KALKULUS UNTUK MAHASISWA 9 CALON GURU MATEMATIKA OLEH: DADANG JUANDI, DKK PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
BAB I PENDAHULUAN. Sistem Bilangan Real Dalam Uraian sitem bilangan real di bawah ini, dibicarakan tentang siat lapangan bilangan real, siat kerapatan pada bilangan real, dan siat urutan. Siat lapangan memberikan rumus-rumus aljabar elementer yang sering digunakan dalam perhitungan matematika. Siat urutan bilangan real menghasilkan bilangan positi, nol, dan bilangan negati. Selain itu, siat urutan memberikan relasi antara dua bilangan real, yaitu kurang dari, sama dengan, atau lebih dari yang melahirkan konsep pertidaksamaan dan nilai mutlak yang sama penting dalam kalkulus. Sedangkan siat kerapatan bilangan rasional pada bilangan real menyatakan bahwa diantara dua bilangan real sebarang yang berlainan terdapat suatu bilangan rasional... Siat-Siat Lapangan Bilangan Real Sistem bilangan real dan siat-siatnya merupakan dasar dalam kalkulus. Sebelum membicarakan sistem bilangan real tersebut, terlebih dahulu akan dimulai dengan membicarakan sistem bilangan yang paling sederhana yaitu bilangan asli. Bilangan asli adalah bilangan-bilangan,,, 4, 5,. Jika negati dari bilangan asli digabungkan dengan bilangan nol diperoleh bilangan bulat. Bilangan bulat adalah bilangan-bilangan, -, -, -,,,,, Bilangan-bilangan bulat tersebut dapat ditulis dalam bentuk desimal dengan dikanan koma desimal hanya terdiri nol, sebagai contoh Tanda bar menyatakan angka diulang. 5 5,,, Bilangan-bilangan bulat belum memadai, bila dihadapkan kepada bilangan-bilangan hasil pengukuran yang memerlukan ketelitian. Demikian pula bilangan-bilangan bulat
tersebut tidak memadai bila dihadapkan kepada bilangan yang merupakan hasil bagi dari bilangan-bilangan bulat, misalnya bilangan,, 5, 8, dan 5. Bilangan-bilangan 8 dan 5 dikelompokkan kedalam bilangan-bilangan yang merupakan hasil bagi dari bilangan bilangan bulat yang secara normal dengan bilanganbilangan 9 dan 5. Tetapi 7dan 9 tidak dikelompokkan kedalam bilangan- bilangan yang merupakan hasil bagi dari bilangan-bilangan bulat, karena tidak dapat diartikan arti lambang-lambang tersebut. Bilangan-bilangan yang merupakan hasil bagi dari dua bilangan bulat kecuali pembagian oleh nol disebut bilangan rasional. Secara umum, bilangan rasional adalah bilangan yang dapat ditulis dalam bentuk p q dengan p dan q bilangan bulat, q. Bentuk desimal bilangan-bilangan rasional selalu berulang, sebagai contoh,5 ;,6 4 8,5 ;,54 5 Selanjutnya, bilangan-bilangan real yang tak dapat dinyatakan sebagai p q dengan p, q bilangan bulat dan q disebut bilangan tak rasional. Bentuk desimal dari bilanganbilangan tak rasional adalah tak berulang. Sebaliknya suatu desimal tak berulang menyatakan suatu bilangna tak rasioanal, misalnya,4456 CONTOH : Tunjukkan bahwa adalah bilangan tak rasional. Bukti: Andaikan adalah bilangan rasional, maka dapat ditulis sebagai denagn a, b bilangan bulat, b, dan pembagi sekutu terbesar dari a dan b adalah. Dari sini diperoleh b a. Karena a kelipatan dua, maka a juga merupakan kelipatan. Namakan a k untuk suatu bilangan bulat k, sehingga diperoleh a b
b k 4k b k Dengan cara yang sama dapat disimpulkan bahwa b kelipatan. Hal ini berarti bahwa a dan b mempunyai pembagi sekutu terbesar berkelipatan yang kontradiksi. Dengan pengambilan a dan b di atas. Jadi, pengandaian bilangan rasional adalah salah, dan haruslah adalah bilangan tak rasional. Sekumpulan bilangan (bilangan rasional dan bilangan tak rasional) bersama-sama dengan bilangan negatinya dinamakan bilangan real. Bilangan real dapat digambarkan oleh himpunan semua titik yang terletak pada suatu garis. Pertama dipilih sebuah titik O. titik ini ditandai dengan (satu). Situasi tersebut dapat dilihat pada garis bilangan berikut ini. s satuan r satuan 4 4 -s r Gambar.. Cara ini digunakan untuk memberi skala pada garis bilangan dan juga untuk mempertimbangkan letak setiap bilangan real. Sebagai contoh, setiap bilangan real positi r terletak r satuan di sebelah kanan O, dan setiap bilangan real negati -s dengan s terletak s satuan di kiri O. Misalkan dan y dua bilangan real yang berlainan, kemudian dibentuk bilangan real z y yang merupakan bilangan pertengahan di antara dan y. situasi ini diperlihatkan pada gambar dibawah ini.
z y / y Gambar.. Dengan cara yang sama, diperoleh suatu bilangan s diantara dan z, dan bilangan lain t di antara z dan y. Proses ini dapat diulangi sampai tak berhingga kali, sehingga diantara dua bilangan real sebarang (tdak perduli betapapun dekatnya) terdapat tak berhingga banyaknay bilangan real lain. Akibatnya bahwa di antara dua bilangan rasional terdapat suatu bilangan rasioanl, dan diantara setiap dua bilangan tak rasional terdapat suatu bilangan tak rasioanl. Dengan kata lain, bahwa bilangan rasional dan tak rasional keduanya rapat sepanjang garis bilangan real. Hal ini berarti bahwa setiap bilangan mempunyai tetangga bilangan rasional dan bilangan tak rasioanl yang cukup dekat dengannya. Kedua jenis bilangan tersebut saling berkaitan satu sama lain dan bergerombol bersama-sama. Sebagai ilustrasi bahwa bilangan tak rasioanl dapat dihampiri oleh suatu bilangan rasioanl sedekat mungkin dengan, misalnya ;,4;,4;,4;,44; adalah bilangan rasional yang berada dekat dengan. Perlu diperhatikan bahwa terdapat lambang-lambang baku untuk mengenali impunanhimpunan bilangan, misalnya: R N bilangan real bilangan asli,,, 4, Z bilangan bulat,,,,,,, 4, Q bilangan rasional Operasi penjumlahan dan perkalian pada R memenuhi siat lapangan atau siat medan bilangan real. Adapaun siat lapangan bilangan real adalah sebagi berikut: Untuk setiap, y, z R, berlaku. Siat komutati y y y y
. Siat asosiati y z y z yz y z. Siat distributi kali terhadap tambah y z y z 4. Unsur kesatuan Terdapat unsur (unsur kesatuan tambah atau unsur nol) dan (unsur kesatuan kali atau unsur 5. Unsur balikan (invers) satuan) yang memenuhi i. Untuk setiap R, terdapat R sehingga (- lawan dari ) ii. Untuk setiap R, terdapat dari ) R sehingga ( kebalikan Berdasarkan siat lapangan pada bilangan real dapat dideinisikan operasi biner lainnya, yaitu operasi pengurangan (-) dan pembagian ( ). Deinisi.. (Pengurangan dan Pembagian Bilangan Real): Misalkan y, R. (a). Pengurangan dari bilangan real dengan y ditulis - y dideinisikan dengan y y (b). Pembagian dari bilangan real oleh y y ditulis : y dideinisikan dengan : y y y Perlu diingat bahwa operasi pengurangan saling invers dengan operasi penjumlahan, dan operasi pembagian saling invers dengan operasi perkalian. Selain itu, dari siat lapangan pada R dapat diturunkan rumus-rumus aljabar elementer yang disajikan pada teorema berikut.
Teorema.. (Siat-siat Aljabar Elementer Bilangan Real): Misalkan a, b, c adalah bilangan real (a). Jika a b, maka a c b c dan ac bc (b). Jika a c b c, maka a b (c). Jika ac bc dan c, maka a b (d). a a (e). a a a, (). a b c ab ac (g). a a (h). a b a b ab, khususnya a a (i). a b ab (j). Jika ab, maka a atau b (k). Jika a c b d, maka ad bc, b, d a c ad bc (l)., b, d b d bd.. Siat Urutan pada Bilangan Real Siat urutan pada bilangan real menurunkan suatu konsep yang membandingkan di antara bilangan real, sehingga diperoleh suatu bilangan real lebih dari atau kurang dari bilangan real lainnya. Pada bilangan real R, jika b terletak di sebelah kanan dari a pada garis bilangan, dikatakan b lebih dari a dan ditulis b > a. Sedangkan sebaliknya dikatakan a kurang dari b dan ditulis a < b. Bilangan real bukan nol dibedakan menjadi bilangan real positi dan bilangan real negati. Dari akta tersebut dapat diperkenalkan relasi urutan < yang disajikan pada deinisi-deinisi berikut. Deinisi..: Diberikan ab, R.
() a b berarti b a positi atau b a () a b berarti a batau a b () b a berarti a b atau b a positi Berikut ini diperkenalkan aksioma urutan yang sering disebut dengan siat trikotomi. Adapun aksioma urutan tersebut disajikan seperti dibawah ini. Aksioma..4 (Aksioma urutan): () Jika a R, maka salah satu dari pernyataanpernyataan berikut berlaku: a, a positi, atau -a negati. () Jumlah dua bilangan real positi adalah bilangan positi () Perkalian dua bilanagn real positi adalah bilangan positi Selanjutnya, akan dibicarakan siat-siat urutan yang disajikan pada teorema berikut. Teorema..5 (Siat-siat Urutan): Diberikan, y, z, c R. () Jika y dan y z, maka z (Siat Transiti) () Jika y, maka c y c (Siat Penambahan) () Jika y dan c, maka c cy (Siat Perkalian) (4) Jika y dan c, maka c cy (Siat Perkalian) Teorema ini akan dibuktikan hanya bagian () dan (), sedangkan bagian yang lainnya dikerjakan para pembaca sebagai latihan. Bukti: () y berarti y (deinisi), y z berarti z y (deinisi). Dari sini diperoleh y z y (jumlah dua bilangan positi)
y z y z z z komutati deinisi () Karena y, maka berarti y (deinisi), Dari sini diperoleh y c c y c c y c c c y c deinisi Latihan. Untuk soal nomor sampai dengan nomor 9, buktikan kebenaran dari setiap pernyataan yang diberikan.. adalah bilangan tak rasional.. Jumlah dua bilangan rasional adalah rasional. a b jika dan hanya jika a b 4. a b jika dan hanya jika a b 5. Jika a b, maka a a b b 6. Hasilkali sebuah bilangan rasional yang tak nol dengan sebuah bilangan tak rasional adalah takrasioanal 7. Jika bilangan asli m bukan merupakan bentuk kuadrat sempurna, maka m tak rasional 8. 6 adalah bilangan tak rasional. 9. Hasil kali sebuah bilangan rasional (selain nol) dengan sebuah bilangan tak rasional adalah tak rasional. Petunjuk: coba buktikkan melalui kontradiksi.
Untuk soal nomor sampai dengan 4, selidiki apakah setiap pernyataan yang diberikan benar? Jika benar, buktikan kebenaran pernyataan tersebut. Tetapi jika pernyataan tersebut salah, berikan contoh penyangkal yang menyatakan bahwa pernyataan tersebut salah.. a b, maka a 4 b 4. a b, maka a b. a b, maka. a b, maka a ab a a b 4. Jumlah dua bilangan tak rasional adalah tak rasional Untuk soal nomor 5 sampai nomor 8, ubahlah masing-masing desimal berulang menjadi suatu hasil bagi dua bilangan bulat. 5.,56565656 6.,7777 7.,99999 8.,9999 9. Cari bilangan tak rasional antara,459 dan,459. Apakah bilangan 7 positi, negati atau nol?. Apakah bilangan,4567894rasoanl atau tak rasional? Jelaskan yang mendasri jawaban Anda. Cari dua bilangan tak rasional yang jumlahnya rasional. Suatu bilangan b disebut batas atas dari suatu himpunan bilangan S, bila b untuk setiap S. Sebagai contoh 5; 6,5; dan adalah batas atas dari himpunan,,,4,5. Angka 5 merupakan batas atas terkecil dari S. berdasarkan pengertian di atas, tentukan batas atas terkecil dari setiap himpunan berikut: a. S, 8, 6, 4, b. S,,,,,,, c. S,4,,44,,444,,4444 d. S,, 4, 5, 6
e.. n S :, n bilangan bulat positi n S :, adalah bilangan rasional 4. Aksioma kelengkapan pada bilangan real: setiap himpunan bilangan real yang memiliki batas atas, mempunyai sebuah batas atas terkecil berupa bilangan real. a. Tunjukkan bahwa pernyataan di atas adalah salah bila kata real diganti dengan rasionnal b. Apakah pernyataan tersebut benar atau salah, bila kata real. Pertidaksamaan Pertidaksamaan adalah hubungan matematika yang mengandung tanda salah satu dari,,, dan suatu variabel. Semua himpunan bilangan real yang memenuhi pertidaksamaan dinamakan himpunan penyelesaian. Penyelesaian pertidaksamaan dapat diperoleh dengan menggunakan siat-siat urutan yang telah dibicarakan pada pasal sebelumnya. Hmpunan penyelesaian suatu pertidaksamaan dapat dituliskan dalam bentuk notasi himpunan atau dala notasi interval. Pertidaksamaan-pertidaksamaan yang akan dibahas adala pertidaksamaan linear, pertidaksamaan kuadrat, dan pertidaksamaan rasional. Sebelum membicarakan pertidaksamaan, terlebih dahulu akan dibahas mengenai pengertian interval yang sangat erat kaitannya dengan penulisan himpunan penyelesaian suatu pertidaksamaan. Suatu interval adalah himpunana bagian tak kosong dari R yang memenuhi ketaksamaan yang dideinisikan sebagai berikut. Deinisi.. (Interval Terbatas): a, b R a b a, b R a b a, b R a b a, b R a b ( ) [ ] ( ] [ )
Deinisi.. (Interval Tak Terbatas): a, R a a, R a,b R b,b R b, R a a b b Perlu diingat bahwa lambang berarti mengecil tanpa batas berarti membesar tanpa batas dan lambang CONTOH : Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan a. 5 b. 9 Penyelesaian: a. Perhatikan bahwa 5 5 Himpunan penyelesaiannya adalah R, b. Perhatikan bahwa 9 9 6 Himpunan penyelesaiannya adalah R 6, 6 CONTOH : Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 4
Penyelesaian: Perhatikan bahwa 4 6 Nilai batas pertidaksamaan ini adalah dan, yang membuat ruas kiri () bernilai nol. Nilai batas pertidaksamaan tersebut membagi garis atas tiga interval. Diagram berikut cara untuk menentukan tanda pertidaksamaan pada selang,,,, dan,+. Karena penentuan tanda pertidaksamaan pada diagram berlaku untuk sebarang nilai pada setiap interval bagiannya, maka menentukan tandanya cukup dengan mengambil salah satu anggota dari interval bagiannya, yaitu Ambil 4, kemudian subtitusikan ke ruas kiri () dan diperoleh 4 4 6. Hal ini dapat disimpulkan bahwa pertidaksamaan pada interval, positi (mengapa?). gambarkan tanda positi pada interval tersebut. Kerjakan hal serupa untuk selang, dan, dengan memeriksa tanda ruas kiri () untuk salah satu anggotanya. Selanjutnya cara menetukan penyelesaian pertidaksamaan 4 dilakukan dengan memperhatikan ambar garis bilangannya, carilah interval bagian yang bertanda sama dengan pertidaksamaan () yaitu positi atau nol. Dari sini diperoleh hasil,, yang merupakan penyelesaian pertidaksamaan tersebut. berikut: Proses penyelesaian pertidaksamaan pada ilustrasi si atas ditulis secara singkat sebagai
4 6 Himpunan penyelesaian adalah,, CONTOH Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan Penyelesaian: Nilai batas pertidaksamaan adalah, dan. Gambarkan semua nilai pada garis bilangan dan tentukan tandanya, diperoleh Himpunan penyelesaiannya adalah,,,. Catatan: Himpunan penyelesaian ini seringkali ditulis,,. Aturan Umum Menentukan Tanda Pertidaksamaan Untuk pertidaksamaan yang terdiri dari berhingga aktor linear di ruas kiri dengan ruas kanannya nol, tandanya dapat ditentukan dengan cara berikut: Tetapkan tanda dari suatu interval bagiannya. Bila melintasi nilai batas yang berasal dari aktor linear berpangkat bilangan ganjil, maka tanda interval bagian berikutnya berubah. Bila melintasi nilai batas yang berasal dari aktor linear berpangkat bilangan genap, maka tanda interval bagian berikutnya tetap. CONTOH 4 Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan. Penyelesaian: Pada kasus ini, (mengapa?). disini tidak boleh mengalikan kedua ruas pertidaksamaan dengan aktor (mengapa?).
Perhatikan bahwa Himpunan penyelesaian adalah,, Catatan: Lambang menyatakan tak tereinisi. CONTOH 5 Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan Penyelesaian: Perhatikan bahwa 4. Karena deinit positi (bernilai positi untuk setiap ), maka pertidaksamaan terakhir setara (ekuivalen) dengan Dengan penyelesaian pertidaksamaan ini diperoleh tanda-tanda pada garis bilangan real
Dengan demikian, himpunan penyelesaiannya adalah interval, Latihan.: Untuk soal nomor sampai dengan 6, carilah semua nilai yang memenuhi sistem pertidaksamaan yang diberikan.. 7 dan. 7 dan 4. 7 dan 4 4. 7 dan 5 5. 7 dan 8 6. 7 dan 8 Untuk soal nomor 7 sampai dengan 4, tentukan himpunan penyelesaian dari setiap pertidaksamaan yang diberikan. 7. 8. 4 6 9... 7 7. 99. 4 4.. Nilai Mutlak
() Y cot y cot X () Graik ungsi sec dan inversnya Y sec sec sec X y sec
CONTOH 4: Hitunglah nilai ungsi invers berikut: a. cos b. sin c. d. tan sec Penyelesaian: a. Misalkan Jadi cos cos 6., maka cos. Diperoleh. 6 b. Misalkan sin, maka sin. Akibatnya sin atau. Jadi sin sin. c. Misalkan tan, maka tan. Dalam hal ini diperoleh. Jadi tan. d. Untuk menyelesaikan soal ini, akan lebih mudah dengan menggunakan hubungan sec cos CONTOH 5: Tunjukkan bahwa Penyelesaian: Misalkan tan cos tan cos (mengapa?). jadi, diperoleh cos tan, maka. dengan demikian diperoleh sec cos.
cos sec tan CONTOH 6 : Diketahui Penyelesaian: (a). Diketahui cos 5 D dan R (b). Tentukan invers dari ungsi (c). Gambar graik ungsi dan (a). Daerah asal ungsi adalah Agar R, syaratnya adalah D R R., sehingga diperoleh 5 5 5 5 8 4 Jadi, daerah asal ungsi adalah D,4. Daerah nilai ungsi adalah R D. Jika 4 maka 5 5 cos cos cos cos 5 (mengapa?). Akibatnya, diperoleh
Jadi daeah nilai ungsi adalah R,. (b). Untuk mencari invers ungsi, nyatakan dan y seperti berikut. Tulis y cos, maka diperoleh 5 5 cos y 5cos y 5 cos y 5 cos y Jadi, invers ungsi adalah 5 cos, dengan R D (c). Graik ungsi diperoleh dengan mencerminkan ungsi terhadap garis y.,4 Graik dan disajikan dalam gambar berikut ini. Y 4 y 4 X
Latihan.5:. Hitunglah nilai ungsi invers trigonometri tanpa menggunakan kalkulator a. sin b. c. d. tan arc cos arc tan. Tentukan rumus untuk ungsi invers, kemudian batasilah daerah asal agar ada. a. cos b. tan c. sin d. sin. Buktikan bahwa a. 5 tan tan 4 4 99 b. 4 tan tan 4 5 9 4. Tentukan daerah asal ungsi, daerah nilai ungsi, dan ungsi invers. Kemudian gambar graik ungsi dan dalam satu sistem koordinat. a. sin b. cos 5 c. tan