BB II LNDSN TEORI 2 Moralias Moralias aau dalam asurasi lebih dieal dega ama abel iga emaia mempuyai peraa yag saga peig dalam meeua premi ersebu Dalam abel ii erulis seperaga fugsi-fugsi probabiliias yag berhubuga dega hidup da meiggalya seseorag pada usia ereu Tabel moralias ii berisi dafar dari l, d,q da sebagaiya Secara umum dapalah diyaaa bahwa : l baya orag yag hidup pada usia X ahu d baya orag yag meiggal sebelum mecapai usia X ahu eapi sudah mecapai X Tahu Dari hasil-hasil ii maa aa dapa diurua ilai-ilai peluag hidup da meiggal dalam beu fugsi l da d eluag dari orag yag berusia X aa hidup dalam masa sau ahu medaag, diulis sebagai : l (2) l eluag dari orag yag berusia X ahu aa meiggal dalam masa sau ahu medaag, diulis sebagai : d q (22) l 9
Lebih umum, p da q adalah peluag orag yag berusia X aa hidup/meiggal dalam masa ahu medaag Dega rumus dapa diulis sebagai : l p da q p (23) l Dalam hal ii, peulis megguaa abel moralias Comissioers 94 Sadard Ordiary Moraliy Table aau biasa disebu CSO Table Beriu ii adalah grafi l yag diploa erhadap usia Gambar 2 lo l Tabel Moralias CSO erhadap Usia
22 Fugsi Kehidupa (Surial Fucio) Misala X adalah sebuah peubah aca oiu yag meyaaa usia emaia dari seseorag yag baru lahir da X memilii fugsi disribusi F(X) F( ) ( X ) (22) Di bawah asumsi F() maa fugsi s ( ) F( ) X ( > ) (222) a memberia s() Fugsi s() seperi ii disebu dega fugsi ehidupa Dega aa lai fugsi ehidupa s() adalah peluag seseorag berusia ahu (baru lahir) aa beraha hidup sampai berusia ahu Dalam bidag ilmu auaria da demografi fugsi ehidupa s() serig diguaa sebagai lagah awal uu perhiuga-perhiuga yag dilaua misalya uu meeua peluag seseorag berusia aa eap hidup aaupu meiggal pada suau selag wau Walaupu demiia, pegguaa fugsi disribusi F() pu dapa da biasa dilaua eruama dalam aiaya dega eori peluag da saisia Melalui peerapa huum-huum probabilias, peluag suau ejadia yag berhubuga dega X dapa diulisa sebagai persamaa dalam fugsi ehidupa aau fugsi disribusi Sebagai cooh, peluag seseorag yag baru lahir meiggal di aara da z (<z) adalah : ( < X z) F( z) F( ) s ( ) sz ( ) (223) Da peluag bersyara dari seseorag yag baru lahir aa meiggal di aara usia da z, jia dieahui aa eap hidup sampai usia,
( < X z X> z) F( z) F( ) F( ) s ( ) sz ( ) (224) s ( ) Hubuga aara abel moralias dega fugsi ehidupa adalah pada abel moralias digambara peyebara emaia dari mausia yag awalya berusia ahu sampai mausia berusia ahu Di dalam abel moralias erdapa l yaiu jumlah seelompo oag yag hidup pada usia, dega l lo s( ) aau l lo s( ) (225) 23 Wau Hidup yag Tersisa (Fuure Lifeime) Sau oasi yag diguaa uu meyaaa seseorag masih hidup da berusia adalah() Jia () meiggal pada usia X(X>) maa T()X- meyaaa wau hidup yag ersisa dari (), T() merupaa fugsi peubah aca oiu X, oleh sebab iu T() juga merupaa suau peubah aca oiu Misala G() adalah fugsi disribusi dari T() maa, G() ( T ( ) ), F( ) F( ) F( ) s ( ) s ( ) (23) s ( ) Fugsi G() meyaaa peluag () aa meiggal dalam ahu Namu demiia, dalam omuias auaria ierasioal, peluag() aa meiggal dalam ahu dioasia dega q, areaya, 2
q G( ) F( ) F( ) F( ) s ( ) s ( ) s ( ) s ( ) (232) s ( ) ibaya, G( ) F( ) s( ) F( ) s( ) (233) meyaaa peluag () aa eap hidup sediiya dalam ahu Dega aa lai meyaaa peluag () aa eap hidup sampai usia - Hal ii meujua fugsi ehidupa dari () adalah Jia, peulisa ides pada da q, ida perlu dilaua, oleh areaya [() aa eap hidup sediiya dalam ahu] q [() aa meiggal dalam wau ahu] Di sampig iu uu asus disri, Fuure Life Time diubah beuya mejadi Curae Fuure Life Time, yaiu ilai ariable aca T yag oiu diubah mejadi disri aau TKS K S K olis dieluara Tahu Tahu 2 T Tahu 3 Gambar 22 Ilusrasi T da K 3
24 Force of Moraliy Sebuah aalogi dari fugsi dari sebuah emaia dapa di dapa dega megguaa epadaa probabilias emaia pada saa mecapai umur, yaiu megguaa (223) dega z Δ r( < X < Δ X > ) F( Δ) F( ) F( ) f( ) Δ (24) F( ) ada espresi ii, F' ( ) f( ) adalah fugsi epadaa peluag dari radom ariable umur saa emaia oiu Fugsi f( ) F( ) mempuyai ierpreasi epadaa peluag odisioal Uu seiap umur, fugsi ersebu memberia ilai dari fugsi epadaa peluag odisioal pada X pada saa umur, diberia ehidupa pada umur ersebu,da dioasia sebagai μ () Kia mempuyai f( ) μ ( ) F ( ) s'( ) (242) s ( ) ilai dari f () da F( ) megimpliasia bahwa μ ( ) 4
Force of moraliy dapa diguaa uu mespesifiasia disribusi X Uu medapaa hasil ii, ia mulai dega (242), ubah mejadi y da aur embali uu medapaa μ( y) dy d log s( y) megiegrala persamaa ii dari sampai, ia medapa s ( ) μ( ydy ) log s ( ) log da megambil espoesial medapaa ep μ( y) dy dega meggai sy-, maa persamaaya mejadi ep μ( s) ds Secara husus, ia meggai oasi uu memudaha pegguaaya dega meggai umur sudah hidupya dega da wau ehidupaya dega Maa ia dapa s( ) ep μ ( s ) ds Sebagai ambaha F( ) s( ) ep μ ( s) ds da 5
F F' ( ) f( ) ep μ( s) ds μ( ) μ( ) (243) ( ) da f ( ) adalah fugsi disribusi da fugsi epadaa peluag dari T(), T ( ) T ( ) wau hidup yag ersisa dari () Dari (232) ia dapa bahwa F ( ) q, maa T ( ) f () T( ) d q d d d s( ) s( ) s( ) s'( ) s( ) s( ) μ ( ) (244) 25 Huum-Huum Moralias ( Gomperz ) Terdapa iga prisip dalam membagia beu aalii dari fugsi ehidupa da moralias erama adalah filosofi Baya feomea yag dipelajari da fisia dapa dijelasa secara efisie dega rumus yag sederhaa Uu iu, dega megguaa argume biologi bahwa ehidupa mausia diedalia oleh sebuah huum persamaa yag sederhaa Yag edua, jusifiasi (pembeara) adalah prais dalah lebih mudah meliha fugsi dega sedii parameer daripada meliha sebuah abel ehidupa dega mugi parameer aau peluag emaia Yag eiga, jusifiasi (pembeara) uu fugsi ehidupa aalii yag sederhaa adalah meguragi periraa beberapa parameer fugsi dari daa emaia 6
Terdapa beberapa jeis fugsi ehidupa da moralias aalii yag beraia dega huum-huum ersebu, aara lai : eemu μ () S() Baasa De Moire (729) Gomperz (825) Maheam(86) Weibull(939) ( ω ) c ω B ep[ ( ) ] c Bc ( ) ep m ω m B >, C >, [ ] ep[ ] B >, B, c >, c μ >, >, Tabel 2 Huum- Huum Moralias Dimaa : B m da μ (25) log c Dalam hal ii, peulis megguaa pedeaa Gomperz Ii diareaa, meuru peulis beu Gomperz ii yag palig sesuai dega beu demografi Idoesia Beu Gomperz yag dimasud yaiu, 26 Buga ( c ) (252) s ( ) ep m Jeis buga yag diguaa adalah buga majemudidefiisia sebagai suau perhiuga buga yag besar poo jaga iesasi selajuya adalah besarya poo 7
sebelumya diambah dega besar buga yag diperoleh Besarya pedapaa buga ergaug pada besar poo, jaga wau iesasi da iga suu buga Dalam buga majemu didefiisia fugsi sebagai faor disoo i (26) sedaga uu iga disoo didefiisia d sebagai beriu i d i* i sehigga d (262) Uu iga buga omial da iga disoo omial dega pembayara m ali seahu dapa didefiisia sebagai beriu : i i m m d d m m ( m ) m ( i) i m m ( d ) d / m (263) (264) / m ( ) / m m dega aalogi pada persamaa (262) maa beu d (m) dapa diyaaa dega persamaa : d i i ( m ) (265) ( m ) / Force of ieres δ : δ lim l( i) (266) m i e δ ( i) (267) 8
27 Meode embayara Beefi surasi Jiwa 27 Beefi surasi yag Dibayara ada Saa Terjadiya Kemaia ( Cara perhiuga Koiu) ada surasi yag dibayara pada saa emaia /perhiuga oiu ii, pembayara beefi epada ahli waris dilaua seeia pada saa si eraggug meiggal Namu asumsi ii ida mecermia prae asurasi yag real, amu mempuyai euuga bahwa formula dapa diealuasi lagsug dari Tabel Moralias Jumlah da wau pembayara beefi asurasi ergaug pada pajag ieral dari mulaiya asurasi sampai emaia eraggug Model ii aa diembaga dega model fugsi beefi, b, da fugsi diso(buga), Dalam model peracaga ii, adalah iga faor diso(buga) dari wau pembayara embali pada saa polis dieluara da adalah pajag ieral pada saa polis dieluara sampai dega wau emaia Defiisi dari fugsi rese Value (Nilai Tuai), z, adalah Z b (27) Z adalah ilai uai aau premi pada saa polis dieluara Wau yag ersisa dari wau pada saa polis dieluara sampai si eraggug meiggal adalah ariable aca wau hidup yag ersisa dari si eraggug,yaiu TT() 9
272 Beefi surasi yag Dibayara ada hir Tahu Kemaia ( Cara perhiuga Disri) ada asurasi yag dibayara pada ahir ahu emaia /cara perhiuga disri ii, pembayara beefi epada ahli waris eia si eraggug meiggal adalah pada ahir ahu emaia ada praeya, sebagia besar beefi diaggap dibayara pada saa emaia si eraggug sampai pembayara yag sesugguhya dilaua Model ersebu dibeu dega meguaa fugsi wau hidup yag ersisa dari eraggug Tada sebagia besar apliasi asurasi, iformasi yag erbai erdapa pada disribusi peluag T pada pembeua abel emaia disri Ii adalah disribusi peluag K, wau hidup yag ersisa yag dipoog pada saa polis dieluaraada asurasi ii, ia membagu perbedaa dega membagu modelmodel asurasi jiwa, dimaa beu da wau pembayara beefi bergaug pada jumlah ahu-ahu yag legap dari wau pada saa polis dieluara sampai dega wau emaia Model asurasi jiwa ii megguaa wau hidup yag ersisa yag dipoog dari si eraggugdalam hal ii fugsi beefi, b, da fugsi diso,, secara beruru-uru adalah beefi yag dibayara da facor diso yag dibuuha uu jaga wau dari wau pembayara beefi embali e wau saa polis dieluara eia wau yag ersisa yag dipoog adalah, da si eraggug meiggal pada ahu rese Value/ Nilai Tuai pada asurasi disri ii adalah diyaaa dega Z K yaiu Z b V (272) 2
28Jeis-Jeis surasi 28 surasi Berjaga (-Term Isurace) surasi Berjaga adalah surasi dimaa beefi dibayara epada ahli waris bila si eraggug meiggal dalam suau jaga wau ereu, disebu jaga wau polis (erm) 28 Beefi Dibayara Di hir ahu Kemaia (Disri) Misal ui dibayara jia si eraggug meiggal dalam jaga wau ahu, da wau pembayara adalah ahir ahu emaia Maa b,,, laiya V Z { K K,,, K,, 2, remi yag seali bayar aau Ne Sigle remium(ns) didefiisia dega yaiu, : EZ [ ] pq : (28) Diuur dari wau pegeluara polis, ahu asurasi dari emaia adalah plus ariabel aca curae-fuure-lifeime, K 2
282 Beefi Dibayara Sesaa Terjadiya Kemaia (Koiu) Sebuah asurasi jiwa dalam jaga wau -ahu meyediaa pembayara jia haya eraggug meiggal dalam jaga wau -ahu seperi yag elah diseujui dalam polis Jia pembayaraya dilaua pada saa emaia (), maa : b >,, Z T T > Keiga defiisi ii meguaa 3 oesi erama, area wau hidup masa depa adalah ariabel yag o egai, ia medefiisia b,, da Z haya ilai-ilai o-egai Kedua, uu sebuah ilai dimaa b, adalah ilai dari adalah ida relea Keiga, ecuali dieapa, ilai buga dieapa osa Espeasi ariable aca ilai Tuai ariabel aza Z, diamaa acuarial prese alue(nilai Tuai surasi) dari asurasi cuarial prese alue uu asurasi berjaga wau -ahu dega pembayara pada saa emaia(), E[Z], didefiisia : Ii dapa dihiug dega megeahui Z sebagai fugsi T sehigga E[Z]E[Z ] Kemudia ia megguaa pdf pada T uu medapaa (282) T μ : E[ z] E[ z ] Z f ( ) d p ( ) d 22
282 surasi Seumur Hidup (Whole Life Isurace) surasi berjaga, area relaie lebih murah, adalah asurasi yag ermurah uu beberapa eadaa (premiya lebih murah) a eapi, mempuyai elemaha Bila periodaya sudah habis maa asurasi pu habis pula sedag si eraggug mugi merasa masih perlu diasurasia Sudah barag eu bila habis periodeya, si eraggug dapa pula megasurasia embali diriya, aa eapi area umurya yag sudah lebih ua, maa harga asurasi yag harus dibayar (premi) aa mejadi lebih besar pula surasi Seumur Hidup adalah suau jawaba uu megaasi masalah di aas surasi ii mejami bahwa ahli waris si eraggug aa meerima sejumlah uag apa sajapu si eraggug meiggal sedaga besar premi ida berubah (eap) 282 Beefi Dibayara Di hir Tahu Kemaia (Disri) Jumlah pembayara beefi sudah pasi amu wau pembayara (K) adalah aca da megiui aura b,, 2,,, 2, Z K (283) Da Nilai Tuai (rese Value) adalah didefiisia dega K E[ Z] q (284) 23
2822 Beefi Dibayara Sesaa Terjadiya Kemaia (Koiu) surasi Seumur hidup ii membayara beefi epada ahli waris apapu di masa depa pada saa si eraggug meiggal Da embayara beefi yag dilaua sesaa seelah si eraggug meiggal adalah : b Nilai Tuai surasiya adalah V Z T Ez [ ] pμ ( d ) (285) surasi Seumur hidup sebearya adalah asurasi berjaga wau 283 surasi Dwigua surasi Dwigua membayar ilai omial asurasi bila: a) Si eraggug meiggal duia selama jaga wau ereu, aau b) Si eraggug hidup sampai ahir jaga wau ereu Secara maemaia, Dwigua ii merupaa jumlah aara asurasi berjaga da Dwigua muri Dwigua Muri Tahu meyediaa pembayara beefi pada ahir ahu jia da haya jia si eraggug selama sediiya ahu dari seja polis dieluara Jia jumlah yag dibayara ui maa: b >, 24
, (286) Z T T > Sau-sauya eleme dari Dwigua muri yag ida pasi ii adalah apaah sebuah laim aa erjadi Uura da wau pembayara, jia laim erjadi, dapa dieua sebelumya Dalam espresi Z Y, dimaa Y adalah idiaor dari sebuah ejadia beraha hidup sampai dega umur Y ii mempuyai ilai jia eraggug beraha hidup sampai usia da berilai jia ida Dwigua muri ii mempuyai lambag E Sedaga asurasi Dwigua ahu meyediaa sejumlah uag yag aa dibayara bai pada saa emaia eraggug aau sampai lamaya beraha hidup eraggug sampai ahir jaga wau ahu, yag maa dulu yag erjadi 283 Beefi Dibayara Di hir Tahu Kemaia (Disri) surasi Dwigua ahu dega sejumlah ui dibayara pada ahir ahu emaia adalah ombiasi aara asurasi berjaga ahu disri dega ahu dwigua muri Uu iu maa fugsiya : b,, V,,,,, (287) Z,,,,, (288) 25
au dega aa lai asurasi Dwigua adalah gabuga aara asurasi berjaga ahu da Dwigua muri E : : (289) 2832 Beefi Dibayara Sesaa Terjadiya Kemaia (Koiu) Jia asurasi ii dibayara sejumlah uag(beefi) pada saa emaia maa : b V > Z T T T > surasi Dwigua ii dapa dipadag sebagai ombiasi aara asurasi berjaga wau ahu da Dwigua muri ahu Misala Z, Z 2,Z 3 meyaaa secara beruru-uru Nilai Tuai asurasi berjaga, Dwigua muri, da asurasi Dwigua dega beefi dibayara pada saa si eraggug meiggal Dari defiisi di aas ia dapa : Z T T T > Z 2 Z 3 T T T > T T > Sehigga Z 3 Z Z 2 da dega meliha ilai epeasiya maa : E (28) : : 26
29 uias uias adalah suau pembayara dalam jumlah ereu yag dilaua seiap selag wau da lama ereu secara berelajua Suau auias yag pasi dilaua dalam jaga wau pembayara disebu auias pasi Jia pembayara dilaua ergaug hidup maiya seseorag disebu auias hidup 29 uias asi 29 embayara Tahua Suau auias pasi yag pembayaraya dilaua ali dalam seahu disebu auias ahua embayara auias yag dilaua pada ahir periode (ahir ahu) disebu auias ahir, sedaga pembayara auias yag dilaua di awal periode (awal ahu) disebu auias awal Toal ilai searag dari auias ahir (diulis 2 3 a ( 2 2 ) a ) adalah (29) Dega megguaa rumus pada dere geomeri diperoleh a i (292) i 27
Sedaga oal ilai searag dari auias awal (diulis a&& ) adalah && a 2 2 (293) d 292 embayara m ali Seahu Suau auias pasi yag pembayaraya dilaua m ali seahu dega selag pembayara seiap /m ahu disebu auias dega pembayara m ali Toal ilai searag dari auias ahirya (diulis a m ( m ) / m 2/ m / m a ) adalah / m / m / m m m ( i) / m i (294) Toal ilai searag dari auias awalya (diulis ) adalah a&& m a&& / m 2/ m (/ m) 28
/ m m m d ( d ) / m (295) 293 embayara Koiu embayara auias dilaua seiap saa disebu auias oiu Toal ilai searag dari auias ersebu adalah 292 uias Hidup a lim a lim m m (296) δ uias hidup adalah seragaia pembayara yag dilaua selama seseorag masih hidup Besarya pembayara bisa eap aau berubah-ubah 292 uias Hidup Koiu i uias hidup seumur hidup meyediaa pembayara sampai emaia Nilai searag dari auias ii adalah Y at T (297) Toal ilai searag dari auias ii (diulis a ) adalah μ a a d (298) uias hidup -ahu meyediaa pembayara selama () hidup uu ahu e depa Nilai searag dari auias ii adalah 29
Y T a, T < a, T T δ δ (299) Toal ilai searag dari auias ii ( diulis a : ) adalah a [ ] μ E Y at d a : (29) Da hubuga aara auias hidup -ahu dega asurasi Dwigua -ahu adalah Z EY E a : δ δ : [ ] δ a: : : δ a : (29) dega Z { V T T < T 2922 uias Hidup Disri Teori auias disri mirip dega eori auias hidup oiu Uu auias oiu ida ada perbedaa pembayara di awal aau di ahir ieral, sedaga di dalam auias disri perbedaa wau pembayara iu saga berpegaruh uias hidup disri meuru wau pembayara erbagi mejadi 2 yaiu segera(immediae) da awal(due) Yag dimasud dega segera adalah suau ragaia pembayara, pembayara perama seahu dari searag, yag edua dua ahu dari searag da seerusya Da yag dimasud awal adalah 3
pembayara perama dilaua searag da pembayara edua dilaua seahu dari searag da seerusya Da uu perhiuga premi ii diguaalah auias hidup awal(due) area biasaya premi dibayar di depa Nilai searag dari auias seumur hidup adalah Y a && K (292) Toal ilai searag dari auias seumur hidup ii adalah EY [ ] a q a&& && (293) Nilai searag dari auias awal -ahu adalah Y a&& a&& < K (294) Toal ilai searag dari auias ii adalah [ ] a && E Y a && q a && (295) Z area Y da Z d { V [ ] [ ] : E Z a&& : E Y aau : da : d d K K <, maa K && (296) dega aalogi yag sama, maa ii berlau juga uu auias seumur hidup yaiu a&& (297) d 3
2923 uias Hidup dega m-ali embayara uias hidup sebesar perahu yag dibayara sebesar /m pada awal seiap /m ahu selama orag yag berusia () ersebu hidup Toal ilai searag dari auias ii dioasia dega simbol a&& : Sebelumya aa ia bahas erlebih dahulu sau asumsi yag serig diguaa dalam ierpolasi pada ieral (,) sumsi iu adalah asumsi ierpolasi liear, dega merupaa ieger da Jia megguaa asumsi ierpolasi liiar maa f( ) ( ) f( ) f( ) s ( ) ( s ) ( ) s ( ) ( ) Searag ia bahas auias uu m-ali pembayara perahu selama - ahu /m /m /m /m /m /m /m /m /m /m /m 2/m (m-)/m 2/m (m-)/m 2 - Gambar 23 Ilusrasi m-ali pembayara dalam perahu a&& m m m m m m ( m ) / m 2/ m 2 ( ) ( ) m m m m m m ( ) m m m j/ m j / m dimaa s * s ( m ) / m 2/ m 2 ( ) ( m ) : m m m m m ( ) m m j sehigga, a&& : m m ( j/ m) ( j / m) 32
m j j m m m, asumsi ierpolasi liier ( ) m j j m ( ) m 2m 2 ( ) m 2m Jadi, ( ) m 2m ( ) m a&& : a&& : aau (298) d m a&& : a&& : : (299) d 2m Dega aalogi yag sama maa berlau juga uu auias seumur hidup yag m ali pembayara d m a&& a&& d 2m (292) didefiisia ilai searag dari pembayara auias ersebu yag merupaa ariabel aca dari Y adalah Y Z dega Z { d V K ( j )/ h <, J,,, h (292) 33
2 remi Bersih (Ne remium) Bereaa dega polis asurasi didefiiisia jumlah erugia (oal loss) L, uu peaggug adalah perbedaa aara ilai searag dari saua da ilai searag dari pembayara premi Kerugia ii (L) merupaa peubah aca dari ilai saua searag yag dibayar oleh peaggug diuragi auias dari premium yag dibayar oleh eraggug risip ii dieal dega prisip eiale (equialece priciple) da mempuyai syara bahwa : E[L] (2) Sehigga E[Nilai saua searag Nilai premi searag] E[Nilai saua searag]e[nilai remi searag remi yag memeuhi prisip ii disebu premi bersih Jia besar L> maa erugia elah erjadi Selajuya jia disebu premi maa yag dimasud adalah premi bersih 2 remi disri remi disri yag dibayara iap ahu uu asurasi disri (beefi dibayara pada ahir ahu emaia) Uu asurasi seumur hidup, premi ahua disimbola dega a X diperoleh dari X (22) X && X 34
remi ii dibayar ahua selama si eraggug masih hidup Kerugia peaggug adalah L K X a&& K,,2 K (23) Uu asurasi berjaga -ahu, premi ahua disimbola dega diperoleh dari : : : a: && (24) remi ii dibayar ahua selama ahu Kerugia peaggug adalah { a&& L : a && K : K K,,, K (25) Uu asurasi Dwigua ahu, premi bersih ahua disimbola dega : diperoleh dari : && : a: (26) remi ii dibayar ahua selama ahu Kerugia peaggug adalah L { K : K a&& : a&& K,,, K (27) remi disri yag dibayara iap ahu uu asurasi oiu (beefi dibayara segera seelah si eraggug meiggal) Da uu beefi asurasi yag dibayara segera seelah si eraggug meiggal masih eap megguaa premi disri, sehigga gabuga aara asurasi oiu da premi disri disebu semi oiu 35
Uu surasi seumur hidup premi ahua yag harus dibayar adalah X a X (28) && X Da uu asurasi berjaga -ahu adalah : : a: && (29) Yag erahir uu asurasi Dwigua, premi yag harus dibayara iap ahu adalah : && : a: (2) 22 remi m-ali embayara remi m-ali pembayara adalah premi yag diperoleh dari jeis asurasi disri aau oiu da dari auias hidup m-ali pembayara iap ahu remi yag dibayara iap m-ali iap ahu uu asurasi disri (beefi dibayara pada ahir ahu emaia) Uu asurasi seumur hidup, premi bersih m-ali per ahu disimbola dega X, diperoleh dari X a&& X (2) remi ii dibayar m-ali dalam seahu seumur hidup si eraggug Kerugia peaggug adalah 36
K ( ) L m a&& K,,2, (22) K Da uu asurasi berjaga -ahu, premi bersih m-ali per ahu disimbola dega ( m ) :, diperoleh dari : : a&& : (23) remi ii dibayar m-ali dalam seahu selama -ahu Kerugia peaggug adalah L ( m ) a&& : K ( m ) : ( m ) a&& K K,, K (24) Sera uu asurasi Dwigua ahu, premi bersih m-ali per ahu disimbola dega :, diperoleh dari : && : a : (25) remi ii dibayar m-ali dalam seahu selama ahu Kerugia peaggug adalah L K : : a&& a&& K K,, K (26) remi yag dibayara m-ali iap ahu uu asurasi oiu (beefi dibayara pada ahir ahu emaia) Uu asurasi seumur hidup, premi bersih m-ali pembayara per ahu disimbola dega X ( ) X, diperoleh dari 37
X ( ) X a && (27) X remi ii dibayara m ali dalam seahu selama si eraggug hidup Kerugia si peaggug adalah L T m ak ( ) && T (28) Sedaga uu asurasi berjaga -ahu, premi bersih m-ali per ahu disimbola dega ( ) :, diperoleh dari ( ) m : ( ) : a&& : (29) remi ii dibayara m ali dalam seahu selama ahu Kerugia si peaggug adalah L T : a : && ( m ) K a&& T T < (22) Da uu asurasi Dwigua ahu, premi bersih m-ali per ahu disimbola ( ) dega m ( ) : diperoleh dari ( ) : : : a&& (22) remi iidibayara m ali dalam seahu selama ahu Kerugia si eraggug adalah L T : a : a&& && ( m ) K T T < (222) 38
39 2 Hubuga ara Disri da Koiu d u ) ( ) ( ) ( ) ( 2 d u d u d u K misal y- maa y y dy y u d u y y K ) ( ) ( area U (y)u y () maa ) ( y y dy y u area y y maa ) ( y y dy y u area q y y u ) ( maa ( ) y d y q ( ) y d y q
da y d( y) i δ sehigga i δ q i (2) δ 22 Deermiisi Model Deermiisi model biasa diguaa oleh perusahaa asurasi jiwa dalam meghiug premi suau asurasi erhiuga premi pada model ii biasa ergaug pada abel moraliasembayara beefi pada model deermiisi ii dilaua pada ahir ahu emaia (disri) Dalam esempaa ii peulis megguaa deermiisi model ii sebagai pembadig hasil perhiuga premi yag elah peulis laua dega megguaa simulasi fugsi T 22 surasi Jiwa Berjaga Misal ada l orag masig-masig mearuh uag di suau daa sebesar z da sesudah ahu seiap ahli waris dari merea yag sudah meiggal medapa ui, dari daa adi Yag mejadi perayaa adalah berapa besar z Bayaya l yag meiggal adalah d, jadi bayaya daa yag harus diumpula adalah d ui Jadi jumlah uag yag disumbaga dega buga haruslah sama dega d ui aau zl ( i) d d z l( i) 4
d z l Noasi : d c l Jadi : d d z c (22) l l C aau z disebu premi bersih uu asurasi berjaga selama ahu Misal : Nilai Tuai suau asurasi berjaga sebesar ui pada seseorag berumur selama ahu, ariya bila () meiggal dalam jaga wau aara da maa ahli warisya aa meerima ui, pada ahir ahu () meiggal Jadi 2 q : q q d 2 d d l l (222) l 222 surasi Jiwa Seumur Hidup Noasi: Nilai Tuai dari suau asurasi seumur hidup sebesar yag dibayara pada ahir ahu si eraggug (usia ) meiggal Dega megguaa meoda disoo diperoleh d l 2 d l w d l w w i i d (223) i l 4
223 surasi Jiwa Dwigua surasi Dwigua adalah ombiasi aara asurasi Berjaga -erm dega Dwigua muri yaiu : E (224) : : dega 2 q : q q d l 2 d l d l da E l (225) 23 eraga lua Meuru ressma (2, p6), peraga lua adalah : isrusi isrusi (program ompuer) yag jia dijalaa aa meyediaa fugsi yag diperlua 2 sruur daa yag memugia program uu memaipulasi iformasi 3 doume yag meyaaa operasi da eguaa program 23 Dasar eracaga eraga Lua Meuru Mahyuzir (99, p78), peracaga merupaa proses peerapa bermacam-macam ehi da prisip dega ujua uu medefiisia peralaa, proses aau sisem secara rici eracaga dilaua pada ahap awal pegembaga Tujua peracaga adalah meghasila model yag aa dibua eracaga peraga lua megalami perubaha jia didapaa meode yag baru, aalisis yag bai da peyusua pegeria yag lebih luas 42
232 Fase egembaga eraga Lua Model fase pegembaga peraga lua yag diguaa adalah Waerfall Model dapu fase-fase yag ada pada Waerfall model ii aara lai : alisis Kebuuha da defiisi masalah ada fase ii, ia megaalis apa yag mejadi ebuuha da yag mejadi ujua dari membua peraga lua ii 2 Meracag Sisem da peraga lua Meracag sisem adalah membagi-bagi ebuuha-ebuuha ersebu pada peraga eras da peraga lua Yag emudia eduaya salig bersiroisasi 3 Implemeasi da ui esig ada fase ii, racaga peraga lua direalisasia mejadi seumpula ui/modul-modul programui esig bergua uu megece apaah suau ui ersebu sesuai dega spesifiasi da eguaa yag diharapa 4 Iegrasi da Tes Sisem Modul-modul program ersebu emudia diiegrasia sau sama lai mejadi sau esaua sisem yag uuh da megece sysem ersebu apaah sesuai dega ebuuha yag diigia Seelah selesai dega esig program, sisem ersebu dapa dilepas e lie 5 egguaa da perawaa Biasaya fase ii adalah yag palig lamaerawaa peraga lua melipui perbaia esalaha yag ida mucul pada aha-ahap sebelumya dalam pembuaa peraga lua, megembaga peraga lua yag sudah ada eia ada ebuuha yag baru 43
Defiisi Kebuuha Meracag eraga Lua da Sisem Implemeasi da Tesig Ui Iegrasi da Tesig Sisem Gambar 24 Waerfall Model egguaa da erawaa 24 Simulasi Moe Carlo Jia igi meggambara suau feomea ejadia yag seusai da mirip dega ejadia yaa, maa aa baya faor biaya yag sesuai da mirip dega ejadia yaa, maa aa baya faor biaya yag harus disediaa Faor biaya ersebu diaaraya eaga, wau, daa da faor-faor laiya yag mugi saja faor ersebu suli uu diperoleh Oleh area iu, simulasi merupaa suau solusi aas peggambara suau feomea yag ida memerlua faor biaya Simulasi adalah suau ei umerial uu megadaa percobaa pada ompuer digial yag mecaup ipe dari maemaia da model logia ereu yag meggambara igah lau bisis aau sisem eoomi dalam suau periode dari ejadia yag yaa 44
Keuuga dari simulasi adalah : Dapa diguaa uu membau megaalisa suau ujua dari sisem mesipu daa masuaya ida legap Sebagai ala pedidi uu memperua aalisa peyelesaia dari suau meodologi Simulasi daa lebih murah biayaya(dari segi wau,eaga,daa,dll) dariapada daa lapaga (ejadia yaa) ada model aalii, umumya megguaa pembaasa dega pedeaa asumsi uu meyederhaaa aau memudaha pegerjaa maemaiaya sehigga jumlah yag bisa dihiug erbaas pada beu peguura sisem ersebu Sedaga pada model simulasi ida erdapa pembaasa sera daa yag dibagia pada simulasi dapa diguaa uu measir beberapa hal pada beu peguura Ii dari simulasi dalam ugas ahir ii adalah membagia peubah aca T() T() adalah lamaya sisa hidup seseorag yag berusia Tabel yag diguaa pada abel populasi adalah abel moralias Comissioers 94 Sadard Ordiary Moraliy Table aau biasa disebu CSO Table dega asumsi iga suu buga 2,5 % Simulasi Moe Carlo baya diguaa uu meyelesaia permasalaha ereu dalam saisia yag ida bisa diselesaia secara aalii Simulasi Moe Carlo megguaa bilaga aca uu megapromasia solusi permasalaha Salah sau pegguaa sadar dari Simulasi Moe Carlo ii adalah Meghiug iegral b θ gd ( ) a 45
dega g() adalah fugsi ilai real yag ida bisa diiegrala secara aalii Uu megapromasia ilai iegral dega simulasi Moe Carlo, misala ( a) y ( b a) a y( b a) sehigga d dy ( b a) d dy( b a) θ ga ( ( b ay ) )( b ady ) hydy ( ) dega hy ( ) ga ( ( b ay ) )( b a) Jia y merupaa peubah aca berdisribusi uiform (,) maa f(y) sehigga θ hydy ( ) θ hy ( )dy E [( h( y) ] Jia y,y2,,y salig bebas da berdisribusi U(,), maa hy ( ), hy ( 2),, hy ( ) salig bebas da berdisribusi idei dega mea θ Da meuru Huum bilaga besar i hy ( i) [ ( ( ) ] E h y θ uu Oleh area iu, ia bisa megapromasia θ dega membagia y i sebagai bilaga besar emudia diambil raa-raa dari hy ( i) 46
25 Measir arameer Gomperz Dari persamaa (225) da (233) aa diperoleh ( ) o ( ) s ( ) ls o ( ) l s ls l (25) Hubuga dega Gomperz, diperoleh dari persamaa (225) da (252), yaiu s ( ) s ( ) Sehigga aa didapa: ( mc ) ( mc ) ep / ep ep / ep ( ) m( c ) ep m c ep ( ) (252) ep m c c l l Jia da, maa ( ) l ep m c c ( ) ep m c l l (253) ersamaa ii meyaaa bayaya orag yag hidup pada usia Nilai-ilai l da lo didapa dari abel moralias Comissioers 94 Sadard Ordiary Moraliy Table aau biasa disebu CSO Table Dega megguaa sofware Mahlab 6 didapa parameer m 5 da c 652 47
26 Tei Trasformasi Iers roposisi: Misala U adalah peubah aca berdisribusi Uiform (,) Uu sembarag fugsi disribusi oiu F, peubah aca V yag didefiisia oleh V ( U), mempuyai disribusi F Bui: V U r( ) r( F ( ) ) F Fugsi disribusi adalah F F U F r( ( F ( ))) ( )) r( U F( )) F (), U U (,) roposisi diaas meujua bahwa ia dapa membagia peubah aca V dari fugsi disribusi oiu F dega membagia bilaga aca U da merasformasia V mejadi F ( U ) aau V F ( U) eubah aca U,U2,U3 yag berdisribusi Uiform(,) dibagia melalui radom umbers di ompuer, da seiap U mempuyai fugsi epadaa peluag : f ( ) {, u,, laiya, < Fu( ), > Misala ia aa membagia V yag berdisribusi espoesial dega parameer λ Kia ahu bahwa fugsi epadaa peluag uu V yag berdisribusi espoesial adalah : 48
f() λ e λ,,,, < F () λe λ,, < Jia λ, maa f() e,,,, < da F () e,, < Lagah-lagah uu membagia peubah aca V yag berdisribusi espoesial ( λ )adalah : ) Hiug fugsi disribusi dari peubah aca V Uu disribusi espoesial ( λ ), fugsi disribusiya F ( ), (26) 2) Teapa F () e U Dalam hal ii, F ( ), Di sii V merupaa peubah aca, sehigga merupaa peubah aca yag emudia disebu U e 3) Selesaia persamaa F () e U e UUu V dalam beu U Dalam hal ii, e U l( U) ada umumya persamaa erahir diulis V ( U) 4) Membagia peubah aca U,U2,U3 yag berdisribusi Uiform (,), emudia meghiug peubah aca yag diigia dega Vi F ( Ui) Uu asus ii, Vi l( Ui), uu i,2,3 F 49
27 Membagia eubah ca T() Uu memperoleh peubah aca T(), ia guaa persamaa (252) yaiu ( ) ep m c c Fugsi disribusi dari T() adalah ( ) F() r T( ) q ( ) ep m c c Beu persamaa di aas mirip dega persamaa (26), sehigga F ( ) F ( ), maa ( ) m c c Sehigga jia ia megguaa ei rasformasi iers aa didapa peubah aca T() yaiu : l( U) ( ) l( U ) m c m c ( ) c c ( ) c l( U) c l( U ) m c l( U ) mc l( U ) mc l C l l l( U ) mc l C 5
Jadi, peubah aca T() adalah l l( U ) mc * l C Uu membagia peubah aca T(), lagah-lagah yag diambil adalah : ) Kia bagia peubah aca berupa U,U2,U3 yag masig-masig berdisribusi Uiform (,) Bua peubah aca baru, yai peubah aca aiei yag diperoleh dari hasil -Ui, i,2, Keguaa peubah aiei adalah uu memperecil ariasi dari asira 2) Trasformasia daa ersebu sehigga berdisribusi espoesial ( λ ), dega rasformasi sebagai beriu : Vi l( Ui), i,2,, 3) Trasformasi ii aa meghasila peubah aca T(), Yai,2, yag diperoleh dega persamaa beriu : * l l Vi i,2,, mc C 5