OPTIMALISASI ALOKASI ASET DI DALAM KONTRAK ANUITAS VARIABEL PUTRA SETIAWAN G

Transkripsi

1 OPTIMALISASI ALOKASI ASET DI DALAM KONTRAK ANUITAS VARIABEL PUTRA SETIAWAN G54356 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 8

2 ii ABSTRACT PUTRA SETIAWAN. Opimal Asse Allocaion in a Variable Annuiy Conrac. Supervised by SISWADI and DONNY CITRA LESMANA. Variable annuiy conrac is a gahering plan of long range asse where enire advanages free from ax before he end of asse gahering phase. In variable annuiy conrac, reiremen is a period when he asse gahering phase ended. A he ime of reiremen, all gahering asse in variable annuiy accoun can be alered ino he form of annuiy. Asse invesmen accoun in variable annuiy is divided ino risk-free asse sub-accoun and risky asse sub-accoun. A he ime of reiremen, asse invesmen in risk-free asse sub-accoun will be alered ino he fixed immediae annuiy form and asse invesmen in risky asse subaccoun will be alered ino he variable immediae annuiy form. In his paper, a decision sraegy was employed o derive he opimal asse allocaion in a variable annuiy conrac o obain he maximal resul a reiremen.

3 iii ABSTRAK PUTRA SETIAWAN. Opimalisasi Alokasi Ase di dalam Konrak Anuias Variabel. Dibimbing oleh SISWADI dan DONNY CITRA LESMANA. Konrak anuias variabel adalah suau rencana pengumpulan ase jangka panjang di mana seluruh keunungan yang didapa idak dikenai pajak sebelum ahap pengumpulan ase berakhir. Di dalam konrak anuias variabel, reiremen adalah masa keika ahap pengumpulan ase berakhir. Pada saa reiremen, seluruh ase yang erkumpul di dalam rekening anuias variabel dapa diubah ke dalam benuk anuias. Invesasi ase di dalam rekening anuias variabel dipisah menjadi dua sub-rekening, yaiu subrekening ase bebas risiko dan sub-rekening ase berisiko. Pada saa reiremen, invesasi ase di dalam sub-rekening bebas risiko akan diubah ke dalam benuk anuias eap segera dan invesasi ase di dalam sub-rekening berisiko akan diubah ke dalam benuk anuias variabel segera. Dalam karya ilmiah ini dimodelkan suau sraegi kepuusan dalam mengopimalkan alokasi ase di dalam konrak anuias variabel sehingga diperoleh hasil yang maksimal saa reiremen.

4 iv OPTIMALISASI ALOKASI ASET DI DALAM KONTRAK ANUITAS VARIABEL Skripsi Sebagai salah sau syara unuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Fakulas Maemaika dan Ilmu Pengeahuan Alam Insiu Peranian Bogor Oleh: PUTRA SETIAWAN G54356 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 8

5 v Judul Nama NIM : Opimalisasi Alokasi Ase di dalam Rekening Anuias Variabel : Pura Seiawan : G54356 Menyeujui: Pembimbing I, Pembimbing II, Dr. Ir. Siswadi, M.Sc. NIP Donny Cira Lesmana, S.Si., M.Fin.Mah. NIP Mengeahui: Dekan Fakulas Maemaika dan Ilmu Pengeahuan Alam Insiu Peranian Bogor Dr. Drh. Hasim, DEA. NIP Tanggal Lulus:

6 vi RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Jakara pada anggal 5 Okober 984 sebagai anak perama dari iga bersaudara dari pasangan Bapak Sarmin dan Ibu Sularsi. Pendidikan formal yang diempuh penulis yaiu di SDN Pagi Srengseng Sawah Jakara pada ahun , SLTPN 98 Jakara pada ahun 997 dan SMUN 38 Jakara pada ahun 3. Seelah ama SMU ahun 3, penulis dierima di Insiu Peranian Bogor (IPB melalui jalur Seleksi Penerimaan Mahasiswa Baru (SPMB dan erdafar sebagai mahasiswa Deparemen Maemaika, Fakulas Maemaika dan Ilmu Pengeahuan Alam.

7 vii KATA PENGANTAR Puji dan syukur penulis haurkan ke hadira Allah SWT aas rahma dan karunia-nya sehingga penulis dapa menyelesaikan karya ilmiah ini. Shalawa sera salam semoga senaniasa ercurah kepada Nabi Muhammad SAW besera keluarganya, sahabanya sera segenap umanya. Selama penyelesaian karya ilmiah ini, penulis banyak memperoleh banuan, dukungan sera sumbang saran dari berbagai pihak. Oleh karena iu, dalam kesempaan ini penulis ingin menyampaikan rasa horma sera mengucapkan erima kasih kepada:. Bapak Dr. Ir. Siswadi, M.Sc. dan Bapak Donny Cira Lesmana, S.Si., M.Fin.Mah. selaku dosen pembimbing yang elah meluangkan waku unuk memberikan bimbingan, pengarahan, semanga, dan saran sehingga penulis dapa menyelesaikan karya ilmiah ini.. Ibu Ir. Reno Budiari, M.S. selaku dosen penguji yang elah memberikan saran dan masukannya. 3. Bapak, Ibu dan kedua adikku (Dwi dan Sari yang selalu memberikan doa, semanga dan dorongan. 4. Seluruh dosen Deparemen Maemaika aas ilmu yang elah diberikan kepada penulis. 5. Seluruh pegawai Deparemen Maemaika aas banuan yang elah diberikan. 6. Lili Mah 4, Mora Mah 4 dan Dony Mah 43 yang elah bersedia menjadi pembahas dalam seminar penulis. 7. Teman-eman Maemaika 4: Abay, Dian, Sepi, Rama, dan Rusli aas saran dan masukan yang diberikan, Mano (eap semanga, Aam, Mayang, Mia, Mufi, Kafi, Elis, Icha, Mika, Yuda, Azis, Prima, Ari, Nchi, Srii, Vina, Uli, Abdillah, Komeng, Jayu, Rusli, Sawa, Beri, Marlin, Dwi, Indah, Anon, Dimas, Walidah, Ali, Meha, Ulfa, Achie, Herni, Ami, Gaha, Febri, Ucup, Nisa, Ifni, Demi. 8. Semua mahasiswa/i maemaika aas dukungannya. 9. Teman-eman Asrama Banen (Sepian, Didik, Oim aas doa, semanga dan banuannya, Villa Cempaka (Kiki, Yossi dan Sina aas semanga dan dukungannya, Babakan Lebak (Chiko, John, Suar, Erwin, Ami, Samsu, Inu, Heru, Leneng Agung (Arko, Ano dan Anon aas doa dan semanga yang elah diberikan.. Semua pihak yang elah membanu dalam penyelesaian karya ilmiah ini yang penulis idak dapa sebukan sau persau. Penulis berharap karya ilmiah ini dapa bermanfaa bagi pihak yang membaca. Terima kasih. Bogor, Mei 8 Pura Seiawan

8 viii DAFTAR ISI Halaman DAFTAR ISI... viii DAFTAR TABEL... ix DAFTAR GAMBAR... ix DAFTAR LAMPIRAN... ix I II PENDAHULUAN. Laar Belakang.... Tujuan Penulisan....3 Sisemaika Penulisan... LANDASAN TEORI. Ruang Conoh, Kejadian dan Peluang.... Peubah Acak dan Fungsi Massa Peluang....3 Fungsi Sebaran, Sebaran Eksponen dan Sebaran Normal....4 Nilai Harapan dan Fungsi Pembangki Momen Proses Sokasik dan Gerak Brown -Dimensi Persamaan Diferensial Sokasik -Dimensi dan Proses Io -Dimensi Sebaran Kehidupan, Nilai Harapan Sisa Hidup dan Percepaan Kemaian Fungsi Kepuasan dan Consan Relaive Risk Aversion (CRRA Ase Anuias Volailias, Dividen, Bunga dan Diskon Beberapa Teorema yang Digunakan... 5 III MODEL OPTIMALISASI ALOKASI ASET 3. Alokasi Ase Sebelum Reiremen Pendapaan dari Anuias Saa Reiremen Anuias Teap Segera (ATS Anuias Variabel Segera (AVS Alokasi Ase Saa Reiremen Alokasi Opimal Keika Sisa Hidup Menyebar Secara Eksponen... IV CONTOH PENERAPAN 4. Conoh Penerapan Sebelum Reiremen Conoh Penerapan Saa Reiremen... 3 V SIMPULAN DAN SARAN... 5 DAFTAR PUSTAKA... 5 LAMPIRAN... 6

9 ix DAFTAR TABEL Halaman. Pengaruh koefisien CRRA γ erhadap α.... Pengaruh volailias σ erhadap α Pengaruh ingka imbal hasil yang diharapkan μ erhadap α Pengaruh ingka imbal hasil konsan r erhadap α Pendapaan dari ATS dan AVS pada ahun ke DAFTAR GAMBAR Halaman. Pengaruh γ erhadap α dan ( α.... Pengaruh σ erhadap α dan ( α Pengaruh μ erhadap α dan ( α Pengaruh r erhadap α dan ( α Pendapaan dari ATS dan AVS pada ahun ke DAFTAR LAMPIRAN Halaman. Opimalisasi proporsi ase berisiko α sebelum reiremen Penurunan Persamaan (6 menjadi Persamaan ( Penurunan Persamaan (3 melalui Persamaan ( Penurunan Persamaan (7 menjadi Persamaan ( Penurunan Persamaan (8 menjadi Persamaan ( Penurunan Persamaaan (9 menjadi Persamaan ( Penurunan Persamaaan (9 menjadi Persamaan ( Program unuk menampilkan Gambar,, 3, 4, dan Program unuk membangkikan nilai B... 3

10 I PENDAHULUAN. Laar Belakang Seiap orang mendambakan berheni bekerja di suau masa dalam siklus kehidupannya dan menikmai masa uanya dengan enram. Terjaminnya kesejaheraan di masa ua akan mencipakan keenangan dalam bekerja. Unuk menjamin kesejaheraan di masa uanya iu, diperlukan suau rencana pengalokasian ase-ase yang ada agar bisa dimanfaakan dan dinikmai di masa ua. Unuk mendapakan semua iu, anuias adalah salah sau pilihan yang akan membanu menyusun suau perencanaan jangka panjang aas dana sera ase-ase nasabah. Anuias pada dasarnya sama dengan produk asuransi, yaiu memberikan perlindungan erhadap kehilangan penghasilan, eapi berbeda dari fungsi uamanya. Asuransi jiwa memberikan perlindungan aas kemungkinan seseorang kehilangan penghasilan karena meninggal erlalu cepa, sedangkan anuias memberikan perlindungan aas kemungkinan seseorang membuuhkan penghasilan karena hidup erlalu lama. Anuias dapa menjadi alernaif pilihan yang berguna unuk melindungi kehilangan pendapaan selama menjalani masa ua. Di Amerika Serika konrak anuias variabel adalah suau rencana pengumpulan ase jangka panjang di mana seluruh keunungan yang didapa idak dikenai pajak sebelum ahap pengumpulan ase berakhir. Di dalam konrak anuias variabel, reiremen adalah masa keika ahap pengumpulan ase berakhir. Pada saa reiremen, ahap pengumpulan ase dalam konrak anuias variabel berakhir dan kemudian ahap penerimaan pendapaan dimulai. Pada ahap penerimaan pendapaan, individu dapa menenukan dua pilihan yaiu: (i Dapa melakukan penarikan seluruh ase yang ada di dalam rekening dengan risiko pajak yang besar, aau (ii Seluruh dari ase yang ada di dalam rekening dapa diubah ke dalam benuk anuias.. Tujuan Penulisan Tujuan penulisan karya ilmiah ini ialah mengopimalkan pilihan alokasi ase di dalam rekening anuias variabel. Alokasi ase di dalam rekening anuias variabel erpisah menjadi dua sub-rekening, yaiu sub-rekening ase bebas risiko dan sub-rekening ase berisiko. Secara eoriis akan dibahas pengambilan kepuusan dalam mengalokasikan ase ke dalam rekening anuias variabel agar diperoleh hasil yang opimal pada saa reiremen..3 Sisemaika Penulisan Penulisan karya ilmiah ini erdiri aas pendahuluan pada Bab I yang melipui laar belakang, ujuan, sera sisemaika penulisan. Pada Bab II berisi landasan eori yang menunjang karya ilmiah ini. Bab III berisi model opimalisasi alokasi ase. Bab IV berisi suau conoh penerapan. Bab V berisi simpulan dan saran. Pada Bab VI berisi dafar pusaka penunjang karya ilmiah ini. II LANDASAN TEORI. Ruang Conoh, Kejadian dan Peluang Definisi. Percobaan Acak (random rial Dalam suau percobaan seringkali dilakukan pengulangan yang dilakukan dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul dapa dikeahui, eapi hasil pada percobaan berikunya idak dapa diduga dengan epa. Percobaan yang semacam ini disebu percobaan acak. (Hogg, McKean and Craig 5 Definisi. Ruang Conoh (sample space Himpunan dari semua kemungkinan hasil dari suau percobaan acak disebu ruang conoh, dinoasikan dengan Ω. (Grimme and Sirzaker Definisi 3. Kejadian (even Suau kejadian A adalah himpunan bagian dari ruang conoh Ω. (Grimme and Sirzaker

11 Definisi 4. Medan-σ (σ -field Medan-σ adalah suau himpunan F yang anggoanya erdiri aas himpunan bagian ruang conoh Ω, yang memenuhi kondisi beriku :. F,. Jika A, A,... F maka Ai F, i c 3. Jika A F maka A F. (Grimme and Sirzaker Definisi 5. Ukuran Peluang (probabiliy measure Misalkan F adalah medan-σ dari ruang conoh Ω. Ukuran peluang adalah suau fungsi P : F [, ] pada ( Ω, F yang memenuhi:. P ( dan P ( Ω.. Jika A, A,... F adalah himpunan yang saling lepas yaiu Ai Aj unuk seiap pasangan i j, maka P Ai P( Ai. i i (Grimme and Sirzaker. Peubah Acak dan Fungsi Massa Peluang Definisi 6. Peubah Acak (random variable Misalkan F adalah medan-σ dari ruang conoh Ω. Suau peubah acak X adalah suau fungsi X : Ω R dengan sifa { ω Ω: X ( ω x} F unuk seiap x R. (Grimme and Sirzaker Definisi 7. Peubah Acak Diskre (discree random variable Peubah acak X dikaakan diskre jika nilainya hanya pada himpunan bagian yang erbilang dari R. (Grimme and Sirzaker Caaan: Suau himpunan bilangan C disebu erbilang, jika C erdiri aas bilangan erhingga aau anggoa C dapa dipadankan - dengan bilangan bula posiif. Definisi 8. Fungsi Massa Peluang (probabiliy mass funcion Fungsi massa peluang dari peubah acak diskre X adalah fungsi p: R [, ] yang diberikan oleh: p x P X x. X ( ( (Grimme and Sirzaker Definisi 9. Peubah Acak Koninu (coninuous random variable Peubah acak X dikaakan koninu jika ada fungsi ( X X f x sehingga fungsi sebaran ( P( F x X x dapa dinyaakan sebagai: X x ( ( F x f u du, x R f : R, adalah fungsi yang erinegralkan. Fungsi f disebu fungsi kepekaan peluang bagi X. (Grimme and Sirzaker, dengan [ ] Seiap peubah acak memiliki fungsi sebaran, sebagaimana didefinisikan beriku ini..3 Fungsi Sebaran, Sebaran Eksponen dan Sebaran Normal Definisi. Fungsi Sebaran (disribuion funcion Misalkan X adalah peubah acak dengan ruang A. Misalkan kejadian A (, x] A, maka peluang dari kejadian A adalah px( A P( X x FX ( x. Fungsi F X disebu fungsi sebaran dari peubah acak X. (Hogg, McKean and Craig 5 Definisi. Sebaran Eksponen (exponenial disribuion Suau peubah acak X dikaakan menyebar eksponen dengan parameer λ >, jika nilainya erleak pada [, dan memiliki fungsi kepekaan peluang: x f X ( x λe λ I ( x. (Hogg, McKean and Craig 5 Definisi. Sebaran Normal (normal disribuion Suau peubah acak X dikaakan menyebar normal dengan parameer μ dan σ, dinoasikan dengan N ( μ, σ, jika mempunyai fungsi kepekaan peluang: ( x μ fx ( x exp σ π σ dengan < x <. (Hogg, McKean and Craig 5 X

12 3.4 Nilai Harapan dan Fungsi Pembangki Momen Definisi 3. Nilai Harapan (expeced value. Jika X adalah peubah acak diskre dengan fungsi massa peluang px ( x, maka nilai harapan dari X, dinoasikan dengan E X, adalah: [ ] E[ X ] xp ( x, x asalkan jumlah di aas konvergen mulak.. Misalkan X adalah peubah acak koninu dengan fungsi kepekaan peluang f X ( x. Nilai harapan dari X adalah: X [ ] ( E X xf x dx, X asalkan inegral di aas konvergen mulak. (Hogg, McKean and Craig 5 Definisi 4. Fungsi Pembangki Momen (momen generaing funcion Misalkan X adalah peubah acak koninu aau diskre dan h adalah bilangan posiif sehingga unuk h< < h, nilai harapan E e ada. Jika X peubah acak koninu ( X dengan fungsi kepekaan peluang f X, fungsi pembangki momen dari X didefinisikan sebagai: X x ( X (. E e e f x d Jika X peubah acak diskre dengan fungsi massa peluang p X, fungsi pembangki momen dari X didefinisikan sebagai: X ( x E e e px ( x. x Fungsi pembangki momen dari peubah acak X dinoasikan M X (. (Grimme and Sirzaker.5 Proses Sokasik dan Gerak Brown -Dimensi Definisi 5. Proses Sokasik (sochasic process Proses sokasik X { X(, T} adalah suau himpunan dari peubah acak yang memeakan suau ruang conoh Ω ke suau ruang keadaan S. (Ross 3 Definisi 6. Ruang Keadaan (sae space Misalkan X adalah suau peubah acak yang memiliki nilai pada himpunan erbilang S, maka S dikaakan ruang keadaan. (Grimme and Sirzaker Definisi 7. Gerak Brown -Dimensi (- dimensional Brownian moion B,, dikaakan Proses sokasik ( [ sebagai gerak Brown -dimensi, apabila memiliki sifa-sifa beriku: P B.. { ( } B(. Unuk sembarang... n, peubah acak B( B(, B( B( B( n B( n saling bebas. 3. Unuk s, selisih B( B( s menyebar N(, s (Oksendal 3.6 Persamaan Diferensial Sokasik -Dimensi dan Proses Io -Dimensi Definisi 8. Persamaan Diferensial Sokasik -Dimensi (-dimensional sochasic differenial equaion Persamaan diferensial sokasik -dimensi adalah proses sokasik X ( pada ruang peluang ( Ω, F,P yang memiliki benuk: dx ( a( X (, d+ b( X (, db(, dengan B( adalah gerak Brown -dimensi pada ( Ω, F,P. (Oksendal 3 Definisi 9. Proses Io -Dimensi (- dimensional Io process Proses Io (inegral sokasik -dimensi adalah proses sokasik X ( pada ruang peluang ( Ω, F,P yang memiliki benuk: ( ( + ( (, X X a X s s ds + ( ( s db( s b X s,. dengan B ( adalah gerak Brown -dimensi pada ( Ω, F,P. (Oksendal 3

13 4.7 Sebaran Kehidupan, Nilai Harapan Sisa Hidup dan Percepaan Kemaian Definisi. Sebaran Kehidupan (lifeime disribuion Misalkan seseorang berumur x memiliki sisa waku hidup T x, maka umur orang ersebu ( pada saa meninggal adalah ( x + T x. T merupakan peubah acak, dengan fungsi sebaran G, dengan: G( P( T, merupakan peluang seseorang yang berumur x akan meninggal pada saa ahun. Fungsi G umumnya dinoasikan dengan q ( ( sehingga qx G. Fungsi berahan hidup s( didefinisikan: s ( G( PT ( >, adalah peluang seseorang yang berumur x akan berahan hidup sampai usia ahun. fungsi s ( umumnya dinoasikan dengan p x sehingga px s(. (Gerber 997 Definisi. Nilai Harapan Sisa Hidup (expeced remaining lifeime Misalkan seseorang berusia x memiliki sisa T x. T merupakan peubah acak waku hidup ( dengan fungsi kepekaan peluang g (. Nilai harapan sisa hidup seseorang berumur x yang dinoasikan dengan e x : e x E( T( x g( d (Gerber 997 Definisi. Percepaan Kemaian (force of moraliy Percepaan kemaian adalah banyaknya orang yang meninggal seiap saa pada usia x. Percepaan kemaian seseorang berusia x dinoasikan dengan η x : η ( x g d ln G( G d ( dengan G( adalah peluang seseorang akan meninggal pada saa ahun dan g ( merupakan fungsi kepekaan peluang yang berpadanan dengan G(. (Gerber 997 x.8 Fungsi Kepuasan dan Consan Relaive Risk Aversion (CRRA Definisi 3. Fungsi Kepuasan (uiliy funcion Misalkan X { x, x, x3,..., xn} adalah himpunan konsumsi, maka fungsi kepuasan konsumsi U berada dalam himpunan konsumsi di mana U : X R. (Fishburn 97 Definisi 4. Consan Relaive Risk Aversion (CRRA Misalkan UW ( adalah fungsi kepuasan U dari kekayaan W, maka consan relaive risk aversion (CRRA didefinisikan dalam benuk persamaan: ( - U( W W γ, ( γ dengan γ adalah koefisien Consan relaive risk aversion ( γ (Anderson and Hardeker 3.9 Ase Definisi 5. Ase (asse Ase adalah sesuau yang memiliki nilai ekonomi dan nilai perukaran. (Harvey and Grechen Definisi 6. Ase Bebas Risiko (risk-free asse Ase bebas risiko adalah ase yang memiliki ingka imbal hasil yang pasi di masa depan. (Harvey and Grechen Definisi 7. Ase Berisiko (risky asse Ase berisiko adalah ase yang ingka imbal hasil di masa yang akan daang idak pasi. (Harvey and Grechen. Anuias Definisi 8. Anuias (annuiy Anuias adalah suau rangkaian pembayaran/penerimaan secara berkala dengan periode waku yang sama. (Rejda 4 Definisi 9. Anuias Hidup (life annuiy Anuias hidup adalah suau rangkaian pembayaran/penerimaan seiap periode selama eranggung hidup. (Rejda 4

14 5 Definisi 3. Anuias Teap (fix annuiy. Jika k dan k suau konsana dan V, V Anuias eap adalah suau rangkaian adalah peubah acak, maka: pembayaran/penerimaan seiap periode EkV [ + kv ] kev [ ] + kev [ ]. dengan jumlah yang eap. (Rejda 4 Secara umum, jika k, k,..., kn adalah konsana dan V, V,..., Vn adalah Definisi 3. Anuias Variabel (variable peubah acak, maka: annuiy Anuias variabel adalah rangkaian EkV [ + kv kv n n] pembayaran/penerimaan seiap periode idak kev [ ] + kev [ ] kev n [ n]. eap (naik aau urun berganung pada harga saham di pasar bursa. (Hogg, McKean and Craig 5 (Rejda 4 Buki: liha Hogg, McKean and Craig 5. Definisi 3. Anuias Segera (immediae annuiy Anuias segera adalah rangkaian pembayaran/penerimaan secara berkala pada iap akhir periode yang elah dienukan. (Rejda 4. Volailias, Dividen, Bunga dan Diskon Definisi 33. Volailias (volailiy Volailias σ menyaakan ingka risiko suau ase yang diunjukkan oleh keacakan harga saham. (Harvey and Grechen Definisi 34. Dividen (dividend Dividen adalah pembagian keunungan kepada pemegang saham berdasarkan banyaknya saham yang dimiliki. (Harvey and Grechen Teorema. Fubini (Fubini's heorem Misalkan ( X, A, μ dan ( Y,B, μ adalah dua ruang ukuran σ berhingga. Jika f aau f d( μ, μ < maka: X Y (, ( ( XY YX f x y μ dy μ dx f dμ (, μ ( μ ( f x y dx dy. Buki: liha Durre 996. X Y (Durre 996 Teorema 3. Formula Io -Dimensi (he -dimensional Io formula Misalkan X adalah proses Io yang dikeahui berbenuk: dx u d + v db, dan misalkan g ( x, C ([, xr Definisi 35. Bunga (ineres ( g erurunkan dua kali yang koninu dalam Bunga adalah imbal hasil yang dibayarkan oleh peminjam aas dana yang dierima. ([, x R. Misalkan Y g(, X, maka (Rejda 4 Y merupakan proses Io, dan g g Definisi 36. Diskon (discoun dy (, X d+ (, X dx Diskon adalah meode pengurangan bunga x pinjaman di awal ransaksi. g (Rejda 4 + (, (, X dx x Definisi 37. Fakor Diskon (discoun facor dengan ( dx ( dx.( dx dihiung Fakor diskon pada waku ahun ke-h dengan mengikui kaidah: ingka diskon sebesar δ didefinisikan d d d db,. h h sebagai: v e δ db d db db d. (Oksendal 3 (Gerber 997 Buki: liha Oksendal 3.. Beberapa Teorema yang Digunakan Teorema. Beberapa sifa dari nilai harapan: Ek k. Jika k suau konsana, maka [ ].

15 6 III MODEL OPTIMALISASI ALOKASI ASET Deskripsi Permasalahan Misalkan invesasi ase di dalam rekening anuias variabel dipisah menjadi dua subrekening, yaiu sub-rekening ase bebas risiko dan sub-rekening ase berisiko. Dalam karya ilmiah ini dimodelkan suau sraegi kepuusan dalam mengopimalkan alokasi ase di dalam konrak anuias variabel sehingga diperoleh hasil yang maksimal saa reiremen. Formulasi Model Tahap opimalisasi alokasi ase di dalam konrak anuias variabel, yaiu :. Alokasi ase sebelum reiremen. Pendapaan dari anuias saa reiremen 3. Alokasi ase saa reiremen. 3. Alokasi Ase Sebelum Reiremen Diasumsikan seorang individu memulai suau konrak anuias variabel dengan invesasi awal sebesar W. Invesasi ase di dalam rekening anuias variabel kemudian disimpan sampai waku T (reiremen. Arus simpanan baru yang masuk ke dalam rekening anuias variabel diasumsikan sebesar s d, dengan s. Selama ahap pengumpulan/ pengakumulasian ase, seluruh dividen, bunga, dan keunungan modal yang didapa diinvesasikan kembali ke dalam rekening, dan seluruh pajak diangguhkan sampai ahap penerimaan pendapaan dimulai keika reiremen. Pada saa reiremen ahap pengumpulan ase berakhir dan ahap penerimaan pendapaan dari anuias segera dimulai. Dalam rekening anuias variabel, invesasi ase dipisah menjadi dua sub-rekening, yaiu sub-rekening ase bebas risiko dan subrekening ase berisiko. Invesasi ase di dalam sub-rekening bebas risiko akan berupa anuias eap yang akan menghasilkan rangkaian pendapaan dengan jumlah yang eap seiap periode. Invesasi ase di dalam sub-rekening berisiko akan berupa anuias variabel yang akan menghasilkan pembayaran pendapaan idak eap (naik aau urun seiap periode, berganung pada flukuasi harga saham di pasar bursa. Proporsi alokasi ase pada sub-rekening ase berisiko diasumsikan sebesar α dan proporsi unuk sub-rekening ase bebas risiko. Proporsi kedua sub-rekening iu dialokasikan pada waku. Jumlah nominal α dialokasikan ke dalam sebesar ( α W ( ase bebas risiko, dengan ingka imbal hasil konsan sebesar r per periode. Sisa dari alokasi ase bebas risiko dimasukkan ke dalam sub-rekening ase berisiko sejumlah W α, dengan ingka imbal hasil yang diharapkan sebesar μ dan volailiasnya sebesar σ per periode. Akumulasi ase/kekayaan pada rekening anuias variabel mengikui persamaan diferensial sokasik -dimensi: dw W ( αµ + ( α r d + s d + ασwdb ( dengan: α, < T B : gerak Brown -dimensi. Volailias σ menyaakan ingka keacakan harga saham, dan db adalah bagian yang mengandung keacakan/keidakpasian dari harga saham. Semakin besar nilai volailias, semakin ak erduga pergerakan harga saham. Sebaliknya, semakin kecil nilai volailias, semakin mudah unuk menduga harga saham ersebu. Seiap individu akan mengopimalkan alokasi ase pada ahap sebelum reiremen dalam konrak anuias variabel unuk memaksimalkan kepuasan yang diharapkan aas kekayaan saa reiremen (T. Fungsi kepuasan dalam hal ini diasumsikan sebagai ipe Consan relaive risk aversion (CRRA dalam benuk persamaan beriku: UW ( ( W γ T, γ > dan γ, γ dengan γ merupakan koefisien dari consan relaive risk aversion. Nilai harapan fungsi kepuasan yang maksimal sebelum reiremen direpresenasikan dalam benuk: max W γ α Ε T. ( γ Dari Persamaan ( diperoleh alokasi opimal unuk ase berisiko: * μ r α min,. (3 γσ Buki: liha Lampiran.

16 7 ( μ r Premi risiko diunjukkan dengan yang selalu bernilai posiif dan γ >, sehingga * dijamin nilai α. 3. Pendapaan dari Anuias Saa Reiremen Diasumsikan pada saa reiremen seluruh ase yang erkumpul dialokasikan kembali ke dalam benuk anuias. Pada saa reiremen ahap pengakumulasian ase berakhir, dan ahap penerimaan dari anuias segera dimulai. Pada ahap penerimaan dari anuias, invesasi ase yang erkumpul di dalam sub-rekening bebas risiko akan menghasilkan pembayaran anuias eap segera dan invesasi ase di dalam sub-rekening berisiko akan menghasilkan pembayaran anuias variabel segera. 3.. Anuias Teap Segera (ATS Anuias eap segera adalah rangkaian penerimaan pendapaan dengan jumlah yang eap pada seiap akhir periode. Diasumsikan pada saa reiremen seseorang berusia x memiliki kekayaan sebesar W. Jika seluruh kekayaan W digunakan unuk memperoleh anuias eap segera, maka individu ersebu akan menerima pendapaan konsan seumur hidup per ahun sebesar: r W c ax ( (4 r dengan a x ( r didefinisikan sebagai anuias eap segera: x r x a ( r e ( p d (5 dengan: r : ingka bunga bebas risiko p x : peluang individu berumur x akan mencapai usia x +. Anuias eap segera a ( merupakan nilai x r sekarang dari rangkaian pembayaran seiap akhir ahun dengan fakor bunga sebesar e r dan fungsi indikaor berahan hidup individu dinyaakan dengan p x. Didefinisikan percepaan kemaian: d η x ln G( d (6 dengan G( merupakan fungsi sebaran yang menyaakan peluang seseorang berumur x meninggal dalam kurun waku ahun. Peluang seorang berumur x akan mencapai usia x + diperoleh melalui penurunan persamaan (6 dan didapa: px exp η s ds. (7 Buki: liha Lampiran. Jumlah pendapaan periodik seumur hidup juga berganung pada sebaran sisa hidup individu. Dalam karya ulis ini hanya akan dibahas kasus keika sisa hidup individu menyebar secara eksponen ATS Keika Sisa Hidup Menyebar Secara Eksponen Jika sisa hidup diasumsikan menyebar secara eksponen, maka percepaan kemaian: d ηx ln G( d d ln λ ( e d d ln λ e d (8 d [ λ ] d d [ λ] d λ. Persamaan (7 menjadi: λ ds px e s ( λ s e (9 λ s e. Anuias eap segera pada Persamaan (5 menjadi: r x x r λ a ( r e ( p d e ( e d r + e ( r + λ ( λ d e ( λ r+ (, λ + r dengan: λ >. Nilai harapan hidup individu yang berumur x didefinisikan: e x E( T( x g( d

17 8 dengan g ( merupakan fungsi kepekaan peluang dari peubah acak T. Pada kasus sisa hidup menyebar secara eksponen, fungsi kepekaan peluang g ( menjadi: g sehingga: ( λe λ Misalkan: u du d dv λe λ d v e λ maka: λ e λe d x λ e λe d. x v du λ λ e d λ e λ uv λ e e d + ( λ Dari Persamaan (4 dan ( pendapaan konsan seumur hidup dari anuias eap segera pada waku menjadi: r W c ax ( r ( ( λ + rw. Persamaan (8, ( dan ( dapa menerangkan bahwa semakin inggi percepaan kemaian akan berakiba pada penurunan harapan hidup dan pendapaan konsan seumur hidup akan mengalami peningkaan. 3.. Anuias Variabel Segera (AVS Pilihan lain dari anuias eap segera adalah anuias variabel segera. Anuias variabel segera adalah anuias variabel yang segera dicairkan pada iap akhir periode seelah ahap pengakumulasian dana berakhir. Anuias variabel segera menghasilkan jumlah pendapaan berflukuasi berganung harga saham di pasar bursa. Suau invesasi awal sebesar W yang dialokasikan unuk mendapakan anuias variabel segera akan menghasilkan penerimaan seumur hidup per ahun sebesar: W c μ ax ( h, (3 dengan ax ( h didefinisikan sebagai anuias variabel segera: h ax( h e ( px d, (4 dengan h adalah ingka diskon. Diasumsikan ingka diskon h berubah-ubah eapi masih dalam kisaran r disebu assumed ineres rae (AIR. Anuias variabel segera a h ( r merupakan nilai sekarang dari rangkaian pembayaran seiap akhir ahun dengan fakor bunga sebesar e h dan fungsi indikaor berahan hidup individu dinyaakan dengan px. Unuk seiap pendapaan dari AVS, individu akan memperoleh pendapaan variabel (acak yang berganung pada ingka imbal hasil dari ase berisiko yang dipilih. Jika ingka imbal hasil pada ase berisiko dalam periode erenu lebih rendah daripada AIR, maka pendapaan variabel akan menurun. Sebaliknya, ingka imbal hasil dari ase berisiko lebih besar daripada AIR, pendapaan variabel akan meningka. Misalkan alokasi ase seluruhnya masuk ke dalam ase berisiko ( sehingga α dengan ingka diskon sebesar h, di mana dinamika harganya mengikui Persamaan (: dw W ( µ h d + σwdb; W W (5 dw ( µ h d+ σ db. W Penginegralan kedua ruas menjadi: dws ( µ h + σ B,( B (6 Ws Penyelesaian sisi kiri dari Persamaan (6 menggunakan Teorema Formula Io -Dimensi. Misalkan: g(, w ln w ; w> Y g(, W Y lnw g g dy ( W, d+ ( W, dw w g + (, (, W dw w

18 9 sehingga: ( lnw ( lnw d ( lnw d + dw w ( lnw ( dw + w dw + W W dari Persamaan (5: dw W µ h d + σw db ( dw (7 ( ( dw ( W ( µ h d + σwdb ( W ( µ h d + ( σwdb + ( W ( µ h d( σwdb ( dw ( W ( µ h ( d + ( σw ( db + ( W ( µ h ( σw ( ddb W d σ dengan: d d d db db d, db db d. Sehingga Persamaan (7 menjadi: d( lnw dw σ W d W W dw σ d W aau: dw d ( ln W + σ d W Penginegralan kedua ruas menjadi: dws W ln + σ. (8 Ws W Dari Persamaan (6 dan Persamaan (8 didapa persamaan: W ln + σ ( µ h + σb W W ln ( µ h σ + σb W W ln µ h σ + σb W W expµ h σ + σb W W W exp µ h σ + σb. Karena invesasi awal W W maka invesasi ase berisiko pada saa menjadi: W W exp µ h σ + σb. (9 Persamaan (9 menunjukkan bahwa invesasi ase berisiko dipengaruhi volailias σ yang menyaakan ingka keacakan harga saham dari ase pokok yang dipilih, dan db adalah bagian yang mengandung keacakan/ keidakpasian dari harga saham. Dengan menggunakan nilai W dari Persamaan (9, maka pendapaan dari anuias variabel segera pada Persamaan (3 menjadi: W μ σ c exp μ h +σb. ( a x ( h 3... AVS Keika Sisa Hidup Menyebar Secara Eksponen Anuias variabel segera keika sisa hidup menyebar secara eksponen pada Persamaan (4 menjadi: h a ( h e ( P d x x h λ h + e ( e d e ( h + λ ( λ d e ( λ h+ (. λ + h Arus pendapaan seumur hidup dari anuias variabel segera pada Persamaan ( menjadi: μ σ c ( λ+ h W exp μ h +σb. ( Jika AIR sama dengan ingka bebas risiko, sehingga h r, dan ase yang ada merupakan ase bebas risiko, maka μ r dan σ, sehingga oal pendapaan per periode akan sama dengan kasus anuias eap segera r sebesar: c ( λ + r W. Tingka imbal hasil yang diharapkan μ yang semakin rendah akan menurunkan penerimaan pendapaan seumur hidup. 3.3 Alokasi Ase Saa Reiremen Pada saa reiremen kepuusan memilih anara aliran pembayaran eap dan variabel bukanlah pilihan mudah. Individu dapa memilih kombinasi apapun dari aliran pembayaran eap dan variabel. Jika α menunjukkan proporsi alokasi pada ase α sebagai proporsi alokasi berisiko dan (

19 ase bebas risiko, maka pembayaran anuias segera pada saa reiremen merupakan suau kombinasi imbal hasil dari kedua anuias ersebu. Pemilihan AIR dari anuias variabel segera pada ingka bebas risiko akan menghasilkan aliran kombinasi anuias dengan pendapaan seumur hidup yang direpresenasikan pada Persamaan (3. W σ c exp α μ r + ασb. a x ( r (3 Persamaan (3 diperoleh melalui penyelesaian persamaan: μ r dc dc dc α + ( α. μ r c c c (4 Buki: liha Lampiran 3. Pada Persamaan (4, dapa diliha bahwa c merupakan fungsi dari α, yang menunjukkan bagian dari keseluruhan ingka aliran uang dalam waku koninu yang masuk ke dalam anuias variabel segera. Hal ini dapa menegaskan bahwa keika α, aliran pendapaan menjadi variabel seluruhnya. Pada saa α pendapaan dari anuias akan menjadi eap. Nilai apapun dari α yang mungkin erjadi di anara nol dan sau, akan menghasilkan berbagai ingka variasi kombinasi alokasi ase anara keduanya. Pada ahap konsumsi, individu akan memaksimalkan harapan kepuasan konsumsi yang elah didiskon, dimana fungsi kepuasan diasumsikan dalam benuk CRRA: uc ( (/( γ c γ dengan fakor diskon e ρ. Kepuasan konsumsi yang elah didiskon merupakan peubah acak, sehingga fungsi kepuasan konsumsi yang elah didiskon dapa diuliskan dalam persamaan: T ρ U( α e c d γ dengan ρ, γ,danc seperi yang didefinisikan sebelumnya. Nilai harapan kepuasan konsumsi yang elah didiskon menjadi: T ρ EU ( α E e c d γ dengan: T E g( B d E g( B { d T> } (5 E g( B( px d. Persamaan (5 menunjukkan bahwa T idak berganung pada B, sebagai conoh pergerakan harga saham idak mempengaruhi kesehaan individu, dan menunjukkan { T > } fungsi indikaor dari kejadian kemaian yang erjadi seelah, sehingga: ρ γ EU ( α E e c ( px d. (6 γ 3.3. Alokasi Opimal Keika Sisa Hidup Menyebar Secara Eksponen Dengan menggunakan nilai c dari Persamaan (3 dan nilai a x ( r dari Persamaan (, maka nilai harapan kepuasan konsumsi yang elah didiskon pada kasus sisa hidup menyebar secara eksponen direpresenasikan pada Persamaan (7. ρ λ ασ EU ( α E e e λ r W exp α μ r ασ B d + + γ γ γ (. (7 Penyederhanaan Persamaan (7: ( λ + r W EU ( α ( γ λ+ ρ ( γ α μ ( γ ασ dengan: α ; γ > dan γ ( r ασ ( ( r ασ ( ( λ+ ρ ( γ α μ γ ασ > μ < λ+ ρ + r. Buki: liha Lampiran 4. (8

20 Persamaan (8 memberikan nilai harapan kepuasan konsumsi sebagai suau fungsi dari variable α dengan α yang menunjukkan pilihan unuk memperoleh anuias eap segera dan anuias variabel segera. Kepuasan konsumsi yang maksimal ( ' λ+ rw ( μ r γασ EU ( α λ ρ ( γ α μ r ασ + ( (( γ ασ dengan: α ; γ > dan γ μ < λ+ ρ + r. Buki: liha Lampiran 5. dari EU ( α, diperoleh dengan menurunkan EU ( α erhadap α dan menyearakan dengan nilai nol, EU '( α. Dari penurunan EU ( α pada Persamaaan (8 maka diperoleh Persamaaan (9. (9 Nilai α yang opimal dicapai saa EU '( α, dan diperoleh: μ r α γσ, (3 Buki : liha Lampiran 6. karena α, sehingga kepuasan konsumsi yang maksimal ercapai saa: ** μ r α min,. γσ (3 Persamaan (3 menjelaskan alokasi ase opimal saa reiremen idak berganung pada ingka diskon ρ maupun fakor kemaian λ. Hal ini analog dengan alokasi ase opimal sebelum reiremen yang diunjukkan pada Persamaan (3. Uji urunan kedua dari nilai harapan kepuasan konsumsi yang elah didiskon EU ( α diperoleh: " ** EU ( α <, (3 Buki: liha Lampiran 7. ** sehingga α merupakan nilai yang opimal unuk EU ( α. IV CONTOH PENERAPAN 4. Conoh Penerapan Sebelum Reiremen Diasumsikan proporsi alokasi ase berisiko sebesar α dan proporsi alokasi ase bebas risiko sebesar ( α. Misalkan: koefisien CRRA γ.5 volailias σ % ingka imbal hasil yang diharapkan μ % ingka imbal hasil konsan r 5%. Pengaruh peningkaan γ, σ, μ, dan r erhadap α dapa diliha pada Tabel,, 3 dan 4. Tabel. Pengaruh koefisien CRRA γ erhadap α μ %, r 5% dan σ % γ α γ α

21 Tabel. Pengaruh volailias σ erhadap α μ %, r 5% dan γ.5 σ α σ α Tabel 3. Pengaruh ingka imbal hasil yang diharapkan μ erhadap α r 5%, γ.5 dan σ % μ α μ α Tabel 4. Pengaruh ingka imbal hasil konsan r μ %, γ.5 dan σ % erhadap α r α r α Caaan : Pembulaan iga angka di belakang koma unuk nilai α. Pada seiap abel diujikan conoh penghiungan. Tabel menjelaskan pengaruh koefisien CRRA γ erhadap alokasi ase. Peningkaan nilai γ akan berakiba pada penurunan proporsi alokasi ase berisiko α dan akan meningkakan proporsi alokasi ase bebas risiko ( α. Nilai γ yang semakin besar menjelaskan bahwa individu akan semakin menghindari risiko invesasi. Penggambaran dalam benuk kurva: a dan H-aL *.4 * + * + * + * * * * * * * * * * * + +α * ( α Dari Gambar dapa diliha: γnaik αurun dan( α naik Tabel menjelaskan pengaruh volailias σ erhadap alokasi ase. Peningkaan nilai σ akan berakiba pada penuruan proporsi alokasi ase berisiko α dan akan meningkakan proporsi alokasi ase bebas risiko ( α. Nilai volailias σ yang semakin besar menggambarkan harga saham yang semakin idak sabil, sehingga individu cenderung menurunkan risiko invesasi. Penggambaran dalam benuk kurva diberikan pada Gambar Gambar. Pengaruh γ erhadap α dan ( α g

22 3 a dan H-aL..8.6 * * + * * * * * * * * * * * * * * * * * * +α α * ( a dan H-aL..8 Penggambaran dalam benuk kurva: +α * ( α + * + * * * * * * * * * * * * * * * * * * * s Gambar. Pengaruh σ erhadap α dan ( α Dari Gambar dapa diliha: σnaik αurun dan( α naik Tabel 3 menjelaskan pengaruh ingka imbal hasil yang diharapkan μ erhadap alokasi ase. Peningkaan nilai μ akan berakiba pada kenaikan proporsi alokasi ase berisiko α dan akan menurunkan proporsi alokasi ase bebas risiko ( α. Semakin besar nilai μ maka individu akan cenderung menginvesasikan asenya ke dalam subrekening ase berisiko yang akan memberikan ingka keunungan yang besar. Penggambaran dalam benuk kurva: a dan H-aL * * * * * * * *.4 * * * * * * * * * * * * m Gambar 3. Pengaruh μ erhadap α dan ( α Dari Gambar 3 dapa diliha: μ naik α naik dan ( α urun Tabel 4 menjelaskan pengaruh ingka imbal hasil konsan r erhadap alokasi ase. Peningkaan nilai r akan berakiba pada penurunan proporsi alokasi ase berisiko α dan akan meningkakan proporsi alokasi ase α. bebas risiko ( r Gambar 4. Pengaruh dan ( α r erhadap α Dari Gambar 4 dapa diliha: r naik α urun dan ( α naik 4. Conoh Penerapan Saa Reiremen Diasumsikan seorang individu berumur 4 ahun memiliki kekayaan sebesar Rp.,, yang diinvesasikan ke dalam rekening anuias variabel. Keika berumur 65 ahun akumulasi kekayaan di dalam rekening anuias variabel berakhir, dan oal kekayaan yang erkumpul sebesar Rp.5,,. Toal kekayaan yang erkumpul selanjunya dialokasikan ke dalam benuk anuias. Misalkan: koefisien CRRA γ.5 σ ingka imbal hasil yang diharapkan μ % ingka imbal hasil konsan r 5% ingka diskon h 4% percepaan kemaian λ % gerak Brown -dimensi menyebar +α α volailias % * ( N (, μ r maka: α min, γσ min[.5,].5. Sehingga proporsi alokasi ase berisiko α 5%, dan proporsi alokasi ase bebas risiko ( α 5%. Pendapaan selama 5 ahun dari anuias eap segera (ATS dan anuias variabel segera (AVS dapa diliha pada Tabel 5. B

23 4 Tahun Ke- Tabel 5. Pendapaan dari ATS dan AVS dengan 5% Gerak Brown -dimensi B Pendapaan/Tahun Dari ATS Pendapaan/Tahun Dari AVS α dan ( α Toal Pendapaan/Tahun 5% Toal Pendapaan/Bulan.587 7,5, 7,57,853 34,757,853,896, ,5, 9,9,643 36,59,643 3,43, ,5, 6,56,94 34,6,94,834, ,5,,437,383 37,937,383 3,6, ,5, 8,93,775 36,43,775 3,35, ,5, 8,575,5 36,75,5 3,6, ,5,,836,479 39,336,479 3,78, ,5, 3,38, 4,538, 3,378, ,5,,99,685 38,699,685 3,4, ,5,,89,5 38,689,5 3,4, ,5, 4,4,98 4,54,98 3,458, ,5, 6,498,664 43,998,664 3,666, ,5, 5,693,383 43,93,383 3,599, ,5, 6,45,78 43,545,78 3,68, ,5, 6,333,5 43,833,5 3,65,75 Toal Pendapaan Seelah Tahun Ke-5 6,5, 36,576,7 589,76,7 Caaan: Perolehan nilai dapa diliha pada Lampiran 9. B Pada Tabel 3 dapa diliha bahwa pendapaan eap yang diperoleh dari anuias eap segera (ATS sebesar Rp.7,5, per ahun. Pendapaan yang diperoleh dari anuias variabel segera (AVS berubah-ubah. Toal pendapaan dari ATS dan AVS seelah ahun ke-5 sebesar Rp. 589,76,7. Hal ini berari individu ersebu elah mendapakan kembali kekayaan yang dialokasikan pada saa reiremen sebesar Rp.5,,. Penggambaran dalam benuk kurva: Pendapaan dari ATS 3. μ 7 dan AVS Dari Gambar 5 dapa diliha: Anuias eap segera (ATS menghasilkan penerimaan pendapaan eap seiap ahun. Anuias variabel segera (AVS menghasilkan penerimaan pendapaan berubah-ubah seiap ahun, berganung pada harga saham di pasar bursa. Pendapaan seiap ahun yang diperoleh dari AVS cenderung lebih besar dibandingkan dengan pendapaan yang diperoleh dari ATS..5 μ 7. μ 7.5 μ 7. μ 7 5. μ * * * * * * * * * * * * * * * + + Pendapaan dari AVS * Pendapaan dari ATS Gambar 5. Pendapaan dari ATS dan AVS pada ahun ke-

24 5 V SIMPULAN DAN SARAN 5. Simpulan Konrak anuias variabel adalah suau rencana pengumpulan ase di mana seluruh keunungan di dalam anuias variabel idak dikenai pajak sampai anuias ersebu cair aau diserahkan pada saa reiremen. Alokasi ase di dalam rekening anuias variabel akan dialirkan ke dalam sub-rekening bebas risiko dan sisanya masuk ke dalam sub-rekening berisiko. Pada saa reiremen, ase-ase yang elah erkumpul di dalam rekening anuias variabel dapa dialokasikan kembali ke dalam benuk anuias segera. Anuias eap segera menghasilkan pendapaan eap per periode dan anuias variabel segera menghasilkan pendapaan idak eap per periode. Alokasi opimal ase berisiko sebelum reiremen μ r sebesar α min,, memberikan hasil γσ yang sama pada saa reiremen. Opimalisasi alokasi ase di dalam konrak anuias variabel dipengaruhi oleh:. koefisien CRRA γ. volailias σ 3. ingka imbal hasil yang diharapkan μ 4. ingka imbal hasil konsan r. Pengaruh γ, σ, μ dan r erhadap proporsi alokasi ase: γnaik α urun dan ( α naik σnaik α urun dan ( α naik μnaik αnaik dan ( α urun r naik α urun dan ( α naik dengan: α : proporsi alokasi ase berisiko ( α : proporsi alokasi ase bebas risiko. 5. Saran Dalam karya ilmiah ini hanya dibahas sraegi kepuusan dalam mengopimalkan alokasi ase di dalam konrak variabel anuias dengan mengasumsikan sisa hidup individu menyebar secara eksponen. Perlu dilakukan penelusuran lebih lanju unuk fungsi sebaran sisa hidup yang lainnya dan kapan waku yang epa unuk mengikui program anuias sera berapa banyak yang harus diinvesasikan. VI DAFTAR PUSTAKA Anderson, J. R. and Hardeker J. B. 3. Risk Aversion in Economic Decision Making: Pragmaic Guides for Consisen Choice by Naural Resource Managers. Journal of Risk and Uncerainy in Environmenal and Naural Resource Economics, Durre, R Probabiliy: Theory and nd Examples. ed. Duxbury Press. New York. Fishburn, P. C. 97. Uiliy Theory for Decision Making. Rober E. Krieger Publishing Co. New York. Gerber, H. U Life Insurance Mahemaics. rd 3 ed. Springer Verlag. Berlin. Grimme, G. R. and D. R. Sirzaker.. Probabiliy and Random Processes. rd 3 ed. Universiy Press. Oxford. New York. Harvey, C. R. and M. Grechen.. The New York Times Dicionary of Money and Invesing: The Essenial A-Z Guide for he Language of The New Marke. Henry Hol & Company. New York. Hogg, R. V., J. W. McKean, and A. T. Craig. 5. Inroducion o Mahemaical Saisics. h 6 ed. Prenice-Hall. New Jersey.

25 6 Milevsky, M. A. and C. Nara.. Opimal Asse Allocaion in Life Annuiies. Insurance: Mahemaics and Economics, Oksendal, B. 3. Sochasic Differenial h Equaions. 6 ed. Springer. Berlin. Rejda, G. E. 4. Principles of Risk h Managemen and Insurance. 9 ed. Addison Wesley. California. Ross, S. M. 3. Inroducion o Probabiliy h Model. 8 ed. Academic Press Inc. Orlando, Florida.

26 L A M P I R A N 7

27 8 LAMPIRAN Opimalisasi proporsi ase berisiko α sebelum reiremen. Dari Persamaan ( akumulasi kekayaan pada saa mengikui persamaan diferensial sokasik -dimensi: dw W ( αµ + ( α r d + s d + ασwdb. (a. Diasumsikan individu idak diperbolehkan unuk memasukkan simpanan baru ke dalam rekening anuias variabel sehingga arus simpanan baru sd. Persamaan (a. menjadi: dw W α µ + α r d + α σw db (a. dw W ( ( ( ( α µ + α r d+ α σdb, aau: s ( αµ + ( α r + ασb ; ( B, W w. (a.3 dw W s Penyelesaian sisi kiri dari Persamaan (a.3 menggunakan Teorema Formula Io -Dimensi. Misalkan: g(, w ln w ; w> Y g(, W Y lnw ( lnw ( ln W ( lnw ( dy d + dw +, W, w w sehingga: d ( lnw ( dw + dw W W d( lnw dw W d W W α σ dw d( lnw α σ d W dw d ( ln W + α σ d, aau: W dws W ln + α σ (a.4 W s W Dari Persamaan (a.3 dan Persamaan (a.4 didapa persamaan: W ln + α σ ( αµ + ( α r + ασb W W ln α + ( α α σ + α σ W µ r B W W exp αµ + ( α r α σ + ασb. (a.5 Diasumsikan individu idak diperbolehkan unuk mengubah proporsi kedua sub-rekening di dalam rekening anuias variabel. Sehingga besarnya proporsi alokasi ase adalah eap, misalkan α α. Dari Persamaan (a.5 jumlah kekayaan pada saa reiremen(t : WT W exp αµ + ( α r α σ T + ασbt ; T.

28 9 Dari Persamaan ( nilai harapan fungsi kepuasan yang maksimal adalah max E W γ α T. γ -γ E WT E W exp αµ ( α r α σ T ( γ( ασbt γ γ + + -γ W E exp ( γ αµ + ( α r α σ T + ( ασbt γ misalkan: a ( γ αµ + ( α r α σ c γ ασ ( ( sehingga: -γ E WT W E exp( at + cbt -γ a T cbt W e E e γ Diasumsikan gerak Brown -dimensi { BT (, T } adalah proses sokasik dengan ( Unuk T, selisih BT ( B ( menyebar N(, T x fx ( x exp π ( T ( T dan fungsi pembangki momen: cx cx M X ( c E( e e fx ( x dx (a.6 B. dengan fungsi kepekaan peluang: Persamaan (a.6 menjadi: x γ -γ T cx ( T E WT W a e e e dx π ( T x cx -γ T ( T W a e e dx γ π ( T c ( T c ( T ( T cx x + -γ a T ( T W e e dx γ π ( T c ( T c ( T + c( T x x -γ a T W ( T γ e e e dx π ( T c ( T ( x c( T -γ a T ( T W e e e dx γ π ( T c ( T ( x c( T -γ T ( T W a e e e dx. γ π ( T (a.7

29 ( x c( T ( T Pada Persamaan (a.7 e dx karena merupakan fungsi sebaran. π T ( Persamaan (a.7 menjadi: c ( T -γ T E W T W a e e. Karena T, diasumsikan maka T, sehingga: ct -γ T E W T W a e e -γ W e γ c γ ασ c a + T dengan: a ( γ αµ + ( α r α σ sehingga: ( ( -γ E WT W exp T ( γ αµ ( α r α σ ( γ α σ γ γ + + -γ W exp( γ T ( αµ ( α r α σ ( γ α σ γ + + -γ W exp( γ T ( αµ + ( α r γα σ γ max W γ α Ε T akan ercapai jika α pada ( α µ ( α r γα σ γ + maksimal, sehingga diperoleh α yang opimal: d ( αµ ( α r γα σ dα + µ r γασ µ r α. γ σ Dari pembaasan nilai α, maka nilai α yang opimal menjadi: * μ r α min,. (a.9 γσ (a.8

30 LAMPIRAN Penurunan Persamaan (6 menjadi Persamaan (7. Dari Persamaan (6: d η x ln G( d, (b. dengan: G( : fungsi sebaran dari T yang merupakan peluang seseorang berusia x akan meninggal dalam kurun waku ahun. Diasumsikan: s ( : fungsi berahan hidup yang merupakan peluang seseorang berusia x akan mencapai usia x + s G. sehingga: ( ( Maka Persamaan (b. menjadi: d η x ln s (. d (b. Penginegralan Persamaan (b. dari x hingga x + : x+ ( + s( x s x ηsds ln (b.3 x Diasumsikan seseorang baru lahir ( x maka fungsi berahan hidup seseorang berusia x akan sama dengan fungsi berahan hidup seseorang baru lahir s ( akan meninggal pada saa x + dengan syara ia hidup mencapai usia x, direpresenasikan dengan: x + p s ( x+ px p s x x ( Sehingga Persamaan (b.3 menjadi : x+ η ds ln x [ p ] s x x+ exp η ds exp ln x exp ( [ p ] s x p x+ x s x η ds (b.4

31 LAMPIRAN 3 Penurunan Persamaan (3 melalui Persamaan (4. Dari Persamaan (4: μ r dc dc dc α + ( α (c. μ r c c c Penginegralan Persamaan (c.: μ r dc dc dc ( r c α + μ c α c μ r dc dc dc α ( α μ r c + c c μ r ln c αln c + ( α ln c. (c. Dengan menggunakan nilai c μ dari Persamaan ( dan nilai c r dari Persamaan (, maka Persamaan (c. menjadi: σ ln c αln ( λ+ h Wexp μ h + σb + ( α ln (( λ+ r W α σ ( (( ( α ln λ+ hwexp μ h + σb + ln λ+ rw α (c.3 σ ( (( ( α ln λ hwexp μ h σb + + λ+ rw α σ c ( λ+ h W exp μ h B (( ( α σ + λ+ r W. Pemilihan AIR pada ingka bebas risiko, sehingga h r. Persamaan (c.3 menjadi: σ c + r W r + B + r W ( (( ( α λ expμ σ λ α σ (( λ+ rw exp μ r + σb σ (( λ+ rw exp α μ r + ασb. Dengan menggunakan nilai a ( dari Persamaan ( maka Persamaan (c.4 menjadi: x r W σ c exp α μ r + ασb a x ( r α (c.4

32 3 LAMPIRAN 4 Penurunan Persamaan (7 menjadi Persamaan (8. Dari Persamaan (7: γ γ ρ λ ασ EU ( α E e e ( λ r W exp α μ r ασ B d + + γ ( λ + ( λ + r W ασ E exp λ ρ + ( γ α μ r + ( γ ασ B d γ r W ασ E exp λ+ ρ ( γ α μ r + ( γ ασb d γ misalkan : a λ+ ρ ( γ α( μ r ασ ( c γ ασ maka Persamaan (d. menjadi: ( λ r W ( a + cb + EU ( α E e d ( λ γ a cb e e γ + r W E d Penggunaan Teorema Fubini: ( λ + r (d. W a cb ( (d. EU ( α e E e d. γ Diasumsikan gerak Brown -dimensi { B(, } adalah proses sokasik dengan ( Unuk s, selisih B( B( s menyebar N(, s dengan fungsi kepekaan peluang: x fx ( x exp π ( s ( s dan fungsi pembangki momen: X cx cx ( ( ( M c E e e f x dx. Dari Lampiran elah dibukikan: c ( T cbt E e e, ( ( λ + r W a ( X dengan subsiusi: BT B T s Persamaan (d. menjadi: c ( s ( λ + r W EU ( α e a e d γ. Karena s dan diasumsikan s maka, sehingga: c ( λ + r W EU ( α e a e d γ γ e ( c d B.

33 4 ( λ + r W EU ( α ; a ( ( c > γ c a karena : a λ+ ρ ( γ α( μ r ασ ( c γ ασ maka Persamaan (d.4 menjadi: EU ( α dengan: ( λ + r ( γ λ ρ γ α μ γ ασ ( + ( ( r ασ ( ( W ( ( ( (d.4 (d.5 a > c λ + ρ ( γ α μ r ασ > ασ. (d.6 Keika nilai koefisien CRRA γ, berari individu menghindari risiko invesasi seuuhnya. Pada kasus ini alokasi ase hanya pada ase bebas risiko sehingga nilai α dan Persamaan (d.5 menjadi: ( λ + r W EU ( α Keika nilai koefisien CRRA γ, berari individu menyukai risiko invesasi seuuhnya. Pada kasus ini alokasi ase hanya pada ase berisiko sehingga nilai α, dan Persamaan (d.5 menjadi: ( λ + rw EU ( α λ ρ ( μ r σ + ( σ ( λ + rw λ+ ρ μ+ r ( dengan: λ + ρ μ + r, sehingga Persamaan (d.6 menjadi: λ+ ρ μ r σ σ > ( λ+ ρ μ+ r + σ σ > λ+ ρ μ+ r > λ + ρ + r > μ (d.7

34 5 LAMPIRAN 5 Penurunan Persamaan (8 menjadi Persamaan (9. Dari Persamaan (8: (( λ + rw ( r ασ EU ( α ( γ λ+ ρ ( γ α μ (/ (( γ ασ (( λ + rw ασ ( EU ( α. (e. ( γ λ+ ρ ( γ μα + ( γ rα + ( γ (( γ ασ Turunan perama dari EU ( α erhadap α : ( γ ασ (( λ+ rw ( γ μ+ ( γ r+ (( γ ασ ' EU ( α ( γ λ ρ ( γ μα ( γ rα ( γ ασ ( (( γ ασ ' ' ( ( (( λ+ rw ( γ ( μ r ασ + ( γ ασ EU ( α ( γ λ ρ ( γ α( μ r ασ ( (( γ ασ + (( λ+ rw ( γ ( μ r ασ + ( γ ασ EU ( α ( γ λ ρ ( γ α( μ r ασ ( (( γ ασ + (( rw (( rw λ+ ( μ r ασ + ( γ ασ ' EU ( α λ ρ ( γ α μ r ασ + ( (( γ ασ λ+ ( μ r γασ ' EU ( α. λ ρ ( γ α μ r ασ + ( (( γ ασ (e.

35 6 LAMPIRAN 6 Penurunan Persamaaan (9 menjadi Persamaan (3. Dari Persamaan (9: (( rw λ+ ( μ r γασ ' EU ( α λ ρ ( γ α μ r ασ + ( (( γ ασ Nilai α yang maksimum dicapai saa (( rw EU ' ( α : λ+ ( μ r γασ λ ρ ( γ α μ r ασ + ( (( γ ασ Karena λ > dan μ r γασ γ maka ( λ ( μ r γασ μ r α. γσ γ + rw, sehingga: (f.. (f. (f.3

36 7 LAMPIRAN 7 Penurunan Persamaaan (9 menjadi Persamaan (3. Dari Persamaan (9: ' (( λ+ rw ( μ r γασ EU ( α λ ρ ( γ α μ r ασ + ( (( γ ασ Misalkan: x λ + ρ ( α μ r ασ ( (( γ ασ (( λ y + r W γ (( λ ( μ γασ ( μ γασ (( λ ( γσ γσ u + r W r y r ' u + r W y v λ ρ ( γ α μ r ασ + ( (( γ ασ x ( ( γ( μ r ασ ( γ ασ (( γ ασ. (g. ασ v' λ + ρ ( α μ r μ r ασ ασ x maka: '' vu uv EU ( α v '' EU ( α ' ' ( ( ( ( ( ( ( x y( y( r x ( ( r ( ( x ( x y + xy( r ( ( r + ( ( x γσ μ γασ γ μ ασ γ ασ ( ( γ σ μ γασ γ μ ασ γ ασ '' EU ( α (g. dengan: x λ + ρ ( α μ r ασ ( (( γ ασ ( λ y + r W γ Uji urunan ke-dua pada iik kriis α ** μ r : γσ μ r μ r μ r x y + xy r ( r + ( γσ γσ γσ '' ** EU ( α γ σ μ γ σ γ μ σ γ σ ( x μ r μ r x y + xy( ( r ( r ( r + ( γσ γσ '' ** EU ( α γσ μ μ γ μ σ γ σ ( x

37 8 μ r μ r x y + xy( ( r + ( γσ γσ '' ** EU ( α γσ γ μ σ γ σ '' ** x yγσ + EU ( α ( x ( ( x Dari Persamaan (g.3 diperoleh '' ( ** ( x '' ( ** x yγσ EU α <. (g.3 EU α <, sehingga ** α adalah nilai yang opimal.