ESTIMASI TITIK DAN INTERVAL KEPERCAYAAN

Transkripsi

1 8/8/0 IE 305 tatistika Idustri LOGO ETIMAI TITIK DAN INTERVAL KEPERCAYAAN Elty arvia, T.,MT. Fakultas Tekik Jurusa Tekik Idustri Uiversitas Kriste Maraatha Badug LT arvia/esi Tujua Medefiisika suatu estimasi titik (poit estimate) Medefiisika tigkat kepercayaa (level of cofidece) Membuat iterval kepercayaa utuk rata-rata populasi apabila diketahui stadar deviasi populasiya Membuat iterval kepercayaa utuk rata-rata populasi apabila stadar deviasi populasiya tidak diketahui Membuat iterval kepercayaa utuk suatu proporsi populasi. Meetuka ukura sampel utuk samplig atribut da samplig variabel LT arvia/0

2 8/8/0 Estimasi Titik Adalah statistik yag dihitug dari iformasi sampel yag diguaka utuk memperkiraka parameter populasi. Cotoh : Best Buy Ic. igi memperkiraka rata-rata umur pembeli televisi. Mereka memilih sampel berisi 50 pembeli terakhir, meetuka umur masig-masig pembeli, da memperhitugka rata-rata umur pembeli dalam sampel tersebut. Rata-rata sampel tersebut adalah estimasi titik dari rata-rata populasi. Rata-rata sampel ( x ), adalah estimasi titik dari rata-rata populasi m; p (proporsi sampel) adalah estimasi titik dari p (proporsi populasi); da s (stadar deviasi sampel) adalah estimasi titik dari s (stadar deviasi populasi). ecara umum, parameter populasi aka diberi simbol (baca theta). Jadi bisa merupaka rata-rata m, simpaga baku s da proporsi p. LT arvia/0 Karakteristik ampel da Populasi Karakteristik Populasi : m, s, p Karakteristik ampel : Megestimasi x pˆ Peduga / Estimator LT arvia/0

3 8/8/0 Estimasi Titik Estimasi titik haya meceritaka sebagia dari kisah keseluruha. Estimasi titik adalah ilai tuggal yag berasal dari suatu sampel da diguaka utuk memperkiraka ilai populasi. Kita berharap bahwa estimasi titik ilaiya sedekat mugki dega parameter populasi, karea itu aka kita ukur berapa dekat ilai tersebut sebearya. Iterval kepercayaa dapat diguaka utuk melakuka pegukura tersebut. Iterval Kepercayaa adalah kisara ilai yag dibuat dari data sampel di maa parameter populasi cederug terjadi dalam kisara tersebut dega probabilitas yag spesifik. Probabilitas spesifik ii disebut tigkat kepercayaa (level of cofidece). Misalka, kita memilih sampel yag tdd 50 eksekutif muda utuk megetahui berapa jam yag mereka habiska utuk bekerja selama miggu lalu. Hitug rata-rata dari sampel 50 orag ii da guaka ilai rata-rata sampel sebagai estimasi titik dari rata-rata populasi yag tidak diketahui. Estimasi adalah ilai tuggal. Pedekata yag lebih iformatif adalah dega memberika kisara ilai yag kita harapka aka terjadi dalam parameter populasi tertetu yaitu yag kita sebut iterval kepercayaa LT arvia/0 yarat Estimator Estimator dikataka Kosiste, jika Estimator tetap kosiste / berkosetrasi pada peduga yag dibuat, atau : Bila s = 0 da tidak bias, peduga yag secara sempura ilaiya berkosetrasi di ilai targetya bila sampel diperbesar sampai tak terhigga ( ) atau maki besar ukura sampel, maka statistik peduga maki medekati parameter populasi.. Tidak Bias. Efisie : 3. Kosiste : Estimator dikataka Efisie, jika Estimator tersebut memiliki Variasi terkecil Estimator dikataka Tidak Bias, jika ilai tatistik sampel = ilai Parameter Populasi LT arvia/0 3

4 8/8/0. Peduga Tak Bias ө E (ˆ) E(ˆ ) Gambar Gambar Peduga tak bias artiya peduga yag dega tepat megeai sasara, seperti yag ditujukka pada gambar. edagka peduga bias artiya peduga yag tidak tepat megeai sasara atau disebut meleset, seperti yag ditujukka pada gambar. LT arvia/0. Peduga Yag Efisie s s s 3 E( ˆ) 0 Gambar 3 s s s 3 Gambar 3 meujukka ada tiga peduga ˆ, ˆ, da ˆ 3 yaitu yag diperoleh dari 3 sampel, dimaa distribusi sampel mempuyai variasi σ, sampel mempuyai variasi σ, sampel 3 mempuyai variasi σ 3. Oleh karea sampel mempuyai variasi palig kecil, maka dikataka ˆ merupaka peduga yag efisie. LT arvia/0 4

5 8/8/0 3. Peduga Yag Kosiste ampel 3, 3 ampel, ampel, ˆ Gambar 4 Gambar 4 ditujukka bahwa ukura sampel, yaitu, lebih kecil daripada ukura sampel, yaitu da lebih kecil dari ukura sampel 3, yaitu. Terlihat bahwa maki besar ukura sampel, maka statistik peduga maki medekati parameter dari populasi, dimaa distribusi sampel kosiste bergerak ke kiri LT arvia/0 ifat Estimasi Diketahui statistik sampel (sebagia) da berbicara tetag parameter (seluruh), estimasi parameter megadug probabilitas keliru Maki lebar iterval estimasi maki kecil probabilitas keliru Namu maki lebar iterval estimasi maki kecil ketepataya sehigga maki redah kadar iformasiya 3 ebalikya, maki sempit iterval estimasi maki besar probabilitas keliru, amu maki tiggi kadar iformasiya Iterval estimasi berusaha mecari imbaga terbaik di atara probabilitas keliru da kadar iformasi LT arvia/0 5

6 8/8/0 6 Rumus-rumus Estimasi : NORMAL NORMAL Bila < 30 da s tidak diketahui Bila 30 da s diketahui = Bila < 30 da s diketahui Text Text Text LT arvia/0 I. Estimasi Iterval Rata-Rata Populasi ( m ) INGAT FAKTOR KOREKI! Z Z - / / s m s Bila 30 da s tidak diketahui Z Z - / / m t t - / / m ;v = Persamaa I. Persamaa I. Persamaa I.3 Rumus-rumus Estimasi : NORMAL LT arvia/0 II. Estimasi Iterval Rata-Rata Populasi. Bila s & s diketahui utuk : & 30 da & < 30 Z - Z - / / s s m m s s. Bila & 30 da s & s tidak diketahui Z - Z - / / m m 3. Bila & < 30 da s & s tidak diketahui s s cek dega Uji F apakah s s p t - p t - / / m m - v ; - - p Persamaa II. Persamaa II. Persamaa II.3

7 8/8/0 Rumus-rumus Estimasi : NORMAL II. Estimasi Iterval Rata-Rata Populasi 4. Bila & < 30 da s & s tidak diketahui s s - t - m m / t / V Persamaa II.4 LT arvia/0 Rumus-rumus Estimasi : NORMAL II. Estimasi Iterval Rata-Rata Populasi 5. Utuk pegamata berpasaga : d d d - t/ m D d t/ dimaa : v = di d ; d i = d di - ( -) di Persamaa II.5 Ciri-ciri pegamata berpasaga :. Jumlah ukura sampel-ya sama = =. Dilakuka terhadap idividu yag sama / idetik medapat perlakua yag sama LT arvia/0 7

8 8/8/0 Rumus-rumus Estimasi : NORMAL III. Estimasi Iterval Proporsi Text pˆ qˆ pˆ qˆ Utuk Populasi : pˆ - Z / p pˆ Z / Persamaa III. Estimasi Iterval Proporsi Utuk Populasi : pˆ qˆ pˆ qˆ Text p p pˆ - pˆ - Z pˆ pˆ / qˆ - Z / LT arvia/0 Persamaa III. pˆ pˆ qˆ Rumus-rumus Estimasi : NORMAL IV. Estimasi Iterval Variasi Estimasi Iterval Variasi Utuk Populasi : ( -) / s ( -) Lihat Tabel Chi-quare Persamaa IV. / Persamaa IV. f / ( v, v Utuk Populasi : s ) s f / ( v, v) LT arvia/0 Lihat Tabel F 8

9 8/8/0 Uji F : utuk megetahui apakah s = s atau s s. truktur Hipotesis : H 0 : s = s H : s > s. Taraf yata : = 0,05 uji arah ( sebelah kaa ) 3. tatistik Uji : Uji F F,4 0,66 4. Wilayah Kritis = 0,05 v = 6 = 5 v = 0 = 9 3,530 f 0,05 ( 5, 9 ) = 3,0 3,530 Keputusa 3,0 : Tolak H 0 Kesimpula : s s LT arvia/0 Cotoh oal :. ebuah sampel acak tdd 00 mahasiswa telah diambil dari sebuah uiversitas megeai ilai-ilai IQ-ya da meghasilka ilai rata-rata da simpaga baku 0. Jika dikehedaki iterval taksira rata-rata dega tigkat kepercayaa 95%. Hituglah iterval selag kepercayaa tersebut. Jawab Diketahui : = 00 x 0 Dist. Z Tkt. kepercayaa = 95 % = 95% = 0,05 / = 0,05 Z / = ±,96 LT arvia/0 9

10 8/8/0 Jawab : elag kepercayaa 95 % bagi ilai tegah ilai IQ Mahasiswa dari sebuah Uiversitas adalah : - Z / m Z / 0 -,96 m, ,04 m 3, Persamaa I. Kesimpula : kita percaya 95 % bahwa IQ rata-rata mahasiswa aka ada dalam iterval dega batas 0,04 3,96 LT arvia/0 Cotoh oal :. Idem soal o.. Jika dikehedaki iterval taksira rata-rata dega tigkat kepercayaa 99%. Hituglah iterval selag kepercayaa tersebut. Jawab Diketahui : = 00 x 0 Dist. Z Tkt. kepercayaa = 99 % = 99% = 0,0 / = 0,005 Z / = ±,58 LT arvia/0 0

11 8/8/0 Jawab : elag kepercayaa 99 % bagi ilai tegah ilai IQ Mahasiswa dari sebuah Uiversitas adalah : - Z / m Z / Persamaa I ,58 m, ,4 m 4,58 Kesimpula : kita percaya 99 % bahwa IQ rata-rata mahasiswa aka ada dalam iterval dega batas 09,4 m 4,58 Dari cotoh diatas, dapat dilihat bahwa maki besar selag kepercayaa maki lebar jarak iterval kepercayaa da sebalikya. Jika batas-batas selag kepercayaa mejadi satu, kita peroleh titik taksira dega derajat kepercayaa palig kecil LT arvia/0 Cotoh oal : 3. Isi kaleg asam sulfat adalah 9,8 ; 0, ; 0,4 ; 9,8 ; 0,0 ; 0, ; & 9,6 liter. Tetuka selag kepercayaa 95% bg ilai tegah isi semua kaleg, bila isi kaleg itu meyebar ormal! Jawab Diketahui : = 7 9,8 0,... 9,9 x 0 7 9,8 0 0, , ,83 Dist. t LT arvia/0

12 8/8/0 Jawab : Tkt. kepercayaa = 95 % = 95% = 0,05 / = 0,05 v = = 7 = 6 t / = ±,447 elag kepercayaa 95 % bagi ilai tegah isi semua kaleg - t / m t / Persamaa I.3 0,83 0,83 0,0 -,447 m 0,0, ,74 m 0,6 LT arvia/0 Cotoh oal : 4. Misalka kita igi meaksir ada berapa perse aggota masyarakat berumur 5 tahu ke atas termasuk ke dalam gologa darah A. Utuk itu sebuah sampel acak berukura =.00 diambil yag meghasilka 504 tergolog kategori A. Tetuka selag kepercayaa 95% bagi proporsi aggota masyarakat yag memiliki gologa darah A Diketahui x = 504 (gol darah A) =.00 pˆ x ,4 4% q = -p= -0,4 = 0,58 Tkt. kepercayaa = 95 % = 95% = 0,05 / = 0,05 Z / = ±,96 LT arvia/0

13 8/8/0 Jawab : elag kepercayaa 95 % bagi bagi proporsi aggota masyarakat yag memiliki gologa darah A adalah : pˆ - pˆ qˆ pˆ qˆ Z / p pˆ Z / 0,4 -,96 0,4 0,58 0,4 0,58 p 0,4, ,39 p 0,45 Persamaa III. Kesimpula : kita percaya 95 % bahwa persetase aggota masyarakat yag termasuk gologa darah A aka ada dalam iterval 0,39 p 0,45 LT arvia/0 Cotoh oal : 5. Ada dua cara pegukura utuk megukur kelembaba sesuatu zat. Cara I dilakuka 60 kali yag meghasilka rata-rata 70, 4 da s = 37,. Cara II dilakuka 50 kali yag meghasilka rata-rata 60, da s = 4,7. Tetuka selag kepercayaa 95% bagi perbedaa rata-rata pegukura dari kedua cara itu. Cara I = 60 = 50 x 70,4 x 60, s = 37, Cara II s = 4,7 Tkt. kepercayaa = 95 % = 95% = 0,05 / = 0,05 Z / = ±,96 Dist. Z LT arvia/0 3

14 8/8/0 Jawab : elag kepercayaa 95% bagi perbedaa rata-rata pegukura dari kedua cara itu adalah : - Z - m m / 37, 4, Kesimpula : kita percaya 95 % bahwa selisih rata-rata pegukura kedua cara itu aka ada dalam iterval 8,3 m m 8,33 Z /,4 60, -,96 m - m 70,4 60, Persamaa II. 37, 4,7, ,3 m m 8,33 LT arvia/0 Cotoh oal : 6. 0 mahasiswa tigkat satu dibagi ke dalam 0 pasag, dimaa setiap pasag kira-kira mempuyai IQ yag sama. alah seorag dari setiap pasaga diambil secara acak & dimasukka ke dalam kelas yag haya megguaka baha terprogramka. Aggota pasaga yag lai dimasukka ke dalam kelas biasa. Pada akhir semester, ke- grup itu diberika ujia yag sama da hasilya adalah sbb : Pasaga Kelas dega baha terprogramka Kelas Biasa Tetuka selag kepercayaa 98 % bagi selisih sesugguhya dalam kedua metode pegajara tersebut! Asumsika data kedua populasi meyebar meghampiri ormal. LT arvia/0 4

15 8/8/0 Jawab No. 6 Kelas dega baha terprogramka Kelas Biasa = 0 = 0 Dist. t - berpasaga Tkt. kepercayaa = 98 % = 98% = 0,0 / = 0,0 v = = 0 = 9 t / = ±,8 LT arvia/0 Jawab No. 6 () Pasaga Kelas dega baha terprogramka Kelas Biasa d d = LT arvia/0 5

16 8/8/0 Jawab No. 6 (3) di 6 d,6 0 di - di d ( -) (0*39 ) (0 -) 6,38 elag kepercayaa 98 % bagi selisih sesugguhya dalam kedua metode pegajara adalah : d d d - t/ m d t/ Persamaa II.5 D 6,38 6,38 -,6 -,8 md -,6, ,9 m D 4,09 LT arvia/0 Memilih Ukura ampel yag Tepat Tigkat kepercayaa yag diharapka Batas Kesalaha yag diterima Ukura sampel yag tepat Variabilitas populasi yag sedag diteliti LT arvia/0 6

17 8/8/0 Memilih Ukura ampel yag Tepat (). Tigkat kepercayaa yag diharapka Faktor pertama adalah tigkat kepercayaa (level of cofidece). Orag yag aka melakuka peelitia harus memilih tigkat kepercayaaya. Tigkat kepercayaa 95 % da 99 % adalah yag palig lazim, tetapi ilai berapapu ataa 0 da 00 dapat dipilih. emaki tiggi tigkat kepercayaa yag dipilih, harus semaki besar ukura sampelya.. Batas kesalaha yag dapat diterima Faktor yag kedua adalah kesalaha yag diizika (allowace error). Maksimal kesalaha yag diizika, dilambagka dega e, adalah jumlah yag ditambahka pada da dikuragka dari rata-rata sampel (atau bagia sampel) utuk meetuka ilai dari iterval kepercayaa. Ii adalah jumlah kesalaha yag dapat ditolerasi oleh pihak yag melakuka peelitiaya. uatu ilai yag kecil utuk kesalaha yag diizika aka membutuhka sebuah sampel yag besar. LT arvia/0 Memilih Ukura ampel yag Tepat (3) 3. Variabilitas populasi yag sedag diteliti Faktor ketiga dalam meetuka ukura sampel adalah stadar deviasi populasi (populatio stadard deviatio). Jika populasi tersebar secara luas, dibutuhka sampel yag besar. Disisi lai, jika populasiya terkosetrasi (homoge), ukura sampel yag dibutuhka lebih kecil. agat petig utuk megguaka estimasi dalam stadar deviasi populasi. LT arvia/0 7

18 8/8/0 Beberapa rumus yag serig diguaka utuk mecari ukura sampel miimum yaitu :. Ukura cotoh utuk pedugaa m :. Ukura cotoh utuk pedugaa p : z.σ e / dimaa : e : error / galat z /. e / z 4 e pˆ qˆ LT arvia/0 Cotoh oal : 7. eorag mahasiswa jurusa admiistrasi egara igi megetahui ratarata dari jumlah pedapata setiap bula aggota dewa kota. Kesalaha estimasi rata-rataya adalah kurag dari $00 dega tigkat kepercayaa 95 %. Mahasiswa ii meemuka sebuah lapora oleh Departeme Teaga Kerja yag telah memperkiraka stadar deviasiya sebesar $.000. Berapakah ukura sampel yag diperluka? Jawab : Tigkat kepercayaa = 95% = 95% = 0,05 / = 0,05 Z / = ±,96 e = $ 00 s = $.000 LT arvia/0 8

19 8/8/0 Jawab : Ukura ampel : / z.σ e, ,6 384,6 385 ebuah sampel sebayak 385 dibutuhka utuk medapatka spesifikasiya. Jika mahasiswa ii igi meigkatka tigkat kepercayaaya, sebagai cotoh 99 %, aka dibutuhka sampel yag besar, maka : Tigkat kepercayaa = 99% = 99% = 0,0 / = 0,005 Z / = ±,575 / z.σ e, ,75 663, LT arvia/0 Cotoh oal : 8. ebuah peelitia memperkiraka proporsi kota-kota yag ada kolektor sampah swastaya. Mahasiswa ii igi batas kesalahaya berada berada dalam 0,0 dari proporsi populasi, tigkat kepercayaa yag diharapka adaah 90 %, da estimasi yag tersedia utuk proporsi populasi. Berapakah ukura sampel yag diperluka? Jawab : Tigkat kepercayaa = 90% = 90% = 0, / = 0,05 Z / = ±,645 e = 0,0 Karea tidak ada estimasi proporsi populasi yag tersedia, kita guaka 0,5 pˆ 0, 5 LT arvia/0 9

20 8/8/0 Jawab o 8 Jawab : Ukura ampel : z. pˆ qˆ,645 x0,5x0,5 / 67,65 68 e 0, Mahasiswa ii memerluka sebuah sampel acak sebayak 68 kota LT arvia/0 oal Latiha. ebuah sampel radom terdiri dari 6 orag da 5 orag dipilih dari buah populasi ormal utuk diukur tiggi badaya. Dari hasil observasi diperoleh data sbb : ampel 57,8 56, 6,9 54,4 53,6 56,5 ampel 64, 58,5 59, 59,8 63,0 Buat iterval keyakia sebesar 95 % gua meduga selisih ratarata ke- populasi tsb! Jawab : Cek dulu apakah s = s dega Uji F LT arvia/0 0

21 8/8/0 oal Latiha. Telah ditimbag 0 buah tomat dega hasil (dalam gram) : 4, 57, 38, 75, 5, 49, 48, 00, 8, 64. Jika berat tomat berdistribusi ormal, tetuka iterval kepercayaa 95 % utuk rata-rata berat tomat. LT arvia/0 oal Latiha 3. Metode latiha pertama telah diguaka terhadap 50 orag da 60 orag diyataka berhasil. Metode latiha kedua dilakuka terhadap 300 orag da 5 berhasil. Tetuka iterval kepercayaa 95 % utuk selisih persetase sebearya bagi yag berhasil. LT arvia/0

22 8/8/0 LOGO QUIZ????