GRAFIKA

6 5 7 3 6 3 3 GRAFIKA 3 6 57 08 0 9 5 9 385 946 5 3 30 0 8 9 5 9 3 85 946 5

ANALISA REAL Utu uliah (pegatar) aalisa real yag dilegapi dega program MATLAB Dr. H.A. Parhusip G R A F I K A Peerbit Tisara Grafia SALATIGA 03

Katalog Dalam Terbita 55.8 PAR Parhusip, H. A. a Aalisa real: utu uliah (pegatar) Aalisa Real yag dilegapi dega program MATLAB/ H. A. Parhusip. - - Salatiga: Tisara Grafia, 03. i, 4 hlm. ; 3 cm. ISBN 979-60-9493-3-9. Fuctio of real variables.. Fuctioal aalysis. 3. Mathematical aalysis. 4. MATLAB. I. Title. Cetaa pertama : Otober 03 ISBN : ISBN 979-60-9493-3-9 Ha Cipta : Pada Peulis Disai Sampul : Tisara Grafia Tata leta : Harrie Siswato Percetaa : Tisara Grafia Peerbit : Tisara Grafia Ha Cipta dilidugi oleh Udag-udag Dilarag megutip atau memperbaya sebagia atau seluruh buu ii tapa seiji peulis Diterbita oleh: G R A F I K A JL. DIPONEGORO 98 D - SALATIGA 5074 - JAWA TENGAH Telp.: 098-3798 Mobile: 08 8 598 985 089 0488 3400, 098-63870 Fa : 098-3798 email: harisis_05@yahoo.com, harriesiswato@gmail.com Ba: BNI Cabag Salatiga No. Re. 369 57809

Didediasia epada mahasiswa da pegajar S Matematia da Pedidia Matematia pada umumya

Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, 493-3-9,Tisara Grafia Salatiga, ISBN 979-60-9,4 hlm KATA PENGANTAR Aalisa real merupaa salah satu mata uliah wajib pada aras S matematia da S matematia maupu pedidia matematia. Mata uliah ii lebih megaalisa secara formal tetag fugsi-fugsi yag dieal di alulus hususya utu fugsi peubah. Karea sediitya beredar buu aalisa real dalam bahasa Idoesia, hal ii medorog peulis utu meulis buu ii sehigga buu ii dapat sebagai materi awal utu memulai memahami aalisa real. Demiia pula cara peyajia mata uliah ii serigali tida melibata omputer dalam memvisualisasia barisa bilaga real da barisa fugsi, sehigga mahasiswa esulita dalam memformala pemahama yag diperoleh. Dega adaya pegguaa omputer dalam aalisa real sebagaimaa disajia pada buu ii, maa diharapa mahasiswa dapat dega mudah megiuti mata uliah ii da megembagaya. Buu ii lebih baya merupaa terjemaha dari beberapa buu aalisa real (lihat daftar pustaa). Pada tahu 005 peulis mulai terlibat lagsug utu melatih olimpiade mahasiswa, dari eterlibata ii peulis mejadi belajar lebih baya da harus selalu belajar. Hal ii juga meyadara, bahwa teryata apa yag peulis pelajari selama ii belum cuup baha masih sagat jauh. Dega melibata mahasiswa pada berbagai egiata olimpiade terutama yag diseleggaraa oleh UGM, UI yag beerjasama dega Pertamia, peulis dapat belajar meguur sejauh maa peruliaha S di Program Studi Matematia Faultas Sais da Matematia Uiversitas Kriste Satya Wacaa. v

Peulis juga mejumpai esulita utu mecari buu yag memberia wawasa tipe soal olimpiade mahasiswa, hususya matematia bidag aalisa real. Oleh area itu peulis sagat terbeba utu meyusu buu ii. Palig tida, buu ii memberia wawasa mula-mula bagi pemula yag belum perah megiuti olimpiade da juga memberia dasar-dasar teori yag diperlua utu tipe soal olimpiade matematia tigat mahasiswa. Peulis sagat berharap mahasiswa semai bersemagat berompetisi utu meguji seberapa jauh emampua bermai matematia. Kiraya buu ii mejadi awalya. Salatiga, Otober 03 Peulis vi

Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, 493-3-9,Tisara Grafia Salatiga, ISBN 979-60-9,4 hlm DAFTAR ISI Hlm KATA PENGGANTAR v DAFTAR ISI vii BAB I. Bagia Cara Meulis Buti Barisa Bilaga real yag -8 overge da diverge dega ilustrasi MATLAB.. Latar Belaag.. Kesimpula da Sara 9.3. Latiha Soal da Jawab Aalisa Real Latiha. Latiha. 5 Bagia 9-64. Beberapa teorema petig pada bilaga real 9.. Barisa Terbatas 33.3. Latiha Soal.3 39 Latiha Soal.4 4 Latiha Soal.5 47.4. Barisa Mooto 49 Latiha.6 56.5. Barisa Cauchy 57 Latiha soal.7 60 BAB II DERET BILANGAN REAL 65-94.. Pedahulua 65.. Koverge da diverge deret 66.3. Uji Kovergesi utu deret dega suu-suu 68 taegatif.3.. Proposisi 3b 69.3. Tes Itegral (utu deret ta egatif) 69.3.3. Tes Aar 75 vii

Latiha soal. 77 Latiha soal. 79.4. Deret Gati tada (Alteratig Series) 80 Latiha soal.3 84.5. Koverge Bersyarat da Koverge Absolut 84.5.. Tes Badig 87 Latiha soal.4 88.6. Peyusua ulag Deret 90 Latiha soal.5 9 Latiha soal.6 9 BAB III. TOPOLOGI di R 95-07 3. Ruag dimesi 95 3. Pertidasamaa Schwarz 96 3.3 Pertidasamaa Segitiga 99 3.4 Kovergesia Completeess di R 00 3.5 Subhimpua tertutup da terbua 04 3.6 Compact set da Teorema Heie Borel 06 Latiha soal 3 06 BAB IV. LIMIT FUNGSI, BARISAN, DAN 09-96 DERET FUNGSI 4. Limit fugsi da fugsi otiu 09 Latiha soal 4. 7 4. Fugsi disotiu 0 Latiha soal 4. 8 4.3 Sifat-sifat fugsi otiu 8 4.3. Compactess da Nilai Estreem 3 4.4 Limit Barisa Fugsi 34 Latiha soal 4.3 4 4.5 Kovergesi seragam da Kotiuitas 45 4.6 Teorema Kelegapa utu C ( K, R ) 46 Latiha soal 4.4 48 4.7 Kovergesi seragam pada Itegral 5 4.7. Atura Leibiz 5 viii

Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, 493-3-9,Tisara Grafia Salatiga, ISBN 979-60-9,4 hlm Latiha soal 4.5 55 4.8 Deret Fugsi-Fugsi 57 48.Tes deret fugsi 6 Latiha soal 4.6 68 4.9 Deret pagat (power series) 70 Latiha soal 4.7 80 4.0 Lebih lajut dega deret, hususya deret 83 Taylor Latiha soal 4.8 90 4.0. Deret Taylor utu turua fugsi 94 BAB V. Ruag METRIK (metric space) 97-0 5. Pedahulua 97 5. Defiisi da Beberapa Teorema 97 Latiha soal 5. 0 Latiha soal 5. 0 5.3 Homeomorphism 03 Latiha soal 5.3 09 BAB VI Cotoh SOAL JAWAB OLIMPIADE MAHASISWA Bidag ANALISA REAL 3-7 Bidag Aalisis Soal Olimpiade Mahasiswa Se Jawa-Bali Bidag 3 Aalisis Real 5 Mei 007 i

Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, 493-3-9,Tisara Grafia Salatiga, ISBN 979-60-9,4 hlm. BAB I Bagia CARA MENULIS BUKTI BARISAN BILANGAN REAL YANG KONVERGEN DAN DIVERGEN dega ilustrasi MATLAB. Latar Belaag Cara memahami da meulisa embali buti dalam matematia merupaa masalah yag umum bagi siswa, mahasiswa maupu pegajar. Selama ii serigali siswa diajar dega tei berhitug sedaga cara meuaga alasa secara matematis sagat miim diajara. Demiia pula megomuiasia hasil hituga secara formal da saitifi (megiuti aidah matematia) juga sagat mugi belum dialami siswa sehigga etia mejadi mahasiswa matematia hal itu mejadi edala yag sagat besar. Kemampua megugapa alasa dalam aalisis sagat diperlua. Utu itulah emampua ii perlu diaji da diembaga. Terlebih lagi adaya pegguaa omputer, maa aalisis sagat terbatu utu megugapa feomea umum dari suatu asus yag dipelajari. ANALISA REAL

Tulisa ii aa megispirasi bagaimaa meulisa pembutia secara formal dalam aalisa real hususya tetag overgesi atau divergesi suatu barisa bilaga real. Kasus yag dipelajari sagat sederhaa yaitu barisa (a). 3 a (b). a 4 (c). a e. Dari etiga asus yag dipelajari sebagai cotoh maa diharapa mahasiswa dapat megolah soal jawab yag terait dega pembutia tersebut. Kasus. a 3 3 /. Utu maa / 0 da / 0 /. 3 / Oleh area itu lim a lim 3/ 3. / overge e 3. Jelas barisa Biasaya mahasiswa meulis haya berheti sampai disii. Secara formal matematis, maa perlu ditulis lebih elegat. Secara formal, suatu barisa bilaga real diataa overge (puya limit) dega defiisi beriut. Aalisa Real dega MATLAB

Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, 493-3-9,Tisara Grafia Salatiga, ISBN 979-60-9,4 hlm. Defiisi. (Goldberg,976) Suatu barisa bilaga real a diataa mempuyai limit L, atau barisa tersebut overge e L ditulis lim L a artiya utu sembarag 0, pertidasamaa L harus dipeuhi utu semua ilai N. Dega ata lai a L harus dipeuhi utu semua ilai, ecuali palig baya pada bilaga berhigga, sebutlah pada =,,,N-. Utu memahami defiisi tersebut ita aa membahas barisa 3 a da aa membutia dega meulis- a secara formal bahwa a lim a 3 / lim / 3/ 3. Perlu dibutia bahwa lim a 3. Artiya utu sembarag 0, pertidasamaa a 3 harus dipeuhi utu semua ilai, ecuali palig baya pada bilaga berhigga, sebutlah pada =,,,N-. Sedaga pada =N berlau da N pada umumya tergatug pada ilai. Kita dapat mempelajari hal ii dega medaftar sebagai tahap observasi. Agar membuat daftar dega mudah, ita ANALISA REAL 3

dapat megguaa MATLAB sebagai alat batu. Program tetag ii da hasil eluara ditujua pada Tabel da Gambar. Tabel a. Daftar Program utu meggambar a 3 3 / /. clear close all =[:00]'; a=ilie('(3* +)./(+)',''); a=a(); figure() plot(,a,'o'); epsu=3-a; Daftar=[ a epsu] Tabel b. Daftar Program utu medaftar a 3 3 / / utu merupaa elipata 0 (buat sebagai elajuta Tabel a =0;j=; while <=00 g=g(); epsu=3-g; Daftar=[ g epsu] Simpa(j,:)=Daftar j=j+ =j*0; ed Gambar membatu ituisi ita utu medapata pemahama sifat overge barisa tersebut yaitu 3. Yag mejadi masalah berapaah = N sehigga ita dapat mejami limit barisa tersebut 3?. Apabila hasil Gambar didaftar utu beberapa (misalya elipata 0) maa ita dapat 3 medaftar setiap da ilai a serta yag diperoleh. Kita dapat meambaha peritah pada program sebagaimaa ditujua pada Tabel b. 4 Aalisa Real dega MATLAB

Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, 493-3-9,Tisara Grafia Salatiga, ISBN 979-60-9,4 hlm. Gambar. Visualisasi a 3 3 / / utu beberapa Tabel. Daftar, ilai barisa tiap da ilai utu tiap. a 0.5833 0.467 0.777 0.73 30.8438 0.563 40.880 0.90 50.9038 0.096 60.994 0.0806 70.9306 0.0694 80.9390 0.060 90.9457 0.0543 00.950 0.0490 ANALISA REAL 5

Secara aaliti, umumya ita tetapa, emudia ita dapat medapata ilai =N yag sesuai dega yag dipilih. Dega ata lai ita perlu memformulasia utu suatu =N yag umumya tergatug pada. Sedaga Tabel diperoleh dega meetapa ilai terlebih dahulu sehigga ilai diperoleh merupaa selisih ilai a dega 3 (yag sudah ita laim sebagai limit barisa). Secara omputasi, maa ilai lebih mudah ditetapa terlebih dahulu. Sedaga prosedur aaliti mejelasa bahwa ita tetapa terlebih. Kita dapat meetapa misala seitar 0. maa berdasara Tabel, ita dapat memperoleh =N seitar 40. Nampaya cara aaliti lebih susah tetapi hal itu diperlua utu proses pembutia umum bahwa barisa tersebut overge pada 3. Kita coba dega proses ii. Dega proses beriut ii teryata salah. Kita aa mecari batas N dega cara mecari batas palig atas yaitu sehigga a 3 atau - < 3 3<. Dega megguaa batas atas, sebutlah 3 3= atau 3 + -3-6 = +. 6 Aalisa Real dega MATLAB

Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, 493-3-9,Tisara Grafia Salatiga, ISBN 979-60-9,4 hlm. atau Notasi 5-5- = atau = N =. (*). meyataa bilaga bulat terbesar yag lebih ecil atau sama dega argume di dalamya. Jelas berilai bulat egatif, padahal harus positif bulat. Jia dipilih batas bawah 5 - - = -5 atau =N= (**) Dari edua batas ii ita belum medapata secara esplisit utu ilai terecil yag diijia sehigga ita dapat megataa bahwa dimulai dari =N maa limit barisa tersebut adalah 3. Cara meetua =N dapat lebih pratis dega cara sebagai beriut. 3 Coba - < 3< ditulis sebagai a 3 yaitu 3 3 6 < atau 5 <. Karea bilaga positif ecil da bilaga asli maa ita dapat memilih 5 5 < atau 5 < + atau. Jadi ita dapat memilih N > 5 agar barisa overge pada 3. ANALISA REAL 7

Perhatia bahwa dega odisi ii ita dapat memilih N dega meetapa terlebih dahulu. Hal ii ditujua pada Tabel 3. Jadi dega cara ii ita dapat memperoleh buti bahwa a 3 utu N dega N Perhatia bahwa N bilaga asli (bulat), padahal 5. 5 dapat tida bulat. Utu itu ita perlu meulisa odisi N 5 mejadi N 5. Jadi dari tata cara meulis a 3 sagat meetua dalam medapata odisi N 5. Hal ii ditujua pada program pada Tabel 3 serta ilustrasi utu a,, da a pada Gambar. a Sedaga utu data tiap utu =N 5. a,, da a dega ilai ditetapa terlebih a dahulu ditujua pada Tabel 4. 8 Aalisa Real dega MATLAB

Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, 493-3-9,Tisara Grafia Salatiga, ISBN 979-60-9,4 hlm. Tabel 3. Program utu terlebih dahulu. Clear close all a epsu=[0. 0. 0.05 0.05 0.0 0.005 ]; =roud((5-*epsu)./epsu); a=ilie('(3* +)./(+)',''); a=a(); amiuseps=a-epsu; apluseps=a+epsu; figure() plot(,a,'o',,amiuseps,'*',,apluseps,'.-'); Daftar=[epsu' ' amiuseps' a' apluseps'] 3 dega meetapa Tabel 4. Daftar ilai berbagai a 3 ditetapa utu berbagai yag 5 N a 3 a pada =N a pada =N 0.000 3.6000.8000 3.0000 0.000 48.8000.9000 3.0000 0.0500 98.9000.9500 3.0000 0.050 98.9500.9750 3.0000 0.000 498.9800.9900 3.0000 0.0050 998.9900.9950 3.0000 ANALISA REAL 9

Gambar. Visualisasi a 3 3 / / utu beberapa dega meetapa terlebih dahulu. Kasus. Pelajari 4 a. Bagaimaa lim a? Jawab: Barisa tersebut berbetu fugsi rasioal dalam dega pembilag + 4 da peyebut betu uadrat. Utu yag membesar maa peyebut aa lebih cepat membesar daripada pada bagia pembilag. Oleh area itu ita dapat meyimpula ituisi tersebut bahwa lim a =0. Utu memberia pejelasa yag lebih reatif ita dapat memvisualisasia barisa tersebut utu berbagai. Kita dapat megubah program pada Tabel dega meggatia defiisi barisa. Aa tetapi perlu diperhatia bahwa utu yag ecil (seitar mulai dari =0, maa barisa sudah medeati 0 sehigga ita tida perlu megguaa yag 0 Aalisa Real dega MATLAB

Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, 493-3-9,Tisara Grafia Salatiga, ISBN 979-60-9,4 hlm. terlalu besar. Hasil eluara pada Gambar 3 yag meujua bahwa utu membesar maa ilai barisa meuju e 0. Secara formal, ita perlu membutia bahwa utu sembarag >0, pertidasamaa a 0 harus dipeuhi utu semua ilai, ecuali palig baya pada bilaga berhigga, sebutlah pada =,,,N-. Sedaga pada =N berlau da N pada umumya tergatug pada ilai. Tabel 5. Program utu megilustrasia da medaftar a 4 clear close all =[:0]'; a=ilie('( +4)./(*.^+)',''); a=a(); figure() plot(,a,'o'); epsu=abs(0-a); Daftar=[ a epsu] Dega cara asus, ita dapat meulis a 0 yaitu 4 sebagai 4 / /. ANALISA REAL

Gambar 3. Visualisasi 4 a utu berbagai ilai. Kita ambil batas atas sehigga berlau + 4/ < + / atau + (4 - )/ <. Dalam betu ii ita belum mampu meyederhaaa (medapata odisi =N yag tergatug. Kita ubah dega cara lai beriut ii. Jelas bahwa 4 4 4. (a) Perhatia bahwa pertidasamaa tersebut dicari sedemiia rupa sehigga ita medapata suatu =N yag haya tergatug. Utu medapata uruta pertidasamaa yag bear ita dapat megguaa program MATLAB utu membatu ita dalam mevisualisasia. Aalisa Real dega MATLAB

Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, 493-3-9,Tisara Grafia Salatiga, ISBN 979-60-9,4 hlm. Tabel 6. Meggambar berbagai barisa pada pertidasamaa (a). clear close all =lispace(,0,0); a=( +4)./(*.^+); a=( +4)./(*.^); a3=4./(*.^); plot(,a, *,,a, o,,a3,. ) Gambar 4. Visualisasi 4 4 4 (bertada.), (bertada *) da (bertada o) utu berbagai ilai. 4 Jadi ita dapat megguaa batas < utu mecari N. Dega megguaa otasi = N pada diperoleh < N atau N. Marilah ita daftar utu berbagai ilai yag ita tetapa dega megambil ilai N yag memeuhi N da meyelidii ilai barisa utu setiap N yag dipilih. Kita dapat medaftarya dega MATLAB. Perhatia bahwa tida bulat maa ita perlu membulata dega fugsi floor pada MATLAB. Program ditujua pada Tabel 7 da hasil eluara ANALISA REAL 3

program ditujua dega daftar Tabel 8 agar ita dapat melihat seberapa besar ilai barisa utu tiap da N yag dipilih. Tabel 7. Program MATLAB utu membuat daftar ilai da serta ilai barisaya. epsu=[0. 0.5 0. 0.05 0.05 0.0 0.0 0.005 0.005 0.00] batas=roud(sqrt(./epsu)); Daftar=[epsu batas ]; sin=batas + ; a=(sin +4)./(*siN.^+); Daftar=[epsu batas sin a ] Tabel 8. Daftar yag ditetapa da ilai N da barisa yag diperoleh =N yag dipilih a 4 pada N yag dipilih 0.000 3 4 0.44 0.500 3 4 0.44 0.000 4 5 0.765 0.0500 6 7 0. 0.050 8 9 0.0798 0.000 0 0.067 0.000 4 5 0.04 0.0050 0 0.083 0.005 8 9 0.096 0.000 44 45 0.0 4 Aalisa Real dega MATLAB

Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, 493-3-9,Tisara Grafia Salatiga, ISBN 979-60-9,4 hlm. Bagaimaa meulisa buti formal bahwa 4 lim a lim 0?. Hal beriut ii ditujua berdasara tahap observasi di atas. 4 lim a lim 0 artiya utu setiap sembarag > 4 0 maa perlu ditujua 0 utu N. Dega megetahui bahwa 4 4 4 ita 4 dapat memilih < utu mecari N. Dega megguaa otasi = N pada < diperoleh < N atau N. e Kasus 3. Bagaimaa dega lim a lim? Sebagaimaa pada asus da, utu medapata ituisi tetag sifat barisa utu membesar, maa ita dapat membuat gambar atau medaftar a utu berbagai ilai. Karea pembilag da peyebut membesar dega cepat utu ilai yag diberia, ita megguaa yag tida terlalu besar. Kita haya megedit program Tabel ANALISA REAL 5

yag ditujua pada Tabel 9 da hasil eluara ditujua pada Gambar 5. Tabel 9. Program MATLAB utu meggambar barisa e clear close all =[:0]'; a=ilie('ep()./(.^)',''); a=a(); figure() plot(,a,'o'); Daftar=[ a] Tabel 0. Daftar ilai da e e.359.8473 3.507 4 3.44 5 4.6379 6 6.3036 7 8.5674 8.6444 9 5.863 0.50 Gambar 5. Ilustrasi barisa e Daftar ilai da barisa terait ditujua pada Tabel 0. Hasil grafi meujua bahwa utu yag membesar maa ita peroleh e. Kita tida dapat meyimpula: berapaah =N sehigga utu setiap >N maa ada ilai 6 Aalisa Real dega MATLAB

Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, 493-3-9,Tisara Grafia Salatiga, ISBN 979-60-9,4 hlm. barisa berhigga yag deat dega ilai barisa pada =N. Barisa demiia ita sebut barisa diverge. Utu itu ita perlu membutia bahwa barisa tersebut diverge (tida ada suatu ilai berhigga yag dapat dipilih). Kita meulisa a utu Secara formal ditulis suatu barisa diataa diverge dalam defiisi beriut. Defiisi (barisa diverge) (Goldberg,976) Suatu barisa bilaga real a medeati ta higga (diverge) utu medeati ta higga jia utu sembarag bilaga real M >0, terdapat suatu bilaga positif bulat N sedemiia higga berlau a M, N. (a) Espresi (a) mejelasa bahwa jia ita meetapa bahwa limit barisa adalah M, maa ilai barisa aa selalu lebih besar dari M pada suatu =N. Kita aa bahas pada asus 3. Diberia suatu M > 0, e e > M atau M atau e l M l M l M l l M atau. e l e l l l ANALISA REAL 7

Jadi dipilih l M ( N). (b) l Jadi jia dipilih berarti barisa tersebut diverge. Espresi l M N maa (b) dipeuhi atau l l M l bisa tida bulat sedaga N harus bulat positif (area sebagai ides). Maa ita dapat meulisa (b) dega l M, ( N) l (c) Kita dapat melaua observasi megguaa odisi (c) dega meetapa M da memilih N, serta medaftar ilai barisa pada tiap N. Peritah utu melaua hal ii ditujua pada Tabel da eluaraya ditujua pada Tabel. Tabel. Program MATLAB dega iput M da mecari batas (c) da ilai barisa clear close all M=[5 0 5 0 30 50 60 70 80]; batasn=log(m)./( -log()) Npilih=floor(batasN)+; anpilih=ep(npilih)./(.^npilih); DaftarMNa=[M' batasn' Npilih' anpilih'] 8 Aalisa Real dega MATLAB

Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, 493-3-9,Tisara Grafia Salatiga, ISBN 979-60-9,4 hlm. Tabel. Daftar M, e l M, da N serta ilai barisa l M l M l N yag dipilih e 00 3 6 36 00 7 8 50 300 9 9 340 400 0 0 463 500 0 69 600 3 69 700 33 855 Perhatia bahwa pada asus ii ita berharap bahwa ada suatu limit sebutlah M sehigga utu N yag dipilih maa hasil ilai barisa aa cuup salig berdeata atau berbeda cuup ecil (urag dari ) utu N yag berturuta. Mugi ita mecurigai hasil tersebut area N masih ecil. Kita dapat meguji program dega megguaa program Tabel 8 utu M yag jauh lebih besar.. Kesimpula da sara Pada tulisa ii telah ditujua bagaimaa meggatia ituisi ita dalam meetua barisa overge atau diverge dalam betu grafi dega batua program MATLAB. ANALISA REAL 9

Saya harap asus -3 dapat memberia pemahama barisa overge da diverge serta bagaimaa meulisa buti secara formal dega tata bahasa matematia yag bear. Referesi Goldberg, R.R., 976. Methods of Real Aalysis, Joh Wiley & Sos, Ic, Secod Editio, New Yor. 0 Aalisa Real dega MATLAB

Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, 493-3-9,Tisara Grafia Salatiga, ISBN 979-60-9,4 hlm..3 LATIHAN SOAL DAN JAWAB ANALISA REAL Topi: Barisa overge da barisa diverge Latiha. (E. hal 3) Jia s suatu barisa bilaga real, da jia s M, I da jia lim L, butia L M. Jawab : s Dietahui lim L artiya lim L. Artiya utu s s sembarag 0, pertidasamaa L harus dipeuhi utu semua N. s Karea dietahui pula s M berlau sebagai beriut: lim s lim M Padahal lim L da lim M = M (limit s osta tida tergatug N) lim s Jia butia L lim M =M atau L M. sehigga jelas bahwa L R, M R da L M utu setiap 0, L M. Jawab:Dietahui pula bahwa L M artiya juga L M L L. Jelas ANALISA REAL

Padahal bahwa L M sehigga L L M M M. Jelas pula Sehigga L L M M. Atau L M. (a) Tetua N I sedemiia higga 3 5, N. Jawab: 3 5 ditulis sebagai 6 3 3 5 atau 6 3 5 Sehigga berlau Jadi dapat dipilih 7. 6 3 5 atau 30 3 atau 7. 7 N sehigga berlau (b) Butia bahwa lim. 3 3 Buti: dari soal (a) ita dapat meulisa lim 3 mejadi yaitu 3, N 5. Dicari N yag memeuhi, Aalisa Real dega MATLAB

Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, 493-3-9,Tisara Grafia Salatiga, ISBN 979-60-9,4 hlm. 3 6 3 3 6 3 6 3 atau 6 3 6 3. Jadi dapat dibutia lim artiya 3 3, N dega 6 3 N. 4. (a) Tetua N I sehigga / < 0.03 etia N. (b) Butia bahwa lim / =0. 5. Jia bilaga rasioal, butia bahwa barisa si! puya limit. 6. Utu setiap barisa beriut, butia apaah barisa tersebut puya limit (overge) atau tida puya limit. (a). 5 (b) 3 7 / (c) 3 7. 0 7 / 7. (a) Butia bahwa barisa puya limit 0. ANALISA REAL 3

/ 7 (b). Butia bahwa 0 tida puya limit. Catata: perhatia bahwa beberapa suu-suu pertama pada barisa (a) lebih besar daripada beberapa suu pertama pada barisa (b). Hal ii meeaa bahwa esistesi dari suatu limit barisa tida tergatug pada beberapa suu pertama. / 8. Butia bahwa tida mempuyai limit. Buti: perlu dibutia berdasara defiisi suatu barisa diverge yaitu : Suatu barisa bilaga real medeati ta higga (diverge) utu medeati ta higga jia utu sembarag bilaga real M >0, terdapat suatu bilaga positif bulat N sedemiia higga utu berlau a M, N. (a) Utu asus soal yaitu diberia suatu M > 0 (sebagai limit), maa sehigga / > M. Kita tahu bahwa / / > M beraibat > M. Jadi jia ita meetapa mulai pada suatu =N barisa puya limit M, teryata ilai barisa (yaitu =N, ebetula) selalu lebih besar dari M. Jadi M bua limit barisa. Jadi barisa / tida puya limit. a 4 Aalisa Real dega MATLAB

Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, 493-3-9,Tisara Grafia Salatiga, ISBN 979-60-9,4 hlm. 9. Jia s 5 /!, tujua bahwa lim s 5 /! (Petuju: butia bahwa 5 5 /5! (5/ ) s jia >5. Latiha. (E.4). Label setiap barisa dega (A) jia overge da (B) jia diverge e ta higga da (C) jia diverge e ta higga atau (D) jia berosilasi. (Guaa ituisi ada dari pemahama ada dari calculus, tida perlu dibutia). Catata: ituisi ada dapat digatia dega membuat program ecil sebagaimaa pada paper. Defiisi Barisa Jawab pelabela si( / ) (a) si( ) (b) (c) e e / (d) si( / ) (e) ( ) ta( / ) (f) (g) 3... / (h) ANALISA REAL 5

Pegembaga lebih lajut (persoal study): jia ada tertari butialah hasil ada da duuglah dega ilustrasi program.. Butia bahwa diverge e ta higga 3. Butia bahwa adalah overge. Petuju: Igat bagaimaa meemua dy/d dega proses etia y. 4. Butia bahwa jia barisa bilaga real diverge e ta higga maa egative ta higga. 5. Aggap bahwa ( ) s overge e 0. 6. Aggap bahwa bahwa s ( ) s 7. Aggap bahwa bahwa s ( ) s s diverge e overge e 0. Butia bahwa s overge e L 0. Butia berosilasi. diverge e ta higga. Butia berosilasi. s 6 Aalisa Real dega MATLAB

Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, 493-3-9,Tisara Grafia Salatiga, ISBN 979-60-9,4 hlm. JAWAB (beberapa saja). Dietahui s overge e 0 artiya lim s 0 yaitu diberia sembarag bilaga positif ecil 0 berlau s 0, N. Espresi s 0 yaitu euivale dega s. Perlu dibutia bahwa ( ) s overge e 0. Artiya yaitu diberia sembarag bilaga positif ecil 0berlau ( ) s 0, N atau ( ) s, utu N. Dietahui pula bahwa ( ) ( ) s < s. Jadi jelas bahwa N, N. s overge e 0 utu = mas (catata: Pemiliha ii utu mejami bahwa eduaya sudah overge e 0).. Aggap bahwa ( ) s s overge e L 0. Butia bahwa berosilasi. Buti: Dietahui s overge e L 0 artiya diberia sembarag bilaga positif real ecil 0 berlau s L, N. ANALISA REAL 7

Perlu dibutia ( ) s berosilasi sbb : Utu = geap atau = maa ( ) sehigga ( ) s s yag overge e L. = Utu = gajil atau =+ maa ( ) sehigga ( ) s = s = - lim s lim s L. Jadi terbuti (dega ata lai ( ) s ( ) s. Karea lim L maa s berosilasi (e L atau L). s tida overge) 8 Aalisa Real dega MATLAB

Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, 493-3-9,Tisara Grafia Salatiga, ISBN 979-60-9,4 hlm. BAB I Bagia. Beberapa teorema petig pada bilaga real Setiap teorema beriut tida baya ditulisa buti utu meyigat watu. Utu itu, peulisa buti mejadi tugas mahasiswa dega megguaa referesi yag masih dalam bahasa Iggris (Goldberg, 976) tetapi meulisaya embali secara sederhaa da jelas dalam bahasa Idoesia sebagai tugas uliah. Defiisi a. batas atas terecil da batas bawah terbesar (Lewi, 993) Dietahui A R da R. Kita megataa merupaa batas atas A jia tida ada aggota pada A yag lebih besar dari. Secara simboli maa diataa batas atas etia utu setiap bilaga A berlau. Batas bawah didefiisia sebaliya. Jia tida ada aggota A yag lebih ecil dari, maa diataa batas bawah A. Perhatia bahwa jia merupaa batas atas A, maa setiap bilaga yag lebih besar dari juga diataa batas atas A. Demiia pula jia batas bawah A, maa setiap bilaga yag lebih ecil dari diataa batas bawah A. ANALISA REAL 9

Jia merupaa batas atas A, da tida ada bilaga yag lebih ecil dari yag merupaa batas atas A, maa diataa batas atas terecil A (least upper boud (l.u.b). Jia merupaa batas bawah A, da tida ada bilaga yag lebih besar dari yag merupaa batas bawah A, maa diataa batas bawah terbesar A (greatest lower boud (g.l.b)). Batas atas terecil diataa juga supremum A, ditulis sup A; batas bawah terbesar A disebut pula ifimum A, ditulis if A. Cotoh a. (a) 6 adalah batas atas (0,) da - bua. (b) merupaa batas atas [0,) sedaga 0 bua. (c) merupaa batas atas dari [0,], da ¾ bua. (d) merupaa batas atas {-3,, 5} da 4 bua. Cotoh b. sup (0,) = da if(0,) = 0. Defiisi b. Misala A adalah himpua bilaga real (a) Jia terdapat suatu bilaga yag merupaa batas atas A, maa A diataa terbatas e atas. (b) Jia terdapat suatu bilaga yag merupaa batas bawah A, maa A diataa terbatas e bawah 30 Aalisa Real dega MATLAB

Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, 493-3-9,Tisara Grafia Salatiga, ISBN 979-60-9,4 hlm. (c) Jia A diataa terbatas e atas da e bawah, maa A diataa terbatas. Teorema b. Jia A adalah himpua bagia ta osog dari R yag terbatas e atas maa A mempuyai batas atas terecil (least upper boud) (l.u.b) dalam R. Teorema. Jia A adalah himpua bagia ta osog dari R yag terbatas e B bawah maa A mempuyai batas bawah terbesar (greatest lower boud (g.l.b) dalam R. Cotoh c. Perhatia barisa 3 B =,,..., 4 /,... maa g.l.b (B) = / da l.u.b (B) =. Perhatia bahwa g.l b () adalah aggota B tetapi l.u.b (B) bua aggota B. Cotoh. Himpua iterval terbua (3,4) tida memuat g.l.b (yaitu 3) maupu l.u.b (yaitu 4). Catata : megapa ada istilah g.l.b a l.u.b?. Perhatia bahwa semua bilaga real yag lebih ecil dari 3 juga merupaa batas bawah. Demiia pula semua bilaga yag lebih besar dari 4 merupaa batas atas dari himpua terbua (3,4). Perhatia bahwa ita dapat megataa barisa bilaga s real sebagai suatu fugsi dari I e R, ita megataa ANALISA REAL 3

bahwa daerah hasil s sebutlah,,... himpua bagia (subset) dari R. s sebagai suatu s Teorema 3. Jia s barisa bilaga real, da c R da jia lim s L maa lim cs cl. Catata : lim s L diataa pula s overge e L. Secara sama lim cs cl diataa pula cs overge (puya limit) e L. Buti : Dietahui ` artiya 0, L, N. s s L c c s L c cs cl. N. c Artiya lim cs cl. Catata: perhatia bagaimaa defiisi limit utu lim s L megguaa ilai epsilo dalam betu c (tetap merupa- a bilaga positif ecil dega syarat 0 c yag terjadi jia < c. 3 Aalisa Real dega MATLAB

Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, 493-3-9,Tisara Grafia Salatiga, ISBN 979-60-9,4 hlm.. Barisa Terbatas Defiisi 4. Secara sama s s terbatas e atas jia daerah hasil dari terbatas eatas. Ditulis s M ( I). Sehigga utu suatu I, himpua s, s, s,...} jelas { terbatas e atas da oleh area itu berdasara Teorema a, barisa tersebut mempuyai batas atas terecil (l.u.b) yaitu M l u. b s, s, s,..... Lagipula jelas mudah diperoleh bahwa M M area M = u. bs, s,... subhimpua l adalah l.u.b yag merupaa. s, s, s,.... Jadi barisa da jadi jelas overge atau diverge e ta higga. M ta ai Defiisi 5. Secara sama ita megataa barisa bawah jia daerah hasil dari Jadi s terbatas e s terbatas e bawah. s terbatas jia da haya jia ada suatu bilaga M R sedemiia higga s M ( I). ANALISA REAL 33

Jia suatu barisa diverge e ta higga (atau egatif ta higga) barisa tersebut ta terbatas. Suatu barisa diverge e ta higga pasti terbatas e bawah. Suatu barisa yag berosilasi bisa terbatas bisa juga tida. Barisa, -, 3, -4, berosilasi da tida terbatas e bawah juga tida terbatas e atas. Barisa -,,-,, berosilasi terbatas. Barisa,,,3,,4, berosilasi da terbatas e bawah tetapi tida terbatas e atas. Teorema 6. Jia suatu barisa bilaga real s Buti: overge, maa s terbatas. s Dietahui barisa overge, artiya limit, sebutlah L, artiya s puya L lim s. Ambilah = (eapa, buaah perluya positif ecil saja?). maa terdapat sedemiia higga s L ( N). N I Hal ii berarti s L ( N). (Karea s L ( s L) L s L s L ). 34 Aalisa Real dega MATLAB

Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, 493-3-9,Tisara Grafia Salatiga, ISBN 979-60-9,4 hlm. Jia ita ambil ma s, s s M maa ita puya,..., N s M L, ( N), yag meujua bahwa s terbatas. Catata: serigali utu meyimbola s terbatas ditulis s M dega M sebagai batasya. Teorema 7. (a) Jia 0 < <, maa (b) Jia < < maa Teorema 8. Jia s da overge e 0. diverge e ta higga. t barisa bilaga real da jia lim L da jia lim M maa lim ( s t ) L M. s t Aibat 9. Jia s da overge da jia t barisa bilaga real yag s t I da jia lim L da s jia lim M maa L M. t Buti : halama 43. ANALISA REAL 35

Teorema 0. s da t barisa bilaga real yag overge da jia lim L da lim M s t Buti: maa lim t LM. s Kita dapat meulisa s t LM s t s M s M LM s t M Ms M Sehigga s t LM s t s M s M LM s t M Ms M s t M Ms M s t M Ms M Dietahui lim s L, artiya terdapat bilaga asli N sedemiia higga utu N berlau sama dietahui s L. Secara lim t M, artiya terdapat bilaga asli N sedemiia higga utu N berlau Demiia pula area sehigga terbatas, sebutlah Dipilih N = man, N s t M. lim L berarti barisa overge s ~ s M. sehigga berlau t M Ms M s t M M s M 36 Aalisa Real dega MATLAB

Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, 493-3-9,Tisara Grafia Salatiga, ISBN 979-60-9,4 hlm. M ~ t M M s M M ~ t M M s M ~ ~ M s M ~ M M M M M Sampai di sii ita belum memperoleh espresi s t LM s t s M s M LM s. t M Ms M. Utu itu pada setsa pembutia perlu disyarata ~ M M ~ M M M ~ < da ~, diperoleh M M M 0 ~. M ~ M Agar pertidasamaa terjadi berilai positif maa < atau ~ ~ M M M M. Lemma. Jia s s e L maa barisa bilaga real yag overge overge e L. Buti: guaa teorema sebelumya. Lemma. t barisa bilaga real yag overge da jia lim M da M 0 maa lim/ / M. t Buti : halama 45. t ANALISA REAL 37

Teorema 3. overge da jia s da t barisa bilaga real yag lim L da lim M, M 0 maa s t lim s / t L / M. Buti: halama 45. Catata : jia dalam pembutia megguaa teorema sebelumya, maa tulislah teorema tersebut da hubuga dega bai dalam pembutia ada. Cotoh 3. Tetu dapat dipahami bahwa berdasara defiisi limit maa lim / 4. (ada perlu belajar embali bagaimaa membutia bua?). Cotoh 4. Butia bahwa 3 6 3 lim 5. 4 5 3 6 3 6/ Buti: Kita meulis soal mejadi lim lim 5 4 5 4/. Dietahui pula bahwa lim/ 0. Oleh area itu lim 6/ 6.0 0 (Berdasara Teorema 3). Sehigga lim 3 6/ lim 3 lim 6/ 30 3 (berdasara 38 Aalisa Real dega MATLAB

Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, 493-3-9,Tisara Grafia Salatiga, ISBN 979-60-9,4 hlm. Teorema 5). () Karea lim/ 0, oleh area itu lim/ lim/.lim/ 0.0 0 (Berdasara Teorema 8). () Dari hasil () maa lim 5 4 / lim 5 lim 4 / Teorema 5). Berdasara Teorema 0 maa 5 0 5 (Berdasara lim 3 6 3 6/ lim 3 6/ lim 5 4 5 4/ lim 5 4/ 3/5..3 Latiha soal.3 (e..7 halama 46). Butia (a) 3 5 lim 3 4 (b) lim ( 7) 6. Butia bahwa jia s / s overge e. 3. Hitug lim overge e, maa ANALISA REAL 39

4. Aggap barisa s suatu barisa bilaga positif da 0. Jia s s, ( I) butia lim s 0. s 5. Aggap bahwa lim 0. Butia lim s s (petuju : Ambil s da carilah s )> Teorema s apa yag ada guaa pada bagia ii. 6. Butia bahwa lim / e lim e.. Juga butia bahwa Teorema apa yag ada guaa?. Megguaa idetitas +/ =[ + /(+)]( +/) butia bahwa lim e. Jia c > butia bahwa lim / c (Petuju: Tulis / c s da ambil pagat e pada edua ruas utu meujua bahwa s terbatas. Kemudia simpula bahwa s 0 pada. 40 Aalisa Real dega MATLAB

Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, 493-3-9,Tisara Grafia Salatiga, ISBN 979-60-9,4 hlm. Dietahui s da s s utu. (a) Butia berdasara idusi bahwa s utu semua. (b) Butia bahwa (c) Butia bahwa s (d) Butia bahwa lim s. s s utu semua. Aggap bahwa s 0 (a). s s,,... ta ai, 3 s5 (b) s s,,... tida turu, 4 s6 (c) s overge Jia r overge. s,. s, s s s t utu semua I, da jia eduaya r da t overge e s. Butia bahwa s overge e s. Latiha soal.4 (E..5, hal. 37). Bear atau salah?. Jia suatu barisa bilaga positif tida terbatas, maa barisa tersebut diverge e ta higga.. Beria suatu cotoh barisa s tetapi lim 0. s yag ta terbatas ANALISA REAL 4

3. Butia bahwa jia lim L 0 s s, ta terbatas. 4. Jia s barisa bilaga real terbatas, da t t overge e 0, butia bahwa s overge e 0. s 5. Jia terbatas, butia bahwa utu sembarag 0 terdapat suatu iterval tertutup J R sebagai pajag sedemiia higga baya ilai. Defiisi 4. Dietahui (a) Jia M s s J utu ta berhigga barisa bilaga real yag terbatas e atas da diambil M l. u. b s, s, s,... overge, maa ita medefiisia lim sups sebagai lim M. Ditulis lim sups = lim M. (b) Jia M meulis lim sups diverge e egatif ta higga, maa ita Catata: apa itu lim sups (dibaca : limit supremum s) da tetu ada lim if s (dibaca: limit ifimum s). Utu mejawab itu, sebearya ita perlu defiisi beriut ii terlebih dahulu. 4 Aalisa Real dega MATLAB

Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, 493-3-9,Tisara Grafia Salatiga, ISBN 979-60-9,4 hlm. Defiisi 5. Limit supremum da limit ifimum Jia ita megataa barisa s overge hal ii megataa lim s dega ata lai seberapa uura s etia besar. Notasi lim s terait dega barisa yag overge. Sedaga otasi limit supremum da limit ifimum dapat diapliasia pada semua barisa. limit supremum meyataa uura seberapa besar Notasi etia besar. Notasi limit ifimum meyataa uura seberapa ecil s etia besar. Catata : Notasi supremum da ifimum diberlaua pada barisa yag tida dietahui overge. Cotoh 5. s ( ) ( I). Maa s s terbatas e atas. Pada asus ii M utu setiap I da oleh area itu lim M. Jadi lim M. Jadi lim sup( ). Cotoh 6. Perhatia barisa, -,,-,,-3,,-4, Jelas bahwa M (barisa batas atas) Sehigga lim sup s. Cotoh 7. Diberia ( I). s Maa M l. u. b{,,,...}. ANALISA REAL 43

Oleh area itu M pada, sehigga lim sups lim sup( ). Defiisi 6. Jia s suatu barisa bilaga real yag ta terbatas e atas maa lim sups. s maa Cotoh 8. Jelas bahwa jia lim sups. Cotoh 9. Perhatia peryataa beriut da butia s () Jia suatu barisa bilaga real yag terbatas e atas da mempuyai suatu subbarisa yag terbatas e bawah maa s () Jia lim sup A; s suatu barisa bilaga real yag tida mempuyai suatu subbarisa yag terbatas e bawah maa lim sups. Perhatia bahwa megubah beberapa suu pada barisa s tida megubah lim sups. Cotoh 0. Limit supremum dari barisa 0 00,,,,,,,,... adalah. Teorema 7. Jia 44 Aalisa Real dega MATLAB s suatu barisa bilaga real yag overge maa lim sups lim s.

Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, 493-3-9,Tisara Grafia Salatiga, ISBN 979-60-9,4 hlm. Buti: Karea s overge sebutlah limitya L, atau ditulis suatu barisa bilaga real yag L lim s artiya diberia sembarag bilaga positif 0 sehigga terdapat suatu N I sedemiia higga s L ( N) atau L s L ( N). Jadi jia N maa L adalah suatu batas atas utu s s, s,... da L bua batas atas., Oleh area itu Dega teorema 5, s, s, s L L M l. u. b,... L lim M L.. Tetapi lim M lim sups. Jadi L lim sup s L. Karea sembarag maa beraibat lim sups = L. (terbuti) Searag ita aa medefiisia limit ifimum. Jia suatu barisa bilaga real s terbatas e bawah, maa himpua s s, s,... mempuyai g. l. b, (greatest lower boud). Jia diambil : ANALISA REAL 45

. m g l. b s, s, s,...,. maa m adalah suatu barisa tida turu (butia) da bisa overge atau diverge e ta higga. Defiisi 8. Suatu barisa bilaga real (a) Jia e bawah, da ambil. m g l. b s, s, s,...,. s da terbatas m overge, ita medefiisia lim if s lim m. (b) Jia m diverge e ta higga, ita meulis lim if s. Defiisi 9. Jia barisa bilaga real s ya ta terbatas e bawah, ita tulis lim if s. Cotoh. lim if( ), lim if, lim if( ). Barisa, -,, -,, -3,, -4, jadi puya lim if = Teorema 8. Jia s. barisa real overge, maa lim if s lim s. Ada beberapa teorema yag tida dapat ditulis butiya, iraya dapat dipelajari siswa. Teorema 9. Jia 46 Aalisa Real dega MATLAB s barisa real overge, maa

Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, 493-3-9,Tisara Grafia Salatiga, ISBN 979-60-9,4 hlm. lim if s lim sups. Buti : hal.50-5. Teorema 0. Jia lim sups Buti : halama 50. s barisa bilaga real da jia maa Teorema. Jia = lim if L dega L R, s s overge da lim L. s s barisa real overge da jia lim if s lim sups maa s diverge e ta higga. Buti : hal. 5 Teorema. Jia s I s t da Buti : hal. 5. lim if s barisa real overge da jia, maa lim sups lim sup t lim if t. Teorema 3. Sebarag barisa bilaga real terbatas mempuyai suatu subbarisa yag overge. Buti : hal. 53-54 Latiha soal.5 (e..9). Tetua limpit supremum da limit ifimum barisa beriut ii. (a),,3,,,3,,,3, ANALISA REAL 47

(b) si /, (c) / cos / (d). Jia lim sup dari barisa 48 Aalisa Real dega MATLAB s sama dega M, butia bahwa lim sup dari sembarag sub barisa M. 3. Jia s barisa terbatas da lim if m, butia terdapat suatu subbarisa overge e-m. 4. Jia s s s yag adalah s barisa bilaga real yag diverge e ta higga, maa lim sups lim if s. 5. Tulislah himpua semua bilaga rasioal dalam (0,) sebagai r r, r i,.... Hitug lim supr da, 3 6. Butia bahwa jia barisa subbarisa yag overge, maa s ta higga. 7. Jia s s s barisa bilaga real da jia... s, I Butia bahwa lim sup lim sups, s lim if lim if s. lim if r. tida mempuyai diverge e

Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, 493-3-9,Tisara Grafia Salatiga, ISBN 979-60-9,4 hlm..4 Barisa Mooto Dari pembahasa selama ii, barisa yag terbatas bisa jadi tida overge (misal barisa -,, -,, ). Pada bagia ii ita aa membahas odisi yag bersama dega odisi terbatas maa dapat mejami suatu barisa bisa overge. Defiisi 4. Dietahui real. Jia s s... s s..., s sebagai suatu barisa bilaga s maa diataa tida turu (odecreasig). Secara sama jia s s... s s..., maa s diataa barisa taai (oicreasig). Suatu barisa mooto merupaa barisa yag barisa tida turu atau ta ai atau eduaya). Cotoh. 3 7 Barisa,,,,... 4 8 / (yaitu turu (da terbatas) adalah tida Kita dapat megiilustrasia profile barisa dega program MATLAB yag ditujua pada Tabel da diilustrasia pada Gambar. ANALISA REAL 49

Cotoh 3. Barisa barisa tida turu (da tida terbatas). Dua cotoh ii memberia cotoh petigya teorema beriut. Tabel. Program MATLAB utu meggambar / =lispace(,0,0); a=-./(.^(-)); plot(,a,'o') ais([ 0-3]) Gambar 6. Ilustrasi / Teorema 5. Suatu barisa tida turu (odecresig) yag terbatas e atas adalah barisa yag overge. Buti : Dietahui barisa tida turu (odecresig) yag terbatas e atas sebutlah s. Ambil himpua A s, s,... adalah subhimpua dari R yag tida osog yag terbatas e atas. Berdasara iformasi sebelum ii bahwa barisa terbatas e atas pasti mempuyai batas atas terecil (l.u.b). Sebutlah s, s,... l. u b M l u. b. for A.. 50 Aalisa Real dega MATLAB

Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, 493-3-9,Tisara Grafia Salatiga, ISBN 979-60-9,4 hlm. Aa ditujua bahwa s M utu. Diberia 0, maa M- bua suatu batas atas utu A. Oleh area itu, utu beberapa N I, M. Tetapi area s adalah tida turu (odecreasig), hal ii beraibat s M ( N). () Sebaliya, area M adalah suatu batas atas utu A M ( N). () s Dari () da () disimpula bahwa s N s M, ( N). Hal ii membutia bahwa lim s M. (terbuti) Teorema tersebut merupaa cotoh petig perluya batas atas terecil. Teorema ii juga memampua ita utu membutia suatu barisa overge tapa harus meduga limitya terlebih dahulum Perhatia cotoh yag meari ii. ANALISA REAL 5

Aibat 6. Barisa Buti: / Diberia biomial maa s overge. s /. Berdasara teorema ( ) ( )............ Utu =,, maa (+) suu pertama pada ruas aa adalah ( )...( )..... Juga ( )...( )........... Demiia pula jia ita mejabara s diperoleh + suu, sehigga utu =,,, maa (+) suu pertama adalah... 5 Aalisa Real dega MATLAB... Hal ii meujua bahwa s turu. Tetapi juga s......3.... s (yaitu s tida

Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, 493-3-9,Tisara Grafia Salatiga, ISBN 979-60-9,4 hlm.... (/ ) 3 / / Jadi s terbatas e atas oleh 3. Berdasara Teorema maa barisa / overge. Dega megguaa MATLAB ita dapat megilustrasia barisa ii dalam Gambar sebagaimaa ditujua pada Tabel utu program yag diguaa da Gambar sebagai eluaraya. Tabel. Program MATLAB utu / Clear close all =[:00]'; g=ilie('(+./).^',''); g=g(); figure() plot(,g,'o'); ANALISA REAL 53

Gambar 7. Ilustrasi / Catata : Perhatia bahwa utu meujua, maa pada program diguaa = 00 (boleh lebih ecil dari 00) yag sudah meujua barisa meuju seitar.7. Apaah berarti.7 limitya?. Jialau ita tida megetahui bahwa s lim / e lim, maa ita bisa meetapa.7 sebagai limitya. Sudah mejadi ebiasaa utu mesimbola lim e Yaitu s / e lim s lim. Telah dietahui bahwa barisa yag overge pasti terbatas. Oleh area itu ita tahu bahwa barisa ta terbatas adalah diverge. Secara ituitif jelas bahwa barisa tida turu tida berosilasi. Hal ii aa beraibat bahwa barisa 54 Aalisa Real dega MATLAB

Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, 493-3-9,Tisara Grafia Salatiga, ISBN 979-60-9,4 hlm. tida turu yag ta terbatas pasti diverge e ta higga. Oleh area itu maa ada Teorema beriut. Teorema 7. Suatu barisa ta turu tetapi tida terbatas e atas diverge e ta higga. Teorema 8. Suatu barisa ta ai yag terbatas e bawah overge. Suatu barisa ta ai yag ta terbatas e bawah aa diverge e ta higga. Subbarisa Jia diberia suatu barisa, ita dapat membuat barisa baru yag diambil dari beberapa aggota pada barisa tersebut. Barisa yag terbetu ita sebut subbarisa. Yag megejuta adalah jia suatu barisa tida overge, teryata dapat terjadi bahwa ita dapat membuat subbarisa yag overge. Hal ii dapat ditujua bahwa jia barisa mula-mula terbatas maa ita dapat membetu subbarisa yag overge (Daviso ad Dosig, 00, page 3-5). Oleh area itu mucullah Teorema beriut. Teorema 9. Bolzao-Weierstrass Setiap barisa bilaga real yag terbatas mempuyai subbarisa yag overge. Buti : hal 3-4 (Daviso ad Dosig, 00, page 3-5). ANALISA REAL 55

Cotoh 4. ) Perhatia barisa sig(si a dimaa tada sig berarti meyataa ilai barisa haya megambil tada + atau - tergatug dari ecuali pada sig (si 0) = 0. Tapa megetahui ilai barisa, ita dapat meyimpula bahwa ilai barisa palig baya ada 3 macam yaiu : -, 0, da. Artiya barisa ii terbatas e -, 0 atau. Salah satu pasti dapat diambil sagat baya sehigga ita dapat meyusu subbarisa yag berilai osta sehigga subbarisa demiia overge. a dega. ) Cotoh 5. Ambil sig(si Kita dapat meyusu subbarisa yag overge e -. Latiha.6 (e..7, hal 7) A. Apaah barisa cos log Jelasa. a overge?. B. Apaah barisa b cos( ) mempuyai subbarisa yag overge. C. Didefiisia. da 5/ utu 56 Aalisa Real dega MATLAB

Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, 493-3-9,Tisara Grafia Salatiga, ISBN 979-60-9,4 hlm. (i). Tetua formula 5 dalam betu 5 (ii). Hituglah lim. (iii) Hituglah 0 suu pertama dega batua program (boleh MATLAB atau Ecel, atau yag lai). (iv) Tujua bahwa suu e-0 telah medeati limit higga 600 digit (desimal). D. Dietahui suatu barisa bilaga real. Aggap terdapat suatu bilaga real L sedemiia higga L lim 3 lim 3 lim 3 lim ada da sama dega L.. Tujua bahwa Catata : Bagaimaa ada dapat memulai membutia jia memag masih tida bisa membutia dari soalsoal di atas?. Teorema 30. Diberia s mempuyai subbarisa mooto. Hal. 40 barisa bilaga real. Maa S Utu beberapa hal petig lai yag terait, utu semetara tida saya bahas..5 Barisa Cauchy Defiisi 3. Dietahui barisa bilaga real. Maa s suatu barisa s diataa barisa Cauchy jia ANALISA REAL 57

utu sembarag 0 terdapat suatu N I sedemiia higga berlau s s, ( m, N). m Secara asar ita dapat pula megataa bahwa barisa Cauchy jia s m da s cuup deat m da yag cuup besar. Hal ii mejelasa pula bahwa barisa yag overge pasti merupaa barisa Cauchy. Teorema 3. Jia suatu barisa bilaga real Buti: s Dietahui overge, maa Cauchy. s merupaa barisa overge sebutlah puya limit L sehigga L lim s.artiya terdapat bilaga positif ecil 0, terdapat suatu ides N I sedemiia higga s L ( N). s s Jadi jia m, N ita puya s m s s L L s m s m L L s 58 Aalisa Real dega MATLAB

Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, 493-3-9,Tisara Grafia Salatiga, ISBN 979-60-9,4 hlm. Sedemiia higga s s m, N m yag membutia bahwa barisa tersebut Cauchy. s Teorema 33. Jia Cauchy maa s terbatas. Buti: Diberia (megapa) dipilih N I sedemiia higga s s, m N m,. Maa s s, m N. () m N Oleh area itu jia m N, dipuyai s m sm sn sn sm sn sn da juga dega megguaa () s, m N. m s N Jia ma s s M,..., N maa s M, m I m s N, sehigga s terbatas. Teorema 34. Jia s barisa Cauchy maa s overge. Buti : hal 55-56. ANALISA REAL 59

Latiha soal.7 : E..0. Jia s barisa Cauchy bilaga real yag mempuyai subbarisa yag overge e L, butia bahwa s overge e L juga.. Utu setiap I, dietahui Dega memperhatia tida Cauchy. s s.... 3 s butia bahwa s 3. Butia bahwa setiap subbarisa barisa Cauchy juga barisa Cauchy. 4. Dietahui da s s barisa bilaga real. Jia c R, 0 r s cr I Tujua bahwa s overge. 5. Tetua suatu barisa iterval tertutup dega etetua I I... I... yag titi-titi ahirya adalah bilaga rasioal sedemiia higga I e. 60 Aalisa Real dega MATLAB

Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, 493-3-9,Tisara Grafia Salatiga, ISBN 979-60-9,4 hlm. 6. Dietahui I, dietahui Butia bahwa jia pula s. a barisa bilaga real, da utu setiap t s a a... a a a... a. Jawaba: ita coba mejawab ya 4. Dietahui c R, 0 r da Tujua bahwa s Jawab: Peryataa t barisa Cauchy, maa demiia s barisa bilaga real. Jia s cr I s overge. s s meyataa selisih atara suu berturuta dalam barisa tersebut. Demiia pula utu 0 r, maa selalu berlau 0 < r <. Oleh area itu diambil c < sehigga berlau cr. Hal ii beraibat s s cr <. Sehigga s merupaa suatu barisa Cauchy (berdasara defiisi barisa Cauchy). Sehigga s overge. ANALISA REAL 6

Teorema 35. Kelegapa pada R (Completeess Theorem) Setiap barisa Cauchy dari bilaga real merupaa barisa yag overge. Oleh area itu R diataa legap (complete). Buti : Aggaplah a suatu barisa Cauchy. Dega teorema, maa barisa tersebut terbatas. Dega teorema Bolzao Weierstrass barisa tersebut mempuyai sub-barisa yag overge, sebutlah lim L. a Ambil suatu 0. Dari defiisi barisa Cauchy utu / maa terdapat suatu bilaga bulat N sedemiia higga berlau a m a utu semua m, N. Dega megguaa defiisi limit utu /, terdapat suatu bilaga bulat K sehigga L utu semua K. a Ambil sembarag area itu utu setiap K sedemiia higga N. Oleh N a L a a a L. 6 Aalisa Real dega MATLAB

Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, 493-3-9,Tisara Grafia Salatiga, ISBN 979-60-9,4 hlm. Artiya lim a bilaga rasioal. L. Teorema ii tida berlau pada barisa Daftar Pustaa Davidso, K.R da Dosig, A. P, 00. Real Aalysis ad Applicatios, Theory ad Practice, Spriger Sciece + Busiess Media, LLC. Goldberg, R.R., 976. Methods of Real Aalysis, Joh Wiley & Sos, Ic, Secod Editio, New Yor. Lewi, J.,Lewi, M.,993. A Itroductio to Mathematical Aalysis, Secod Editio, McGraw-Hill,Ic, New Yor. ANALISA REAL 63

64 Aalisa Real dega MATLAB

Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, 493-3-9,Tisara Grafia Salatiga, ISBN 979-60-9,4 hlm. BAB II DERET BILANGAN REAL. Pedahulua Pada bagia ii dibahas tetag deret bilaga real. Sebagaimaa pada barisa bilaga real, maa ata uci utama yag dibahas adalah tetag overgesi da divergesi. Sebagia besar dari Bab II ii diambil dari (Davidso, da Dosig, 00). Deret yag perah ada eal misala deret aritmatia da deret geometri. Masih igat tetag deret ii?. Deret aritmatia dibetu dari jumlah suu pertama barisa aritmatia (barisa utu edua suu berturuta mempuyai beda yag sama) yaitu a, a b, a b, a 3b,..., a ( ) b. Utu deret geometri dibetu dari jumlah parsial suu pertama barisa geometri yaitu Igat barisa a rasio r jia r 3 a, ar, ar, ar,..., ar. merupaa barisa geometri dega a utu semua atau secara euivale a ita dapat meulisa a ar utu semua ANALISA REAL 65

Deret geometri aa overge jia r < da a S ar. r 0 Tetuya jia a 0 da r, maa suu-suu a ar tida overge e-0. Pada asus ii deret tida dapat dijumlaha (ot summable). Utu deret bilaga real yag lebih bervariasi maa diperlua mecari jumlah parsialya jia ada (berarti berhigga).. Koverge da diverge deret Defiisi. Deret barisa bilaga real a adalah s ta higga a a... a a adalah jumlaha dari. Sebutlah jumlaha parsialya, I. Bilaga a diataa suu e- dari deret tersebut. Serigali ides suatu deret dimulai dari =0. Jadi ita serig meulis deret dega otasi 0 a (dalam hal ii ita mempuyai jumlah parsial yaitu s a... 0 a a a. Jadi deret... dapat ditulis sebagai 0. Jadi ita 66 Aalisa Real dega MATLAB

Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, 493-3-9,Tisara Grafia Salatiga, ISBN 979-60-9,4 hlm. tida perlu mempermasalaha jia dalam peulisa teorema ita meulis ataupu atau a a a utu p sembarag bilaga bulat p 0. Defiisi overge atau diverge suatu deret tergatug pada defiisi overge atau diverge dari barisa jumlaha parsial s. Defiisi. Dietahui deret bilaga real dega jumlah parsial s a... a I 0. Jia barisa s overge e A R, ita megataa a overge e A. Jia s diverge, ita megataa bahwa a diverge. Catata: Perhatia bahwa overgesi barisa jumlah parsial dapat diselidii sebagaimaa pada barisa bilaga real. Jia a overge e A, ita serig meulis a a A. Jadi tida haya meyataa suatu deret, tetapi juga meyataa jumlah parsialya. ANALISA REAL 67

Teorema 3a. Jia a overge e A, da b overge e B, maa deret a overge e A + B. b Juga jia c R maa ca overge e ca. Buti : Dietahui a A, b B, maa a = a b a b a b... b = a + a + a 3 +...+ a + b + b + b 3 +... b 3 3 a b a b =A +B. (terbuti) ca = c a +c a +c a 3 +...= c a ca. (terbuti). Bagaimaa meguji overgesi atau divergesi suatu deret?. Beriut ii terdapat beberapa uji yag tereal da serig diguaa.3 Uji Kovergesi utu deret dega suu-suu taegatif Teradag utu meyelidii overgesi suatu deret, ita dapat megujiya tapa harus megetahui 68 Aalisa Real dega MATLAB

Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, 493-3-9,Tisara Grafia Salatiga, ISBN 979-60-9,4 hlm. limitya. Kita aa mulai dari deret dega suu-suuya positif. Jia setiap a 0 maa s s a s (jumlah parsialya ai mooto). Meurut Teorema Kovergesi Mooto diperoleh bahwa s overge jia da haya jia barisa tersebut terbatas e atas. Kita aa memperoleh proposisi beriut..3. Proposisi 3b. Jia a 0 utu da s a maa dapat terjadi salah satu di bawah ii () jias terbatas e-atas maa a overge, atau () jia s taterbatas, maa.3. Tes Itegral (utu deret ta egatif) Perhatia suatu deret da a a A a diverge. sedemiia higga a 0 a maa ita dapat meggambar, a dega sebagai tiggiya da guaa a a, maa aa a diperoleh fugsi otiu f() sedemiia rupa sebagaimaa ditujua pada Gambar. f ( ) a ANALISA REAL 69

Gambar. Jelas bahwa berdasara itegral Riema maa jumlaha luas atas yag diarsir f ( ) d a Demiia pula jumlaha luas persegi di bawah urva berlau ( ) d a f. Hal ii memberia pegertia epada ita utu teorema beriut ii. Teorema 4a. Dietahui f() fugsi otiu yag meuru sedemiia higga f ( ) Maa a a overge jia da haya jia f ( ) d overge. 70 Aalisa Real dega MATLAB

Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, 493-3-9,Tisara Grafia Salatiga, ISBN 979-60-9,4 hlm. Aibat 4b. Dietahui f() fugsi otiu yag meuru sedemiia higga f ( ) a Maa a diverge jia da haya jia f ( ) d diverge Cotoh a. Perhatia Susu d Jadi diperoleh d lim. M M overge. Berapaah limitya?. Kita dapat megambil beberapa suu awal utu dijumlah (jia deret overge). Misala.635. Cotoh b. Perhatia Susu / d diperoleh M / d = lim. M Jadi / d diverge. Kita tida dapat megambil beberapa suu awal utu dijumlah (jia deret diverge). Teorema 4b. Test deret p yaitu p ANALISA REAL 7

Susu d p = p d lim M p M p Itegral ii overge jia p + < 0 atau p > da diverge utu p <. Utu p =, maa deret Berdasara tes itegral maa d merupaa deret harmoi. = lim l. M M Jadi p overge utu p > da p. Jia setiap a 0maa s s a s sehigga jumlah parsialya ai mooto. Meurut Teorema Kovergesi Mooto diperoleh bahwa s overge jia da haya jia barisa tersebut terbatas e atas. Kita aa memperoleh proposisi beriut. Proposisi 5. Jia a 0 utu da s a dapat terjadi salah satu di bawah ii maa () jias terbatas e atas maa a overge, atau () jia s taterbatas, yag maa a diverge. Teorema 6a. Jia deret merupaa deret dega suusuu ta egatif dega s a a... a I maa 7 Aalisa Real dega MATLAB

Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, 493-3-9,Tisara Grafia Salatiga, ISBN 979-60-9,4 hlm. (a) (b) a overge jia barisa a diverge jia s terbatas. s ta terbatas. Teorema 6b. (a) Jia 0, maa overge e 0 (b) Jia maa diverge. Perhatia cotoh beriut yaitu deret...... dietahui sebagai deret harmoi. Teorema 6c. Deret / Buti: (deret harmoi) diverge. Kita mempelajari barisa deret parsial yaitu s, s, s, s,..., s,... dari 4 8 s artiya ita mempuyai s / /3/ 4... /. Jadi ita mempuyai s, s / 3/, 0 s 4 s /3/ 4 3/ / 4/ 4 s8 s4 /5/6/7 /8 /8/8/8/8 5/ ; ANALISA REAL 73

Pada umumya, dega idusi dapat ditujua bahwa / s. Jadi s terdiri dari subbarisa yag diverge. Jadi berdasara suatu teorema (yag maa?) bahwa deret / (harmoi) diverge. Kita aa membahas lagi deret harmoi bahwa diverge mesipu lim a 0. a Jia a deret dega suu-suu ta egatif yag overge, teradag ita meulisa dega cara a. Jia a deret diverge dega suu-suu ta egatif, maa ita dapat meulis dega cara a. Jadi 0,. 0 Kita perlu pula mecatat bahwa tida ada deret yag diverge dega cara selambat mugi. Lebih tepatya dijelasa beriut ii. 74 Aalisa Real dega MATLAB

Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, 493-3-9,Tisara Grafia Salatiga, ISBN 979-60-9,4 hlm. Teorema 7. Jia a deret diverge dega bilaga positif maa terdapat suatu barisa (bilaga positif) yag overge e 0, tetapi Buti: hal 7-7. a masih diverge..3.3 Test aar Aggap bahwa a 0 utu semua, da ambil l lim sup, a Jia l < maa diverge. a overge. Jia l >, maa Catata: Jia l lim sup, deret mugi atau mugi tida overge. a a Buti: Aggap l lim sup a <. Utu meujua deret overge, ita perlu meujua bahwa jumlah barisa parsialya juga terbatas eatas. Ambilah bilaga r dega l < r < da sebut r l. Karea > 0, ita dapat meemua bilaga bulat N > 0 sedemiia higga ANALISA REAL 75

/ a l r utu semua N. Oleh area itu a r utu semua N. Perhatia barisa b yag diberia oleh b, N da b r utu N. a Barisa ii dapat dijumlah. Lagi pula b N b b N N b N r r. Karea a b utu. Dega tes badig meujua bahwa a summable. sebut Sebaliya jia l lim sup da sebutlah r l. Dari defiiisi lim sup, terdapat subbarisa... sedemiia higga / a l utu semua. Oleh area itu suu-suu a tida overge e 0 sehigga deret diverge. a Teorema 8. Jia deret overge maa lim a 0. a Catata: Hati-hati, Teorema 8 tida berarti sebaliya. Deret harmoi diverge tetapi lim a 0. Jadi tida boleh membutia overgesi deret dega Teorema 8. 76 Aalisa Real dega MATLAB

Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, 493-3-9,Tisara Grafia Salatiga, ISBN 979-60-9,4 hlm. Cotoh c. Deret / Disii a / harus diverge. sehigga lim a lim / 0 Cotoh. ada. pasti diverge area lim a baha tida. Catata: Perhatia bahwa peryataa Teorema 8 sama artiya dega jia lim a 0 (atau baha tida ada) maa a serig diguaa. diverge. Peryataa iilah yag Perhatia pula bahwa lim a 0 bua merupaa syarat cuup utu mejami bahwa a belajar tetag hal ii pada subbab beriutya. overge. Kita aa Latiha soal. : E. 3. hal. 69. Butia bahwa jia a a... overge e s, maa a a3... overge e s a.. Butia bahwa deret /( ( )) overge ANALISA REAL 77

Petuju: parsialya. da hitug jumlah ( ) 3. Utu setiap ilai, apaah deret 3 ( )... overge?. 4. Butia bahwa deret a a a a a a... 3 3 4 overge jia da haya jia barisa a overge. 5. Apaah log / overge atau diverge?. 6. Butia bahwa utu sembarag a, br, maa deret a ( a b) ( a b) ( a 3b)... diverge e-cuali jia a = b =0. 7. Tujua bahwa 0 terdapat N I sedemiia higga m a overge jia da haya jia a, m N. 8. Butia bahwa jia a a a... overge e A, 3 maa a a a a a a... 3 3 4 overge. 78 Aalisa Real dega MATLAB

Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, 493-3-9,Tisara Grafia Salatiga, ISBN 979-60-9,4 hlm. 9. Tujua bahwa jia overge da diverge, maa 0. Apaah a diverge. b a /( ) overge atau diverge?. b Apaah Catata : 0 0 ( ) overge atau diverge?. Jia a overge, maa sembarag deret yag dibetu dari deret a dega meyisipiya (misalya a a a a (...)... e jumlah yag sama. 3... 7 ) over-ge Latiha soal. Jia a i i a deret bilaga positif yag overge da jia adalah suatu subbarisa dari i a i overge.. Butia bahwa... overge.! 4! 6! ANALISA REAL 79

. Jia 0 bahwa a, 0 0 a besar daripada /(-). 3. Jia da jia 0, maa butia overge da jia jumlahya tida lebih s ta turu, da 0 terdapat suatu deret 0 s s I a dega 0, butia bahwa a, I a a... a I. 4. Butia bahwa +/3 + /5 + /7 + diverge. 5. Apaah utu ilai R maa berapa limitya?. 3 da... overge?. Jia ya.4 Deret Gati tada (Alteratig Series) Deret gati tada adalah deret tahigga yag suu-suuya bergati tada. Cotoh 3. -/ +/4 -/8 + ; - + 3-4 + ; -/ + /3 -/4 + adalah merupaa cotoh-cotoh deret bergati tada. 80 Aalisa Real dega MATLAB

Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, 493-3-9,Tisara Grafia Salatiga, ISBN 979-60-9,4 hlm. Deret gati tada dapat ditulis suuya positif atau a jia setiap a jia suu pertamaya egatif. Kita aa membahas tetag overgesi da divergesi deret gati tada. Teorema 9. Jia a barisa bilaga positif sedemiia higga (a) a a... a a...(yaitu bahwa baris-a ta ai) da (b) lim a 0 maa deret gati tada overge. Catata: perhatia bahwa Teorema ii diguaa utu barisa gati tada dimaa gati tada tida diperhatia (semua positif), tetapi esimpula overgesi utu deret Aibat 0. Jia deret gati tada. memeuhi hipotesa pada Teorema 9 artiya overge (sebutlah e L R ) maa s L a, I. a a a a ANALISA REAL 8

Jadi perbedaa atara jumlaha da sembarag jumlaha parsial tida aa lebih dari suu pertama tida termasu dalam jumlah parsial. Cotoh 4. Kita etahui bahwa / diverge. Aa tetapi area / i barisa ta ai da lim/ 0maa dari Teorema 9 diperoleh L R sehigga / 3 4 overge. Artiya, ada suatu ( )...... L. Aa tetapi ita tida tahu berapaah L. Utu itu ita medugaya dega megguaa Teorema 9, yaitu utu I dipuyai bahwa ( )... Jia ita ambil = 9, diperoleh 0.7456 L L. Sedemiia higga 0.6456 L 0. 8456 (Pada eyataaya ita megetahui bahwa 0 a s9 L, sehigga ita dapat 8 Aalisa Real dega MATLAB

Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, 493-3-9,Tisara Grafia Salatiga, ISBN 979-60-9,4 hlm. meyimpula 0.6456 L 0. 7456. Dapat ditujua bahwa L log 0.693.... Jia 0 < <, maa berdasara Teorema 9 diperoleh... = 0 ( ) overge. Aibat 0 juga dapat diguaa bahwa 0 Hasil jumlaha dega rasio Cotoh 5. Perhatia deret ( ) = r = 0 a..., 0 < <. diperoleh dari jumlaha deret geometri a! ( ) ( )!!.... 3! Berdasara Teorema 0 maa deret tersebut overge. Jia L maa 0! L.!! 3! 4! 5! 6! Dari hasil tersebut, dapat disimpula bahwa L 0.3666 0.004. ANALISA REAL 83

Latiha soal.3. Utu berapaah ilai p sehigga deret... overge?. p p p p 3 4. Jia tida bulat, butia bahwa... overge. 3 3. Butia bahwa / / 3 / 4 (a)... diverge / / 3 / 4 (b) ( ) ( ) ( )... overge 4. Tujua bahwa jia a ( ) maa a diverge. (Disii a 0 da lim a 0, megapa Teorema 9 tida berlau?). 5. Tujua bahwa /( ) diverge..5 Koverge Bersyarat da Koverge Absolut Kita etahui dari studi yag lalu bahwa deret... 4 8 84 Aalisa Real dega MATLAB

Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, 493-3-9,Tisara Grafia Salatiga, ISBN 979-60-9,4 hlm. da juga deret... 3 4 eduaya overge. Aa tetapi edua deret berbeda. Jia ita ambil ilai absolutya dari deret pertama diperoleh... maa deret ii overge (deret geometri 4 8 r=/) Sedaga deret edua diabsoluta diperoleh... 3 4 mejadi deret yag diverge. Hal ii mejelasa pada ita tetag overgesi deret mejadi elompo. Defiisi. Diberia deret bilaga real. (a) (b) Jia Jia a overge, ita megataa bahwa a overge absolut. a overge tetapi a diverge, ita megataa bahwa a overge bersyarat (coverges coditioally). Teorema. Jia a overge absolut, maa overge. a ANALISA REAL 85

Buti: igatlah tes badig. Jia ita memecah suatu deret a mejadi deret yag positif a da deret egatif a, ita dapat meujua perbedaa petig atara overge absolut da overge bersyarat. ambil Persisya, jia a a suatu deret bilaga real, ita p jia a 0, p 0 jia a 0, Jadi utu deret..., p, 3 p, ( ) p 3 3, Sedaga p p... 0. Secara sama, ita sebut 4 q a jia q 0 jia a 0. a 0, Oleh area itu p merupaa suu-suu positf dari a (termasu dega adaya 0) sedaga egatif. Dapat dipelajari dega mudah (?) bahwa p ma a,0 da mi a,0 q adalah suu-suu q. 86 Aalisa Real dega MATLAB

Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, 493-3-9,Tisara Grafia Salatiga, ISBN 979-60-9,4 hlm. Kita dapat meyusu (?) Juga p a a da q a a a p q.. Tetu mudah membutia Teorema beriut. Teorema 3. (a) Jia a ovege absolut maa edua p da q juga overge. (b) Jia a overge bersyarat, maa edua p da q juga diverge. (c) Jia edua p da q overge, maa overge absolut. a Buti: hal.76..5. Tes Badig Perhatia barisa bilaga real a utu semua b summable da. Jia a da b dega b summable maa a ANALISA REAL 87

Jia a b. a tida dapat dijumlaha (usummable) maa usummable. Catata : Kita dapat memahami dega mudah bahwa jia deret dega jumlah yag lebih besar overge maa deret dega jumlah yag lebih ecil juga overge. Umumya pada soal ita harus meguji overgesi deret a, emudia ita mecari deret lai yag jumlahya lebih besar da sudah dietahui terlebih dahulu sifatya. Sumber lai (web) mempresetasia test badig dega berdasara rasio atara edua deret sebagai beriut. b Dietahui a da b merupaa deret ta higga. Dietahui r a lim ada da r b 0. Maa a overge absolut jia da haya jia absolut. b overge Latiha soal.4 (E. 3.4 hal. 76). Tetua deret beriut: diverge, overge bersyarat atau overge absolut: 88 Aalisa Real dega MATLAB

Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, 493-3-9,Tisara Grafia Salatiga, ISBN 979-60-9,4 hlm. (a)...!! 3! (b)... 3 5 7 3 4 (c)... 3 4 5 (d).... 3 3 (e)... 3 4 3 4. Dapatah suatu deret ta egative overge bersyarat?. 3. Butia bahwa jia a maa a a. 4. Jia a overge absolut, da jia utu setiap I, butia bahwa a overge. 5. Jia overge utu setiap barisa a sedemiia higga utu setiap I, butia bahwa a overge absolut. ANALISA REAL 89

.6 Peyusua ulag Deret Yag dimasuda peyusua ulag deret adalah meyusu deret mula-mula mejadi deret lai dega uruta berbeda. Kita aa mempelajari bahwa peyusua ulag deret overge absolute tida berpegaruh terhadap jumlahaya, tetapi peyusua ulag deret yag overge bersyarat dapat berdampa drastis. Kita telah megetahui bahwa deret / overge bersyarat pada suatu L R 9dimaa ita telah meyebuta bahwa L = log ). Lagipula ita tahu 0.6 L 0.8 sehigga L 0. Kita puya L.... () 3 4 5 6 7 8 Dega teorema 3, L.... () 4 6 8 0 Demiia pula L 0 0 0 0.... (3) 4 6 8 Jia ita tambaha () dega () diperoleh lagi oleh Teorema 3 bahwa 90 Aalisa Real dega MATLAB

Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, 493-3-9,Tisara Grafia Salatiga, ISBN 979-60-9,4 hlm. Atau 3 L ( 0) ( ) ( 0) ( ) 3 4 4 0 0... 5 6 6 7 8 8 3 L... (3) 3 5 7 4 9 6 Perhatia bahwa deret pada persamaa (3) adalah peyusua ulag deret pada ruas aa persamaa () tetapi eduaya overge pada limit yag berbeda. Defiisi 4. Ambil N = i i adalah barisa bilaga bulat positif yag setiap bilaga bulat positif terjadi tepat seali diatara a i a i i (Yaitu N adalah fugsi - dari I oto I). Jia deret bilaga real da jia b i I, maa i b i diataa suatu peyusua a ulag dari. Latiha soal.5 A. Tetua apaah deret beriut ii overge absolut, bersyarat, atau tida sama seali. ANALISA REAL 9

(a). ( ) log( ) (b) ( ) ( ) (c) ( ) si B. Hituglah jumlah deret jia diberia. 6 Petuju : Guaa 4 ( ). C. Tujua bahwa cos 3 overge absolut. Tetua jumlahya (berarti limit deret tersebut) da dietahui bahwa. 6 D. Dietahui bahwa a utu. Pelajari apaah deret overge. Latiha soal.6 A. Hitug jumlah deret ( ) B. Hitug deret ( )( 3)( 4 ) da a 9 Aalisa Real dega MATLAB

Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, 493-3-9,Tisara Grafia Salatiga, ISBN 979-60-9,4 hlm. Petuju: Tujua bahwa. ( )( 3)( 4) 3 4 C. Butia bahwa jia p da t deret yag overge dega suu-suu taegatif maa overge. D. Diberia a suatu barisa sedemiia higga lim a 0. Butia bahwa terdapat suatu sub-barisa a sedemiia higga E. Hitug ( ) e- dega =. a overge. t p. Petuju: Kalia suu F. Diberia a < da betu S a T 0 ( ) a. (a) Tujua bahwa 0 ( ) a S ( ) a 0 ( ) (b) Tujua bahwa T S a. da ANALISA REAL 93

(c) Tujua bahwa (d) Hituglah. 0 3 lim T lim S. G. Diberia 0 da / (a) Tetua (b) Diberia lim.. y.tetua suatu formula reursi utu y yag haya memuat y saja. (c) Tujua bahwa y mooto ai da y log. (d) Oleh area itu tujua bahwa lim 0. Teorema Kovergesi Mooto: Suatu barisa mooto ai yag terbatas e atas, barisa tersebut overge. Suatu barisa mooto turu yag terbatas e bawah, barisa tersebut overge. 94 Aalisa Real dega MATLAB

Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, 493-3-9,Tisara Grafia Salatiga, ISBN 979-60-9,4 hlm. BAB III TOPOLOGI DI R Selama ii ita telah belajar tetag limit barisa bilaga real da limit deret dari bilaga real. Kita aa megembaga pemahama tetag overgesi R. Topology dari ata Gree τόπος, artiya tempat da λόγος, artiya belajar. Topologi merupaa topi utama pada matematia yag beraita dega sifat-sifat otiuitas dari deformasi suatu obye. Pada himpua da geometri, maa topologi mempelajari osep ruag, dimesi da trasformasi. Salah satu topiya adalah tetag homorfisma (homeomorphisms) yaitu pemetaa yag otiu da iversya yag otiu. Pada bagia ii haya aa dibahas beberapa ata uci yag mucul pada bahasa bagia ii. 3. Ruag dimesi Perhatia bahwa vetor pada aa dipadag sebagai titi. Salah satu ruag adalah ruag vetor yag pada dasarya memeuhi huum pejumlaha da peralia terhadap salar. Notasi pajag vetor diberia oleh orm Euclide yaitu R /, i i,...,. ANALISA REAL 95

Sehigga jara atara titi aa megiuti huum Pythagoras. Yaitu sebutlah titi di R adalah da y maa jara atara titi tersebut adalah y i i y i / Sifat jara yag petig adalah pertidasamaa segitiga yag ditujua pada subbab 3.3. Ada hubuga yag sagat deat atar peralia dalam (ier product) da peralia titi (dot product) dari sifat idettas, ita dapat memperoleh sifat liear (yaitu peralia dalam mempuyai sifat tertutup terhadap peralia salar da pejumlaha, yaitu r sy, z r, z s y, z utu semua.,, y z R da r, sr da, sy tz s, y t, z utu semua, y, z R da s, t R. 3. Pertidasamaa Schwarz Utu semua da y dalam, y R berlau y 96 Aalisa Real dega MATLAB

Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, 493-3-9,Tisara Grafia Salatiga, ISBN 979-60-9,4 hlm. Tada sama berlau jia da haya jia da y oliear (salah satu titi dapat diyataa sebagai ombiasi liear dari yag lai). Buti: Utu membutia ita perlu meujua y -, y 0. Utu meujua (.) 0 umumya dega meyataa bahwa (.) sebagai betu uadrat. Selai itu maa dega (.) juga tida merubah maa. Artiya buti beriut disusu dega membutia pembutia disusu. y, y 0. Demiialah Utu dapat memahami pembutia lebih rici maa beriut ii dijabara utu =. Utu = maa y j = y y i j = i y = y y y y = y y y y = y j y j j j (tada sigma haya berlau utu ides j. = i y j = i j i j i y j + j y i. Demiia pula =, y y i i (berdasara defiisi) i ANALISA REAL 97

98 Aalisa Real dega MATLAB Ambil = i i y i = y y = y y y y = y y y y y y = y y y + y y y = y y y + y y y = y y y + y y y = j j j j j j y y y y (tada sigma haya berlau utu ides j) = i j j j i i y y = i j j j i i y y. Secara sama ita dapat megguaa peurua tersebut utu sembarag pada pembutia sebagai beriut. Sebutlah,...,, da y y y y,...,, Maa, y y = i i i j j i i y y = i j j i y + j i y - i j j j i i y y = i j j j i i i j j i y y y y

Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, 493-3-9,Tisara Grafia Salatiga, ISBN 979-60-9,4 hlm. = i y j j yi i j 0. (Terbuti). 3.3 Pertidasamaa Segitiga Pertidasamaa segitiga berlau juga utu orm Euclid di R yaitu y y utu semua, y R. Tada sama berlau jia da haya jia 0 atau y c dega c 0. Buti: Kembali ita melaua buti dega meguadrata edua ruas yaitu ita perlu membutia bahwa y y. Guaa hubuga peralia dalam (ier product) da orm utu meghitug beriut : y y, y,, y,, y y, y, y y, y y y y. Jia tada sama dipeuhi, ita harus mempuyai y, y, y = y. Secara husus pertidasamaa Schwarz dipeuhi. Jadi apaah 0 atau y c. Substitusia y c dalam ANALISA REAL 99

, y = y. Dega c y / 0. Ketia ita meulis eleme dalam R dalam otasi vetor, ita megguaa basis stadard yaitu : i dega e i sebagai vetor dega ilai pada posisi e i, sedaga 0 pada oordiat yag lai. Suatu himpua v,..., v m dalam R adalah ortoormal jia i v j ij e i v, utu i i, j m dega 0 etia i j da. Jia berlau pula ij bahwa v meretag maa e,...,,..., e diataa v m R basis ortoormal. Secara husus, e,..., e merupaa basis ortoormal utu R. ij 3.4 Kovergesi da elegapa (completeess) di R Perhatia bahwa selama ii ita membicaraa overgesi pada himpua bilaga real R. Kita aa memperluas defiisi overge pada himpua bilaga R pada R. Aalogiya adalah bahwa tada absolut berubah mejadi tada Euclidea orm. Defiisi. Suatu barisa titi pada R ditulis sebagai overge e suatu titi a jia utu setiap 0 terdapat suatu bilaga asli N N( ) sedemiia higga a utu semua N. 00 Aalisa Real dega MATLAB

Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, 493-3-9,Tisara Grafia Salatiga, ISBN 979-60-9,4 hlm. Dalam ii, ita tulis lim a. Perhatia bahwa ita dapat meurua defiisi yag serupa pada himpua bilaga real tetapi harus lebih hatihati dalam meulisa area berlau pada himpua bilaga R. Lemma. Sebutlah merupaa suatu barisa dalam R. Maa lim a jia da haya jia lim a 0. Lemma 3. Suatu barisa,,...,, e suatu titi a a a,...,, oefisie overge. Ditulis, i i a lim a utu setiap i. di overge jia haya jia setiap lim a jia haya jia Buti : (pembutia pada arah '' ) Dietahui lim a. Artiya diberia 0, diperoleh bilaga bulat N sedemiia higga a utu semua N. Aibatya utu setiap i da semua N, berlau / R, i ai, j a j a. j ANALISA REAL 0

Oleh area itu lim a utu semua i., i i (pembutia pada arah '' ) Dietahui bahwa setiap barisa oordiat berlau lim a, setiap i. Oleh area itu diberia 0, i i, guaa / dalam defiisi limit da pilih N i sedemiia besar sehigga berlau, i ai utu semua Ni. Dega megguaa N N i : i pertidasamaa ii valid utu Oleh area itu Jadi a i lim a., i a i / ma utu semua i N. /. Sebagaimaa pada barisa bilaga real, ita aa medefiisia barisa Cauchy da completeess pada dimesi yag lebih tiggi yaitu di R Defiisi 4. Suatu barisa di R merupaa barisa Cauchy jia setiap 0 terdapat suatu bilaga bulat N sedemiia higga l utu semua, l N. 0 Aalisa Real dega MATLAB

Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, 493-3-9,Tisara Grafia Salatiga, ISBN 979-60-9,4 hlm. Suatu himpua S R disebut legap (complete) jia setiap barisa Cauchy sebagai titi-titi pada S overge e suatu titi di S. Teorema 5. elegapa di R (completeess theorem i R ) Setiap barisa Cauchy di R overge. Jadi R legap (complete). Buti : Sebutlah di R merupaa barisa Cauchy. Utu membutia, ita perlu membutia tiap ompoe barisa pada yaitu =, i overge. Marilah ita tulisa tiap eleme,,,...,,,. Aa ditujua tiap barisa merupaa barisa Cauchy utu setiap i. Dietahui barisa Cauchy di R overge. Artiya jia diberia 0, ita memilih N sedemiia besar sehigga utu semua, l N. Sehigga, i l, i l utu semua, l N., i Jadi utu i. Karea sifat completeess theorem berlau, berarti setiap barisa tersebut puya limit sebutlah lim a utu i. Kemudia ita, i l i ANALISA REAL 03

defiisia vetor oleh a a,..., a R Lemma, ita dapat memperoleh yag diehedai. a. Dega 3.5 Subhimpua tertutup da terbua Perhatia bahwa ata tertutup da terbua tida bermasud seperti tertutup da terbua pitu. Himpua tertutup merupaa himpua yag mempuyai semua titi limit. Kita aa lihat defiisi formal terlebih dahulu barulah dega cotoh. Defiisi 6. Suatu titi diataa titi limit dari suatu subhimpua A di jia suatu barisa a R dega a Asedemiia higga lim a. Suatu himpua A R tertutup jia memuat semua titi limitya. Cotoh. () a b R : a b, merupaa himpua tertutup. () da R eduaya tertutup. (3) [ 0, ) merupaa himpua tertutup. (4) 0, da, (5) R (6) R : 0 bua himpua tertutup. : merupaa himpua tertutup. tida tertutup. 04 Aalisa Real dega MATLAB

Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, 493-3-9,Tisara Grafia Salatiga, ISBN 979-60-9,4 hlm. (7) (, y) R : y juga tertutup. (8). Himpua berhigga dari bilaga real tertutup di R. Karea suatu himpua tertutup mempuyai sifat yag sagat bergua yaitu memuat semua titi limit-titi limitya, maa ita igi megostrusi himpua tertutup dari himpua yag lai yag bersifat sediit urag bagus dari himpua tertutup yag ditujua pada defiisi beriut. Defiisi 7. Jia A R maa closure A yag disimbola A yag memuat semua titi limit dalam A. Membiguga bua?. Bagaimaa dega himpua tertutup da closure A?. Perhatia proposisi beriut. Proposisi 8. Dietahui A R. Maa A sebagai himpua terecil yag tertutup yag memuat A. Khususya A A. (Catata: peryataa tersebut semai membiguga bua?). Buti: Perhatia utu setiap a A Bagaimaa tetag himpua terbua?. Beriut cotohcotohya. Cotoh. () a b R : a b, merupaa himpua terbua. () Q da R eduaya terbua. (3) ( 0, ) merupaa himpua tertutup. ANALISA REAL 05

(4) 0, da, (5) B r (a) terbua. 0 tida terbua. (7) Br a) R : a r (8) (, y) R : y terbua. (9). (,0) R : 0 ( tida terbua. tida terbua. 3.6 Compact Set da Teorema Heie Borel Defiisi 9. Suatu subhimpua A R disebut ompa a (compact) jia setiap barisa titi (disimbola pada A mempuyai suatu subbarisa yag overge a i artiya puya limit sebutlah lim a di A. a i i ) titi Dega defiisi ii maa ita dapat meyimpula bahwa setiap subbarisa di R yag tertutup da terbatas merupaa himpua compact. i Latiha soal 3 Dari himpua beriut ii maaah yag compact?. (a), yr : y (b) R : 4 06 Aalisa Real dega MATLAB (c) ( e cos, e si ) : 0 (,0) : 0 (d) ( e cos, e si ) : 0,0

Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, 493-3-9,Tisara Grafia Salatiga, ISBN 979-60-9,4 hlm. Daftar Pustaa Davidso, K.R da Dosig, A. P, 00. Real Aalysis ad Applicatios, Theory ad Practice, Spriger Sciece + Busiess Media, LLC 00, Chapter 4. ANALISA REAL 07

08 Aalisa Real dega MATLAB

Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, 493-3-9,Tisara Grafia Salatiga, ISBN 979-60-9,4 hlm. BAB IV LIMIT FUNGSI, BARISAN DAN DERET FUNGSI 4. Limit fugsi da Fugsi otiu Sebagaimaa yag dibicaraa pada Bab-bab sebelum ii, maa ita searag aa membicaraa tetag barisa fugsi da deret fugsi. Defiisi. Defiisi Limit fugsi (Davidso, da Dosig, Dietahui 00) S R da f suatu fugsi dari S ito m R. Jia a suatu titi limit dari S\{ a } (dibaca: himpua S yag tida memuat himpua yag beraggotaa a), maa suatu titi v m R adalah limit dari f pada a jia utu setiap 0, terdapat suatu r > 0 sedemiia higga f () v bilamaa 0 a r da S. Ditulis lim f ( ) v. a Catata: Karea f memetaa S R e m R maa hasil m pemetaa dapat berupa vetor di R. ANALISA REAL 09

Secara geometris hal ii diilustrasia pada Gambar. Gambar. Limit utu fugsi f : R R Perhatia bahwa f(a) tida perlu terdefiisi. Megataa lim f ( ) v tida mejelasa apa-apa tetag f(a). Igat a asus suatu fugsi yag terdefiisi pada suatu iterval (a,b) da c ( a, b). Maa lim c f ( ) L r > 0 sedemiia higga yag berarti utu setiap 0 terdapat suatu f()-l < utu semua 0 < - < r. 0 Aalisa Real dega MATLAB

Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, 493-3-9,Tisara Grafia Salatiga, ISBN 979-60-9,4 hlm. Defiisi. Dietahui ito S R da f suatu fugsi dari S m R. Kita megataa bahwa f otiu pada suatu a S jia utu setiap 0, terdapat suatu r > 0 sedemiia higga utu setiap S dega a r berlau f ( ) f ( a). Lebih jelas lagi, f otiu pada S jia f otiu pada setiap titi a S. Jia f tida otiu pada a, ita megataa bahwa f disotiu pada a. Kotiuitas dapat digambara adag-adag dega limit. Jia a bua titi isolasi yaitu a suatu titi limit dari S\{a}, maa lim f ( ) masu aal da f otiu a pada a jia da haya jia f ( ) f ( a). Perhatia lim a bahwa jia a. suatu titi isolasi S, maa f selalu otiu pada a. Cotoh. Diberia f : R \{ 0 } R dalam betu f ( ). Mari ita tujua bahwa fugsi ii otiu pada domai yag diberia. Perhatia utu = da = maa maa diilustrasia pada Gambar a-b. f ( ) ANALISA REAL

Gambar a. Ilustrasi utu R \{0}. f ( ) Gambar b. Ilustrasi f ( ) utu y R \{ 0} Utu meujua fugsi ii otiu pada domai yag diberia, tetapa terlebih dahulu suatu a R. Maa Tada orm pada defiisi digati dega tada absolut disii area hasil pemetaa f di R. a f ( ) f ( a) (a) a a Tujua ita adalah membuat selisih ii ecil dega megotrol jara a. Utu megestimasi bagia pembilag, ita guaa pertidasamaa segitiga yaitu Aalisa Real dega MATLAB