PEMODELAN NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP US DOLLAR MENGGUNAKAN DERET WAKTU HIDDEN MARKOV MODEL HAMILTON HIRASAWA G

Transkripsi

1 PEMODELAN NILAI UKAR RUPIAH ERHADAP US DOLLAR MENGGUNAKAN DERE WAKU HIDDEN MARKOV MODEL HAMILON HIRASAWA G DEPAREMEN MAEMAIKA FAKULAS MAEMAIKA DAN ILMU PENGEAHUAN ALAM INSIU PERANIAN BOGOR BOGOR 007

2 ABSRAC HIRASAWA Modelling he Exchange Rae of Rupiah o US Dollar Used he Hidden Markov ime Series Hamilon Model Under he direcion of BERLIAN SEIAWAY and N K KUHA ARDANA he exchange rae of Rupiah o US Dollar can be flucuaed every ime I is effeced by war, financial and economic crisis, or he governmen policy he flucuaed of exchange rae migh generae unconvinced moion for foreign invesors o inves heir funds in Indonesia his maer cause a heigh of exchange rae Rupiah o US Dollar Bu his occurrence is no observed direcly (hidden o describe he exchange rae of he Rupiah, his research used he hidden Markov ime series Hamilon (994 as a model his model assumes ha he exchange rae of Rupiah o US Dollar is based on Markov chain which is explained by he cause of occurence and he previous exchange rae of Rupiah he parameer of he hidden Markov ime series is esimaed by using he Maximum Likelihood mehod he esimaion of he parameer is calculaed using he Expecaion Maximizaion algorihm which is implemened in Mahemaica 5 for Suden he forecas of he exchange rae can also be calculaed by using he model For example: he forecas of he exchage rae a February 007 is Rp 9088,98 wih maximum and minimum error are Rp 38,48786 and Rp,63577 respecively (he exac exchange rae is Rp 9073, As a resul, his research convinces ha he hidden Markov ime series Hamilon model can be applied o he exchange rae of Rupiah o US Dollar

3 ABSRAK HIRASAWA Pemodelan Nilai ukar Rupiah erhadap US Dolar Menggunakan Dere Waku Hidden Markov Model Hamilon Dibimbing oleh BERLIAN SEIAWAY dan N K KUHA ARDANA Nilai ukar Rupiah erhadap US Dollar mengalami perubahan seiap wakunya Perubahan nilai ukar Rupiah dapa diakibakan karena perang, krisis keuangan dan ekonomi, aau perubahan yang cukup signifikan pada kebiakan pemerinah, sehingga menimbulkan mosi idak percaya bagi invesor asing yang akan menginvesasikan dananya di Indonesia Hal ini berakiba pada ingginya nilai ukar Rupiah erhadap US Dollar Namun keadian ini, idak diamai secara langsung (hidden Unuk menggambarkan perilaku nilai ukar Rupiah ersebu, dalam karya ilmiah digunakan model dere waku hidden Markov model Hamilon (994 Model ini mengasumsikan bahwa nilai ukar Rupiah erhadap US Dollar berganung pada ranai Markov yang merupakan penyebab keadian yang idak diamai dan nilai ukar Rupiah suau waku sebelumnya Dalam model ini akan dicari penduga parameer Salah sau meode unuk pendugaan parameer ersebu adalah dengan menggunakan Maximum Likelihood Esimaors yang perhiungannya mengunakan algorima Expecaion Maximizaion Unuk mempermudah mencari penduga parameer dalam model dere waku Hidden Markov, dibua suau program kompuasi dengan menggunakan Mahemaica 5 for Suden, agar hasil perhiungannya maksimal Dengan diperolehnya parameer, maka dapa dihiung nilai ukar Rupiah erhadap US Dollar yang akan daang Sebagai conoh, nilai dugaan pada bulan Februari 007 adalah , mendekai nilai sebenarnya yaiu 9073 Nilai gala maksimum adalah dan nilai gala minimum adalah Dari hasil yang diperoleh secara keseluruhan, Model dere waku Hidden Markov Hamilon dapa memodelkan dengan cukup baik perubahan nilai ukar rupiah erhadap US Dollar

4 PEMODELAN NILAI UKAR RUPIAH ERHADAP US DOLAR MENGGUNAKAN DERE WAKU HIDDEN MARKOV MODEL HAMILON Skripsi sebagai salah sau syara unuk memperoleh gelar Sarana Sains pada Fakulas Maemaika dan Ilmu Pengeahuan Alam Insiu Peranian Bogor Oleh : HIRASAWA G DEPAREMEN MAEMAIKA FAKULAS MAEMAIKA DAN ILMU PENGEAHUAN ALAM INSIU PERANIAN BOGOR BOGOR 007

5 Judul : Pemodelan Nilai ukar Rupiah erhadap US Dolar Menggunakan Dere Waku Hidden Markov Model Hamilon Nama : Hirasawa NRP : G Menyeuui: Pembimbing I, Pembimbing II, Dr Berlian Seiaway, MS NIP Ir N K Kuha Ardana, MSc NIP Mengeahui: Dekan Fakulas Maemaika dan Ilmu Pengeahuan Alam Insiu Peranian Bogor Prof Dr Ir Yonny Koesmaryono, MS NIP anggal Lulus:

6 PRAKAA Pui syukur penulis panakan kepada Allah SW aas segala karunianya sehingga penulis dapa menyelesaikan ugas akhir yang berudul Pemodelan Nilai ukar Rupiah erhadap US Dolar Menggunakan Dere Waku Hidden Markov Model Hamilon Shalawa dan salam semoga senaniasa ercurah kepada Rasulullah Muhammad SAW besera keluarga, sahaba dan pengikunya hingga akhir zaman ugas akhir ini saya persembahkan unuk kedua orang ua, nenek dan keiga adik saya yang elah banyak memberikan dukungan yang luar biasa (eruama naseha dan doa-doanya sehingga karya ilmiah ini dapa erselesaikan Keerbaasan dan keidaksempurnaan membua penulis membuuhkan banuan, dukungan dan semanga dari orang-orang secara langsung aaupun idak langsung berkonribusi besar dalam pembuaan ugas akhir ini Oleh karena iu penulis ingin mengucapkan rasa erima kasih yang sebesar-besarnya kepada Ibu Berlian Seiaway dan Bapak Kuha Ardana yang dengan sabar elah membimbing dan mengarahkan selama penulisan karya ilmiah ini Bapak I Wayan Mangku aas kesediaannya menadi pengui luar dalam sidang ugas akhir penulis Yudi, Dimas, dan Lia aas kesediaannya menadi pembahas dalam seminar penulis ak lupa penulis ingin mengucapkan erima kasih kepada Muhammad Mukafi, Asrie Lesari, Mufi Alban, Ifni Husnul Khaimah dan im PKM (Nurmaulidah dan Ari Sepian aas dukungan dan doanya Kepada Bapak Ridwan Hasan Sapura dan im KPM (eh Desi, Bu Anis, Bu Asri dkk Seluruh Dosen Deparemen Maemaika aas segala ilmu yang elah diberikan Saf dan karyawan U Maemaika IPB Maemaika angkaan 40 aas persahabaannya selama ini semoga idak akan berakhir Sera seluruh pihak yang idak dapa penulis sebukan sau per sau Penulis mengeahui bahwa ugas akhir ini masih auh dari kesempurnaan Semoga ugas akhir ini dapa bermanfaa bagi penulis khususnya dan bagi pihak lain yang membuuhkan Bogor, Mei 007 Hirasawa

7 RIWAYA HIDUP Penulis dilahirkan di Bogor pada anggal Juli 985 sebagai anak perama dari empa bersaudara Ayah penulis bernama Aang Suhaa dan Ibu bernama Sri Mulyani Pada ahun 997 penulis menyelesaikan pendidikan SD Negeri Paeleran 0 Cibinong Penulis melanukan pendidikan di SLP Negeri Cibinong pada ahun yang sama Pada ahun 000 penulis melanukan pendidikan di SMU Negeri Bogor Pada ahun 003, penulis dierima di Insiu Peranian Bogo (IPB melalui alur Uian Seleksi Masuk Insiu Peranian Bogor (USMI di Deparemen Maemaika, Fakulas Maemaika dan Ilmu Pengeahuan Alam IPB Selama mengikui kegiaan perkuliahan, penulis akif di berbagai kegiaan mahasiswa yaiu sebagai sekrearis Gugus Mahasiswa Maemaika IPB periode 004/005 dan sebagai keua Gugus Mahasiswa Maemaika IPB periode 005/006 Penulis uga akif sebagai paniia pada beberapa acara anara lain Seminar Ekonomi Islam ahun 004, Maemaika RIA ahun 005, MIPA spor ournamen ahun 005 Selain iu, penulis uga akif menadi asisen maa kuliah Algorima dan pemrograman pada ahun aaran 005/006 dan pernah mengikui lomba kreaifias mahasiswa yang diselenggarakan oleh DIKI ahun 006/007 Seak ahun 003, penulis elah bergabung dalam lembaga pendidikan Klinik Pendidikan Mipa (KPM dan masih akif sampai sekarang

8 DAFAR ISI Halaman DAFAR GAMBAR viii DAFAR LAMPIRAN viii I PENDAHULUAN Laar Belakang uuan II LANDASAN EORI Ruang Conoh, Keadian dan Peluang Definisi (Percobaan Acak Definisi (Ruang Conoh dan Keadian Definisi 3 (Medan-σ Definisi 4 (Ukuran Peluang Definisi 5 (Peluang Bersyara Definisi 6 (Keadian Saling Bebas Definisi 7 (Koninu Absolu eorema 8 (Radon Nikodym Peubah Acak dan Fungsi Sebaran Definisi (Peubah Acak Definisi (Fungsi Sebaran Definisi 3 (Peubah Acak Diskre Definisi 4 (Fungsi Kerapaan Peluang Definisi 5 (Peubah Acak Koninu Definisi 6 (Fungsi Sebaran Bersama Dua Peubah Acak3 Definisi 7 (Fungsi Kepekaan Peluang Bersama 3 Definisi 8 (Fungsi Kepekaan Peluang Bersyara 3 Definisi 9 (Nilai Harapan Peubah Acak Diskre3 Definisi 0 (Nilai Harapan Peubah Acak Koninu 3 Definisi (Nilai Harapan Bersyara 3 Definisi (Himpunan Konveks dan Fungsi Konveks3 eorema 3 (Keaksamaan Jensen3 3 Ranai Markov3 Definisi 3 (Ruang Sae 3 Definisi 3 (Proses Sokasik3 Definisi 33 (Ranai Markov4 Definisi 34 (Ranai Markov dengan Waku Diskre 4 4 Algorima EM (Expecaion Maximizaion4 III MODEL HIDDEN MARKOV5 3 Model Hidden Markov dan Karakerisiknya5 3 Reesimasi Parameer Menggunakan Algorima EM 6 IV DERE WAKU HIDDEN MARKOV HAMILON 8 4 Model Dere Waku Hidden Markov Hamilon8 4 Pendugaan Parameer θ 9 43 Reesimasi Parameer Menggunakan Algorima EM V PEMODELAN NILAI UKAR RUPIAH ERHADAP US DOLLAR 5 Daa Inpu Nilai ukar Rupiah3 5 Pemodelan Kasus Nilai ukar Rupiah Unuk Banyaknya Penyebab Keadian N 3 5 Model Ellio 3 5 Model Hamilon4 SIMPULAN 6 DAFAR PUSAKA 6

9 DAFAR GAMBAR Halaman Gambar Grafik perubahan nilai ukar Rupiah erhadap US Dollar per bulan 3 Gambar Grafik nilai ukar Rupiah erhadap US Dollar menggunakan model Ellio 4 Gambar 3 Grafik nilai ukar Rupiah erhadap US Dollar menggunakan model Hamilon 5 Lampiran Ui urunan kedua bagi θ DAFAR LAMPIRAN Halaman L 7 Lampiran abel nilai ukar Rupiah erhadap US Dollar 3 Lampiran 3 Program unuk mencari parameer menggunakan Maemaica 5 5

10 I PENDAHULUAN Laar Belakang Perkembangan perekonomian di Indonesia, kian hari semakin membaik erliha pada angka nilai ukar Rupiah erhadap US Dollar yang mulai sabil pada ingka sembilan ribu Rupiah per US Dollar Seiap perubahan suau keadian berkaian era dengan penyebab keadiannya Perubahan keadian ekonomi di masa lalu memiliki kemungkinan akan erulang kembali di masa yang akan daang Sehingga dapa dimodelkan dengan suau proses sokasik Jika penyebab keadiannya idak diamai secara langsung dan membenuk ranai Markov, maka pasangan keadian dan penyebabnya dapa dimodelkan dengan model Hidden Markov (Hidden Markov Model, HMM Dalam karya ilmiah ini, dibahas aplikasi dari model dere waku hidden Markov unuk menggambarkan perilaku nilai ukar Rupiah erhadap US Dollar dan menduga nilai ukar Rupiah yang akan daang Perubahan pada nilai ukar Rupiah erhadap US Dollar dapa diakibakan karena perang, krisis keuangan dan ekonomi, aau perubahan yang cukup signifikan pada kebiakan pemerinah, sehingga menimbulkan mosi idak percaya bagi invesor asing yang akan menginvesasikan dananya di Indonesia Hal ini berakiba pada ingginya nilai ukar Rupiah erhadap US Dollar Namun keadian ini, idak diamai secara langsung (hidden erdapa beberapa fakor yang menyebabkan eradinya perubahan suau keadian Fakor penyebab (sae ersebu dapa berkembang menuru model ranai Markov di mana sae yang akan daang hanya dipengaruhi oleh sae sekarang dan bebas erhadap sae yang lalu Unuk model hidden Markov, keadian yang diamai dipengaruhi oleh fakor penyebab eradinya suau keadian dan beberapa paramaer Sedangkan unuk model dere waku hidden Markov, keadian yang diamai selain dipengaruhi oleh fakor penyebab eradinya suau keadian dan beberapa paramaer, uga dipengaruhi oleh keadian sebelumnya Dalam model ini akan dicari penduga parameer Salah sau meode unuk pendugaan parameer ersebu adalah dengan menggunakan MLE (Maximum Likelihood Esimaors yang perhiungannya menggunakan algorima EM (Expecaion Maximizaion Dengan dikeahuinya penduga parameer yang memaksimumkan peluang eradinya suau keadian, maka dapa dilakukan penarikan kesimpulan yang opimal dan peramalan pada sae Dalam perkembangan lebih lanu, dibua suau program kompuasi unuk mencari parameer yang akan digunakan dalam model dere waku hidden Markov, agar hasil perhiungannya maksimal Sofware yang digunakan adalah Mahemaica 5 for Suden Kelebihan program ini adalah waku kera yang lebih efesien sera mempermudah dalam analisis daa karena sudah dilengkapi dengan fungsi-fungsi yang mudah digunakan uuan uuan dari karya ilmiah ini adalah Mempelaari model hidden Markov dan dere waku hidden Markov Hamilon besera penduga parameernya Mengimplemenasikan model dere waku hidden Markov Hamilon unuk masalah nilai ukar Rupiah erhadap US Dollar II LANDASAN EORI Pada bab ini dielaskan beberapa definisi yang digunakan dalam pembahasan selanunya Ruang Conoh, Keadian dan Peluang Definisi (Percobaan Acak Dalam suau percobaan seringkali dilakukan pengulangan dengan kondisi yang sama Semua kemungkinan hasil yang akan muncul dapa dikeahui, akan eapi hasil pada percobaan berikunya idak dapa diduga dengan epa Percobaan semacam ini, yang dapa diulang dalam kondisi yang sama, disebu percobaan acak [Hogg dan Craig, 995] Definisi (Ruang Conoh dan Keadian Himpunan semua kemungkinan hasil dari suau percobaan acak disebu ruang conoh, dinoasikan dengan Ω Suau keadian A adalah himpunan bagian dari Ω [Grimme dan Sirzaker, 99]

11 Definisi 3 (Medan-σ Koleksi F dari himpunan bagian Ω disebu sebagai medan-σ ika memenuhi syara: a φ F b ika A, A, F maka A F i c c Jika A F maka A F [Grimme dan Sirzaker, 99] Definisi 4 (Ukuran Peluang Misalkan F adalah Medan-σ dari ruang conoh Ω Ukuran peluang adalah suau fungsi P : F [ 0,] pada ( Ω, F yang memenuhi: P( φ 0, P( Ω, Jika A, A, F adalah himpunan yang saling lepas yaiu A i A φ unuk seiap pasangan i, maka P Ai P( Ai i i Pasangan ( Ω, F,P disebu ruang peluang [Grimme dan Sirzaker, 99] Definisi 5 (Peluang Bersyara Jika P( B > 0 maka peluang bersyara dari keadian A seelah dikeahui keadian B ialah P( A B P( A B P( B [Grimme dan Sirzaker, 99] Definisi 6 (Keadian Saling Bebas Keadian A dan B dikaakan saling bebas ika P( A B P( A P( B Misal I adalah himpunan indeks Himpunan A : i I disebu saling bebas ika keadian { i ( i ( i P A P A i J i J unuk seiap himpunan bagian berhingga J dari I [Grimme dan Sirzaker, 99] Definisi 7 (Koninu Absolu Jika v dan µ merupakan ukuran peluang pada ( Ω, F Ukuran peluang v dikaakan koninu absolue erhadap ukuran peluang µ ika µ A 0 maka va 0, unuk seiap A F Dinoasikan v << µ [Royden, 963] i eorema 8 (Radon Nikodym Jika P dan P merupakan dua ukuran peluang Ω, F sehingga unuk seiap B F, pada P( B 0 menyebabkan P( B 0, maka erdapa peubah acak ak negaive sehingga P( C dp unuk semua C F C Dinoasikan dp dp F [buki liha Wong dan Haek, 985] Peubah Acak dan Fungsi Sebaran Definisi (Peubah Acak Misalkan F adalah medan-σ dari Ω Peubah acak X merupakan fungsi X : Ω di mana { ω Ω: X( ω x F unuk seiap x [Grimme dan Sirzaker, 99] Peubah acak dinoasikan dengan huruf besar, sedangkan nilai dari peubah acak ersebu dinoasikan dengan huruf kecil Definisi (Fungsi Sebaran Fungsi sebaran dari peubah acak X adalah F : 0, di mana suau fungsi [ ] FX x P X x [Grimme dan Sirzaker, 99] Definisi 3 (Peubah Acak Diskre Peubah acak X disebu sebagai peubah acak diskre ika nilainya hanya berada pada himpunan bagian yang erhiung dari [Grimme dan Sirzaker, 99] Definisi 4 (Fungsi Kerapaan Peluang Fungsi kerapaan peluang dari peubah acak diskre X adalah fungsi p : [ 0,] di mana px ( x P( X x [Grimme dan Sirzaker, 99] Definisi 5 (Peubah Acak Koninu Peubah acak X disebu koninu ika fungsi sebarannya dapa dinyaakan sebagai X x ; F x f u du x di mana f : [ 0, adalah fungsi yang erinegralkan f merupakan fungsi kepekaan peluang dari peubah acak X [Grimme dan Sirzaker, 99]

12 3 Definisi 6 (Fungsi Sebaran Bersama Dua Peubah Acak Fungsi sebaran bersama dua peubah acak X dan Y merupakan suau fungsi F : [ 0,] yang didefinisikan oleh F ( xy, PX ( xy, y [Grimme dan Sirzaker, 99] Definisi 7 (Fungsi Kepekaan Peluang Bersama Misalkan X dan Y peubah acak koninu, maka fungsi kepekaan peluang bersama dari X dan F ( xy, Y adalah fxy ( x, y x y dan fungsi kepekaan peluang marginal dari peubah acak Y adalah Y (, f y f x y dx XY [Grimme dan Sirzaker, 99] Definisi 8 (Fungsi Kepekaan Peluang Bersyara Misalkan X dan Y peubah acak koninu dengan fungsi kepekaan peluang marginal fy ( y > 0, maka fungsi kepekaan peluang bersyara dari X dengan syara Y y adalah fxy ( x, y fxy ( x y fy ( y [Grimme dan Sirzaker, 99] Definisi 9 (Nilai Harapan Peubah Acak Diskre Misalkan X adalah peubah acak diskre dengan fungsi kerapaan peluang p x P X x maka nilai harapan dari X X adalah E[ X] xp ( x aas konvergen asalkan umlah di x X [Hogg dan Craig, 995] Definisi 0 (Nilai Harapan Peubah Acak Koninu Misalkan X adalah peubah acak koninu dengan fungsi kepekaan peluang f X ( x maka nilai harapan dari X adalah E[ X] xf ( x dx asalkan inegralnya ada [Hogg dan Craig, 995] Definisi (Nilai Harapan Bersyara Misalkan X dan Y adalah peubah acak koninu f x y adalah fungsi kepekaan dan XY X peluang bersyara dari X dengan syara Y y, maka nilai harapan dari X dengan syara Y y adalah EX [ Y y] xf ( x ydx XY [Hogg dan Craig, 995] Definisi (Himpunan Konveks dan Fungsi Konveks N Misalkan S adalah himpunan vekor Maka S disebu sebagai himpunan konveks ika unuk semua x, x' Serdapa λ [ 0,] maka ( λ x + λx' S Misalkan f merupakan fungsi dengan peubah x yang erdefinisi pada himpunan konveks S Maka f disebu sebagai fungsi konveks ika f memenuhi persamaan f (( λ x+ λx' ( λ f ( x + λ f ( x' Jika f memiliki urunan kedua, maka f disebu sebagai fungsi konveks ika dan hanya ika f ( x 0, x S dan merupakan sricly convex ika f ( x > 0, x S [Osborne, 997] eorema 3 (Keaksamaan Jensen Misalkan X adalah peubah acak dengan X berhingga dan g(x adalah fungsi konveks Maka g ( X g( [ X] [buki liha Weissein, 999] 3 Ranai Markov Definisi 3 (Ruang Sae Misalkan S merupakan himpunan nilai dari barisan peubah acak, maka S disebu ruang sae [Grimme dan Sirzaker,99] Definisi 3 (Proses Sokasik Proses sokasik S { S, adalah suau koleksi dari peubah acak yang memeakan suau ruang conoh Ω ke suau ruang sae K Jadi, unuk seiap pada himpunan indeks, S adalah suau peubah acak [Ross,996] Dalam hal ini anggap sebagai waku dan nilai dari peubah acak S sebagai sae (keadaan dari proses pada waku

13 4 Definisi 33 (Ranai Markov Proses S adalah ranai Markov ika memenuhi syara Markov, yaiu: P( S s S s, S s,, S s 0 0 PS ( s S s [Grimme dan Sirzaker,99] Definisi 34 (Ranai Markov dengan Waku Diskre Misalkan S suau peubah acak Proses sokasik { S, 0,,,, dengan ruang sae {0,,,,N disebu ranai Markov dengan waku diskre ika unuk seiap {0,,, berlaku PS { S is, i, PS { S i pi unuk semua kemungkinan nilai dari i o,i,i,,i n-,i, {,,3,,N [Ross,996] Jadi unuk suau ranai Markov, sebaran bersyara dari sebarang sae saa ini S dengan syara sae yang lalu S 0,S,S,,S - dan sae kemarin S - adalah bebas erhadap semua sae yang lalu, dan hanya berganung pada sae kemarin Proses di aas dapa digambarkan sebagai N- sae ranai Markov dengan peluang ransisi {p i i,,,,n Nilai dari peluang ransisi p i menyaakan peluang bahwa ika proses ersebu berada pada sae i maka berikunya akan beralih ke sae Karena nilai peluang adalah ak negaif dan karena proses ersebu harus mengalami ransisi ke suau sae maka a p i 0, unuk semua i, {,,,N b N p unuk semua i {,,,N i Peluang ransisi (N x N dapa diuliskan dalam benuk mariks P yang disebu uga sebagai mariks ransisi, yaiu p pn P p N p NN di mana i menandakan kolom dan menandakan baris dari mariks P 4 Algorima EM (Expecaion Maximizaion Misalkan { P θ, θ Θ adalah himpunan ukuran peluang yang erdefinisi pada ( Ω, F dan koninu absolu erhadap P 0 Misalkan Y F Fungsi Likelihood yang digunakan unuk menghiung penduga parameer θ berdasarkan informasi Y adalah dp θ L( θ Ε0 Y dp0 Penduga Maximum Likelihood (MLE didefinisikan oleh θ arg max L θ θ Θ Umumnya MLE suli dihiung secara langsung, oleh karena iu diperlukan suau meode aproksimasi berulang, yakni algorima Expecaion Maximizaion (EM Langkah-langkah dalam meode ersebu adalah: Se nilai awal parameer k θ dengan k 0 * * Se θ k θ dan hiung Q ( θ, θ dengan * dp θ Q( θθ, Ε * log θ Y dpθ * arg max, * θ Q k + θθ 3 Cari 4 Gani k dengan k+ dan ulangi langkah sampai 4 hingga krieria heninya ercapai, yaiu keika selisih k θ + dan k θ kurang dari suau bilangan yang sanga kecil Bilangan ersebu dapa dienukan sesuai dengan seberapa besar keeliian yang diinginkan g x log, karena urunan x g x selalu posiif Misalkan kedua dari maka g( x log x > 0, x > 0 x g x merupakan fungsi konveks Karena log merupakan fungsi konveks, x maka berdasarkan keaksamaan Jensen dapa dihasilkan barisan { θ, 0 k k, yang merupakan fungsi likelihood yang ak urun yaiu log L ( θ log ( ( k+ L θk θk+, θk Buki: Q (4

14 5 Definisikan dengan maka Λ k aau P i Λ k λ, k λλ λ dpθ dp dp θ dp dp dp dp dp k i dp λi dp θ0 θ θk θk θ0 i k θk λ, k i θi θi dp k dp Dengan cara serupa maka dpθ k k + dp sera Akibanya θk θ0 Gk + θ0 dp θk λ + k + dpθ k Gk + log L ( θ log ( k L θk + dp dp θk+ θk log 0 Y log 0 Y dp0 dp0 log 0[ k+ Y] log 0[ k Y] log k k[ λk+ Y] log k Q θ, θ log λ Y log ( + [ + ] k k k k k k k log k k+ k [ λ Y] dp θk+ log Y θk dp θk Berdasarkan eorema keaksamaan Jensen maka dp dp θk+ θk+ log Y log Y θk dp θk dp θ k θk aau dp log ( log ( θk+ L θk+ L θ k log Y θk dp θk Hasil kedua ruas pada persamaan (4 akan bernilai sama ika dan hanya ika θ k+ θ k * Benuk Q ( θ, θ disebu Pseudo Likelihood bersyara III MODEL HIDDEN MARKOV 3 Model Hidden Markov dan Karakerisiknya Pada bab ini dibahas model Hidden Markov besera karakerisiknya Model ini erdiri aas pasangan sae ( S penyebab keadian yang idak diamai dan proses observasinya ( Y Misalkan S adalah proses yang idak diamai dengan ruang sae {,, 3,N Jika S berada pada sae, maka proses yang diamai Y mempunyai sebaran normal N ( µ, σ Pasangan {S,Y disebu model Hidden Markov Oleh karena iu, fungsi kerapaan peluang dari Y dengan syara peubah acak S bernilai adalah ( y µ f ( y S ; θ exp πσ σ (3 unuk,, N Dalam hal ini θ adalah vekor dari parameer populasi yang memua µ, µ, µ 3,, µ N dan σ, σ, σ,, σ N 3 Peubah yang idak diamai {S diduga elah dibangkikan oleh beberapa sebaran peluang, di mana peluang ak bersyara S dinoasikan dengan π : { ; P S θ π (3 unuk,,,n Peluang π, π, π3,, π N uga ermasuk dalamθ, sehingga θ didefinisikan sebagai θ µ,, µ, σ,, σ, π,, π ( N N N Peluang dari keadian bersama S dan Y yang berada pada inerval [c,d] dapa diperoleh dengan menginegralkan

15 6 (, ; θ ( ; { ; θ P y S f y S P S (33 Sehingga persamaan (3, (3 dan (33 diperoleh π ( y µ P( y, S ; θ exp πσ σ (34 Fungsi kerapaan ak bersyara dari Y diperoleh dengan menumlahkan persamaan (34 unuk semua kemungkinan nilai : N f ( y; θ P( y, S ; θ (35 Karena S merupakan peubah yang idak diamai, persamaan (35 merupakan fungsi kerapaan yang relevan unuk menggambarkan daa yang diamai sebenarnya Y Jika S bersifa bebas sokasik idenik maka log-likelihood unuk daa yang diamai dapa dihiung dari L θ log f y ; θ f y ; θ f y ; θ ( ( y θ log f ; (36 Penduga kemungkinan maksimum dari θ diperoleh dengan memaksimumkan persamaan (36 dengan kendala π + π + π3 + + π N dan π 0 unuk,,, N Hal ersebu dapa diperoleh dengan menggunakan algorima EM Seelah diperoleh penduga bagi θ, dapa dikeahui peluang eradinya suau keadian Y sera dapa disimpulkan sae mana yang paling memungkinkan menadi penyebab eradinya suau keadian Dari definisi peluang bersyara diperoleh P{ y, S ; θ P{ S y; θ f ( y ; θ π f ( y S ; θ f ( y ; θ (37 Dengan diperolehnya parameer populasi θ, memungkinkan digunakan persamaan (3 dan (35 unuk menghiung persamaan (37 pada seiap pengamaan Y 3 Reesimasi Parameer Menggunakan Algorima EM Penduga maksimum likelihood diperoleh dengan memaksimumkan L ( θ log f ( y ; θ dengan kendala π + π + π + + π N 3 θ dapa Unuk menyelesaikan masalah ersebu maka digunakan meode Lagrange, misalkan J θ L θ + λ π π π ( y log f ; θ + λ λπ λπ λπ N (3 Berdasarkan persamaan (3 diperoleh f exp π πσ σ f y S ; ( y ; θ ( y µ ( θ N (3 ( y; θ π ( y µ ( y µ f exp µ σ σ y µ P( y, S ; θ σ πσ (33 f ( y ; π ( y µ θ exp σ σ πσ σ ( y µ π exp 3 πσ σ ( y µ ( y µ π + exp 4 πσ σ σ ( y µ π ( y µ + exp 4 σ σ πσ σ ( y µ σ + PyS 4 (, ; σ (34 L( θ f ( y S ; θ π f y ; θ (35

16 7 ( θ L y µ P y S µ f θ σ ( y ; (, ; θ (36 L ( θ ( y µ σ + 4 PyS (, ; σ f( y ; σ (37 Kemudian, berdasarkan (37, persamaan (35 hingga (37 dapa diuliskan sebagai: L π ( θ f ( y, θ P( S y; θπ f ( y; PS ( y; π (38 L( θ y µ f ( y; P( S y; µ f ( y; σ y µ PS ( y; σ (39 L( θ ( y µ σ + 4 σ f ( y ; θ σ f y; θ P S y; θ ( y µ σ + PS ( yθ 4 σ ; (30 Unuk mencari nilai µ, σ dan π yang memaksimumkan fungsi log-likelihood maka urunan perama dari persamaan (4 harus sama dengan nol, yaiu J ( θ y µ P ( S y; θ 0 µ σ yp ( S y; θ µ P( S y; Sehingga diperoleh: µ ( y; θ ( ; y θ yp S P S Selanunya J ( θ ( y µ σ + 4 σ σ P S y ; θ 0 (3 ( y µ σ + P( S y; θ 0 σ σ 4 4 { σ ( y µ P( S y + ; 0 ( y µ P( S y; θ P S σ ( y akan menghasilkan σ ;, ( y ( µ P S y; θ P( S ; y θ (3 J ( θ π P( S y; λ 0 π λπ P( S y; θ 0 π π P( S y; θ λπ (33 Dari persamaan di aas, unuk,,, N diperoleh P( S y; θ + + P( S N y; θ λ( π + π + + π { λ { N yang mengakibakan λ Jika λ dimasukan dalam persamaan (33 maka P( S y; θ π, sehingga diperoleh π ( y; θ P S (34 Karena persamaan (3, (3, dan (34 ak-linear, maka digunakan Algorima EM unuk mencari penduga maksimum likelihood

17 8 IV DERE WAKU HIDDEN MARKOV HAMILON 4 Model Dere Waku Hidden Markov Hamilon Pada karya ilmiah ini dibahas model dere waku hidden markov Hamilon (994 yaiu: Y cs + φ SY +E (4 di mana: E N 0, σ bebas sokasik idenik { Y proses yang diamai dan bernilai skalar { S ranai Markov dengan ruang sae S {, c, c, φ, dan φ adalah konsana real θ c, c, φ, φ, σ ( P p p ransisi p p Karena E N ( 0, σ merupakan mariks peluang bebas sokasik idenik maka dapa diperoleh fungsi sebaran bagie : F y P E y E ( ε 0 y exp dε 0 πσ σ y ( ε exp dε 0 πσ σ (4 Berdasarkan persamaan 4 diperoleh fungsi sebaran bagi Y : ( F y P Y y Y P c ( S + φ S Y + E y ( E S φs P y c Y ( ε y cs φs Y exp dε 0 πσ σ Misalkan v y c φ S SY, maka ( ε F y d dan fy ( y FY y y v Y exp ε 0 πσ σ ( v v exp πσ σ y ( y cs φs Y exp πσ σ ( y cs φs Y exp πσ σ (43 Misalkan ϒ adalah medan-σ yang lengkap dan dibangun oleh Y, Y, Y 3,, Y Karena S merupakan ranai Markov sae maka erdapa fungsi kerapaan peluang bagi Y Kumpulan fungsi kerapaan peluang ersebu dalam vekor ( dilambangkan dengan η, sehingga diperoleh: f ( y S, ϒ η f ( y S, ϒ ( y c φy exp πσ σ ( y c φy exp πσ σ (44 ( ξ Misalkan ξ melambangkan vekor ξ ξ pada vekor mere- ( di mana presenasikan P{ S ϒ ; θ dan melambangkan perkalian elemen per elemen, maka ξ η P( S ϒ f ( y S, ϒ P( S ϒ f ( y S, ϒ P( S ϒ f ( y S, ϒ P( S ϒ f ( y S, ϒ (45 Berdasarkan persamaan (45 maka dapa diuliskan: P y, S ϒ ; θ ( P( S ϒ ; f ( y S, ϒ ; sehingga diperoleh (46

18 9 f ( y ϒ ; (, ϒ ; P y S ( ϒ ; (, ϒ ; PS f y S ( ϒ (, ϒ PS ( ϒ ; f ( y S, ϒ ; PS f y S + ( ξ η (47 di mana [ ] Berdasarkan persamaan (46 dan (47, maka diperoleh P y, S ϒ ; θ ( f ( y ϒ ( P( P( y, S, ϒ P( y, ϒ P( S, y, ϒ P( y, ϒ P( S y, ϒ P( S ϒ ( P y, S, ϒ θ P ϒ θ ϒ ; θ P y, ϒ ; θ ; (48 Sehingga berdasarkan persamaan (46, (47 dan (48 diperoleh P( y, S ϒ P( S ϒ; f y ϒ ; θ ξ PS ; ( ξ η ( ξ (49 ξ η ( ϒ + + (, ϒ ; PS S + (, ϒ ; ( ϒ ; PS S PS + ( ; θ PS S + ξ ξ p ( ( p ξ + p ξ ξ + ( ( p ξ + p ξ ( p p ξ ( p p ξ P ξ ξ P ξ (40 m + m Fungsi log-likelihood L( θ unuk daa yang diamai Y dapa dihiung dengan cara L θ log f y ϒ ; θ f y ϒ; θ f y ϒ ; θ ( ( 0 ( ( log f ( y ϒ (4 Salah sau pendekaan yang digunakan unuk memilih nilai awal bagi ξ adalah dengan membua ξ 0 sama dengan vekor peluang ak bersyara [ π π ] π yang memenuhi sifa ergodic, yaiu π Pπ π + π Berdasarkan persamaan (47 diperoleh f ( y ϒ P( S ϒ f ( y S, ϒ + P S ϒ ; θ f y S, ϒ ; θ ( ( ( y c φ y ( ϒ ; exp PS πσ σ ( y c φ y + PS ( ϒ exp πσ σ (4 4 Pendugaan Parameer θ Penduga kemungkinan maksimum bagi θ diperoleh dengan memaksimumkan: L ( θ log f ( y ϒ Unuk memperoleh nilai c, c, φ, φ dan σ yang memaksimumkan fungsi log-likelihood L θ harus sama maka urunan perama dari dengan nol dan urunan kedua dari L ( θ kurang dari nol (liha lampiran

19 0 Unuk memperoleh nilai c dan c, berdasarkan persamaan (4 diperoleh f y ϒ ; θ L c ( y c φ y ( y c φ y PS ( ϒ exp πσ σ σ ( y c φ y ϒ ; θ f y S, ϒ ; θ PS ( θ c 0 f ( y ϒ 0 ( ϒ ; ( ϒ (, ϒ f ( y ϒ ; ( y c φ y f y c P S f y S σ 0 σ ( ϒ f( y S, ϒ ( y φy f ( y ϒ ; PS ( ϒ f( y S, ϒ f ( y ϒ ; PS c ( ( ϒ θ f y S, ϒ y f ( y ϒ PS ( (, ϒ θ f y S ϒ f( y ϒ PS ( φ y c (4 Dengan cara yang sama diperoleh: PS ( ( ϒ θ f y S, ϒ ( y φ y f( y ϒ c PS ϒ ; θ f y S, ϒ ; θ ( ( f( y ϒ (4 Unuk memperoleh nilai φ dan φ, berdasarkan persamaan (4 diperoleh f y ϒ ; θ L φ ( y c φ y ( y ( y c φ y PS ( ϒ exp πσ σ σ ( ϒ f( y S, ϒ ( y c φ y ( y PS ( θ φ f 0 σ f ( y ϒ 0 ( y ϒ ; φ ( ϒ (, ϒ f ( y ϒ ; ( y c φ y ( y P S f y S 0 σ PS ( ϒ f( y S, ϒ ( y c( y f y ϒ ; θ φ PS ( ϒ f( y S, ϒ ( y f ( y ϒ ; ( ( ϒ θ f y S, ϒ f( y ϒ PS ( (, ϒ θ f y S ϒ ( y f( y ϒ PS ( y c( y φ (43 Dengan cara yang sama diperoleh PS ( ( ϒ θ f y S, ϒ ( y c( y f( y ϒ φ PS ϒ ; θ f y S, ϒ ; θ y ( ( ( f( y ϒ (44

20 Unuk memperoleh nilai σ, berdasarkan persamaan (4 diperoleh f y ϒ ; θ σ ( y c φy ( y c φy PS ( ϒ exp 3 σ π σ ( y c φy + PS ( ϒ exp σ π σ 4 σ ( y c φy ( y c φy PS ( ϒ exp σ π σ L + 4 σ σ ( ϒ ; (, ϒ ; P S f y S ( y c φ y + 4 σ σ ( ϒ ; (, ϒ ; P S f y S σ ( θ 0 ( y c φ y σ σ σ f ( y ϒ 0 f ( y ϒ σ PS ( ϒ f ( y S, ϒ f ( y ϒ ; σ ( σ ( y cs φ S y + 0 PS ( ϒ f( y S, ϒ f( y ϒ ; ( ϒ ; (, ϒ ; ( φ S PS f y S y c y S ( ϒ ; f y ( ( ( ϒ ; θ, ϒ ; θ S φ S PS f y S y c y ( ; σ fyϒ θ ( ( ϒ θ, fy ( ϒ PS f y S ϒ θ (45 43 Reesimasi Parameer Menggunakan Algorima EM Karena persamaan (4 sampai (45 merupakan persamaan ak-linear, maka unuk mempermudah mencari solusi bagi θ digunakan algorima EM Langkahlangkahnya sebagai beriku: Langkah : enukan banyaknya daa ( yang akan digunakan unuk perhiungan, enukan uga nilai ( y0, y, y,, y dan mariks ransisi p p P 0 p p Beri nilai awal bagi θ yang dilambangkan θ c, c, φ, φ, σ dengan 0 ( Langkah : Cari fungsi kerapaan bersyara bagi y unuk seiap,,, dengan cara f ( y S, ϒ η f ( y S, ϒ ( y c φy exp πσ σ ( y c φy exp πσ σ Langkah 3: Penarikan kesimpulan opimal dan peralaman unuk seiap waku pada conoh dapa diperoleh melalui ierasi: 3 enukan nilai awal bagi ξ yang dilambangkan dengan ξ 0 3 Berikan nilai awal i 33 Unuk i, cari nilai dari

21 ( ϒ ; f y ( η ξ ( y c φ y PS ( ϒ exp πσ σ ( y c φy + PS ( ϒ exp πσ σ P{ S ( ϒ ; θ k ξ η ξ P{ S ( ϒ θ k ξ η { ϒ θk { ϒ θk P S ξ + P ξ P S 34 Se i i+, ulang langkah (33 sampai i Langkah4: Cari nilai dari: ξ ( + f y S ei, ϒ ( y φ S y f ( y ϒ c S ξ f y S e, ϒ ; θ φ S σ + ( i f ( y ϒ ξ ϒ θ ( + f y S ei, f ( y ϒ ( y cs ( y ξ ( + f y S ei, ϒ ( y f ( y ϒ ξ ( ( + f y S, ϒ θ y cs φ S y f ( y ϒ ξ (, + f y S ϒ f ( y ϒ Langkah 5: Beri nama parameer yang dihasilkan pada langkah 4 dengan θ ( k + c, c, φ, φ, σ, k 0,,,, V PEMODELAN NILAI UKAR RUPIAH ERHADAP US DOLLAR Langkah 6: Cari P yang baru, yaiu: ξ ξ P' ξ ( ξ { (, ϒ; P( S i ϒ; + + p i P S S i (, ϒΤ PS ( ϒΤ PS ( - is, ϒ PS ( ϒΤ PS ( - is, ϒ PS ( ϒΤ PS ( - is, ϒ PS ( ϒ PS ( ϒΤ PS ( - i ϒ PS ( is - i PS ( ϒ PS S i ξ ( i ξ pi ξ N ( ϒ ; (, ϒ P S i P S S i Τ p ( i ξ ξ pi ξ i N ( i ξ ξ pi ξ [buki liha Hamilon, 990] Langkah 7: Selama k <, ulangi mulai dari langkah Gunakan parameer yang sudah dihasilkan unuk mencari nilai harapan bagi nilai ukar rupiah yang akan daang EY [ S, ϒ; θ] c φy Pada bab ini dibahas pemodelan nilai ukar Rupiah erhadap US Dollar erlebih dahulu dielaskan mengenai daa inpu yang digunakan sebagai daa observasi pada model Kemudian dilanukan dengan pemodelan masalah sera aplikasi unuk kasus banyaknya penyebab keadian N

22 3 5 Daa Inpu Nilai ukar Rupiah Dalam karya ilmiah ini, daa inpu yang digunakan merupakan daa nilai ukar Rupiah erhadap US Dollar per bulan yang diambil dari wwwbankofcanadaca Daa berkisar anara bulan Februari ahun 998 hingga bulan Februari ahun 007 Arinya ada sebanyak 08 daa observasi ( y yang digunakan dalam kasus perubahan nilai ukar Rupiah ersebu Grafik daa dapa diliha pada Gambar Pada Gambar, erliha daa di awal meningka cukup inggi hingga mencapai puncak pada bulan Juli ahun 998 Kemudian pada bulan berikunya, daa menurun secara perlahan Posisi erendah dicapai pada bulan Juli ahun 999 Kemudian daa mulai mengalami flukuasi anara 6700 hingga 300 rupiah per US Dollar pada bulanbulan berikunya Nilai Rupiah per US Dollar Waku per Bulan (Feb Feb 007 Gambar Grafik Perubahan Nilai ukar Rupiah erhadap US DOllar per Bulan Sumber: wwwbankofcanadaca [ ] 5 Pemodelan Kasus Nilai ukar Rupiah Unuk Banyaknya Penyebab Keadian N Nilai ukar Rupiah dapa berubah seiap waku Banyak hal yang dapa menyebabkan perubahan ersebu, misalnya siuasi keamanan yang kurang baik, perganian sisem pemerinahan dan sebagainya Penyebab-penyebab ersebu dapa membenuk pola erenu Misalnya, ika pada waku sebelumnya eradi kerusuhan sebagai akiba dari perganian sisem pemerinahan yang merugikan masyaraka maka biasanya akan diikui dengan mosi idak percaya dari invesor asing yang ingin menginvesasikan Dollar di Indonesia sehingga eradi kenaikan nilai ukar Rupiah erhadap Dollar Keadian ini bisa berulang namun idak dapa dipasikan kurun wakunya Akibanya besar kemungkinan di waku mendaang akan eradi keadian yang sama, ika eradi perubahan sisem pemerinahan yang memiliki nilai peluang idak auh berbeda dengan nilai peluangnya saa iu Hal ini menunukkan bahwa penyebab keadian nilai ukar bersifa homogen Jadi karena penyebab keadian nilai ukar Rupiah membenuk ranai Markov yang homogen dan diasumsikan idak diamai secara langsung, maka nilai ukar Rupiah erhadap US Dollar dapa dimodelkan dengan model dere waku Hidden Markov Proses observasi { Y, yang digunakan pada model adalah nilai ukar Rupiah erhadap US Dollar per bulan dan skalar Banyaknya daa adalah 08, sedangkan penyebab keadian yang idak diamai secara langsung { S, pada model adalah penyebab eradinya perubahan nilai ukar ersebu 5 Model Ellio Model Hidden Markov yang digunakan adalah Yk+ c( Xk + σ ( Xk Ω k+ di mana: Ωk + N ( 0, bebas sokasik idenik

23 4 { Y k proses yang diamai dan bernilai skalar c ( c, c, σ ( σ, σ dengan c( X c dan σ σ k k X k k A a a a a merupakan mariks peluang ransisi [Liha Noviyani, 006] Unuk kasus banyaknya penyebab keadian N, nilai harapan model Ellio mendekai nilai sebenarnya hanya pada beberapa nilai Seperi pada bulan ke-, nilai dugaan model Ellio mendekai nilai sebenarnya Namun idak dapa menghampiri secara keseluruhan Gambar, menunukkan nilai dugaan yang dihasilkan dari model Ellio dengan nilai sebenarnya Hasil pendugaan model, kurang begiu baik Banyak nilai dugaan yang auh dari nilai sebenarnya Nilai Rupiah per US Dollar Waku per Bulan (Feb Des 006 Nilai dugaan Nilai sebenarnya Gambar Grafik nilai ukar Rupiah erhadap US Dollar menggunakan model Ellio 5 Model Hamilon Model yang digunakan dalam karya ilmiah ini adalah model Hidden Markov Hamilon, yaiu: Y c φ Y S + S +E Algorima yang digunakan unuk memproses daa ersebu adalah sebagai beriku: Cari parameer yang memaksimumkan peluang dengan menggunakan Algorima EM Langkah-langkahnya seperi pada Bab IV sehingga menghasilkan rumus unuk mencari parameer seperi pada persamaan (43 sampai (47 Dengan rumus ersebu, enukan nilai-nilai parameer baru θ Gunakan parameer yang dihasilkan unuk mencari nilai dugaan y berikunya 3 enukan nilai peluang bersyara unmuk penyebab keadian S e i ika dikeahui daa proses observasi hingga waku ke- ( ϒ dengan rumus P y, S e ϒ ; θ ( e ϒ ; P S i ( i f ( y ϒ ;

24 5 ( ξ η ( ξ η ξ Unuk kasus banyaknya penyebab keadian N, erdapa dua nilai c yang menyaakan sae Dalam karya ilmiah ini, digunakan nilai 0000 c awal yaiu c 0 yang menyaakan 8000 bahwa nilai c saa e adalah 0000 dan nilai c saa e adalah 8000 Dan nilai φ awal yang /3 digunakan yaiu φ0 yang 3/4 menyaakan nilai φ saa e adalah /3 dan nilai φ saa e adalah 3/4 Sedangkan nilai raaan awal yang digunakan adalah σ 000 Dengan menggunakan algorima seperi pada pembahasan 5, didapakan nilai akhir dari parameer yangmemaksimumkan peluang adalah c 4435, φ 08435,dan σ 607 Nilai dugaan unuk ke-08 adalah , hampir mendekai nilai sebenarnya yaiu 9073 Nilai gala maksimum adalah dan nilai gala minimum adalah Nilai dugaan model Hamilon mendekai nilai sebenarnya Hasil pendugaan model, dapa diliha pada Gambar 3 Dari gambar, erliha bahwa model Hamilon menduga nilai Rupiah erhadap US Dollar lebih baik daripada model Ellio Nilai Rupiah per US Dollar Waku per Bulan (Feb Feb 007 Nilai dugaan Nilai sebenarnya Gambar 3 Grafik nilai ukar Rupiah erhadap US Dollar menggunakan model Hamilon

25 6 SIMPULAN Model Hidden Markov dapa memodelkan masalah perubahan nilai ukar Rupiah erhadap US Dollar Dalam karya ilmiah ini, digunakan model dere waku hidden Markov Hamilon unuk menduga nilai Rupiah bulan depan Daa yang digunakan dalam karya ilmiah ini berupa raa-raa dari nilai ukar Rupiah erhadap US Dollar per bulan dalam kurun waku Februari 998 hingga Februari 007 Daa digunakan unuk mencari parameer yang akan memaksimumkan peluang Dengan program kompuasi yang dibua menggunakan sofware Mahemaica 5 for Suden Parameer yang dihasilkan, digunakan unuk mencari nilai harapan dari nilai ukar Rupiah yang akan daang Hal ini bisa membanu dalam pengambilan kepuusan ekonomi yang akan daang Dari hasil yang diperoleh secara keseluruhan, dapa dikeahui bahwa semakin banyak daa yang digunakan unuk mencari parameer, maka keakuraan yang diperoleh akan semakin inggi Model dere waku Hidden Markov Hamilon dapa memodelkan dengan cukup baik perubahan nilai ukar rupiah erhadap US Dollar Hal ini erliha dari nilai dugaan model yang mendekai nilai sebenarnya DAFAR PUSAKA Grimme, G R dan D R Sirzaker 99 Probabiliy and Random Processes Ed ke- Clarendon Press Oxford Hamilon, J D 990 Analysis of ime Series Subec o Changes in Regime Journal of Economerics 45:39-70 Hamilon, J D 994 ime Series Analysis Princenon Universiy Press, New Jersey Hogg, R V dan A Craig 995 Inroducion o Mahemaical Saisics Ed ke-5 Prenice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey Ross, S M 996 Sochasic Process Ed ke- John Wiley & Sons New York Osborne, M J 997 Concave and convex funcion of many variables wwweconomicsaboucom/convexhm [ ] Sari, N D 006 Pemodelan Nilai ukar Rupiah erhadap US Dollar Menggunakan Model Hidden Markov Skripsi Sarana Sains Deparemen Maemaika Fakulas MIPA IPB Weissein, E W 999 Jensen s Inequaliy wwwmahworldwolframcom/jensensineq ualiyhml [ ] Wong E dan B Haek 985 Sochasic Processes in Engineering Sysems Springer-Verlag New York Royden, H L 963 Real Analysis he Macmilan Company New York

26 LAMPIRAN

27 Mencari urunan kedua dari L ( θ erhadap c dan c L( f ( y ϒ c c ( ϒ f y c f ( y ϒ ; c c f ( y ϒ ; { f ( y ϒ f y ϒ ; θ f y ϒ ; θ f ( y ϒ ; f ( y ϒ ; c c c c f ( y ϒ P ( y c φy S ϒ θ f y S, ϒ θ f ( y ϒ c σ c { f ( y ϒ ( y φ f ( y P( S f ( y S P S f y S σ σ σ c y c y ϒ θ ϒ θ, ϒ θ ϒ 4 θ, ϒ θ { f ( y ϒ ( y φ { f ( y ϒ ( y φ c y c y P( S ϒ (, ϒ ( ϒ f y S f y P S ϒ 4 θ f y S, ϒ θ 4 σ σ σ y φ y P( S ϒ f ( y S, ϒ f y ϒ φ φ c y y c y θ f y ϒ 4 θ P S ϒ θ f y S, ϒ θ 4 σ σ σ { f ( y ϒ

28 ( ϒ ; (, ϒ ; ( ϒ ; ( ( ( y φ ( ( ( ( { f ( y ϒ ( y φ c y c y 4 4 P S ϒ θ f y S, ϒ θ σ P S ϒ θ f y S, ϒ θ σ f y ϒ θ σ PS f y S f y y c φy y c φy ϒ θ, ϒ θ ( ϒ θ 4 4 PS ( ϒ f ( y S, ϒ σ f ( y ϒ σ PS ( ϒ f ( y S, ϒ σ PS f y S f y ( y c φy ( ϒ ; (, ϒ ; ( ϒ ; PS f y S f y { f ( y ϒ ( ϒ (, f ( y PS ( f ( y S, { f ( y ϒ 4 σ PS f y S ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ σ Akan diunukkan: ( y c φy PS ( ϒ f ( y S, ϒ f ( y ϒ 4 σ PS f y S f y PS ϒ θ f y S ϒ θ σ < 0 ( ϒ (, ϒ ( ϒ ( (, { f ( y ϒ Gunakan nilai iik kriis yang sudah didapa (liha lampiran 3 Dengan menggunakan Maemaica 5, didapakan hasil ( y c φ y PS ( ϒ f( y S, ϒ f( y ϒ 4 σ PS ( ϒ f( y S, ϒ f( y ϒ PS ( ϒ f( y S, ϒ σ ` 0 f y ϒ ; θ { ( 880 maka L c ( θ < 0

29 Dengan cara yang sama diperoleh L( c ( y c φy PS ( ϒ ; f( y S, ϒ ; f( y ϒ ; maka 4 σ PS f y S f y PS ϒ θ f y S ϒ θ σ ` 0 L c ( θ < 0 Mencari urunan kedua dari L ( θ erhadap φ dan φ L( θ f ( y ϒ φ φ f ( y ϒ φ f ( y ϒ ; φ φ f ( y ϒ ; { f ( y ϒ ( ϒ (, ϒ ( ϒ ( (, { f ( y ϒ f y ϒ ; θ f y ϒ ; θ f ( y ϒ ; f ( y ϒ ; φ φ φ φ f ( y ϒ P ( y c φy y S ϒ θ f y S, ϒ θ f ( y ϒ φ σ φ { f ( y ϒ -4

30 ( ϒ ; (, ϒ ; ( ϒ ; ( φ { f ( y ϒ ( φ y y c y y y y c y f ( y ϒ P( S ϒ f ( y S, ϒ P 4 ( S ϒ f ( y S, ϒ σ σ σ PS f y S f y y y c φy y y y c φy PS 4 ( ϒ f ( y S, ϒ 4 σ σ σ ( c φ { f ( y ϒ PS f ( y S f ( y f y PS σ σ y y y y y y c φy ϒ θ, ϒ θ ϒ θ 4 ( ϒ ( ϒ f ( y S, ϒ 4 ( ϒ ; (, ϒ ; ( ϒ ; { f ( y ϒ ( c φ y ( (, ( (, { f ( y ϒ y y y y y c φy 4 4 PS ϒ θ f y S ϒ θ σ PS ϒ θ f y S ϒ θ σ f ( y ϒ σ PS f y S f y ( ϒ ; (, ϒ ; ( ϒ ; ( φ { f ( y ϒ θ σ ( φ y y c y y y c y y 4 4 PS ϒ θ f y S, ϒ θ σ f y ϒ θ σ PS ϒ θ f y S, ϒ θ σ PS f y S f y ( c φ y y y y PS ( ϒ f( y S, ϒ f( y ϒ 4 σ PS f y S f y PS ϒ θ f y S ϒ θ σ maka L φ ( θ < 0 ( ϒ (, ϒ ( ϒ ( (, { f ( y ϒ 884

31 Dengan cara yang sama diperoleh L( φ ( c φ σ PS f y S f y PS f y S σ ` 0 y y y y 4 PS ( ϒ ; f( y S, ϒ ; f( y ϒ ; ( ϒ (, ϒ ( ϒ ( ϒ (, ϒ { f ( y ϒ -4 maka L φ ( θ < 0 Mencari urunan kedua dari L ( θ erhadap ( y ; σ L θ f ϒ θ σ f ( y ϒ σ σ f ( y ϒ σ σ f ( y ϒ f y ϒ θ f ( y ϒ f ( y ϒ f y ϒ θ σ σ σ σ ( ( { f ( y ϒ y c φ y f ( y ϒ θ P ( S ϒ f ( y S, ϒ f 4 ( y ϒ f ( y ϒ σ + σ σ σ σ { f ( y ϒ ( y c φ y f ( y ϒ ; P( S ϒ ; f ( y S, ϒ ; + σ σ σ 4 { f ( y ϒ f ( y ϒ σ

32 ( ϒ ; { f ( y ϒ y c φy y c φy y c φ y f ( y ϒ P( S ϒ f ( y S, ϒ + P ( S ϒ f ( y S, ϒ + 4 4σ σ 4σ σ σ PS f { f ( y ϒ y c φy y c φy y c φ y y S, ϒ θ f y ϒ θ + P ( S ϒ f ( y S, ϒ σ σ 4σ 4σ 4σ ( ϒ ; (, ϒ ; ( ϒ ; P( S ϒ ; f ( y S, ϒ ; f ( y ϒ ; { f ( y ϒ y φ φ φ c y y c y y c y P( S ϒ f ( y S, ϒ 4σ σ 4σ f ( y ϒ 4σ 4σ P S f y S f y { f ( y ϒ y φ φ φ c y y c y y c y P( S ϒ f ( y S, ϒ 4σ 4σ σ σ f ( y ϒ 4σ 4σ { f ( y ϒ y c φy y c φy y c φy PS ( ϒ f ( y S, ϒ f ( y ϒ PS ( ϒ f ( y S, ϒ 4σ 4σ σ σ f ( y ϒ 4σ 4σ 5640` 0 maka L ( θ ( σ < 0-36

33 3 Lampiran abel nilai ukar Rupiah erhadap US Dollar Nilai Model Ellio Model Hamilon Rupiah Nilai Dugaan Gala Nilai Dugaan Gala 9649,9 9649,9 0,00 948,94 400,98 836, ,8 63, , 556, , , 667, ,94 357, ,5 0486,53 3,6 370,66 38, ,88 658,47 568,4 50,0 976,87 6,4 033,39 988,75 598,80 376, ,69 836, 686,53 374,04 4, , ,3 4,4 0478,7 834, ,8 73,86 388,05 888,9 438, , ,8 868,93 807,95 348, ,93 766,4 48, ,4 44,5 8750,35 834,37 45, ,47 8, ,0 0668,69 757, ,8 7, , ,85 6,5 8696,9 94, ,89 55,04 457,5 8697,7 753, ,07 85,6 888,55 89,6 87, ,7 0737,6 3977, ,00 946, , 7338,97 9,5 743,78 44, ,95 344, , ,3 47, ,0 765,7 6,70 846,4 97, , ,6 560,53 775,96 738,3 738, ,43 358, ,39 336, ,65 746,68 86, ,56 7, ,0 7, , ,04 7, ,7 7397,9 7, ,03 8, , ,74 987, ,04 90, ,9 7850,40 487,90 80,08 36, ,60 490, ,8 8469,39 36, 9 963, ,94 407, ,88 507, , ,69 57, ,86 8, , ,85 045, ,55 05, ,38 436, ,40 878,3 0, ,54 856,04 79, ,4 394, ,49 944,0 3, ,36 40, , ,4 9, ,68 78, ,75 7, ,30 943,46,9 37 0, ,75 366,0 9573,64 638,3 38,66 030,76 90,9 0043,93 077, , ,67 387,3 33,76 39, ,5 739,6 439,09,04 89, , ,76 793, 0960,80 09, , ,87 55,0 854,66 435, , ,4 76, ,30 336, ,0 498,9 48,8 9404,40 675, ,80 90,48 437,3 9933,08 64, ,0 0305,63 3, ,3 6, ,68 997,3 470,38 058,4 39, ,38 43,8 009,90 04,88 8, , ,75 78,6 0060,00 45, , ,83 887,4 9774,39 77, ,8 56,7 386,44 944,87 3, , ,59 3,80 933,08 4, ,69 909,7 393,48 870,5 66, ,6 8060,89 855, ,98,64

34 , ,40, ,9 8, ,5 0589,34 455,09 899,70 4, ,4 8346, 75,3 9068,60 7, ,3 765,55 384,4 8970,96 47, ,88 803,8 785, ,84 69, , ,49 0,05 899,85 4, ,60 08,00 93, ,48 85, 6 880,36 4,38 334,0 884,33, , ,8 668, 8856,00 430, ,6 86,65 359, ,78 35, ,33 796,76 47,57 888,68 55, ,7 499, ,7 895,50 54, , 8457,9 50, ,80 5, , ,44 0,0 8608,99 7, ,03 954,48 65, ,95 9, ,3 9885,55 397,4 84,08 77, ,33 473, ,5 859,5 0, ,0 8843,86 408, ,93 73, ,6 858,67, ,65 85, ,9 99,73 593,44 856,06 0, , 9706,94 699, ,06 98, ,75 58,65 3,90 903,64 363, ,9 863,3 396,60 95,83 3, ,40 94,,9 9007,04 37, , ,3 65,55 99,68 48, ,73 344,64 34,9 975,9 74, ,07 83,88 697,9 909,3 0, ,05 99,89 6,6 8995,79 30, ,4 0396,5 93,8 94,3, ,9 0778,69 53,78 995,37 59, ,43 80,0 76,4 96,88 6, ,58 738,4 384,83 933,69, , ,90 33,64 949,36 0, ,49 634,76 999,7 945,0 0, ,8 7995,07 86, 9555,59 65, ,85 650,7 640,3 973,90 95, ,43 03,6 09,8 993,8 37, ,66,8 30,5 0084,30, , ,4 07, ,38 5, ,64 988,8 6, ,09 40, ,68 Gala Max 4745,69 975,75 88, ,3 Gala Min 0,00 945,3 57, ,06 Raaan Gala 509,9 989,5 3, , ,77 5, ,6 8963,6 48, ,4 9036,0 34,3 0 99,04 963,53 34, , ,8 8, ,97 909,64 43, ,84 95,76 30, ,8 93,96 0, , ,63 0, ,56 906,5 8, , 9088,98 5,87 Gala Max 38,49 Gala Min,64 Raaan Gala 8,75

35 Lampiran 3 Program unuk mencari parameer menggunakan Maemaica 5 5

36 6

37 7

38 8

39 9

40 30