1 I PENDAHULUAN 11 Laar Belakang Seiap orang mendambakan berheni bekerja di suau masa dalam siklus kehidupannya dan menikmai masa uanya dengan enram Terjaminnya kesejaheraan di masa ua akan mencipakan keenangan dalam bekerja Unuk menjamin kesejaheraan di masa uanya iu diperlukan suau rencana pengalokasian ase-ase yang ada agar bisa dimanfaakan dan dinikmai di masa ua Unuk mendapakan semua iu anuias salah sau pilihan yang akan membanu menyusun suau perencanaan jangka panjang aas dana sera ase-ase nasabah Anuias pada dasarnya sama dengan produk asuransi yaiu memberikan perlindungan erhadap kehilangan penghasilan eapi berbeda dari fungsi uamanya Asuransi jiwa memberikan perlindungan aas kemungkinan seseorang kehilangan penghasilan karena meninggal erlalu cepa sedangkan anuias memberikan perlindungan aas kemungkinan seseorang membuuhkan penghasilan karena hidup erlalu lama Anuias dapa menjadi alernaif pilihan yang berguna unuk melindungi kehilangan pendapaan selama menjalani masa ua Di Amerika Serika konrak anuias variabel suau rencana pengumpulan ase jangka panjang di mana seluruh keunungan yang didapa idak dikenai pajak sebelum ahap pengumpulan ase berakhir Di dalam konrak anuias variabel reiremen masa keika ahap pengumpulan ase berakhir Pada saa reiremen ahap pengumpulan ase dalam konrak anuias variabel berakhir dan kemudian ahap penerimaan pendapaan dimulai Pada ahap penerimaan pendapaan individu dapa menenukan dua pilihan yaiu: (i) Dapa melakukan penarikan seluruh ase yang ada di dalam rekening dengan risiko pajak yang besar aau (ii) Seluruh dari ase yang ada di dalam rekening dapa diubah ke dalam benuk anuias 1 Tujuan Penulisan Tujuan penulisan karya ilmiah ini ialah mengopimalkan pilihan alokasi ase di dalam rekening anuias variabel Alokasi ase di dalam rekening anuias variabel erpisah menjadi dua sub-rekening yaiu sub-rekening ase bebas risiko dan sub-rekening ase berisiko Secara eoriis akan dibahas pengambilan kepuusan dalam mengalokasikan ase ke dalam rekening anuias variabel agar diperoleh hasil yang opimal pada saa reiremen 13 Sisemaika Penulisan Penulisan karya ilmiah ini erdiri aas pendahuluan pada Bab I yang melipui laar belakang ujuan sera sisemaika penulisan Pada Bab II berisi landasan eori yang menunjang karya ilmiah ini Bab III berisi model opimalisasi alokasi ase Bab IV berisi suau conoh penerapan Bab V berisi simpulan dan saran Pada Bab VI berisi dafar pusaka penunjang karya ilmiah ini II LANDASAN TEORI 1 Ruang Conoh Kejadian dan Peluang Definisi 1 Percobaan Acak (random rial) Dalam suau percobaan seringkali dilakukan pengulangan yang dilakukan dalam kondisi yang sama Semua kemungkinan hasil yang akan muncul dapa dikeahui eapi hasil pada percobaan berikunya idak dapa diduga dengan epa Percobaan yang semacam ini disebu percobaan acak (Hogg McKean and Craig 5) Definisi Ruang Conoh (sample space) Himpunan dari semua kemungkinan hasil dari suau percobaan acak disebu ruang conoh dinoasikan dengan Ω Definisi 3 Kejadian (even) Suau kejadian A himpunan bagian dari ruang conoh Ω
Definisi 4 Medan-σ (σ -field) Medan-σ suau himpunan F yang anggoanya erdiri aas himpunan bagian ruang conoh Ω yang memenuhi kondisi beriku : 1 F Jika A1 A F maka Ai F i= 1 c 3 Jika A F maka A F Definisi 5 Ukuran Peluang (probabiliy measure) Misalkan F medan-σ dari ruang conoh Ω Ukuran peluang suau fungsi P : F [ 1] pada ( Ω F ) yang memenuhi: 1 P ( ) = dan P ( Ω ) = 1 Jika A1 A F himpunan yang saling lepas yaiu Ai Aj = unuk seiap pasangan i j maka P Ai = P( Ai) i= 1 i= 1 Peubah Acak dan Fungsi Massa Peluang Definisi 6 Peubah Acak (random variable) Misalkan F medan-σ dari ruang conoh Ω Suau peubah acak suau fungsi : Ω R dengan sifa { ω Ω: ( ω) } F unuk seiap R Definisi 7 Peubah Acak Diskre (discree random variable) Peubah acak dikaakan diskre jika nilainya hanya pada himpunan bagian yang erbilang dari R Caaan: Suau himpunan bilangan C disebu erbilang jika C erdiri aas bilangan erhingga aau anggoa C dapa dipadankan 1-1 dengan bilangan bula posiif Definisi 8 Fungsi Massa Peluang (probabiliy mass funcion) Fungsi massa peluang dari peubah acak diskre fungsi p: R [ 1 ] yang diberikan oleh: p = P = Definisi 9 Peubah Acak Koninu (coninuous random variable) Peubah acak dikaakan koninu jika ada fungsi f sehingga fungsi sebaran P F = dapa dinyaakan sebagai: F = f u du R f : R fungsi yang erinegralkan Fungsi f disebu fungsi kepekaan peluang bagi (Grimme and Sirzaker 1) dengan [ ] Seiap peubah acak memiliki fungsi sebaran sebagaimana didefinisikan beriku ini 3 Fungsi Sebaran Sebaran Eksponen dan Sebaran Normal Definisi 1 Fungsi Sebaran (disribuion funcion) Misalkan peubah acak dengan ruang A Misalkan kejadian A= ( ] A maka peluang dari kejadian A p( A) = P( ) = F Fungsi F disebu fungsi sebaran dari peubah acak (Hogg McKean and Craig 5) Definisi 11 Sebaran Eksponen (eponenial disribuion) Suau peubah acak dikaakan menyebar eksponen dengan parameer λ > jika nilainya erleak pada [ ) dan memiliki fungsi kepekaan peluang: f = λe λ I ( ) (Hogg McKean and Craig 5) Definisi 1 Sebaran Normal (normal disribuion) Suau peubah acak dikaakan menyebar normal dengan parameer μ dan σ dinoasikan dengan N ( μ σ ) jika mempunyai fungsi kepekaan peluang: 1 ( μ ) f = ep σ π σ dengan < < (Hogg McKean and Craig 5)
3 4 Nilai Harapan dan Fungsi Pembangki Momen Definisi 13 Nilai Harapan (epeced value) 1 Jika peubah acak diskre dengan fungsi massa peluang p maka nilai harapan dari dinoasikan dengan E : [ ] E[ ] p = asalkan jumlah di aas konvergen mulak Misalkan peubah acak koninu dengan fungsi kepekaan peluang f ( ) Nilai harapan dari : [ ] E = f d asalkan inegral di aas konvergen mulak (Hogg McKean and Craig 5) Definisi 14 Fungsi Pembangki Momen (momen generaing funcion) Misalkan peubah acak koninu aau diskre dan h bilangan posiif sehingga unuk h< < h nilai harapan E e ) ada Jika peubah acak koninu ( dengan fungsi kepekaan peluang f fungsi pembangki momen dari didefinisikan sebagai: E e = e f d Jika peubah acak diskre dengan fungsi massa peluang p fungsi pembangki momen dari didefinisikan sebagai: = E e e p ( ) Fungsi pembangki momen dari peubah acak dinoasikan M () 5 Proses Sokasik dan Gerak Brown 1-Dimensi Definisi 15 Proses Sokasik (sochasic process) Proses sokasik = { T} suau himpunan dari peubah acak yang memeakan suau ruang conoh Ω ke suau ruang keadaan S (Ross 3) Definisi 16 Ruang Keadaan (sae space) Misalkan suau peubah acak yang memiliki nilai pada himpunan erbilang S maka S dikaakan ruang keadaan Definisi 17 Gerak Brown 1-Dimensi (1- dimensional Brownian moion) B dikaakan Proses sokasik [ ) sebagai gerak Brown 1-dimensi apabila memiliki sifa-sifa beriku: P B = = 1 1 { } B( ) Unuk sembarang 1 n peubah acak B( 1) B( ) B B( 1 ) B( n) B( n 1 ) saling bebas 3 Unuk s selisih B B( s) menyebar N( s) (Oksendal 3) 6 Persamaan Diferensial Sokasik 1-Dimensi dan Proses Io 1-Dimensi Definisi 18 Persamaan Diferensial Sokasik 1-Dimensi (1-dimensional sochasic differenial equaion) Persamaan diferensial sokasik 1-dimensi proses sokasik () pada ruang peluang ( Ω FP) yang memiliki benuk: d = a( ) d+ b( () ) db() dengan B( ) gerak Brown 1-dimensi pada ( Ω F P) (Oksendal 3) Definisi 19 Proses Io 1-Dimensi (1- dimensional Io process) Proses Io (inegral sokasik) 1-dimensi proses sokasik () pada ruang peluang ( Ω F P) yang memiliki benuk: () = ( ) + ( () ) a s s ds + ( s) db( s) b s dengan B gerak Brown 1-dimensi pada ( Ω F P) (Oksendal 3)
4 7 Sebaran Kehidupan Nilai Harapan Sisa Hidup dan Percepaan Kemaian Definisi Sebaran Kehidupan (lifeime disribuion) Misalkan seseorang berumur memiliki sisa waku hidup T maka umur orang ersebu pada saa meninggal + T T merupakan peubah acak dengan fungsi sebaran G dengan: G() = P( T ) merupakan peluang seseorang yang berumur akan meninggal pada saa ahun Fungsi G umumnya dinoasikan dengan q sehingga q = G Fungsi berahan hidup s() didefinisikan: s () = 1 G() = PT ( > ) peluang seseorang yang berumur akan berahan hidup sampai usia ahun fungsi s () umumnya dinoasikan dengan p sehingga p = s() Definisi 1 Nilai Harapan Sisa Hidup (epeced remaining lifeime) Misalkan seseorang berusia memiliki sisa T T merupakan peubah acak waku hidup dengan fungsi kepekaan peluang g ( ) Nilai harapan sisa hidup seseorang berumur yang dinoasikan dengan e : e = E( T ) = g() d Definisi Percepaan Kemaian (force of moraliy) Percepaan kemaian banyaknya orang yang meninggal seiap saa pada usia Percepaan kemaian seseorang berusia dinoasikan dengan η : η = g d ln 1 G() 1 G = d () dengan G( ) peluang seseorang akan meninggal pada saa ahun dan g ( ) merupakan fungsi kepekaan peluang yang berpadanan dengan G( ) 8 Fungsi Kepuasan dan Consan Relaive Risk Aversion (CRRA) Definisi 3 Fungsi Kepuasan (uiliy funcion) Misalkan = { 1 3 n} himpunan konsumsi maka fungsi kepuasan konsumsi U berada dalam himpunan konsumsi di mana U : R (Fishburn 197) Definisi 4 Consan Relaive Risk Aversion (CRRA) Misalkan UW fungsi kepuasan U dari kekayaan W maka consan relaive risk aversion (CRRA) didefinisikan dalam benuk persamaan: 1 ( 1- ) U( W) = W γ ( 1 γ ) dengan γ koefisien Consan relaive risk aversion ( γ 1) (Anderson and Hardeker 3) 9 Ase Definisi 5 Ase (asse) Ase sesuau yang memiliki nilai ekonomi dan nilai perukaran (Harvey and Grechen ) Definisi 6 Ase Bebas Risiko (risk-free asse) Ase bebas risiko ase yang memiliki ingka imbal hasil yang pasi di masa depan (Harvey and Grechen ) Definisi 7 Ase Berisiko (risky asse) Ase berisiko ase yang ingka imbal hasil di masa yang akan daang idak pasi (Harvey and Grechen ) 1 Anuias Definisi 8 Anuias (annuiy) Anuias suau rangkaian pembayaran/penerimaan secara berkala dengan periode waku yang sama (Rejda 4) Definisi 9 Anuias Hidup (life annuiy) Anuias hidup suau rangkaian pembayaran/penerimaan seiap periode selama eranggung hidup (Rejda 4)
5 Definisi 3 Anuias Teap (fi annuiy) Jika k1 dan k suau konsana dan V1 V Anuias eap suau rangkaian peubah acak maka: pembayaran/penerimaan seiap periode EkV [ 1 1+ kv ] = kev 1 [ 1] + kev [ ] dengan jumlah yang eap (Rejda 4) Secara umum jika k1 k kn konsana dan V1 V Vn Definisi 31 Anuias Variabel (variable peubah acak maka: annuiy) Anuias variabel rangkaian EkV [ 1 1+ kv + + kv n n] pembayaran/penerimaan seiap periode idak = kev 1 [ 1] + kev [ ] + + kev n [ n] eap (naik aau urun) berganung pada harga saham di pasar bursa (Hogg McKean and Craig 5) (Rejda 4) Buki: liha Hogg McKean and Craig 5 Definisi 3 Anuias Segera (immediae annuiy) Anuias segera rangkaian pembayaran/penerimaan secara berkala pada iap akhir periode yang elah dienukan (Rejda 4) 11 Volailias Dividen Bunga dan Diskon Definisi 33 Volailias (volailiy) Volailias σ menyaakan ingka risiko suau ase yang diunjukkan oleh keacakan harga saham (Harvey and Grechen ) Definisi 34 Dividen (dividend) Dividen pembagian keunungan kepada pemegang saham berdasarkan banyaknya saham yang dimiliki (Harvey and Grechen ) Teorema Fubini (Fubini's heorem) Misalkan ( A μ1 ) dan ( YB μ ) dua ruang ukuran σ berhingga Jika f aau f d( μ1 μ) < maka: Y ( ) 1 = Y Y f y μ dy μ d f dμ ( ) μ μ ( = f y d dy) 1 Buki: liha Durre 1996 Y (Durre 1996) Teorema 3 Formula Io 1-Dimensi (he 1-dimensional Io formula) Misalkan proses Io yang dikeahui berbenuk: d = u d + v db dan misalkan g ( ) C ([ ) R ) Definisi 35 Bunga (ineres) ( g erurunkan dua kali yang koninu dalam Bunga imbal hasil yang dibayarkan oleh peminjam aas dana yang dierima ([ ) R ) ) Misalkan Y = g( ) maka (Rejda 4) Y merupakan proses Io dan g g Definisi 36 Diskon (discoun) dy = ( ) d+ ( ) d Diskon meode pengurangan bunga pinjaman di awal ransaksi 1 g (Rejda 4) + ( ) d Definisi 37 Fakor Diskon (discoun facor) dengan ( d ) = ( d) ( d ) dihiung Fakor diskon pada waku ahun ke-h dengan mengikui kaidah: ingka diskon sebesar δ didefinisikan d d = d db h h sebagai: v = e δ = db d = db db = d (Oksendal 3) Buki: liha Oksendal 3 1 Beberapa Teorema yang Digunakan Teorema 1 Beberapa sifa dari nilai harapan: Ek = k 1 Jika k suau konsana maka [ ]