Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL

Transkripsi

1 SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 009 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 00 Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL BAGIAN PERTAMA Disusun oleh :

2 Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 009 Bagian Pertama BAGIAN PERTAMA. Banyaknya macam adalah (,, 6), (,, 5), (,, 4), (,, 4), (,, ) beserta permutasi yang berturut-turut ada sebanyak, 6, 6, dan. Banyaknya macam hasil lemparan ( ) + ( 44) Karena bilangan kuadrat tidak mungkin negatif maka tidak ada real yang memenuhi. Banyaknya bilangan real yang memenuhi adalah 0. a b c. + + b c a Karena a, b dan c positif maka dengan ketaksamaan AM-GM didapat a b c a b c + + b c a b c a Tanda kesamaan terjadi jika a b c. a b c Karena + + maka haruslah a b c yang kontradiksi dengan a < b < c. b c a Banyaknya bilangan positif a yang memenuhi adalah n + S n N N n n + n + + N n + n + n + Karena n + n maka haruslah n + Jadi n +, tetapi n N sehingga tidak ada n N yang memenuhi. Semua himpunan bagian dari S adalah { }. Banyaknya himpunan bagian dari S adalah. 5. Misalkan garis tinggi dari A memotong sisi BC di D dan AD. Tanpa mengurangi keumuman misalkan CD dan DB 7.

3 Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 009 Bagian Pertama tan CAD + tan DAB tan CAB tan( CAD + DAB) tan CAD tan DAB 7 + yang ekivalen dengan ( )( + 5) 0 Karena > 0 maka AD Luas ABC ½ AD BC ½ ( + 7) Luas ABC adalah 0. 9 sin + 4 sin Untuk 0 < < π maka sin > 0 Dengan AM-GM didapat 6. f ( ) 9 sin f sin sin sin 4 Tanda kesamaan terjadi jika 9 sin atau sin sin 9 sin + 4 Nilai minimum dari f ( ) adalah. sin ( ) 9sin + 9sin 7. Misalkan garis tinggi ketiga t. Misalkan juga 6, 0 dan t adalah garis tinggi-garis tinggi yang berturut-turut sepadan dengan sisisisi a, b dan c. Dengan rumus luas segitiga ABC didapat hubungan 6a 0b tc a > b + c Dengan ketaksamaan segitiga didapat b c > + a a 6 > + 5 t t < 5. Jika t 4 maka 6a 0b 4c a : b : c : : 5 : : Karena a 5k < b + c 6k untuk suatu nilai real k maka t 4 memenuhi. Panjang maksimum garis tinggi ketiga adalah 4.

4 Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 009 Bagian Pertama 8. f ( + ) ( ) ( ) + f dan f() f + f () f ( 4) + f () f ( 6 ) Sehingga nilai f(n) untuk n bulat akan periodik dengan kala ulang 4. Karena 009 4(50) + maka nilai f(009) f(5) Nilai fungsi f(009) adalah. 9. r ( a + b + c) R Luas ABC r( a + b + c) ab abc 4R ab R Alternatif : Dengan mensubtitusikan bahwa c R, a c sin A dan b c cos A maka 4 sin A cos A sin A Karena a < b < c maka A < B < C.

5 Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 009 Bagian Pertama Jadi, A 0 o, B 60 o dan C 90 o. ( a + b + c) r r ab c sin 0 c cos0 a + b + c c r a + b + c ( a + b + c) ( a + b + c) ( csin 0 + c cos0 + ) ( ) 6 Alternatif : Karena R c maka 4ab c a + b c a + b 4ab ( a b )( a b ) 0 Karena a < b maka b a dan c a ab a r a + b + c a + a + + a + a + r a a + b + c a r a + b + c ( + )( a + a + ) ( ) tan + tan y 5 cot + cot y tan tan y tan + tan y 0 tan tan y 5 tan tan y 6 tan ( + y) tan + tan y tan tan y tan ( + y) Nilai maksimal k sehingga 5 k ! adalah Bagian kanan 00! terdapat digit 0 berturut-turut sebanyak 4.

6 Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 009 Bagian Pertama. Alternatif : Akan ada dua kasus ) Ada tepat sepasang sepatu yang berpasangan dan dua lainnya dipilih dari pasang sepatu tersisa sehinga keduanya tidak berpasangan. Sepasang sepatu dipilih dari kemungkinan 4 pasangan. Banyaknya cara memilih ada 4. Banyaknya cara memilih dua sepatu dari tiga pasang sepatu sehingga keduanya tidak berpasangan adalah C. Banyaknya cara memilih sehingga tepat sepasang sepatu yang berpasangan dan lainnya dipilih dari pasang sepatu tersisa sehinga keduanya tidak berpasangan ) Ada tepat dua pasang sepatu berpasangan yang dipilih dari kemungkinan empat pasang sepatu. Banyaknya cara memilih adalah 4 C Peluang kejadian 8 C4 5 Alternatif : Komplemen dari kejadian dimaksud adalah tidak ada sepasang sepatu dari keempat sepatu tersebut yang berpasangan, sehingga masing-masing satu buah sepatu dipilih dari masingmasing empat pasang sepatu tersebut. Banyaknya cara adalah 6. 6 Peluang kejadian 8 C4 7 Peluang kejadian. 5. k m + m 4 n 6 dengan k, m dan n adalah tiga bilangan bulat positif. m n(m 6k) Karena ruas kiri positif maka haruslah m > 6k > 6. Ruas kanan pasti genap sehingga m harus genap. Karena m genap dan m > 6 maka m 8. Jika m 8 maka 48 4n kn 48 n(4 k) n 48 dan k adalah salah satu pasangan (n, k) yang memenuhi. Bilangan m terkecil yang memenuhi adalah (p ) + (p) 6 p untuk suatu bilangan prima p. Jika p maka sehingga p tidak memenuhi. Jika p maka sehingga p tidak memenuhi. Karena p, dan p prima maka p dapat dinyatakan p 6k + atau 6k + 5 dengan k bulat taknegatif. Jika p 6k + Persamaan semula akan ekivalen dengan (k + ) + 9(6k + ) 6 6k+ (k) + (k) + (k) + + 9(6k + ) 6 6k+ Ruas kiri dibagi 9 bersisa sedangkan ruas kanan habis dibagi 9.

7 Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 009 Bagian Pertama Maka tidak ada nilai k asli yang memenuhi. Jika p 6k + 5 Persamaan semula akan ekivalen dengan (k + 9) + 9(6k + 5) 6 6k- (4k + ) + 4k 540k k+5 Karena 80 9 (mod 7) maka ruas kiri dibagi 7 bersisa 9 sedangkan 7 membagi ruas kanan. Maka tidak ada nilai k asli yang memenuhi. Jadi, tidak ada bilangan prima p yang memenuhi. Banyaknya bilangan prima p yang memenuhi adalah Misalkan k cos sin + cos sin + + cos 009 sin maka k cos sin + cos sin + + cos 009 sin Mengingat bahwa sin α + cos α maka 009+k cos + cos sin + (sin + cos ) + cos sin + (sin + cos ) + + cos 009 sin + sin 009+k(cos + cos sin + sin )+(cos + cos sin + sin )+ +(cos cos 009 sin + sin ) k (cos + sin ) + (cos + sin ) + + (cos sin ) + (cos + sin 009 ) Karena bilangan kuadrat tidak mungkin negatif maka k min k min Nilai minimum didapat jika cos sin, cos sin, cos sin, cos sin,, π cos 009 sin dan cos 009 sin yang dapat dipenuhi oleh L rad. Nilai minimum dari cos sin + cos sin + + cos 009 sin adalah akar-akarnya a, b dan c. Maka a + b + c 8. 8 y Subtitusi y 8 sehingga ke persamaan Maka 8 y 8 y 8 y memiliki akar-akar 8 a, 8 b dan 8 c Polinom f() + p + q + r memiliki akar-akar, yaitu a + b c 8 c, a + c b 8 b dan b + c a 8 a. Karena koefisien dari f() sama dengan maka Polinom f ( ) juga memiliki akar-akar 8 a, 8 b dan 8 c f () f() 45.

8 Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 009 Bagian Pertama 7. Tanpa mengurangi keumuman misalkan sisi-sisi segitiga adalah a, b dan 0 dengan a b 0. Ketaksamaan segitiga, a + b > 0 Karena segitiga tumpul maka a + b < 0 Pasangan (a, b) bilangan asli yang memenuhi kedua ketaksamaan tersebut adalah (,9), (,8), (,9), (4,7), (4,8), (4,9), (5,6), (5,7), (5,8), (6,6), (6,7) dan (7,7). Banyaknya pasangan (a, b) bilangan asli yang memenuhi ada. Banyaknya segitiga yang memenuhi adalah maka 7 dan 4 haruslah merupakan faktor dari n. n min memenuhi banyaknya faktor positif dari n adalah (40 + )(6 + )(6 + ) 009 Faktor prima terkecil dari n adalah. 9. p() 6 p(p() ( 6) ( + )( )( + 5) 0 Nilai yang memenuhi adalah,,, Karena < maka nilai terbesar yang memenuhi adalah. Nilai maksimal dari { : A} adalah Karena q maka q q + 5 q q n nq + n Karena n bulat maka q n nq + n qn + n () q qn (q ) qn + qn Karena qn bulat maka q qn (q ) qn + qn () ( ) ( )( ) + q qn q qn n n n Karena q tak bulat maka 5 ( q ) qn ( q ) qn 5 + < < n n

9 Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 009 Bagian Pertama Karena n > (q ) qn n maka (q ) qn n q qn (q ) qn + qn q qn n + qn () Kurangkan persamaan () dengan persamaan () q qn q n (n + qn ) ( qn + n) q qn q n Nilai q qn q n untuk sebarang n N adalah.

10 SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 009 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 00 Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL BAGIAN KEDUA Disusun oleh :

11 Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 009 Bagian Kedua BAGIAN KEDUA. Jelas bahwa semut harus melangkah ke depan lebih dari kali. Jika semut melangkah ke depan lebih dari 5 kali maka semut tersebut harus mundur sekurangkurangnya 8 langkah sehingga total langkah lebih dari 0. Jadi, hanya ada kasus : - Semut tersebut maju 4 langkah dan mundur langkah, total langkah 4. Banyaknya cara sama saja dengan banyaknya susunan 6! Banyaknya cara 5 cara. 4!! Cara lainnya sama dengan menempatkan 4 angka tiga ke 4 dari 6 tempat. Banyaknya cara 6C 4 5 cara. - Semut tersebut maju 5 langkah dan mundur 5 langkah, total langkah 0. Banyaknya cara sama saja dengan banyaknya susunan 0! Banyaknya cara 5 cara. 5! 5! Cara lainnya sama dengan menempatkan 5 angka tiga ke 5 dari 0 tempat. Banyaknya cara 0C 5 5 cara. Banyaknya cara semut tersebut melangkah agar mencapai makanan adalah n 009 a b dengan a dan b bilangan bulat dan b 0. Karena ( q n )( p + q n ) ( p p + q q n) + ( p q p q ) n p + + yang juga berbentuk pi + qi n untuk suatu bilangan asli p i dan q i dengan i adalah bilangan asli maka i juga akan berbentuk pi + qi n untuk suatu bilangan asli i. Karena 0 maka p008 + q008 n a p + q n b 009 a b 008 ( a q b q ) n b p008 a p + a b 008 Karena a, b, p, p 008, q dam q 008 adalah bilangan bulat maka n haruslah merupakan kuadrat dari suatu bilangan rasional. k n dengan k, m bilangan asli dan FPB(k, m) m Karena n bilangan asli maka haruslah m sehingga n merupakan kuadrat dari suatu bilangan asli. Terbukti bahwa n merupakan kuadrat dari suatu bilangan asli.

12 Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 009 Bagian Kedua. Misalkan [ABC] menyatakan luas ABC, maka [ABC] [ABD] + [BCD] r ( AB + BC + AC) r ( AB + BD + AD) + r ( BC + BD + DC) Pada ABD dan BCD berturut-turut berlaku BD < AD + AB dan BD < BC + DC sehingga r(ab + BC + AC) r (AB + BD + AD) + r (BC + BD + DC) < r (AB + BC + DC + AD) + r (BC + AD + AB + DC) Karena AD + DC AC maka r(ab + BC + AC) < r (AB + BC + AC) + r (BC + AC + AB) r < r + r Terbukti bahwa r + r > r 4. 7p 8 () p y () Jika (, y) (, y ) memenuhi persamaan maka (, y ) pasti memenuhi sehingga tanpa mengurangi keumuman dapat dimisalkan, y 0. p y y. Karena y 0 dan y tidak memenuhi persamaan maka y > sehingga p > y () Jika p maka 5 8 yang tidak akan terpenuhi untuk bilangan bulat. Jika p maka 8 yang tidak akan terpenuhi untuk bilangan bulat. Jika p 5 maka 6 8 yang tidak akan terpenuhi untuk bilangan bulat. Jika p 7 maka 50 8 yang tidak akan terpenuhi untuk bilangan bulat. Jadi, p > 7. Kurangkan persamaan () dengan () didapat p(p 7) (y + )(y ) Karena p > 7 maka y > sehingga p > y > (4) Karena p maka p (y + )(y ) Karena p > y y dan p bilangan prima maka p y + Karena p y + < p + p p maka hanya terpenuhi jika p y + Maka p (p ) sehingga p 8p Subtitusikan persamaan () sehingga p 8p + 7p 0 Karena p 0 maka p 8 7 (5) Subtitusikan persamaan (5) ke persamaan () 7(8 7) 8 ( 6)( ) 0 * Jika dan sesuai persamaan (5) maka p (tidak memenuhi bahwa p bilangan prima) * Jika 6 maka p 4 dan y 9 yang memenuhi bahwa p bilangan prima dan y bulat Semua nilai p yang memenuhi adalah p 4.

13 Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 009 Bagian Kedua 5. Misalkan A H dan B H yang memenuhi A B { } serta A dan B keduanya bukan himpunan kosong. H {0,,, 4, 8} merupakan counter eample dari soal. Bagaimana pun disusun A H dan B H serta A B { } tidak akan didapat jika semua anggota A dijumlahkan hasilnya akan sama dengan jumlah semua anggota B. Tidak dapat dibuktikan ada dua himpunan bagian dari H, yang tidak kosong dan saling asing, yang jika semua anggotanya dijumlahkan hasilnya sama.