamaan bayangan dari y = adalah... 4= ( 4) = Bayangan dari titik (1, ) terhadap garis y= 3+ 1 adalah. Diketahui α = 60 o karena tanα= 3 dan k = 1 cos sin k = α α sinα cosα y k 1 = cos10 sin10 1 sin10 cos = = Sehingga bayangannya adalah + + 3, Bayangan titik (4, ) bila dicerminkan terhadap garis = 8 adalah. Diketahui h = 8 h = 1 0 y

13 = = = Bayangan garis 3 + 5y =10 bila dicerminkan terhadap garis y = 5 adalah... Diketahui k = 5 = 1 0 y k = y 10 = y 10 maka = dan y = 10 sehingga persamaan bayangan 3 + 5y =10 adalah 3 + 5( 10) = = 60 a. Transformasi Gabungan Persamaan transformasi gabungan yang melibatkan refleksi dapat dibentuk pada kondisi: 1. Gabungan refleksi dengan reflektor no.1 sampai dengan no.5.. Refleksi dengan reflektor no.1 sampai dengan no.5 dengan transformasi matriks. 3. Refleksi dengan reflektor no.1 sampai dengan no.5 dengan dilatasi dan atau rotasi dengan pusat (0, 0) 4. Dua atau lebih pencerminan terhadap garis = h dilanjutkan dengan garis = k, di mana persamaan transformasi gabungannya adalah ( k h) = y Dua atau lebih pencerminan terhadap garis y = h dilanjutkan dengan garis y = k, dimana persamaan transformasi gabungannya adalah 13

14 = y + 0 ( k h) Sedangkan yang lain-lain secara umum bisa dicari titik bayangannya secara berurutan. CONTOH SOAL 1. Bayangan kurva y = 3, jika dicerminkan terhadap sumbu dilanjutkan dengan dilatasi pusat O dan faktor skala adalah. Re fleksi sumbu D( 0, ) y= 3 =... y (, ) (,) Persamaan transformasinya = y 0 = 0 y = = y 1 dan 1 = y = Maka persamaan bayangan y = 3 adalah 1 = = + 6 = 6 1. Bayangan garis 3 + 4y = 6 oleh transformasi berturut-turut dengan pencerminan terhadap sumbu y, dilanjutkan dengan rotasi pusat O(0, 0) sejauh 90 adalah... Re fleksi sumbu y R( 090, ) 3+ 4y= 6 a + b = c y (, ) (,)

15 Persamaan transformasi 0 1 = y 0 1 = 1 0 y = y Maka y= dan = Sehingga persamaan bayangan 3 + 4y = 6 adalah 3 4 = = 0 3. Titik (4, 8) dicerminkan terhadap garis = 6 dilanjutkan dengan rotasi (O, 60 ) menghasilkan. = 6 R( 0, 60 ) ( 48, ) (, ) (, ) Persamaan transformasi pertama = = 8 8 Persamaan transformasi kedua " cos60 sin60 = y" sin cos = = Maka bayangannya ( , ) 15

16 LATIHAN SOAL 1. Parabola y = + 3 dirotasi pusat (-, 1) sejauh 90, persamaan bayangannya adalah... A. y = B. y = C. = y 8y + 19 D. = -y 8y + 19 E. = -y + 8y 19. Persamaan bayang an dari lingkaran + y + 4 6y 3 = 0 oleh transformasi rotasi dengan pusat O(0, 0) sejauh 90 searah putaran jarum jam adalah... A. + y 6 4y 3 = 0 B. + y 6 + 4y 3 = 0 C. + y + 6 4y 3 = 0 D. + y y 3 = 0 E. + y + 6 4y + 3 = 0 3. Bayangan garis 7 + 4y = 9 oleh rotasi (0, 5 ) adalah... A y= 9 B y= 9 C y= 9 D y= 9 E. 11 3y= 9 4. Jika titik A (4, 3) dirotasikan dengan pusat P (a, b) sejauh 180 berlawanan dengan arah jarum jam dan menghasilkan bayangan titik A'(-, 1), maka titik pusat rotasi tersebut adalah... A. (1, -) B. (-1, ) C. (-, 1) D. (-, -1) E. (1, ) 16

17 5. 10 Titik A (5, -3) ditranslasi, kemudian dilanjutkan oleh rotasi yang pusatnya O dengan 7 besar putaran 90 berlawanan arah jarum jam. Koordinat bayangan titik A adalah... A. (10, -15) B. (-10, -15) C. (10, 15) D. (-10, 15) E. (15, -10) 6. Titik V (, 5) dicerminkan terhadap garis y = memperoleh bayangan V'(, y), maka nilai + y =... A. 1 B. C. 3 D. 4 E Bayangan garis 6 + 7y 9 oleh pencerminan terhadap garis y = adalah... A y + 9 = 0 B. 6 7y 9 = 0 C y + 9 = 0 D y 9 = 0 E. 7 6y 9 = 0 8. Matriks yang menyatakan perputaran sebesar π terhadap O dalam arah berlawanan 6 dengan jarum jam dan dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis y = 0 adalah... A. B. C

18 1 D E Bayangan titik B (-3, ) jika direfleksikan terhadap garis y =, kemudian direfleksikan kembali oleh sumbu X adalah... A. (-4, -5) B. (-, -6) C. (15, 1) D. (7, 10) E. (-3, -) 10. Peta kurva y = 3 + oleh pencerminan terhadap sumbu dilanjutkan dilatasi dengan pusat O dan faktor skala 3 adalah... A. 3y = 0 B. 3y = 0 C. 3y = 0 D. 3y = 0 E. 3y = 0 18