MAKALAH KALKULUS 1. Damas Fahmi Assena NIM : DIAJUKAN UNTUK MEMENUHI TUGAS MATA KULIAH Kalkulus

Transkripsi

1 MAKALAH KALKULUS 1 DIAJUKAN UNTUK MEMENUHI TUGAS MATA KULIAH Kalkulus Dosen Pengampu Bapak H. LILIK SULISTYO, Drs., M.Pd. oleh : NIM : PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NAHDLATUL ULAMA JEPARA 2017

2 Daftar isi BAB I BAB II BAB III BAB IV BAB V BAB VI Sistem Bilangan Real Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak (Aljabar) Pertidaksamaan Linear, Polinom, Pecahan, Mutlak Dan Akar Limit Fungsi Fungsi Trasenden Turunan Fungsi Aljabar BAB VII Nilai Stasioner BAB VI Intergral Tak Tentu dan Intergral Tentu

3 BAB I 1.1 Bilangan Riil A. Himpunan Bilangan Riil Bilangan rasional adalah bilangan yang bisa dinyatakan dalam bentuk. Sebarang bilangan rasional dapat dituliskan sebagai suatu desimal. Pernyataan desimal suatu bilangan rasional dapat mempunyai akhir atau akan berulang dalam daur yang tetap selamanya. Misalnya - = 0, 5 ^=1, Bilangan yang tak bisa dinyatakan dalam bentuk dengan m.n bilangan bulat dan disebut bilangan tak rasional. Sebarang bilangan takrasional juga dapat dituliskan sebagai suatu desimal. Pernyataan desimal suatu bilangan takrasional tidak berulang menurut suatu daur. Misalnya,0 n ^ 0 ^2=1, n3, Gabungan dari himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan tak rasional disebut himpunan bilangan riil ( biasa dilambangkan ). Anggota himpunan tersebut dinamakan bilangan riil. R B. Sistem Bilangan Riil Sistem bilangan riil dibentuk dari himpunan bilangan riil dan operasi yang didefinisikan pada himpunan tersebut. R yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian membentuk sistem aljabar lapangan, yakni berlaku: 1. x + y + y + x untuk sebarang x, y di R 2. (x + y) + z + x + (y + z) untuk sebarang x, y, z di R 3. Terdapat 0 di R demikian sehingga 0 + x + x x untuk sebarang x di R 4. Untuk sebarang x di R terdapat - x di R demikian sehingga x + (+x) + (+x) + x xy + yx untuk sebarang x, y di R 6. (xy)z + x(yz) untuk sebarang x, y, z di R 7. Terdapat 1 di R demikian sehingga 1.x + x.1+ x untuk sebarang x di R Untuk sebarang x di R dengan x ^ 0 terdapat- demikian sehingga x.- = Pengurangan dan pembagian didefinisikan dengan dan ) (y-x=x+(-y dan X 1 - = X- y y C. Urutan pada Himpunan Bilangan Riil Terdapat himpunan bagian dari R yang unsurnya dinamakan himpunan bilangan positif, yang memenuhi aksioma : > jika a R maka a= 0, atau a positif, atau -a > jumlah dan hasil dua kali bilangan positif adalah suatu bilngan fositif ini memungkinkan kita mendfinisikan relasi urutan pada bilangan riil Dinefenisikan relasi urutan < (dibaca kurang

4 dari ) sebagai x<y -y-x positif selanjutnya relasi urutan<(dibaca ( lebih dari )didefinisikan sebagai x>y^y<x urutan tersebut memiliki sifat-sifat sebagai berikut : > Trikotomi, jika x dan y adalah bilangan riil, maka satu diantara yang berikut berlaku x<y atau x=y atau x>y > Ketransitifan, x<y dan y<z ~^x<z untuk sebarang x,y,z di R > x<y <~^x+z untuk sebarang x,y,z di R > jika z positif, berlaku x< y <-^xz<yz untuk sebarang x,y di R dan jika z negatif berlaku x < y <- ^xz > yz untuk sebarang x,y di R, relask (dibaca kurang dari atau sama dengan ), didefinisikan sebagai x < y <~^y x sifat sifat urutan 2,3 dan 4 berlaku dengan lambang < dan> diganti dengan lambang atau. D. Kerapatan pada Himpunan Bilangan Riil Diantara dua bilangan riil sebarang yang berlainan x dan y terdapat suatu x-\- v bilangan riil lainnya, khususnya z= p dan karenanya terdapat juga bilangan riil diantara x dan z dan diantara z dan y. Argumentasi ini dapat diulang sampai tak hingga, sehingga kita dapat mengambil kesimpulan diantara dua bilangan riil sebarang ( tak peduli betapun dekatnya ) terdapat takterhingga banyaknya bilangan riil lain. E. Garis riil Bilangan riil dapat dipandang sebagai label untuk titik sepanjang garis mendatar. Pada garis tersebut bilangan riil mengukur jarak berarah ke kanan atau ke kiri dari suatu titik tetap yang diberi label. 0 0 Garis tersebut dinamakan garis riil Catatan: > Mengatakan x<y bearti bahwa x berada disebelah kiri y pada garis riil. < > x y > Pada garis riil, bilangan riil positif terletak di sebelah kanan 0 dan bilangan riil negatif terletak di sebelah kiri 0. Himpunan Bilangan Himpunan Bilangan Riil Negatif < > Riil Positif

5 < F. Selang Himpunan bagian tertentu dari himpunan bilangan riil yang disebut selang sering muncul dalam Kalkulus. Secara geometris ini berkaitan dengan ruas garis pada garis riil. Jika a < b, interval buka dari a ke b terdiri dari semua bilangan diantara a dan b dan menggunakan simbol (a,b). Dalam notasi pembentuk himpunan ditulis {x a < x < b}. Perlu dicatat bahwa titik a dan b tidak termasuk dalam selang tersebut. Selang tertutup dari a ke b adalah himpunan [a,b]= {x a < x < b}, dalam hal ini a dan b termasuk dalam selang tersebut. Lebih lanjut perhatikan tabel berikut Notasi Deskripsi Himpunan Gambar [a,b\ [a,b) (P,b\ (0.0 ) k a < x < b\ { ) a b k a x<b} [ a b k a x < b] a b k a < x < b\ j a b k a < x < col * a [<7. o) k a x < ^ a (co.b) oo < x < b\ * ) b (oo,6] (co.oo) i Y 00 <.T < b] b i x \ 8 A H A < Simbol ropada notasi di atas bukan mewakili sebuah bilangan. (a,ro) berartihimpunan semua bilangan yang lebih dari a. Secara geometris selang ini membentang mulai dari titik a tak berhingga jauhnya ke kanan dalam arah positif. Analog untuk [a,ro), (ro,b), (ro,b] dan (ro,ro). G. Macam-macam bilangan riil 1. Bilangan Asli (A) Bilangan asli adalah suatu bilangan yang mula-mula dipakai untuk memebilang. Bilangan asli dimulai dari 1,2,3,4,... A = {1,2,3,4,...} 2. Bilangan Genap (G)

6 Bilangan genap dirumuskan dengan 2n, nia G = {2,4,6,8,...} 3. Bilangan Ganjil (Gj) Bilangan ganjil dirumuskan dengan 2n -1, nia Gj = {1,3,5,7,...} 4. Bilangan Prima (P) Bilangan prima adalah suatu bilanganyang dimulai dari 2 dan hanya dapat dibagi oleh bilngan itu sendiri dan ± 1 P = {2,3,5,7,...} 5. Bilangan Komposit (Km) Bilangan komposit adalah suatu bilangan yang dapat dibagi oleh bilangan yang lain Km = {4,6,8,9,...} 6. Bilangan Cacah (C) Bilangan Cacah adalah suatu bilangan yang dimulai dari nol C = {0,1,2,3,4,...} 7. Bilangan Bulat (B) Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat negatif, bilangan nol, dan bilangnan bulat positif. B = {...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...} 8. Bilangan Pecahan (Pc) Bilangan pecahan adalah suatu bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk -, a sebagai pembilang dan b sebagai penyebut, dengan a dan b IB serta b ^0 Contoh: Bilangan Rasional (Q) Bilangan rasional adalah suatu bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk - b, a dan b IB serta b ^0. (Gabungan bilangan bulat dengan himpunan bilangan pecahan) r~ 22 Contoh:,v4, Bilangan Irasional (I) Bilangan irasional adalah suatu bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk - b, a dan b B serta b ^0. Contoh: 2, 3,p = 3, , e = 2, Bilangan Real (R) Bilangan real adalah suatu bilangan yang terdiri dari bilangan rasional dan bilangan irasional. Bilangan real biasanya disajikan dengan sebuah garis bilangan. Contoh: 12. Bilangan Khayal (Kh) Bilangan khayal adalah suatu bilangan yang hanya bisa dikhayalkan dalam pikiran, tetapi kenyataannya tidak ada. Contoh: V 1, V 2, V Bilangan Kompleks (K)

7 Bilangan Kompleks adalah suatu bilangan yang terdiri dari bilangan dan khayal. Contoh: 2 + V-1,5 - V- 2 H. Perbedaan Antara Bilangan Rasional Dan Bilangn Irasional Bilangan Rasional: 1. Dapat dtulis dalam bentuk pecahan biasa Contoh: Dapat ditulis dalam bentuk pecahan desimal terbatas. 0,333...ditulis0,3 Contoh: J = 0, rf/YateO, Bilangan Irasional: 1. Tidak dapat ditulis sebagai pecahan biasa 2. Jika didahului sebagai pecahan desimal, merupakan desimal tak terbatas. Contoh: V3= 1, V2= 1, Bilangan irasional ditulis dalam bentuk akar. Contoh: V2, V3, V7 I. Sifat-sifat Operasi Bilangan Bulat 1. Sifat Komutatif: a + b = b + a a.b = b.a Contoh: = = = 3. 9 = Sifat Assosiatif: (a + b) + c = a + (b + c) (a. b). c = a. (b. c) Contoh: 1. (5 + 2) + 3 = 5 + (2 + 3) = (5 x 2) x 3 = 5 x (2 x 3) = Sifat Distributif Perkalian Terhadap Penjumlahan a x (b + c) = ab + ac Contoh: 5 x (3 + 6) = = = Terdapat Dua Elemen Identitas Setiap bilangan a mempunyai dua elemen identitas, yaitu 1 dan 0, sehingga memenuhi: a + 0 = a a. 1 = a 5. Terdapat Elemen Invers Setiap bialngan a mempunyai balikan atau invers penjumlahan, yaitu a yang memenuhi: a + (-a) = 0

8 Setiap a ^ 0 mempunyai balikan perkalian yaitu - yang memenuhi: a. 1 a J. Operasi Pada Bilangan Bulat: 1. Operasi Penjumlahan a + b = c a, b dan c bilangan bulat Contoh: = Operasi Pengurangan A - b = c Ua + (-b) = c a, b dan c bilangan bulat Contoh: 10 - (-2) = = Operasi Perkalian a. b = c a, b dan c bilangan bulat Contoh: 5.4 = 20 (-9). (- 4) = Operasi Pembagian a. b = c a, b dan c bilangan bulat Contoh: 5.4 = 20 (-9). (-4) = Operasi Pembagian a 1 - = a.- = c+. a, b b a,b bilangan bulat dan b ^ 0, c bilangan real

9 Contoh: K. Operasi Pada Bilangan Pecahan 1. Operasi Penjumlahan 2. Operasi Pengurangan Contoh: Tentukan hasil perkalian berikut! 3. Operasi Perkalian Contoh: Tentukan hasil perkalian berikut: Operasi Pembagian Contoh: Tentukan hasil pembagian dari pecahan di bawah ini! L. Konversi Pecahan 1. Mengubah pecahan biasa ke pecahan desimal

10 > Mengubah penyebutnya menjadi 10 atau perpangkatan 10 lainnya. Contoh: a. = 0, b. 3 - = = = > Dengan pembagian berulang Contoh: 4 Ubahlah ke dalam pecahan desimal! = 0, = 0, Mengubah pecahan biasa ke bentuk persen. Mengubah penyebutnya menjadi 100 Contoh: 1.^=^ = 40% = = % Ubahlah 75% dan 30% ke dalam bentuk pecahan! 75 3 Jawab: 75% = = % = ^_ = A Mengubah persen ke pecahan biasa dan ke pecahan desimal Contoh: Ubahlah persen berikut ke pecahan biasa dan ke pecahan desimal! if) 1 a. 20% = = - = b. 40% = = - = C. 75% = = - = M. Perbandingan, Skala, Dan Persen 1) Perbandingan digunakan untuk membandingkan dua buah bilangan a. Perbandingan senilai Bentuk Umum: atau a1 : b1 = a 2 : b 2 bi 2 2 b. Perbandingan berbalik nilai Bentuk Umum:

11 Contoh: = atau ai : b 2 = a 2 : bi b 1 ^2 1. Seorang ibu menghabiskan V liter minyak tanah untukmerebus air sebanyak 15 liter air. Jika dia akan merebus airsebanyak 100 liter, berapa liter minyak tanah yangdiperlukan? 2. Suatu pekerjaan dapat diselesaikan oleh 4 orang tukangdalam 20 hari. Jika pekerjaan itu harus selesai dalam 2 hari,maka berapa orang tukang yang diperlukan untuk menyelesaikan pekerjaan itu? Jawab: 1. Jika perbandingan banyak minyak tanah (M) dengan banyak air (A) adalah M : A, maka: 2. Jika 4 orang tukang (T1 ) dapat menyelesaikan 20 hari (H1 ),maka untuk selesai selama 2 hari (H2 ) harus dipekerjakan lebih dari 4 orang. T^=T 2_ H 2 H, 4 7, T, 4 80, <=> = <=> 7, = 20x = = 40oranetukang ) Skala Skala merupakan bentuk perbandingan nilai dari suatu besaran atau perbandingan antara ukuran gambar dengan ukuran sesungguhnya (kenyataannya). Suatu skala bisa merupakan pembesaran atau pengecilan dari ukuran sesungguhnya. Skala pembesaran Contoh: Jarak kota A ke kota B pada peta adalah 10 cm. Jika jarak sesungguhnya adalah 100 km,berapakah skala kota A ke kota B? Jawab: Misal jarak pada peta = x Misal jarak sesungguhnya = y X : y = 10 cm : 100 km = 10 cm : cm = 1 : Jadi, skala jarak kota A ke kota B adalah 1 : Skala Pengecilan Contoh: Tinggi seorang aktor adalah 180 cm. Berapakah tinggi aktor tersebut pada layar TV jika skalanya 1 : 100? Jawab: Misal tinggi sesungguhnya = A = 180 cm Tinggi pada TV = = B = 1, 8 cm 100 A Jadi tinggi aktor pada layar TV 1,8 cm 3. Persen Persen (%) berarti per seratus, merupakan bentuk lain dari perbandingan yang ditulis dalam pecahan dengan penyebut 100. = B Contoh:

12 Sebatang perunggu terbuat dari 100 kg tembaga, 20 kg timah hitam, dan 30 kg timah putih. Berapakah persentase tiap-tiap bahan tersebut dalam perunggu itu? Jawab: Massa total perunggu = 100 kg + 20 kg + 30 kg = 150 kg 100 Persentase tembaga = rl00% = 66.7% in Persentase timah hitam = xl00% = 133% 150 K 150 N. Penerapan Pada Bidang Keahlian 30 Persentase timah putih = -^100% = 20.0% ' 1) Komisi Komisi adalah pendapatan yang besarnya tergantung pada tingkat penjualan yang dilakukan. 2) Diskon Diskon adalah potongan harga yang diberikan oleh penjual kepada pembeli 3) Laba dan Rugi Laba = Penjualan - Pembelian Rugi = Pembelian - Penjualan Contoh soal: > Seorang sales mendapat komisi 20% jika dia mampu menjual barang senilai Rp ,00. Tentukan komisi yang diterima! Jawab: Komisi = 20% x Rp ,00 = ^-^» ^ = Rp > Sebuah barang dibeli seharga Rp ,00, kemudian barang tersebut dijual dengan harga Rp ,00. Hitunglah persentase keuntungan dari harga pembelian dan dari harga penjualan! Jawab: Laba = Rp ,00 - Rp ,00 = Rp ,00 Persentase laba dari harga beli Rp ' ' 0 x % = 5 0 %: Persentase laba dari harga jual: Rp X 1 o o %0 = 3 3,3 % & J Rp

13 Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak Posted on Agustus 15, 2014 by ahmadthohir1089 A. Nilai Mutlak BAB II Nilai mutlak adalah jarak pada garis bilangan real antara bilangan yang dimaksud dengan dengan nol. untuk bilangan real didefinisikan Contoh:,, B. Persamaan Nilai Mutlak Sifat-sifat nilai mutlak , (ketaksamaan segitiga) atau Contoh Soal: 1. Tentukan nilai yang memenuhi Jawab: 1). 2) Dari persamaan (1) diperoleh Jadi, nilai yang memenuhi adalah. atau, dan dari persamaan (2) diperoleh

14 2. Tunjukkan bahwa Bukti: 3. Tentukan nilai yang memenuhi Jawab:,masing-masing ruas dikuadratkan 4. Gambarkanlah grafik untuk bilangan real! Jawab : untuk = tak tentu (indeterminate) dan seterusnya Perhatikanlah ilustrasi berikut ini

15 [sumber] Soal Latihan 1. Tentukan nilai dari 2. Tentukan nilai dari 3. Tentukanlah nilai yang memenuhi persamaan 4. Carilah harga yang memenuhi 5. Carilah harga yang memenuhi 6. Tunjukkan bahwa 7. Tunjukkan bahwa 8. Gambarlah grafik 9. Gambarkanlah grafik, untuk C. Pertidaksaan Nilai Mutlak Untuk bilangan real dan, maka Jika, maka Contoh Soal: 1. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari Jawab:

16 2. Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan harga mutlak dari Jawab :, atau Sehingga penyelesaiannya adalah 3. Tentukan penyelesaian pertidaksamaan harga mutlak dari Jawab:, atau Jadi, penyelesaiannya adalah Contoh soal : Menyelesaikan Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak Menyelesaikan Persamaan Mutlak Nilai mutlak suatu bilangan dapat diartikan jarak antara bilangan tersebut dari titik nol(0). Dengan demikian jarak selalu bernilai positif. Misalnya: Parhatikan garis bilangan berikut. Jarak angka 6 dari titik 0 adalah 6 Jarak angka -6 dari titik 0 adalah 6

17 jarak angka -3 dari titik 0 adalah 3 Jarak angka 3 dari titik0 adalah 3. Dari penjelesan di atas memang tampak bahwa nilai mutlak suatu bilangan selalu bernilai positif. Berkaitan dengan menentukan nilai mutlak suatu bilangan, maka muncullah tanda mutlak. Tanda mutlak disimbolkan dengan garis 2 ditepi suatu bilangan atau bentuk aljabar. Misalnya seperti berikut. Secara umum, bentuk persamaan nilai mutlak dapat dimaknai seperti berikut. Jika kita mempunyai persamaan dalam bentuk aljabar, maka dapat dimaknai sebagai berikut. Jadi, bentuk dasar di atas dpat digunakan untuk membantu menyelesaikan persamaan mutlak. Lebih jelasnya perhatikan contoh-contoh berikut. Contoh Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan nilai Mutlak di bawah ini.

18 Jawaban: Bentuk-Bentuk persamaan nilai mutlak di atas dapat diselesaikan sebagai berikut. Pada prinsipnya, langkah langkah penyelesaian nilai mutlak diusahakan bentuk mutlak berada di ruas kiri. 1. Pada bentuk ini ada dua penyelesaian. (*) x + 5 = 3, maka x = 3-5 = -2 (**) x + 5 = -3, maka x = -3-5 = -8 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {-2, -8} 2. Pada bentuk ini ada dua penyelesaian. (*) 2x + 3 = 5, maka 2x = 5-3 2x = 2 <==> x = 1 (**) 2x + 3 = -5, maka 2x = x = -8 <==> x = -4 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {-4, 1} 3. Perhatikan bentuk aljabar di dalam tanda mutlak, yaitu x+1. Penyelesaian persamaan nilai mutlak ini juga dibagi menjadi dua bagian. Bagian pertama untuk batasan x+1>= 0 atau x >= -1 Bagian kedua untuk batasan x+1< 0 atau x < -1 Mari kita selesaikan. (*) untuk x >=-1 Persamaan mutlak dapat ditulis: (x + 1) + 2x = 7 3x = 7-1 3x = 6 x = 2 (terpenuhi, karena batasan >= -1) (**) untuk x < -1 Persamaan mutlak dapat ditulis: -(x + 1) + 2x = 7 -x x = 7 x = 7 + 1

19 x = 8 (tidak terpenuhi, karena batasan < -1) Jadi, Himpunan penyelesaiannya adalah {2}. 4. Perhatikan bentuk aljabar di dalam tanda mutlak, yaitu 3x + 4. Penyelesaian persamaan nilai mutlak ini juga dibagi menjadi dua bagian. Bagian pertama untuk batasan 3x+4>= 0 atau x >= -4/3 Bagian kedua untuk batasan 3x+4< 0 atau x < -4/3 Mari kita selesaikan. (*) untuk x >=-4/3 Persamaan mutlak dapat ditulis: (3x + 4) = x - 8 3x - x = x =-12 x = -6 (tidak terpenuhi, karena batasan >= -4/3) (**) untuk x < -4/3 Persamaan mutlak dapat ditulis: -(3x + 4) = x - 8-3x - 4 = x -8-3x - x = x = -4 x = 1 (tidak terpenuhi, karena batasan < -4/3) Jadi, Tidak ada Himpunan penyelesaiannya. Menyelesaikan Pertidaksamaan Nilai Mutlak Menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak caranya hampir sama dengan persamaan nilai mutlak. hanya saja berbeda sedikit pada tanda ketidaksamaannya. Langkahlangkah selanjutnya seperti menyelesaikan pertidaksamaan linear atau kuadrat satu variabel. Pertidaksamaan mutlak dapat digambarkan sebagai berikut. Apabila fungsi di dalam nilai mutlak berbentuk ax + b maka pertidaksamaan nilai mutlak dapat diselesaikan seperti berikut.

20 Lebih jelasnya perhatikan contoh berikut ini. Contoh Tentukan himpunan penyelesaian dari Pertidaksamaan nilai mutlak berikut ini. Jawaban 1. Cara menyelesaikan pertidaksamaan mutlak ini sebagai berikut. -9 < x+7 < < x < < x < 2 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { x/ -16 < x < 2} 2. Cara menyelesaikan pertidaksamaan mutlak ini dibagi menjadi dua bagian. (*) 2x - 1 >= 7 2x >= x >= 8 x >= 4 (**) 2x - 1 <= -7 2x <= x <= -6 x <= -3 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { x/ x <= -3 atau x >= 4}

21 3. Kalau dalam bentuk soal ini, langkah menyelesaikan pertidaksamaannya dengan mengkuadratkan kedua ruas. perhatikan proses berikut ini. (x + 3) 2 <= (2x 3) 2 (x + 3) 2 - (2x 3) 2 <= 0 (x x 3) - (x + 3 2x + 3) <= 0 (ingat: a 2 b 2 = (a+b)(a-b)) x (6 - x) <=0 Pembuat nol adalah x = 0 dan x = 6 Mari selidiki menggunakan garis bilangan Oleh karena batasnya <= 0, maka penyelesaiannya adalah x <=0 atau x >=6. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x/ x <= 0 atau x >= 6}. Mari selidiki menggunakan garis bilangan Oleh karena batasnya <= 0, maka penyelesaiannya adalah x <=0 atau x >=6. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x/ x <= 0 atau x >= 6}. 4. Menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak seperti ini lebih mudah menggunakan cara menjabarkan definisi. Prinsipnya adalah batasan-batasan pada fungsi nilai mutlaknya. Perhatikan pada 3x + 1 dan 2x + 4.

22 Dari batasan batasan itu maka dapat diperoleh batasan-batasan nilai penyelesaian seperti pada garis bilangan di bawah ini. Dengan garis bilangan tersebut maka pengerjaanya dibagi menjadi 3 bagian daerah penyelesaian. 1. Untuk batasan x >= -1/3...(1) (3x + 1) - (2x + 4) < 10 3x + 1-2x- 4 < 10 x- 3 < 10 x < 13...(2) Dari (1) dan (2) diperoleh irisan penyelesaian -1/3 <= x < Untuk batasan -2<= x < -1/3...(1) -(3x + 1) - (2x + 4) < 10-3x - 1-2x - 4 < 10-5x - 5 < 10-5x < 15 -x < 3 x > 3...(2) Dari (1) dan (2) tidak diperoleh irisan penyelesaian atau tidak ada penyelesaian. 3. Untuk batasan x < -2...(1) -(3x + 1) + (2x + 4) < 10-3x x + 4 < 10 -x + 3 < 10 -x < 7 x > -7...(2) Dari (1) dan (2) diperoleh irisan penyelesaian -7 < x < -2. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x/ -1/3 <= x < 13 atau -7 < x < -2}. Perhatikan contoh Pertidaksamaan mutlak lainnya berikut.

23

24 BAB III Pertidaksamaan Linear, Polinom, Pecahan, Mutlak Dan Akar Pertidaksamaan menggunakan tanda-tanda >, <,, Sifat-Sifat Pertidaksamaan 1. tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama Jika a < b maka: a + c < b + c a c < b c 2. tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas dikali atau dibagi dengan bilangan positif yang sama Jika a < b, dan c adalah bilangan positif, maka: a.c < b.c a/b < b/c 3. tanda pertidaksamaan akan berubah jika kedua ruas pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama Jika a < b, dan c adalah bilangan negatif, maka: a.c > b.c a/c > b/c 4. tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas positif masing-masing dikuadratkan Jika a < b; a dan b sama-sama positif, maka: a 2 < b 2 Pertidaksamaan Linear Variabelnya berpangkat 1 Penyelesaian: Suku-suku yang mengandung variabel dikumpulkan di ruas kiri, dan konstanta diletakkan di ruas kanan

25 Contoh: Pertidaksamaan Kuadrat Variabelnya berpangkat 2 Penyelesaian: 1. Ruas kanan dibuat menjadi nol 2. Faktorkan 3. Tentukan harga nol, yaitu nilai variabel yang menyebabkan nilai faktor sama dengan nol 4. Gambar garis bilangannya Jika tanda pertidaksamaan atau, maka harga nol ditandai dengan titik hitam Jika tanda pertidaksamaan > atau <, maka harga nol ditandai dengan titik putih 5. Tentukan tanda (+) atau ( ) pada masing-masing interval di garis bilangan. Caranya adalah dengan memasukkan salah satu bilangan pada interval tersebut pada persamaan di ruas kiri. Tanda pada garis bilangan berselang-seling, kecuali jika ada batas rangkap (harga nol yang muncul 2 kali atau sebanyak bilangan genap untuk pertidaksamaan tingkat tinggi), batas rangkap tidak merubah tanda 6. Tentukan himpunan penyelesaian jika tanda pertidaksamaan > 0 berarti daerah pada garis bilangan yang diarsir adalah yang bertanda (+) jika tanda pertidaksamaan < 0 berarti daerah pada garis bilangan yang diarsir adalah yang bertanda ( ) Contoh: (2x 1) 2 (5x 3).(x 1) 7 4x 2 4x + 1 5x 2 5x 3x x 2 4x + 1 5x 2 + 5x + 3x x 2 + 4x (x 2 4x 5) 0 (x 5).(x + 1) 0 Harga nol: x 5 = 0 atau x + 1 = 0 x = 5 atau x = 1 Garis bilangan: menggunakan titik hitam karena tanda pertidaksamaan jika dimasukkan x = 0 hasilnya positif karena 0 berada di antara 1 dan 5, maka daerah tersebut bernilai positif, di kiri dan kanannya bernilai negatif

26 karena tanda pertidaksamaan 0, maka yang diarsir adalah yang positif Jadi penyelesaiannya: {x 1 x 5} Pertidaksamaan Tingkat Tinggi Variabel berpangkat lebih dari 2 Penyelesaian sama dengan pertidaksamaan kuadrat Contoh: (2x + 1) 2.(x 2 5x + 6) < 0 (2x + 1) 2.(x 2).(x 3) < 0 Harga nol: 2x + 1 = 0 atau x 2 = 0 atau x 3 = 0 x = 1/2 atau x = 2 atau x = 3 Garis bilangan: menggunakan titik putih karena tanda pertidaksamaan < jika dimasukkan x = 0 hasilnya positif karena 0 berada di antara 1/2 dan 2, maka daerah tersebut bernilai positif karena 1/2 adalah batas rangkap ( 1/2 muncul sebanyak 2 kali sebagai harga nol, jadi 1/2 merupakan batas rangkap), maka di sebelah kiri 1/2 juga bernilai positif selain daerah yang dibatasi oleh batas rangkap, tanda positif dan negatif berselang-seling karena tanda pertidaksamaan ³ 0, maka yang diarsir adalah yang positif Jadi penyelesaiannya: {x 2 < x < 3} Pertidaksamaan Pecahan ada pembilang dan penyebut Penyelesaian: 1. Ruas kanan dijadikan nol 2. Samakan penyebut di ruas kiri 3. Faktorkan pembilang dan penyebut (jika bisa) 4. Cari nilai-nilai variabel yang menyebabkan pembilang dan penyebutnya sama dengan nol (harga nol untuk pembilang dan penyebut) 5. Gambar garis bilangan yang memuat semua nilai yang didapatkan pada langkah 4 Apapun tanda pertidaksamaannya, harga nol untuk penyebut selalu digambar dengan titik putih (penyebut suatu pecahan tidak boleh sama dengan 0 agar pecahan tersebut mempunyai nilai) 6. Tentukan tanda (+) atau ( ) pada masing-masing interval

27 Contoh 1: Harga nol pembilang: 5x + 20 = 0 5x = 20 x = 4 Harga nol penyebut: x 3 = 0 x = 3 Garis bilangan: x = 3 digambar menggunakan titik putih karena merupakan harga nol untuk penyebut Jadi penyelesaiannya: {x 3 < x 4} Contoh 2: Harga nol pembilang: x 2 = 0 atau x + 1 = 0 x = 2 atau x = 1 Harga nol penyebut: tidak ada, karena penyebut tidak dapat difaktorkan dan jika dihitung nilai diskriminannya: D = b 2 4.a.c = = 1 4 = 3 Nilai D-nya negatif, sehingga persamaan tersebut tidak mempunyai akar real (Catatan: jika nilai D-nya tidak negatif, gunakan rumus abc untuk mendapat harga nol-nya) Garis bilangan: Jadi penyelesaiannya: {x x 1 atau x 2} Pertidaksamaan Irasional/Pertidaksamaan Bentuk Akar variabelnya berada dalam tanda akar Penyelesaian: 1. Kuadratkan kedua ruas 2. Jadikan ruas kanan sama dengan nol

28 3. Selesaikan seperti menyelesaikan pertidaksamaan linear/kuadrat 4. Syarat tambahan: yang berada di dalam setiap tanda akar harus 0 Contoh 1: Kuadratkan kedua ruas: x 2 5x 6 < x 2 3x + 2 x 2 5x 6 x 2 + 3x 2 < 0 2x 8 < 0 Semua dikali 1: 2x + 8 > 0 2x > 8 x > 4 Syarat 1: x 2 5x 6 0 (x 6).(x + 1) 0 Harga nol: x 6 = 0 atau x + 1 = 0 x = 6 atau x = 1 Syarat 2: x 2 3x (x 2).(x 1) 0 Harga nol: x 2 = 0 atau x 1 = 0 x = 2 atau x = 1 Garis bilangan: Jadi penyelesaiannya: {x 4 < x 1 atau x 6} Contoh 2: Kuadratkan kedua ruas: x 2 6x + 8 < x 2 4x + 4 x 2 6x + 8 x 2 + 4x 4 < 0 2x + 4 < 0 2x < 4 Semua dikalikan 1 2x > 4 x > 2 Syarat: x 2 6x (x 4).(x 2) 0

29 Harga nol: x 4 = 0 atau x 2 = 0 x = 4 atau x = 2 Garis bilangan: Jadi penyelesaiannya: {x x 4} Pertidaksamaan Nilai Mutlak variabelnya berada di dalam tanda mutlak.. (tanda mutlak selalu menghasilkan hasil yang positif, contoh: 3 = 3; 3 = 3) Pengertian nilai mutlak: Penyelesaian: Jika x < a berarti: a < x < a, dimana a 0 Jika x > a berarti: x < a atau x > a, dimana a 0 Contoh 1: 2x 3 5 berarti: 5 2x x x 8 Semua dibagi 2: 1 x 4 Contoh 2: 3x + 7 > 2 berarti: 3x + 7 < 2 atau 3x + 7 > 2 3x < 2 7 atau 3x > 2 7 x < 3 atau x > 5/3 Contoh 3: 2x 5 < x + 4 Kedua ruas dikuadratkan: (2x 5) 2 < (x + 4) 2 (2x 5) 2 (x + 4) 2 < 0 (2x 5 + x + 4).(2x 5 x 4) < 0 (Ingat! a 2 b 2 = (a + b).(a b)) (3x 1).(x 9) < 0 Harga nol: 3x 1 = 0 atau x 9 = 0 x = 1/3 atau x = 9 Garis bilangan:

30 Jadi penyelesaiannya: {x 1/3 < x < 4} Contoh 4: 4x 3 x + 1 Kedua ruas dikuadratkan: (4x 3) 2 (x + 1) 2 (4x 3) 2 (x + 1) 2 0 (4x 3 + x + 1).(4x 3 x 1) 0 (5x 2).(3x 4) 0 Harga nol: 5x 2 = 0 atau 3x 4 = 0 x = 2/5 atau x = 4/3 Syarat: x x 1 Garis bilangan: Jadi penyelesaiannya: {x 1 x 2/5 atau x 4/3} Contoh 5: x 2 2 x 2 < 2 Misalkan x 2 = y y 2 y < 2 y 2 y 2 < 0 (y 2).(y + 1) < 0 Harga nol: y 2 = 0 atau y + 1 = 0 y = 2 atau y = 1 Garis bilangan: Artinya: 1 < y < 2 1 < x 2 < 2 Karena nilai mutlak pasti bernilai positif, maka batas kiri tidak berlaku x 2 < 2 Sehingga: 2 < x 2 < < x < < x < 4

31 BAB IV Limit Fungsi (materi SMA) Limit Fungsi Jenis-jenis Llimit Fungsi Limit fungsi dalam matematika dapat dikenali dari jenis fungsinya, berdasarkan jenis fungsinya limit fungsi dibedakan menjadi: Limitfungsi aljabar, jika fungsi berupa fungsi aljabar Limitfungsi trigonometri, jika fungsi berupa fungsi trigonometri Limit fungsi eksponensial dan logaritma, jika fungsi berupa eksponen atau berupa logaritma Limit fungsi bilangan logaritma natural, dll. Menghitung limit fungsi secara secara intuitif Menentukan nilai limit fungsi dapat dilakukan secara intuitif melalui pendekatan limit kiri dan limit kanan. Definisi limit fungsi secara intuitif adalah (Wirodikromo, 1995) : Proses perhitungan limit fungsi disekitar titik dapat dipandang dari dua arah, yaitu Contoh : Hitunglah limit fungsi berikut ini, [Penyelesaian] Gambar grafik fungsi diatas merupakan grafik fungsi pecah dengan asimtot x = 1 dan y = 0

32 Dari grafik diatas perhitungan limit fungsi dapat dipandang dari dua arah yaitu dari kiri dan dari kanan : Dari kiri : Dari kanan :

33 Contoh menghitung limit fungsi secara intuitif Diketahui fungsi f(x) = x + 1, tentukan nilai f(x) untuk x mendekati 2 dengan pendekatan limit kiri dan limit kanan. [Penyelesaian] x 1,8 1,9 1,99 1,999 -->2<-- 2,001 2,01 2,1 2,2 f(x)=x+1 2,8 2,9 2,99 2,999...?... 3,001 3,01 3,1 3,2 Dari tabel datas nampak bahwa jika jika x mendekati 2 baik dari kiri maupun dari kanan maka f(x) = x + 1 mendekati 3. Jadi, Operasi Limit Fungsi dan Teorema Limit Teorema Limit Beberapa teorema limit fungsi yang sering digunakan dalam perhitungan limit fungsi (Wirodikromo, 1995) yaitu: 1.Limit suatu fungsi konstanta sama dengan konstanta tersebut Jika f(x) = c, maka ( c adalah konstanta dan a ϵ bilangan real) 2.Limit fungsi identitas sama dengan nilai pendekatan variabel atau peubahnya Jika f(x) = x, maka ( untuk setiap a ϵ bilangan real) 3.Limit jumlah beberapa fungsi sama dengan jumlah masing-masing limit fungsi tersebut. 4.Limit selisih beberapa fungsi sama dengan selisih masing-masing limit fungsi tersebut. 5. Limit hasil kali konstanta dengan suatu fungsi sama dengan hasil kali konstanta dengan limit fungsi tersebut 6.Limit hasil kali beberapa fungsi sama dengan hasil kali masing-masing limit fungsi tersebut 7.Limit hasil bagi beberapa fungsi sama dengan hasil bagi masing-masing limit fungsi tersebut

34 8.Limit suatu fungsi pangkat n sama dengan pangkat n dari lmit fungsi tersebut 9. Limit akar pangkat n dari suatu fungsi sama dengan akar pangkat n dari limit fungsi tersebut dan n genap Contoh Soal limit fungsi penerapan dan pembahasan Dibawah ini beberapa contoh soal limit fungsi dengan penerapan teorema limit yang telah dijelaskan diatas Hitunglah nilia setiap limit fungsi dibawah ini dengan menerapkan teorema limit! 1.Penerapan teorema limit No 1,2 dan 4 [Penyelesaian] 2.Penerapan teorema limit No 1,dan 6, [Penyelesaian] 3.Penerapan terema limit No 7 dan 9, [Penyelesaian] 4.Penerapan teorema limit No 6, 8 Jika diketahui [Penyelesaian]. Hitunglah nilai dari Limit fungsi yang Mengarah ke Konsep Turunan Limit fungsi dapat dipakai untuk menentukan turunan fungsi, Jadi laju perubahan nilai fungsi f(x) terhadap x pada x = a dapat di hitung dengan dengan mengambil h mendekati nol dengan syarat limit f(x) ada. Rumus turunan fungsi f(x) dengan pendekatan limit adalah: Berikut ini contoh soal mencari turunan fungsi aljabar dengan pendekatan limit. Tentukan turunan fungsi berikut ini dengan menggunakan pendekatan limit fungsi! [Penyelesaian] Limit Fungsi Dalil L'hospital

35 Dalam menghitung nilai limit fungsi kita juga bisa menggunakan Dalil L'hospital, rumus Dalil L'hospital adalah: Contoh soal menghitung limit fungsi dengan menggunakan Dalil L'hospital.Hitunglah [penyelesaian] Limit fungsi Nilai Mutlak Dibawah ini beberapa contoh limit fungsi nilai mutlak, yaitu: [Penyelesaian] lim x 1 f(x)= lim x 1(x^2-2x+1) =1^ =0, jadi lim x 1 f(x) ada 2. Perhatikan kembali soal No 2 berikut ini, hitunglah lim x 0 x -1/x [Penyelesaian] (i) Jika x > 0, x = x, maka lim x 0 x -1/x = lim x 0 x-1/x= lim x 0(1-1/x)= 1- = - (ii) Jika x < 0, x = x, maka lim x 0 x -1/x = lim x 0 -x-1/x= lim x 0(-1-1/x)= 1- =-1+ = lim x 0^+ x -1/x lim x 0^- x -1/x lim x 0 x -1/x tidak ada Limit Fungsi dan Kontinuitas dan Diskontinuitas Dalam istilah matematika grafik fungsi f(x) disebut kontinu di titik x = a, jika grafik f(x) di x = a berupa kurva mulus (tidak terputus) atau lim x a f(x) ada. Perhatikan gambar dibawah ini:

36 Grafik fungsi f(x) disebut diskontinu di titik x = a, jika grafik f(x) di x = a terputus atau lim x a f(x) tidak ada. Perhatikan gambar berikut ini:( limit-fungsi-diskontinu) Syarat kontinuitas sebuah Fungsi Fungsi f(x) kontinu di x = a jika memenuhi ketiga syarat dibawah ini Contoh soal dan pembahasan fungsi kontinu dan diskontinu 1. Tunjukan bahwa fungsi dibawah ini kontinu di x = 1 [Penyelesaian]

37 Selidiki terlebih dahulu syarat-syarat kontinuitas fungsi 2. Apakah fungsi berikut ini kontinu di x = 2 [Penyelesaian] Selidiki terlebih dahulu syarat-syarat kontinuitas fungsi Oleh karena f(2) tidak ada maka f(x) diskontinu di titik x =2 tidak perlu menyelidiki syarat (2) dan (3) karena satu syarat tidak dipenuhi oleh f(x). CONTOH SOAL LIMIT FUNGSI Di bawah ini diberikan beberapa contoh soal limit fungsi 1. Limit Fungsi Aljabar Untuk Hitung nilai limit fungsi berikut: Jawab:

38 2. Limit Fungsi Aljabar Untuk Hitung nilai limit fungsi berikut: Jawab: (Ingat bahwa, pada limit fungsi aljabar untuk, jika pangkat tertinggi pembilang lebih kecil dari pangkat tertinggi penyebut, maka hasilnya selalu sama dengan nol (0)) 3. Limit Fungsi Trigonometri Hitung nilai limit fungsi berikut: Jawab: Mungkin, jika anda hanya membaca contoh soal di atas, semua terasa sulit dan membingungkan. Tapi tidak perlu khawatir, kalau kita mau menekuni Matematika, Insya Allah, Matematika akan terasa indah dan menyenangkan. Diposkan oleh Nunik Endrowati di 00.14

39 BAB V FUNGSI TRANSENDEN 7.1 Fungsi Logaritma Asli 7.2 Fungsi-fungsi Balikan dan Turunannya 7.3 Fungsi-fungsi Eksponen Asli 7.4 Fungsi Eksponen dan Logaritma Umum 7.5 Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen 7.6 Persamaan Differensial Linear Orde Saturday 7.7 Fungsi-fungsi balikan Trigonometri dan Turunannya 7.8 Fungsi-fungsi hiperbola dan Turunannya muhammadsihabudin@yahoo.co.id

40 Asimtot.wordpress.com 7.1 Fungsi Logaritma Asli Turunan dan integral sudah dipelajari pada bab-bab sebelumnya. Tentu kita sudah cukup menguasai tentang dua hal tersebut. Dari kedua hal tersebut, jika kita kaitkan dengan cara mengurutkannya sesuai besarnya pangkat maka diperoleh suatu keanehan yang belum kita temui pada bab-bab yang telah kita pelajari. Perhatikan hal berikut Dengan adanya kesenjangan tersebut, maka didefinisikan suatu fungsi logaritma asli. Untuk memenuhi tempat kosong yang ada di atas. Definisi Fungsi Logaritma Asli Fungsi Logaritma Asli, dinyatakan oleh, didefinisikan sebagai Daerah asalnya adalah himpunan bilangan real positif. Dengan demikian kita sudah mempunyai suatu fungsi yang turunannya adalah, yaitu turunan suatu fungsi logaritma asli Kita kombinasikan dengan aturan rantai. Jika dan jika terdiferensialkan, maka Contoh : Tentukan. Penyelesaian : Andaikan muhammadsihabudin@yahoo.co.id

41 Asimtot.wordpress.com Karena maka Sehingga didapatkan suatu yang selama ini menjadi permasalahan juga. Dalam aturan pangkat :, dengan sekarang, untuk kita sudah punya solusinya, yaitu Contoh : Tentukan Penyelesaian : Sifat-sifat Logaritma Asli Teorema Logaritma Asli Jika dan bilangan-bilangan positif dan sebarang bilangan rasional, maka i. ii. iii. iv. Grafik Logaritma Asli Daerah asal adalah himpunan bilangan real positif, sehingga grafik terletak di setengah bidang kanan. Karena, maka. Ini menunjukkan bahwa fungsi selalu naik. Dan untuk ini menunjukkan bahwa fungsi tersebut cekung ke bawah dimana-mana. Gambarnya seperti berikut. muhammadsihabudin@yahoo.co.id

42 Asimtot.wordpress.com 7.2 Fungsi-fungsi Balikan dan Turunannya Teorema Jika monoton murni pada daerah asalnya, maka memiliki balikan. Fungsi monoton Misalkan terdefinisi pada suatu himpunan. Untuk semua, fungsi dikatakan: monoton naik, jika maka monoton turun, jika untuk maka monoton tak naik, jika untuk maka monoton tak turun, jika untuk maka monoton datar, jika untuk maka Beberapa sumber mengatakan monoton naik yang dimaksud di atas adalah monoton naik sejati, dan mengatakan monoton tak turun yang dimaksud diatas dengan istilah monoton naik. Yang dimaksud monoton murni atau monoton tegas adalah fungsi monoton naik atau fungsi monoton turun. Monoton naik jika maka Monoton turun jika maka Kita ambil fungsi monoton naik untuk menunjukkan bahwa fungsi monoton murni memiliki invers. Perhatikan pengertian fungsi naik. untuk maka berlaku untuk setiap pada daerah asalnya. Pernyataan tersebut ekuivalen dengan pernyataan jika maka berlaku untuk setiap pada daerah asalnya. Dengan kata lain pernyataan tersebut adalah pengertian dari fungsi satu-satu. Bukti teorema Kita ambil Jika monoton murni maka satu-satu dan onto

43 Asimtot.wordpress.com Kita akan membuktikan salah satu dari fungsi monoton murni yaitu fungsi monoton naik. Bukti untuk satu-satu. Diketahui monoton naik Dengan kata lain : Terbukti satu-satu. Bukti untuk onto Bukti ini merupakan bukti yang rumit. Mungkin karena hal ini sehingga di buku kalkulus tidak dituliskan. Kami mencoba untuk membuktikannya. Onto artinya, yang ekuivalen dengan dan Untuk sudah sangat jelas. Sekarang akan dibuktikan untuk Andaikan Maka Untuk Maka Menurut teorema apit maka haruslah Kontradiksi bahwa Jadi, adalah Onto. Contoh : Perlihatkan bahwa memiliki balikan. Untuk. Penyelesaian : Dengan menggunakan teorema turunan pertama untuk kemonotonan fungsi. Kita dapatkan turunan pertamanya yaitu Dimana nilai selalu lebih besar nol untuk setiap. untuk semua Jadi naik pada seluruh garis real. Sehingga memiliki balikan di sana. muhammadsihabudin@yahoo.co.id

44 Asimtot.wordpress.com Cara Menentukan Fungsi Balikan Hal yang berkaitan adalah pencarian rumus untuk untuk melakukan itu, kita tentukan terlebih dahulu, kemudian kita menukarkan dan dalam rumus yang dihasilkan. Jadi diusulkan untuk melakukan tiga langkah berikut untuk pencarian 1. Langkah 1 : Selesaikan persamaaan untuk dalam bentuk. 2. Langkah 2 : Gunakan untuk menamai ungkapan yang dihasilkan dalam. 3. Langkah 3 : Gantilah dengan. Perhatikan bahwa kita telah menukar peranan dan. Sedikit pemikiran meyakinkan kita bahwa menukar peranan dan pada grafik adalah mencerminkan grafik terhadap garis. Jadi, grafik adalah gambar cermin grafik terhadap garis Contoh : Carilah invers dari Penyelesaian : Langkah 1 : menyelesaikan persamaaan untuk dalam bentuk. Langkah 2 : menggunakan untuk menamai ungkapan yang dihasilkan dalam Langkah 3 : mengganti dengan. muhammadsihabudin@yahoo.co.id

45 Asimtot.wordpress.com Turunan Fungsi Balikan Pada bagian ini kita akan mencoba menbahas lebih dalam tentang hubungan turunan suatu fungsi dengan turunan inversnya, jika fungsi yang bersangkutan mempunyai invers. Pada bagian ini pembahasan hanya dibatasi pada fungsi kontinu yang monoton murni. Teorema Andaikan terdiferensiasikan dan monoton murni (monoton tegas) pada selang. Jika di suatu tertentu dalam. Maka terdiferensiasikan di titik yang berpadanan dalam daerah hasil dan Menurut definisi invers. Yaitu, jika maka. Dengan melakukan substitusi kita dapatkan. Kita perhatikan untuk Kita lakukan diferensiasi. Diperoleh : Yang ekuivalen dengan Bukti teorema Interval, dan, fungsi monoton murni dan kontinu pada. dan invers fungsi yang monoton murni dan kontinu. muhammadsihabudin@yahoo.co.id

46 Asimtot.wordpress.com Fungsi terdiferensial di titik dan. Fungsi terdiferensial di titik lebih lanjut, Ambil sembarang dengan, selanjutnya didefinisikan fungsi dengan Diketahui monoton murni, selanjutnya mudah dimengerti bahwa untuk setiap dengan, maka. dengan kata lain, well define. Demikian halnya jika dan maka berdasarkan definisi fungsi diperoleh Mudah dipahami bahwa untuk setiap dengan, maka. Selanjutnya dibuktikan bahwa Diberikan bilangan dan jika terdiferensial di, maka terdapat bilangan sehingga untuk setiap dengan sifat berlaku Diketahui kontinu di titik, artinya untuk setiap bilangan terdapat bilangan sehingga untuk setiap dengan, maka berlaku Karena fungsi invers dari maka bijektif, dengan kata lain injektif dan surjektif. injektif dan, maka diperoleh; jika maka untuk setiap Oleh karena itu untuk setiap dengan berakibat Untuk sebarang Jadi

47 Asimtot.wordpress.com Perhatikan bahwa karena maka, sehingga diperoleh Dapat disimpulkan, untuk setiap dengan berlaku Terbukti Contoh : Carilah jika diketahui Penyelesaian : Kita akan mencari nilai yang berpadanan dengan Kemudian kita cari Kita selesaikan dengan menggunakan teorema muhammadsihabudin@yahoo.co.id

48 Asimtot.wordpress.com 7.3. Fungsi Eksponen Asli Definisi Balikan disebut fungsi eksponen asli dan dinyatakan oleh Jadi Dari definisi dapat diambil bahwa i. ii. untuk semua Sifat-sifat Fungsi Eksponen Definisi Huruf menyatakan bilangan real positif unik sedemikian rupa sehingga. Bilangan sama halnya seperti bilangan yaitu sama-sama bilangan yang tak rasional. Ekspansi desimalnya diketahui sampai beribu-ribu angka di belakang koma. Teorema Andaikan dan sebarang bilangan real, maka dan Turunan Andaikan, maka dapat dituliskan. Perhatikan untuk Kedua ruas diturunkan terhadap Dengan menggunakan aturan rantai diperoleh Karena, maka Apabila. Dan terdiferensiasi, maka menurut aturan rantai Contoh : Tentukan Penyelesaian : muhammadsihabudin@yahoo.co.id

49 Asimtot.wordpress.com Integral Rumus turunan secara otomatis akan menghasilkan integral Contoh : Tentukan Penyelesaian : 7.4. Fungsi-fungsi Eksponen dan logaritma Umum Definisi Untuk dan sebarang bilangan real maka berlaku Coba hitung dengan menggunakan. Hasilnya pasti sama yaitu 9. Kalkulator mungkin akan menghasilkan yang berbeda. Misalnya 8, Karena kalkulator menggunakan nilai hanya 8 digit atau beberapa digit di tempat desimal. Sifat-sifat Teorema Jika dan dan adalah bilangan-bilangan real, maka i. ii. iii. iv. v. muhammadsihabudin@yahoo.co.id

50 Asimtot.wordpress.com Aturan-aturan Fungsi Eksponensial Teorema Contoh : tentukan Penyelesaian : dengan menggunakan aturan rantai diperoleh Fungsi Definisi Andaikan adalah bilangan positif bukan 1. Maka Basis yang paling umum digunakan adalah basis 10. Logaritma yang dihasilkan dinamakan logaritma biasa. Di dalam kalkulus dan dalam semua matematika lanjut, basis yang berarti adalah. Jika sehingga, maka Dengan menggunakan sifat sebelumnya diperoleh turunannya, yaitu muhammadsihabudin@yahoo.co.id

51 Asimtot.wordpress.com 7.5 Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen Pertambahan populasi yaitu kelahiran dikurangi kematian dalam jangka waktu yang pendek sebanding dengan banyaknya penduduk pada awal jangka waktu itu dan sebanding dengan panjangnya jangka waktu itu sendiri. Jadi atau Dalam bentuk limit, ini memberikan persamaan diferensial populasi bertambah. menunjukkan bahwa sekitar populasi berkurang. Untuk populasi dunia, sejarah Menyelesaikan Persamaan Differensial dengan syarat awal apabila. Dengan memisahkan peubah dan mengintegrasikan, kita peroleh Syarat pada saat akan menghasilkan Sehingga, Ketika jenis pertumbuhannya disebut pertumbuhan eksponensial, dan ketika disebut peluruhan eksponensial. Peluruhan Radioaktif Tentunya tidak semuanya tumbuh. Beberapa ada yang mengalami penurunan. Khususnya, zat-zat radioaktif mengalami peluruhan. Persamaan diferensialnya tetap. Hanya saja sekarang untuk Teorema

52 Asimtot.wordpress.com Bukti Pertama ingat kembali bahwa jika maka dan khususnya, Kemudian, dari definisi turunan dan sifat-sifat, kita peroleh Jadi. Karena adalah fungsi yang kontinu, ini berarti kita dapat melewatkan limit ke dalam eksponen argumentasi berikut Contoh : Rudi menyimpan 500 di bank dengan bunga harian majemuk sebesar bunga majemuknya kontinu, berapakah uang Dono pada akhir tahun ketiga? Penyelesaian :. Andaikan Perhatikan bahwa walaupun beberapa bank mencoba mendapatkan promosi iklan dengan menawarkan bunga majemuk kontinu, beda hasil antara bunga majemuk secara kontinu dan yang secara harian (yang ditawarkan banyak bank) ternyata sangat kecil. Berikut pendekatan lain terhadap masalah pemajemukan bunga secara kontinu. Andaikan adalah nilai pada saat uang sebesar rupiah yang diinvestasikan dengan suku bunga mengatakan bahwa bunga majemuk secar kontinu berarti bahwa laju perubahan sesaat dari terhadap waktu adalah, yakni Persamaan diferensial ini adalah 7.6. Persamaan Differensial Linear Orde-Satu Tidak semua persamaan linear dapat dipisahkan. Contohnya dalam persamaan differensial Tidak ada cara untuk memisahkan peubah sedemikian rupa sehingga memiliki dan seluruh ungkapan yang melibatkan pada satu sisi dan beserta seluruh ungkapan yang melibatkan pada sisi lainnya. Persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk muhammadsihabudin@yahoo.co.id

53 Asimtot.wordpress.com Dimana dan hanyalah fungsi-fungsi saja. Persamaan differensial dalam bentuk ini dinamakan sebagai persamaan differensial orde-satu. Menyelesaikan Persamaan Linear Orde-Satu Untuk menyelesaikan persamaan linear orde-satu, pertama kita mengalikan kedua sisi dengan factor integrasi Didapatkan Sisi kiri adalah turunan hasil kali, maka persamaannya mengambil bentuk Integrasi kedua sisi menghasilkan Contoh : Carilah penyelesaian umum dari Penyelesaian : Faktor integrasi yang tepat adalah Di bawah perkalian dengan factor ini, persamaannya akan berbentuk atau Jadi penyelesaian umumnya adalah muhammadsihabudin@yahoo.co.id

54 Asimtot.wordpress.com 7.7. Fungsi-fungsi balikan Trigonometri Balikan sinus dan Kosinus Definisi Untuk memperoleh balikan dari sinus dan kosinus, kita membatasi daerah asal mereka masingmasing pada selang dan Sehingga, dan dan Balikan Tangen dan Balikan Sekan Definisi Untuk memperoleh balikan dari sinus dan kosinus, kita membatasi daerah asal mereka masingmasing pada selang dan Sehingga, dan dan Teorema i. ii. iii. iv. Turunan Fungsi Trigonometri

55 Asimtot.wordpress.com Turunan Fungsi Balikan Trigonometri Teorema i. ii. iii. iv.

56 BAB VI Turunan Fungsi Aljabar Rumus-rumus turunan fungsi aljabar SMA dan SMK Turunan fungsi aljabar merupakan perluasan materi limit fungsi dan turunan fungsi yang pertama kali diajarkan di kelas 2 SMA atau kelas 3 SMK. Selainturunan fungsi aljabar juga dikenal turunan fungsi trigonometri penting sekali menguasai konsep turunan mengingat kegunaan materi ini sangat penting dalam bidang yang lain seperti dalam bidang fisika dan kalkulus diferensial. Berikut ini rumus-rumus dasar turunan fungsi aljabar. 1.Turunan fungsi konstan f(x) = k f (x) = 0 Contohsoal turunan fungsi aljabar fungsi konstan: a. Turunan dari f(x) = 5 adalah f (x) = 0 b. Turunan dari f(x) = 6 adalah f (x) = 0 2.Turunan fungsi identitas f(x) = x f (x) = 1 3.Turunan fungsi aljabar berpangkat n Contoh : Rumus fungsi aljabar berpangkat n diatas juga berlaku untuk bilangan berpangkat negatif maupun pangkat pecahan, seperti contoh dibawah ini c. [Penyelesaian] d. [penyelesaian]

57 4.Rumus turunan Jumlah dan selisih fungsi-fungsi Contoh soal Turunan Jumlah dan selisih fungsi-fungsi, a. [Penyelesaian] b. [Penyelesaian] Dengan menggunakan rumus kuadrat suku dua pada materi matematika smp kelas 7 aljabar maka, c. [Penyelesaian] 5.Turunan fungsi aljabar hasil kali Contoh soal turunan fungsi aljabar hasil kali, Carilah turunan dari, [Penyelesaian] Dengan menggunakan rumus turunan fungsi aljabar hasil kali diatas maka diperoleh, Rumus turunan fungsi aljabar hasil kali diatas dapat diperluas untuk mencari rumus turunan yang terdiri dari tiga fungsi, yaitu: Contoh mencari turunan fungsi aljabar yang terdiri dari tiga fungsi: Tentukan turunan dari, [Penyelesaian]

58 6. Turunan fungsi aljabar hasil bagi Dengan v(x) 0 Contoh soal turunan fungsi aljabar hasil bagi: Tentukan turunan dari fungsi berikut ini, [Penyelesaian] Turunan fungsi aljabar aturan rantai Dengan u (x) fungsi dari x dan n ϵ bilangan real Contoh soal menentukan turunan fungsi aljabar dengan aturan rantai, Carilah turunan dari fungsi dibawah ini, [Penyelesaian] Turunan fungsi aljabar irasional atau bentuk akar Terkadang dalam menyelesaikan turunan fungsi aljabar, kita menemukan soal dalam bentuk persamaan irasional, ada rumus khusus untuk menentukan turunan fungsi aljabar seperti itu yaitu: Contoh: Carilah turunan dari fungsi berikut ini, [Penyelesaian]

59 Rumus turunan fungsi aljabar fungsi khusus Rumus khusus : Contoh: Tentukan turunan fungsi dibawah ini, [Penyelesaian] Turunan Fungsi Trigonometri Turunan Fungsi Trigonometri diperoleh dari definisi turunan yang masih berhubungan dengan limit. Ada dua hal yang harus dipahami dalam turunan fungsi trigonometri. Pertama, perlu dihapalkan bagaimana turunan dari masing-masing fungsi trigonometri, yaitu turunan dari sin, cos, tan, cot, cosec, dan sec. Kedua, perlu dipahami turunan dari fungsi trigonometri yang peubahnya merupakan sebuah fungsi dan turunan dari fungsi trigonometri yang dipangkatkan. Berikut ini dibahas bagaimana cara mendapatkan turunan fungsi trigonometri dengan menggunakan definisi turunan dan bagaimana turunan dari bentuk-bentuk fungsi trigonometri. Turunan fungsi aljabar telah kalian kuasai, bagaimana dengan turunan fungsi trigonometri? mari kita pahami rumusnya serta berlatih di soal dan pembahasan turunan fungsi trigonometri bersama-sama, dijamin sukses dalam ujian kalian. Untuk menentukan turunan trigonometri sama dengan konsep awal mencari turunan, namun disini langsung kita ambil hasilnya. dimana maka Turunan pada fungsi trigonometri akan mempunyai rumus : contoh: maka maka maka maka maka maka Rumus rumus yang dipakai di turunan fungsi aljabar, berlaku pula untuk mengerjakan turunan fungsi trigonometri maupun gabungan keduanya lets try this.

60 jawab tentukan f (x)! jawab: tentukan f (x)! Turunan ke-n diberikan fungsi f(x), maka turunan pertama dari f(x) adalah f (x) ; turunan kedua dari f(x) adalah f (x) ; turunan ketiga dari f(x) adalah f (x) dst. tentukan turunan kedua dari f(x)! jawab. *kita cari turunan pertama dulu ya.. *perhatikan untuk mempunyai dua suku kita misalkan bahwa sukusuku f (x) adalah a dan b dimana f (x) = a b untuk mencari turunan kedua akan berlaku f (x) = a b mari kita cari turunan masing-masing suku *ambil suku pertama dari f (x) kita misalkan *ambil suku kedua dari f (x) kita misalkan *nah, kembali ke selesai,deh..coba yang lain yuk! tentukan turunan ke-empat dari f(x)! jawab: mempunyai dua suku kita misalkan a dan b sehingga f (x) = a + b cari turunan masing-masing suku dulu ya maka maka mempunyai dua suku kita misalkan lagi c dan d sehingga f (x) = c d

61 mempunyai dua suku, suku pertama langsung dapat kita turunkan dan turunan suku kedua dapat dilihat telah kita cari di atas maka sehingga mempunyai dua suku, suku pertama langsung dapat kita turunkan dan turunan suku kedua dapat dilihat telah kita cari di atas maka sehingga waaaaah..selesai!!!! begitu seterusnya hingga turunan ke-n..coba sendiri dengan soal yang lain yah!! ada yang bertanya soal seperti ini: 3. Jika diketahui buktikan bahwa turunan ke-n yaitu! jawab: *ingatlah kembali nilai sin x di tiap kuadran dst sehingga dst dst terbukti

62 Latihan Soal 1. Tentukan turunan untuk f(x) = (x 2 + 2x + 3)(4x + 5) 2. Diketahui Jika f '(x) menyatakan turunan pertama f(x), tentukan f(0) + 2f ' (0) 3. Tentukan turunan pertama dari f(x) = 3x 4 + 2x 2 5x 4. Jika maka tentukan g (2) 5. Tentukan turunan pertama dari 6. Jika maka tentukan f (1) 7. Jika maka tentukan f (x) 8. Diketahui maka tentukan 9. Tentukan turunan pertama fungsi 10. Tentukan turunan pertama fungsi 11. Jika f (x) adalah turunan dari f(x) dan jika f(x) = ( 3x 2 ) sin (2x + 1) maka tentukan f (x) 12. Jika, maka tentukan nilai dari f (0) 13. Tentukan turunan pertama dari 14. Diketahui f(x) = sin 3 (3 2x), tentukan turunan pertama fungsi f tersebut 15. Tentukan turunan pertama dari f(x) = 7 cos (5 3x) Turunan adalah pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input, atau secara umum turunan menunjukkan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya. Proses dalam menemukan turunan disebut diferensiasi.

63 adalah simbol untuk turunan pertama. adalah simbol untuk turunan kedua. adalah simbol untuk turunan ketiga. simbol lainnya selain dan adalah dan adversitemens TURUNAN PERTAMA Misalnya y merupakan fungsi dari x atau dapat ditulis juga y=f(x). Turunan dari y terhadap x dinotasikan sebagai berikut: Dengan menngunakan definisi turunan diatas dapat diturunkan beberapa rumus-rumus turunan, yaitu : 1. Jika diketahui dimana C dan n konstanta real, maka Perhatikan contoh berikut : 2. Jika diketahui y=c dan Perhatikan contoh berikut :

64 3. Untuk y=f(x)+g(x) maka Perhatikan contoh berikut : 4. Untuk y=f(x).g(x) maka atau dapat juga kita misalkan f(x)=u dan g(x)=v sehingga rumus turunan u.v=u v+uv contoh :

65 6. Untuk turunan lain tersaji dalam penjelasan dibawah ini. TURUNAN KEDUA Turunan kedua dari y=f(x) terhadap x dinotasikan sebagai berikut Turunan kedua merupakan turunan yang diperoleh dengan menurunkan kembali turunan pertama. Perhatikan contoh berikut : Penggunakan untuk turunan kedua ini antara lain untuk : a. Menentukan gradien garis singgung kurva Jika diketahui garis g menyinggung kurva y=f(x) pada titik (a,f(a)) sehingga gradien untuk g adalah

66 Sebagai contoh tentukanlah gradien garis singgung dari kurva y=x²+3x dititik (1,-4)! Penyelesaian : Sehingga gradien garis singgung kurva y=x²+3x dititik (1,-4) adalah m=y(1)=2.1+3=5 b. Menentukan apakah interval tersebut naik atau turun kurva y =f(x) naik jika f (x) >0 dan kurva y=f(x) turun jika f (x) <0. Lalu bagaimana cara menentukan f (x) > 0 atau f (x) <0? kita gunakan garis bilangan dari f (x). Perhatikan contoh berikut : Tentukanlah interval naik dan interval turun dari fungsi y=x³+3x²-24x! Jawab : y=f(x)=x³+3x²-24x f (x)=3x²+6x-24=3(x²+2x-8)=3(x+4)(x-2) Berdasarkan garis bilangan yang diperoleh diatas : f (x) >0 untuk x<-4 dan x>2 yang merupakan interval untuk fungsi naik. F (x) <0 untuk -4 < x < 2 yang merupakan interval untuk fungsi turun. c. Menentukan nilai maksimum dan nilai minimum Nilai maksimum dan nilai minimum fungsi ini sering disebut juga dengan nilai ekstrim atau nilai stasioner fungsi, yang dapat diperoleh pada f (x)=0 untuk fungsi y=f(x). Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut. Tentukan nilai ekstrim dari fungsi y=x³-3x²-24x-7! Jawab : y =3x²-6x-24 nilai ekstrim diperoleh dari y =o maka 3x²-6x-24 = 0

67 (x²-2x-8)=0 (x-4)(x+2)=0 x1=4 ; x2=-2 Berdasarkan garis bilangan diatas : Fungsi maksimum pada x=-2 sehingga nilai balik maksimumnya yaitu : f(-2)=(-2)³-3(-2)²-24(-2)-7 f(-2)=21 Fungsi minimum pada x=4 sehingga nilai balik minimumnya yaitu : f(4)=(4)³-3(4)²-24(4)-7 f(4)=-87 TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI Berikut ini rumus untuk turunan fungsi trigonometri : Perhatikan contoh berikut : Jawab :

68 Apakah dari penjelasan mengenai turunan diatas telah membuat anda benar-benar mengerti tentang turunan dan telah dapat mengerjakan ragam variasi soal turunan yang akan anda temui. Semoga saja demikian. Sebagai masukkan banyaklah belajar soal-soal agar anda lebih mantap dalam mengerti setiap materi matematika. Semangatlah dalam belajar agar apa yang dicita-citakan dapat tercapai, baca juga artikel Peluang Kejadian Majemuk dan Kejadian Bersyarat dari sub bab topik Peluang. Rumus Turunan (diferensial) Matematika rumus hitung 55 Comments Rumus Turunan (diferensial) Matematika dan Contoh Soal Dua buah pepatah, kalau tak kenal maka tak sayang dan kalau tahu caranya tidak ada yang tidak bisa mungkin cocok buat jadi pemacu sobat belajar matematika. Jika kita tidak kenal dan tidak tahu cara mengerjakan suatu soal matematika bisa dipastikan soal tersebut tidak bisa kita jawab. Nah kali ini kita akan coba kenalan dengan rumus-rumus di limit matematika SMA. Ada yang bilang limit matematika itu susah. Benar sih susah jika sobat tidak tahu carannya. Berikut ini rangkuman rumus limit beserta contoh soal sederhananya. Check this out? Apa sih Turunan? Definisi turunan aga susah kalau di berikan dalam bentuk kata (verbal). Sobat bisa misalkan ada y yang merupakan fungssi dari x, ditulis y = f(x). Yang dimaksud dengan turun y terhadap x (dinotasikan dy/dx) atau sering ditulis y (baca : y aksen ) didefinisikan sebagai

69 masih bingung? kita simak contoh berikut sobat punya persamaan y = 4x maka nilai dari turunan tersebut menurut definisi di atas adalah Rumus Rumus Turunan Fungsi Matematika Buat memudahkan sobat belajar berikut rumushitung.com rangkumkan berbagai rumus turuna. Check this out.. Rumus 1 : Jika y = cx n dengan c dan n konstanta real, maka dy/dx = cn x n-1 contoh y = 2x 4 maka dy/dx = 4.2x 4-1 = 8x 3 kadang ada soal yang pakai pangkat pecahan atau akar y = 2 x = 2x 1/2 turunannya adalah 1/2.2 x (1/2-1) = x -1/2 = 1/ x Rumus 2 : Jika y = c dengan c adalah konstanta maka dy/dx = 0 contoh jika y = 6 maka turunannya adalah sama dengan nol (0) Rumus 3 : Jika y = f(x) + g(x) maka turunannya sama dengan turunan dari masing-masing fungsi = f'(x) + g'(x) contoh y = x 3 + 2x 2 maka y = 3x 2 + 4x y = 2x maka y = 10x = 10x 4 Rumus 4 : Turunan Perkalian Fungsi Jika y f(x).g(x) maka y = f'(x). g(x) + g'(x). f(x) contoh y = x 2 (x 2 +2) maka

70 f(x) = x 2 f'(x) = 2x g(x) = x 2 +2 g'(x) = 2x kita masukkan ke rumus y = f'(x). g(x) + g'(x). f(x) y = 2x (x 2 +2) + 2x. x 2 y = 4x 3 + 4x (jawaban ini juga bisa sobat peroleh dengan mengalikan terlebih dahulu lalu menggunakan rumus 3) Rumus 5 : Turunan Pembagian Fungsi contoh soalnya Rumus 6 : jika sobat punya y = [f(x)] n maka turunannya adalah n [f(x)] n-1. f'(x) contoh Rumus 7 : Turunan Logaritma Natural misal y = ln f(x) maka turunannya contoh soal

71 Rumus 8 : e f(x) maka dy/dx = e f(x).f'(x) contoh : y = e 2x+1 f(x) = 2x+1 f'(x) = 2 maka f = e 2x+1. 2 = 2e 2x+1 Rumus 9 : Turunan Trigonometri Sin Jika sobat punya y = sin f(x) maka turunannya adalah y = cos f(x). f'(x) contoh : y = sin(x 2 + 1) maka y = cos (x 2 +1). 2x = 2x. cos (x 2 +1) Rumus 10 : Turunan Trigonometri Cos Jika sobat punya y = cos f(x) maka turunanya adalah y = -sin f(x). f'(x) contoh : y = cos (2x+1) maka turunannya y = -sin (2x+1). 2 = -2 sin (2x+1) Rumus Turunan Kedua rumus turunan kedua sama dengan turunan dari turunan pertama (sobat turunkan sebanyak dua kali). Turunan kedua sobat peroleh dengan menurunkan turunan pertama. Contoh : Turunan kedua dari x 3 + 4x 2 turunan pertama = 3x 2 + 8x turunan kedua = 6x + 8

72 BAB VII Jumat, 13 Maret 2009 PENGGUNAAN TURUNAN PENGGUNAAN TURUNAN Sir Isaac Newton, (4 Januari Maret 1727; KJ: 25 Desember Maret 1727) adalah seorang fisikawan, matematikawan, ahli astronomi dan juga ahli kimia yang berasal dari Inggris. Beliau merupakan pengikut aliran heliosentris dan ilmuwan yang sangat berpengaruh sepanjang sejarah, bahkan dikatakan sebagai bapak ilmu fisika modern. Dengan berbagai hasil karya ilmiah yang dicapainya, Newton menulis sebuah buku Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, dimana pada buku tersebut dideskripsikan mengenai teori gravitasi secara umum, berdasarkan hukum gerak yang ditemukannya, dimana benda akan tertarik ke bawah karena gaya gravitasi. Bekerja sama dengan Gottfried Leibniz, Newton mengembangkan teori kalkulus. Newton merupakan orang pertama yang menjelaskan tentang teori gerak dan berperan penting dalam merumuskan gerakan melingkar dari hukum Kepler, dimana Newton memperluas hukum tersebut dengan beranggapan bahwa suatu orbit gerakan melingkar tidak harus selalu berbentuk lingkaran sempurna (seperti elipse, hiperbola dan parabola). Newton menemukan spektrum warna ketika melakukan percobaan dengan melewati sinar putih pada sebuah prisma, dia juga percaya bahwa sinar merupakan kumpulan dari partikel-partikel. Newton juga mengembangkan hukum tentang pendinginan yang di dapatkan dari teori binomial, dan menemukan sebuah prinsip momentum dan angular momentum. Pendapat Kepala Akademi Ilmiah Berlin tentang Newton: "Newton ialah seorang jenius besar yang pernah ada dan paling beruntung, yang tak bisa kita temukan lebih dari suatu sistem dunia untuk didirikan.

73 Definisi 1. Maksimim dan Minimum Andaikan S, daerah asal f, memuat titik c. Kita katakana bahwa : i. f ( c ) adalah nilai maksimum f pada S jika f ( c ) f ( x ) untuk semua x di S ii. f ( c ) adalah nilai minimum f pada S jika f ( c ) f ( x ) untuk semua x di S iii. f ( c ) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum Teorema A ( Teorema Eksistenti Maks dan Min ). Jika f kontinu pada selang tetutup [ a,b ], maka f mencapai nilai maksimum dan minimum. f harus kontinu dan himpunan S harus berupa selang tetutup. Biasanya fungsi yang ingin kita maksimimkan atau minimumkan akan mempunyai suatu selang I sebagai daerah asalnya. Tetapi selang ini tidak boleh berupa sebarang dari sembilan tipe yang dibahas dalam pasal 1.3. beberapa dari selang ini memuat titik-titk ujung, beberapa tidak. Misalnya, I = [a.b] memuat titik ujung dua-duanya, 9a,b) hanya memuat titik ujung kiri : (a,b) tidak memuat titik ujung satupun. Nilai-nilai ekstrim dari sebuah fungsi yang didefinisikan pada selang tertutup sering kali terjadi pada titik-titik ujung. Jika c sebuah titik pada mana f I ( c ) = 0, kita sebut c titk stasioner. Nilai-nilai ekstrim sering kali terjadi pada titik-titik stasioner. Akhirnya jika c adalah titik dalam dari I di mana f I tidak ada, kita sebut c titik singular. Walaupun hal ini sangat langka. Teorema B ( Teorema Titik Kritis ). Andaikan f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. jika f ( c ) adalah titik-titik ekstrim, maka c haruslah suatu titik kritis, yakni c berupa salah satu : i. titik ujung dari I ii. tititk stasioner dari f( f I ( c ) = 0 ) iii. tititk singular dari f( f I ( c ) tidak ada )

74 2. Kemonotonan dan Kecekungan Pada bagian ini penggunaan turunan akan di titik beratkan untuk mengetahui sifat-sifat yang dimiliki suatu kurva antara lain kemonotonan, kecekungan, nilai ekstrim, titik belok dan asymtot. Hal ini ditekankan agar kita mudah dalam menganalisa dan menggambarkan grafik fungsi. Pada bagian akhir dari sub bab penggunaan turunan ini, akan dijelaskan tentang dalil De lhospital untuk menghitung limit fungsi baik limit di suatu titik, limit di tak hingga maupun limit tak hingga. Definisi : Fungsi Monoton Turunan pertama dan Kemonotonan Definisi Andaikan f terdefinisi pada selang I ( terbuka, tertutup, atau tak satupun ). Kita katakana bahwa : i. f adalah naik pada I jika untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I x1 <>2 = f (x1 ) <>2 ) ii. f adalah turun pada I jika untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I x1 <>2 = f (x1 ) > f (x2 ) iii. f monoton murni pada I jika ia naik pada I atau turun pada I. Teorema A

75 (teorema Kemonotonan). Andaikan f kontinu pada selang I dan dapat didiferensialkan pada setiap titik dalam dari I. i. Jika f I ( x ) > 0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f naik pada I ii. Jika f I ( x ) <>untuk semua titik dalam x dari I, maka f turun pada I Turunan kedua dan Kecekungan Definis Andaikan f terdiferensial pada selang terbuka I =(a,b). Jika f I naik pada I, f dan grafikya cekung ke atas di sana, jika f I turun pada I, f cekung ke bawah. Teorema B ( Teorema Kecekungan ). Andaikan f terdiferensial dua kali pada selang terbuka (a,b.). i. Jika f II ( x ) > 0 untuk semua x dalam (a,b), maka f cekung ke atas pada (a,b). ii. Jika f II ( x ) <>untuk semua x dalam (a,b), maka f cekung ke bawah pada (a,b). 3. Maksimum dan Minimum Lokal Definisi Andaikan S, daerah asal f, memuat titik c. kita katakana bahwa : i. f( c ) nilai maksimum local f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f( c ) adalah nilai maksimum f pada (a,b) S ii. f( c ) nilai minimum local f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f( c ) adalah nilai minimum f pada (a,b) S iii. f( c ) nilai ekstrim local f jika ia berupa nilai maksimum local atau minimum local. Teorema A ( Turunan pertama untuk ekstrim local ). Andaikan f kontinu pada selang terbuka (a,b) yang memuat titik kritis c i. jika f (x) >0 untuk semua x dalam (a,b), dan f (x) <0 untuk semua x dalam (c,b), maka f ( c ) adalah nilai maksimum lokal f ii. jika f (x) <0 untuk semua x dalam (a,b), dan f (x) >0 untuk semua x dalam (c,b), maka f ( c ) adalah nilai minimun lokal f iii. jika f (x) >0 bertanda sama pada kedua pihak c, maka f ( c ) bukan nilai ekstrim lokal f Teorema B

76 ( Turunan kedua untuk ekstrim lokal ). Andaikan f dan f ada pada setiap titik pada selang terbuka (a,b) yang memuat c dan andaikan f ( c ) = 0. i. jika f (c) <>adalah nilai maksimum lokal f ii. jika f (c) <>adalah nilai maksimum lokal f 4. Lebih Banyak Masalah Maks-Min kita menyarankan sebuah metode langkah demi langkah untuk dipakai dalam masalah Maks-Min terapan/ jangan mengikutinya secara membabi buta: kadang-kadang akal sehat menyarankkan alternative lain atau penghilangan beberapa langkah. Langkah 1 Buat sebuah gambar untuk masalah dan berikan variable-variabel yangsesuai untuk besaran-besaran kunci. Langkah 2 Tuliskan rumus untuk beberapa Q yang harus dimaksimumkan (diminimmkan) dalam bentuk variable-variabel tersebut. Langkah 3 Gunakan kondisi-kondisi masalah untuk menghilangkan semua kecuali satu dari variabelvariabel ini dan karenanya menyatakan Q sebagai fungsi dari satu variabal, misalnya x. Langkah 4 Tentukan himpunan nilai-nilai x yang mngkin, biasanya sebuah selang. Langkah 5 Tentukan titik-titik kritis (titik ujung, titik stasioner, titik singular). Paling sering, titik-titik kritis kunci berupa titik-titik stasioner dimana dq/dx = 0. Langkah 6 Gunakan teori bab ini untuk menentukan titik kritis mana yang memberikan maksimum (minimum). 5. Penerapan Ekonomik Setiap bidang ilmu mempunyai bahasanya sendiri-sendiri. Tentu saja ini benar untuk ekonomi, yang mempunyai kosakata yang dikembangkan sangat khusus. Sekali kita mempelajari kosakata ini, kita akan menemukan bahwa banyak masalah ekonomi sebenarnya merupakan masalah kalkulusbiasa yang dikenakan baju baru. Konsep dasar untuk sebuah perusahaan adalah total laba P(x) yakni selisih antara pendapatan dan biaya P(x) = R(x) C(x) = xp (x) C(x) Umumnya,sebuah perusahaan memaksimumkan total labanya. 6. Limit di Ketakhinggaan, Limit Tak Terhingga Definisi

77 ( Limit bila x = ). Andaikan f terdefinisi pada [c, ) untuk bilangan c.kita katakan bahma lim f(x)=l jika untuk masing-masing > 0, terdapat bilangan M yang x- berpadanan sedemikian sehingga x > M = [ f(x) L ] < 7. Penggambaran Grafik Canggih Polinom derajat 1 atau 2 jelas utuk digambar grafiknya; yang berderajat 50 hampir mustahil. Jika derajatnya cukup ukurannya, misalnya 3 sampai 6, kita dapat memakai alat-alat dari kalkulus dengan manfaat besar. Fungsi rasional merupakan hasil bagi dua fungsi polinom, lebih rumit untuk digrafikkan dibanding polinom. Khususnya kita dapat mengharapkan perilaku yang dramatis di mana pun penyebut nol. Dalam menggambarkan grafik fungsi, tidak terdapat pengganti untuk akal sehat. Tetapi, dalam banyak hal prosedur berikut akan sangat membantu. Contoh Gambarkanlah sketsa grafik f(x) = 9x x3 Penyelesaian Koordinat titik potong dengan sumbu sumbu koordinat a) Titik potong dengan sumbu X, maka y = 0 9x x3 = 0 x(9 x2) = 0 x(3 x)(3 x) = 0 x1 = 0 x2 = -3 x3 = 3 jadi titik potong sumbu X adalah (-3, 0), (0, 0), (3, 0) b) Titik potong sumbu Y, maka x = 0 y = 9(0) (0)3 = 0 Jadi titik potong sumbu Y, adalah (0, 0) Mencari fungsi naik dan fungsi turun f(x) naik jika f (x) > 0 9 3x2 > 0 3x2 <> 0 3x2 <> 31/2 Mencari titik stasioner f (x) = 0 9 3x2 = 0

78 x1 = -31/2 dan x2 = 31/2 utuk x = -31/2 f(-31/2)= 9(-31/2) (-31/2)3 = 6.31/2 untuk x =31/2 f(31/2) = 9(31/2) (31/2)3 = /2 jadi titik maksimumnya(31/2,631/2) dan titik minimumnya (-31/2, - 631/2 ) Langkah 1 buat analisis pendahuluan sebagai berikut. 1. Periksa daerah asal dan daerah hasil fungsi unttk melihat apakah ada daerah di bidang yang dikecualikan. 2. Uji kesimetrian terhadap sumbu y dan titik asal. (Apakah fungsi genap atau ganjil?) 3. Cari perpotongan dengan sumbu-sumbu koordinat. 4. Gunakkan turunan pertama untuk mencari titik-titik kritis dan untuk untuk mengetahui tempat-tempat grafik naik dan turun. 5. Uji titik-titik kritis untuk maksimum dan minimum local. 6. Gunakan turunan kedua untuk mengetahui tempat-tempat grafik cekung keatas dan cekung kebawah dan untuk melokasikan titik-titik balik. 7. Cari asimtot-asimtot. Langkah 2 Gambarkan beberapa titik (termasuk semua titik kritis dan titik balik). Langkah 3 Sketsakan grafik. 8. Teorema Nilai Rata-rata Teorema A (Teorema Nilai Rata-rata untuk Turunan). Jika f kontinu pada selang tertutup [a,b] dan terdiferensial pada titik-titik dalam dari (a,b), maka terdapat paling sedikit satu bilang c dalam (a,b) di mana f(b) f(a) : b a = f (c) atau

79 f(b) f(a) = f (c) ( b - a ) Soal dan Penyelesaian : Contoh 1 : Carulah nilai maksimum dan minimum dari f ( x ) = -5x x 2 pada [-½,3] Penyelesaian : Jadi kita ambil ½,0,1,2,3 sebagai titik kritis. sekarang f(-½) = -5x x 2 = -⅞ f ( 0 ) = -5x x 2 =0 f ( 1 ) = -5x x 2 = -5 6 = 1 f ( 2 ) = -5x x 2 = = -16 f ( 3 ) = -5x x 2 = = -81 Jadi nilai Minimum = -81 dan nilai Maksimum = 1 Contoh 1 : Cari titik-titik kritis dari f ( x ) = 1/3 x 3-3/2 x 2 + 2x + 5 pada [ 2,3] Penyelesaian : Turunkan fungsi f ( x ) = 1/3 x 3-3/2 x 2 + 2x + 5 f ( x ) = x 2-3x + 2 = (x-2) (x-1) x = 2, x = 1 titik kritis 1,2

80 Contoh 2 : Jika f ( x ) = 2x 3 + 7/2x 2-6x + 3, cari di mana f naik dan di mana turun. Penyelesaian : Kita cari turunan mulai dari f f ( x ) = 2x 3 + 7/2x 2-6x + 3 f ( x ) = 6x 2 + 7x - 6 syarat f(x) naik adalah f (x) >0, maka f ( x ) = 6x 2-7x - 6 > 0 = (6x - 3) (x + 2) > 0 = 3(2x - 1) (x + 2) >0 x = 1/2 atau x = -2 syarat f(x) turun adalah f (x) <0,>maka f ( x ) = 6x 2 + 7x - 6 <> = 3( 2x - 1) (x + 2) <0-2 <> Jadi fungsi f ( x ) = 2x 3 + 7/2 x 2-6x + 3 naik dalam interval x = -2 atau x = 1/2 Dan turun pada interval -2 <> Contoh 2 : f ( x ) = 1/3 x 3-2 x 2 + 3x + 6, tentukan pada interval mana grafik fungsi f(x) cekung ke atas dan pada interval mana grafik fungsi f(x) cekung k bawah. Penyelesaian : f ( x ) = 1/3 x 3-2 x 2 + 3x + 6 f ( x ) = x 2-4 x + 3 f (x) = 2x - 4 dengan menggunakan turunan kedua dengan kecekungan fungsi, dapat ditentukan

81 f ( x ) > 0 berarti 2x - 4 > 02x > 4x > 2 f ( x ) <>berarti 2x - 4 <>2x <>x <> Jadi grafik fungsi f ( x ) = 1/3 x 3-2 x 2 + 3x + 6 cekung ke atas dalam interval x > 2 dan cekung ke bawah dalam interval x <> Contoh 3 : Cari nilai ekstrim lokal dari f(x) = x 2-8x + 6 pada (-, ). Penyelesaian : f (x) = x 2-12x + 6 = 2x - 12 = 2 (x- 6) f (x) = 0 dan 6 karena f (x) = 2 (x-6)<0 untuk x <6, f turun pada (-,6] karena 2 (x-6)>0 untuk x>3, f naik pada [6, ) karena itu, menurut uji turunan pertama, f(6) = = -32, adalah nilai minimum lokal. Contoh 4 : Cari ( jika mungkin ) nilai minimum dari f(x) = x 3-6 x 2 + 9x - 9 pada (-, ). Penyelesaian : f(x) = x 3-6 x 2 + 9x 9 f (x) = 3x 2-12 x+ 9 = x 2-4 x+ 3 = (x-3) (x-1) x = 3 U x = 1 titik kritis 1,3 f(1) = x 3-6x २ + 9x 6 = -2

82 f(3) = x 3-6 x २ + 9x 6 = २ = ७५ jadi f(1)= -2 adalah nilai miniumum lokal Contoh 5 : Sebuah bola dilemparkakan dalam arah vertikal ke atas. Tinggi bola h (dalam meter) setelah t detik di tentukan oleh h(t) = 60t 3t 2 (meter). Tentukan nilai h maksimum. Penyelesaian : h(t) = 60t 3t 2 h (t) = dh/dt = 60 3t h (t) = d 2 h / dt 2 = -3 syarat perlu ekstrim dh/dt = t = 0 t = 20 Berdasarkan turunan kedua, karena h (t) = d 2 h / dt 2 = -3 <>h mempunyai nilai maksimum. Nilai maksimum h adalah 2000 meter dicapai ketika t = 20. Contoh 5: Sebuah Proyek bangunan dapat diselesaikan dalam tempo x hari dengan biaya proyek per hari sama dengan (3x /x - 90) juta rupiah. Tentukan biaya total minimum. Penyelesaian : P(x) = x (3x /x - 90 ) P(x) = 3x 2-90x P (x) = 6x - 90 P (x)= 6 Syarat perlu ekstrim yaitu P (x) = 0 P (x) = 6x - 90 = 0 x = 15

83 Berdasarkan uji turunan kedua P (x) = 6 > 0 maka P(x) mencapai nilai minimum yaitu : P(15) = 3 (15) 2-90(15) = = 825 Jadi biaya total minimum adalah 825 juta rupiah yang harus diselesaikan dalam tempo x = 15 Contoh 6 : Buktikan bahwa lim 2x / 4x + x 2 = 0 x- Penyelesaian : = lim 2x / 4x + x 2 = 0 x- = lim 2x/x 2 : 4x/x 2 + x 2 / x 2 = 0 x- = lim 2/x : 4/x + 1 = 0 x- = 0 / 0+1 = 0 Terbukti Contoh 7 : Sketsakan Grafiknya? Penyelesaian : f(x) = 3x² 4x f'(x) = 3x² 4x f''(x) = 6x kita temukan titi stasioner -2 dan 2 karena f'(x)>0 pada (-,-2) U (2, ) sedangkan f'(x)<0>f(-2) = 0 dan f(2) = 0 sehingga tidak ada nilai maksimal maupun minimum.

84 BAB VIII Matematika / Integral Integral Tak Tentu dan Integral Tentu Pengertian Integral (Tak Tentu) Integral suatu fungsi dapat didefinisikan sebagai berikut. Invers (operasi kebalikan) dari turunan fungsi Limit dari jumlah (luas daerah) Integral sebagai invers dari turunan umumnya disebut integral tak tentu. Integral tak tentu dari sebuah fungsi dinotasikan sebagai berikut. f(x) dx (baca: integral f(x) terhadap x) Fungsi f(x) pada integral di atas disebut integran. Secara umum, definisi integral taktentu adalah sebagai berikut. Jika F'(x)=f(x) atau jika maka f(x) dx = F(x) + C Integral Taktentu Fungsi Aljabar alewoh.com Privacy Policy FAQ

85 Integral Tak tentu Fungsi Trigonometri Sifat Linear Integral Taktentu Persamaan Diferensial Sederhana Persamaan diferensial merupakan persamaan yang diketahui turunan fungsinya tapi belum diketahui persamaan aslinya. Sebagaimana persamaan lainnya, persamaan diferensial memerluk metode khusus untuk menyelesaikannya. Persamaan diferensial yang dibahas di sini adalah persamaan diferensial orde pertama dengan peubah terpisah. dapat ditulis menjadi dy=f(x)dx. Dengan mengintegralkan ruas kiri dan kanan, diperoleh bentuk berikut. dy= f(x) dx y= f(x) dx Integral Tentu Rumus luas daerah yang dibatasi oleh kurva f(x), x=a, x=b, dan sumbu-x adalah rumus yang mendasari integral tentu. Memang salah satu penggunaan integral tentu salah satunya adalah untuk mencari luas daerah di bawah kurva. Pada awal pembahasan integral tentu di halaman ini dijelaskan definisi integral tentu. Definisi tersebut perlu dipahami karena menjadi dasar bagi integral tentu. Untuk selanjutnya, penyelesaian integral tentu bisa menggunakan teorema dasar kalkulus. Kita tidak perlu repot-repot menyelesaikan suatu integral tentu menggunakan definisi integral tentu.

86 Definisi Integral Tentu Jika dari a ke b adalah sebagai berikut. ada maka fungsi f dapat diintegralkan pada selang a x b dan integral tent f(x) disebut integran, a disebut batas bawah, b disebut batas atas. Teorema Dasar Kalkulus Jika y=f(x) adalah fungsi yang kontinu pada selang a x b, dan F(x) adalah sembarang anti turun dari f(x) pada interval tersebut, maka berlaku bentuk berikut. Rumus di atas menunjukkan bahwa untuk menyelesaikan integral tentu adalah dengan mengintegralkan f(x) terlebih dahulu, kemudian substitusi batas atas integral dan hasilnya kuran dengan hasil substitusi batas bawah integral. Sifat-Sifat Integral Tentu Berikut ini adalah sifat-sifat dari integral tentu untuk membantu penyelesaian beberapa soal integral tentu. Sifat-sifat ini dapat dibuktikan dengan menggunakan definisi dari integral tentu. Pembuktiannya saya tinggalkan sebagai latihan.

87 Contoh soal dan pembahasan Tentukan fungsi y=f(x) apabila diketahui F'(x)=x 2-4 dan F(3)=5. Jawaban: Bentuk lain dari kalimat "F(a)=b" adalah "F(x) melalui titik (a,b)"

88

89 Memahami Macam-macam integral Tuesday, August 13th Integral advertisements Sebelumnya kita telah membahas Integral tentang rumus dasar integral sekarang kita akan membahas macammacam integral. Dan apakah anda telah tahu apa saja macam-macam dari integral, baiklah pasti sebagian dari anda telah tahu atau mungkin bahkan telah paham. Namun ada juga pasti yang belum mengerti, macam-macam integral itu adalah integral tertentu, integral tak tentu, integral fungsi trigonometri, integral parsial. Untuk lebih jelasnya marilah kita simak bersama penjelasannya dibawah ini. 1. Integral Tak Tentu Integral merupakan invers atau kebalikan dari turunan sehingga untuk menemukan rumus integral kita dapat berawal dari turunan. Turuna dari suatu fungsi y= f(x) adalah y =f'(x) atau dy/dx, dan notasi integral dari suatu fungsi y=f(x) adalah y dx= f(x) dx yang dibaca integral y terhadap x. Turunan dari suatu fungsi konstan yang biasa dilambangkan dengan c adalah 0 atau dapat kita katakan juga integral 0 adalah fungsi konstan. adversitemens Rumus-rumus integral tak tentu :