Statitika Toik Bahaa: Pedugaa Parameter Oleh : Edi M Pribadi, SP, MSc E-mail: edi_m@taffguadarmaacid edi_m@ymailcom Ilutrai Statitika Ifereia : Mecaku emua metode yag diguaka utuk earika keimula atau geeraliai megeai oulai dega melakuka egambila amel (amlig da egolaha dataya Etimai /edugaa arameter yaitu eetua ilai uatu arameter oulai berdaarka ilai dari tatitik amel Sedagka tatitik amel yag diguaka utuk meduga ilai uatu arameter oulai diebut etimator Proedur Pedugaa Parameter: Meetuka ebuah amel Megumulka iformai yg dierluka dari tia aggota amel 3 Meghitug ilai tatitik amel 4 Meghubugka ilai tatitik amel dega arameter oulai Suatu ilai, hail hitug dari cotoh yag berukura, meruaka ilai dugaa (etimator bagi arameter oulai Pedugaa Parameter ~ Statitika
Parameter Poulai Rata-rata, Beda Rata-rata oulai, - Simaga baku, Etimator - Peduga Tak Berbia : bila tatitik memiliki ilai yag ama dega ilai arameter oulai, E( Peduga Palig Efeie : memiliki ilai ragam /imaga baku terkecil < meruaka eduga yag lebih efiie dibadig utuk ilai Margi Kealaha : Ketika dieroleh ilai eduga bagi uatu ilai arameter, erlu dihitug Margi of Error Margi of Error ± 96 atau ± 96 dimaa, ilai eduga bagi / da / Pedugaa Parameter ~ Statitika 3 Selag Pedugaa Suatu elag edugaa bagi arameter oulai < < da tergatug ilai tatitikya da juga ada ebara earika amel Jika imaga baku bear, maka elag edugaa juga haru bear Selag edugaa arameter oulai yag didaarka ada tigkat keercayaa diebut elag keercayaa ( < < ( - 00% utuk 0 < < dimaa, ( - koefeie/derajat keercayaa igificace level Maki bear elag keercayaa (% maki yaki bahwa elag terebut mecaku ilai arameter oulai terebut Pedugaa Parameter ~ Statitika 4
3 Selag Pedugaa Rata-Rata Poulai: Samel Bear Dalam uatu amel yag berukura bear, dimaa 30, diguaka ditribui ormal baku z utuk meghitug elag keercayaa Teori Bata Puat atau Dega amel bear, meruaka eduga yag akurat bagi (-z / < z < z / - dimaa - (-z / < < z / - ( -z / < < z / - Pedugaa Parameter ~ Statitika z - Jadi, elag keercayaa bagi, adalah : ± z / Jika diketahui ± z / Jika tidak diketahui / / - z / 0 z / z 5 Cotoh: Suatu eruahaa eerbita melakuka eelitia ttg harga buku Pegatar Statitika terbitaya yag terebar di aara Didaatka 36 amel dega rata-rata harga $4840 Telah diketahui bahwa imaga baku utuk eluruh buku $450 a Beraa titik eduga utuk rata-rata harga emua buku yag beredar? Da beraa margi kealaha utuk eduga terebut? b Buat rata-rata harga buku terebut dega elag keercayaa 90% Peyeleaia: 36, $4840, da $450 Maka, a $4840 450 $ 075 36 Margi of error titik ± 96 ± 96 * 075 ± $ 47 b ( -z / < < z / - 09 Pedugaa Parameter ~ Statitika 6 3
- 09-09 0 / 005 Nilai Z / dimaa lua daerah di bawah kurva ebelah kiri 005 65 (Tabel Ditribui Normal Z Maka, harga buku rata-rata dega elag keercayaa 90%, adalah: ± z / 4840 ± (65 * 075 4840 ± 4 476 /d 4964 Atau $ 476 < < $ 4964 Yag berarti bahwa dega elag/tigkat keercayaa 90%, rata-rata harga buku yaitu $ 476 /d $ 4964 095 / 005 0 005 z Pedugaa Parameter ~ Statitika 7 4 Galat & Ukura Samel dlm Pedugaa Bila diguaka utuk meduga, maka dega tigkat keercayaa (- 00%, galat edugaa makimum, e adalah: e z / atau e z / Serig kita igi megetahui beraa bear ebuah amel haru diambil, agar galat edugaa tidak melebihi uatu ilai e Dalam hal ii jumlah amel, adalah: z / E adalah imaga baku oulai, bia dituruka dari ebagai etimatorya Pedugaa Parameter ~ Statitika 8 4
5 Selag Keercayaa Bagi Pedugaa Rata-Rata Poulai Pada Samel kecil Dalam uatu amel yag berukura kecil, dimaa < 30; imaga baku tidak diketahui; da ditribui medekati ormal utuk meghitug elag keercayaa diguaka ditribui amel t / / T - - T / 0 T / T Selag keercayaa ( - 00% bagi dieroleh ebagai berikut: (-T / < T < T / - - P(-T / < < T / - ( -T / < < T / - T / adalah ilai T dega derajat beba df - yg di ebelah kaa terdaat daerah elua / Pedugaa Parameter ~ Statitika 9 Cotoh: Dr Joh igi memrediki rata-rata tigkat koleterol utuk emua orag dewaa di ebuah kota Ia megambil 5 laki-laki dewaa ebagai amel da meemuka rata-rata tigkat koleterol amel terebut yaitu 86 dega imaga baku Jika diaumika tigkat koleterol utuk emua laki-laki dewaa di kota terebut terditribui ormal, tetuka elag keercayaa 95% utuk ratarata oulai 04750 04750 Peyeleaia: 5, 86, da df - 5-4 Tabel ditribui T df 4; / 005 T 064-064 Selag keercayaa bagi adalah: ( -T / < < T / 86 064 < < 86 064 805 < < 9095 5 5 005 005 Jadi dega tigkat keercayaa 95%, rata-rata koleterol utuk emua laki-laki dewaa di ebuah kota (A terletak berkiar atara 805 /d 9095 0 064 T Pedugaa Parameter ~ Statitika 0 5
6 Selag Keercayaa bagi Pedugaa Rata-Rata Poulai A Bila buah amel berukura da diambil dari oulai yag bear, dega da, maka beda kedua ilai rata-rata amel aka medekati ebara ormal - da Sehigga: ( - - ( - z ( / ( / Cotoh oal: Televii merek A dega umur rata-rata 65 tahu da imaga baku 09 tahu Sedagka merek B, dega 6 tahu da 08 tahu Beraa eluag bahwa ebuah amel acak yg terdiri 36 TV merek A memiliki umur tahu lebih lama dariada ratarata amel dega 49 TV merek B? Pedugaa Parameter ~ Statitika Peyeleaia: Poulai A 65 09 36 Poulai B 60 08 49 ( - - ( - z ( / ( / Ditribui amlig A - B : A B 65 60 05 A B (09/ 36 (064/ 49 089 0-05 z 089 65 Yag ditayaka adalah P( A - B 0? P( A - B 0 P(Z 65 P(Z < 65 Lihat Tabel Z 09960 0004 09960 05 00040 A - B 0 65 Z Pedugaa Parameter ~ Statitika 6
Selag keercayaa ( - 00% bagi - adalah : ( - ± z ( atau ( - ± z ( Z / adalah variabel ormal baku yag lua daerah diebelah kaa ebear / Latiha oal: Berdaarka laora Biro Statitik USA, ada tahu 993 ekerja bagia kotruki gaji rata-rata miggua $55, edagka ekerja bagia maufaktur ebear $487 Rata-rata gaji miggua terebut dihitug dari amel acak yag maig-maig terdiri dari 500 da 700 ekerja Jika diaumika imaga baku oulai maigmaig adalah $66 da $60, maka: a Hituglah ilai eduga bagi ( - b Dega elag keercayaa 95%, tetuka beda ilai rata-rata gaji miggua utuk dua oulai di ata! Pedugaa Parameter ~ Statitika 3 Peyeleaia: Diaumika: oulai bagia kotruki; oulai bagia maufaktur 500, $55, $66 700, $487, $60 a Nilai eduga bagi ( - $55 $487 $64 b Tigkat keercayaa (- 095 005 / 005 Z / 96 maka, 66 ( - ± z ( (55-487 ± 96 ( 500 60 700 64 ± 730 $5670 amai $730 Jadi dega tigkat keercayaa 95%, daat dikataka bahwa beda rata-rata gaji miggua utuk emua ekerja bagia kotruki da maufaktur adalah atara $5670 da $730 Pedugaa Parameter ~ Statitika 4 7
B Bila ukura amel kecil ( da < 30, diambil dari oulai yag terditribui (medekati ormal, da tidak diketahui, maka elag keercayaa ( - 00% bagi - adalah : ( - ± T ( - ( dimaa, ( - ( - - S ilai dugaa gabuga imaga baku dua oulai da adalah ragam dari dua amel T / ilai T dega df, yag lua daerah di ebelah kaa ebear / ( - - ( - T S ( Pedugaa Parameter ~ Statitika 5 Cotoh: Diketahui oulai da oulai, maig-maig diambil amel, dega ricia: 5, 80 miligram, 5 miligram, 77 miligram, 6 miligram Jika kedua oulai meyebar ormal, dega imaga baku oulai adalah ama, tetuka eliih rata-rata atara dua oulai dega tigkat keercayaa 95%! Peyeleaia: Diketahui oulai da oulai, maig-maig diambil amel, dega ricia: 5, 80 miligram, 5 miligram, 77 miligram, 6 miligram Pertama, hitug imaga baku - : ( - ( - (5-5 (-6 5466-5- - 5466 ( 5 57 Pedugaa Parameter ~ Statitika 6 8
Kedua, tetuka ilai T / dari tabel ditribui T : - 095 005 / 005 df 5 5 Nilai T dega df 5 da 005 lua daerah kaa dibawah kurva ditribui T 060 Sehigga : ( - ± T (80-77 ± 060( 57-3 ± 436-36 amai 736 Pedugaa Parameter ~ Statitika 7 C Bila ukura amel kecil ( da < 30, diambil dari oulai yag terditribui (medekati ormal, da tidak diketahui, maka elag keercayaa ( - 00% bagi - adalah : ( - ± T ( - ( dimaa T / ilai T yag lua daerah di ebelah kaa ebear / da derajat beba (df: df - - da ( - - ( - T S - Pedugaa Parameter ~ Statitika 8 9
7 Selag Keercayaa bagi Pedugaa Proori Proori oulai, diotaika ebagai meujukka raio jumlah eleme uatu oulai yag memiliki karakteritik tertetu dega jumlah total eleme oulai terebut N jumlah eleme oulai dega karakteritik tertetu N jumlah total eleme oulai Proori amel, diotaika ebagai meujukka ratio jumlah eleme uatu amel yag memiliki karakteritik tertetu dega jumlah total eleme amel terebut jumlah eleme amel dega karakteritik tertetu jumlah total eleme amel Cotoh : Mial terdaat 789654 keluarga di kota Deok, da 5638 dari keluarga terebut udah memiliki rumah ediri Pedugaa Parameter ~ Statitika 9 N ukura oulai 789654 keluarga yg udah memiliki rumah ediri 5638 Sehigga : Proori emua keluarga di Deok yag udah memiliki rumah ediri : N 5638 789654 07 Kemudia, jika diambil amel acak ebayak 40 keluarga, da teryata ada 58 keluarga yag udah memiliki rumah maka : ukura amel 40 keluarga dari amel yg udah memiliki rumah 58 58 40 066 Seerti rata-rata, roori amel juga meruaka variabel acak yag memiliki ditribui eluag yag diebut ditribui amlig Cotoh : Sebuah koulta memiliki 5 taf Tabel berikut adalah daftar 5 taf da egetahuaya ttg Statitika Pedugaa Parameter ~ Statitika 0 0
Nama Ali Joh Sua Lee Tom Samel 5 ( 3 033 067 00 033 067 00 Megerti Statitika Ya Tidak Tidak Ya Ya Pedugaa Parameter ~ Statitika 5! 0 3!(5-3! f 3 6 f 0 P( 3/0 030 6/0 060 /0 00 P( 0 Dari oulai ii, roori taff yag megerti tatitika : 3/5 060 Jika diambil amel berukura 3 dari oulai terebut, maka aka dihailka 0 kemugkia kombiai amel Samel Ali, Joh, Sua Ali, Joh, Lee Ali, Joh, Tom Ali, Sua, Lee Ali, Sua, Tom Ali, Lee, Tom Joh, Sua, Lee Joh, Sua, Tom Joh, Lee, Tom Sua, Lee, Tom Proori yag Megerti Statitika ( /3 033 /3 067 /3 067 /3 067 /3 067 3/3 00 /3 033 /3 033 /3 067 /3 067 Utuk yag bear ( 30 ebara bagi terditribui medekati ormal dega rata-rata da imaga baku : da q q ; bia diduga dega q P ( < < P (z / < z < z / ( - dimaa Z - Selag keercayaa bagi : - z < < z Cotoh : Berdaarka laora Biro Seu USA, 86% dari eluruh keluarga di New York, memiliki kedaraa roda 4 Jika adalah roori uatu amel acak berukura 0 keluarga yag memiliki kedaraa roda 4, tetuka eluag bahwa ilai adalah atara 088 da 09 Pedugaa Parameter ~ Statitika
Peyeleaia : Diketahui : 086 da q 086 04 adalah roori eluruh keluarga yag memiliki kedaraa roda 4 Ditayaka : P(088 < < 09? 086 da q (086(04 0-088 - 086 Utuk 088 z 063 0037-09 - 086 Utuk 09 z 89 0037 Sehigga, eluag bahwa atara 088 da 09 ditujukka dega lua daerah dibawah kurva ormal baku atara z 063 da z 89 P(088 < < 09 P(063 < z < 89 P(0 < z < 89 - P(0 < z < 063 04706 0357 0349 0037 086 09 088 0349 0037 0 89 z 063 Pedugaa Parameter ~ Statitika 3 Cotoh : Berdaarka hail oolig terhada 500 waita, dieroleh iformai bahwa ebayak 79% dari mereka daat melakuka emerikaa terhada oli kedaraa Buatlah elag edugaa roori bagi eluruh waita yag daat melakuka emerikaa terhada oli kedaraa mereka dega tigkat keercayaa 98%! Peyeleaia : Diketahui : 500, 079 maka q 079 0 adalah roori amel waita yag daat melakuka emerikaa terhada oli kedaraa mereka Ditayaka : - z < < z Maka: q (079(0 bia diduga dega 008 500 Utuk tigkat keercayaa 98% - 098 00 / 00 Nilai Z dega / 00 adalah 33 Sehigga, elag edugaa roori bagi eluruh waita yag daat melakuka emerikaa terhada oli kedaraa mereka dega tigkat keercayaa 98% : - z < < z 079 ± 33 (008 0748 /d 083 Pedugaa Parameter ~ Statitika 4
8 Galat & Ukura Samel dlm Pedugaa Bila diguaka utuk meduga, maka dega tigkat keercayaa (- 00%, galat edugaa makimum, e adalah: e z / q Serig kita igi megetahui beraa bear ebuah amel haru diambil, agar galat edugaa tidak melebihi uatu ilai e Dalam hal ii jumlah amel, adalah: z q E Cotoh : Dari 500 orag amel acak, ebayak 60 orag meyukai makaa ea food Jika kita igi ercaya 95%, bahwa ilai dugaa roori orag yg meyukai ea food yag dihailka berada dalam 00 dari ilai roori yg ebearya, tetuka jumlah ukura amel yg dierluka! Pedugaa Parameter ~ Statitika 5 Peyeleaia : z q 60 diketahui 500, 03 q 03 068 E 500 Utuk tigkat keercayaa 95% - 095 005 / 005 Nilai Z dega / 005 adalah 96 Maka: z q (96 (03(068 090 E (00 Pedugaa Parameter ~ Statitika 6 3
9 Selag Keercayaa bagi Pedugaa Seliih Proori Bila da maig-maig adalah roori keberhaila dalam amel acak yag berukura da erta q - da q, maka elag keercayaa (- 00% bagi eliih atara - : ( - -( z - q < - < ( - z - q q ( - - z q Cotoh oal: Suatu ollig dilakuka terhada eduduk kota A da eduduk di ekitar kota terebut, utuk megetahui kemugkia diajukaya uatu recaa embagua TPA amah Bila 400 diatara 5000 eduduk kota da 00 dari 000 eduduk ekitar etuju dega recaa tb, tetuka eliih roori ebearya yag etuju dega tigkat keercayaa 90%! Pedugaa Parameter ~ Statitika 7 Peyeleaia : - eliih roori 400 048 5000 00 ; 060 000 Utuk tigkat keercayaa 90% - 090 00 / 005 Nilai Z dega / 005 adalah 65 Maka eliih - dega tigkat keercayaa 90% : q q < - < ( - z q ( - - z (048(05 (060(040 (048-060 ± 65 5000 000-044 < - < - 00986 q Pedugaa Parameter ~ Statitika 8 4