BAB V BILANGAN BULAT

Transkripsi

1 BAB V BILANGAN BULAT PENDAHULUAN Dalam bab ini akan dibicarakan sistem bilangan bulat, yang akan dimulai dengan memperluas sistem bilangan cacah dengan menggunakan sifat-sifat baru tanpa menghilangkan sifat-sifat sebelumnya. Akan terlihat bahwa sistem bilangan bulat mempunyai kelebihan jika dibandingkan dengan sistem bilangan cacah, misalnya untuk setiap bilangan bulat mempunyai invers penjumlahan, sehingga akan selalu mungkin melakukan operasi pengurangan. Tetapi operasi pembagian dalam sistem bilangan bulat hanya, mungkin dalam hal-hal khusus. Dalam kehidupan sehari-hari kita pernah menjumpai bilangan besar, misalnya Apakah bilangan tersebut habis dibagi oleh 10? Dibagi 5? dan Dibagi 2? Mengapa? Dalam bab ini juga akan dibahas beberapa aturan untuk menentukan apakah suatu bilangan bulat habis dibagi oleh suatu bilangan bulat positip. Di samping itu, akan dibicarakan bi1angan prima, komposit, faktor persekutuan terbesar, dan kelipatan persekutuan terkecil. A. Pengertian Bilangan Bulat Kita telah mengenal himpunan bilangan asli ialah : {1, 2, 3, 4,, k,...}. Sekarang perhatikan definisi berikut : Definisi : Jika k bilangan asli, maka -k didefinisikan sebagai bilangan yang tunggal sehingga k + -k = -k + k = 0. Dari definisi di atas, -3 adalah satu-satunya bilangan yang bila ditambah 3 menghasilkan 0, yang adalah satu-satunya bilangan yang bila ditambah 1000 menghasilkan 0. Secara urnum -k adalah satu-satunya bilangan yang bila ditambah k menghasilkan 0, untuk k adalah bilangan asli. Bilangan -k disebut invers penjmnlahan dari k, invers aditif dari k, lawan k, minus k, atau negative k. Selanjutnydibentuk himpunan yang merupakan gabungan dan {......,-k, - 4, -3, -2, -1 }, himpunan bilangan asli dan nol. Himpunan mi di.sebut himpunan bilangan bulat. Jadi himpunan bilangan bulat dapat ditulis sebagai {..., -4, -3, - 2, -1, 0, 1, 2, 3,... ). Himpunan bilangan asli sebagai bagian dan hiinpunan 87

2 bilangan bulat disebut himpunan bilangan bulat positif, ditulis {1, 2, 3,...} atau {+1, +2, +3 ). Sedangkan {..., -3, -2, -1) disebut himpunan bilangan bulat negatif. Jika bilangan asli dapat dipikirkan sebagai jarak berarah ke kanan pada garis bilangan, maka untuk bilangan bulat dapat dipikirkan sebagai jarak berarah ke kanan dan ke kiri, dimulai dari 0, yang kemudian mengukur segmen-segmen garis yang sama ke kanan diberi tanda 1, 2, 3, dan ke kiri diberi tanda -1, -2, -3,... seperti. gambar 3.1 berikut. Gambar 5.1 Ide invers penjumlahan, lawan dari atau negatif dari dapat diperluas untuk sembarang bilangan bulat, tidak hanya untuk bilangan asli. Telah diketahui bahwa negatif dari 3 adalah -3, maka negatif dan -3 adalah 3. Dapat ditulis -(-3) = 3. Jelasnya, akan diilustrasikan pada gambar 3.2 berikut. Gambar 5.2 Setujukah Anda bahwa -(-2) adalah 2? Apakah negatif dari -4? Apakah 4? Selanjutnya, apakah negatif dari 0? Menurut definisi, 0 + (-0) = (-0) + 0 = 0. Jika demikian negatif dari. 0 adalah 0 sendiri, bukan? Secara umum, negatif dari k adalah -k dan negatif dari -k adalah k. Dapat ditulis -(-k) = k, untuk k sebarang bilangan bulat. Ilustrasinya dapat dihihat pada gambar 5.3 berikut. Gambar

3 1. Sifat-sifat Bilangan Bulat dan Operasi pada Bilangan Bulat a. Sifat-sifat bilangan bulat. Untuk semua bilangan bulat p, q, dan r benlaku sifat-sifat : 1) Tertutup untuk operasi penjumlahan dan perkalian p + q adalah bilangan bulat yang tunggal p. q adalah bilangan bulat yang tunggal 2) Komutatif untuk operasi penjumlahan dan perkalian p + q = q + p p. q = q. p 3) Asosiatif untuk operasi penjumlahan dan perkalian (p + q) + r = p + (q + r) (p. q). r = p. (q. r) 4) Ada elemen invers penjumlahan yang tunggal Untuk setiap bilangan bulat r, ada bilangan bulat yang tunggal demikian sehingga r + (-r) = (-r) + r = 0 5) Ada elemen identitas penjumlahan yang tunggal Untuk setiap bilangan bulat p, ada bilangan bulat yang tunggal yaitu 0, demikian sehingga p + 0 = 0 + p = p 6) Ada elemen identitas perkalian yang tunggal Untuk setiap bilangan bulat q, ada bilangan bulat yang tunggal yaitu 1, demikian sehingga 1. q = q. 1 = q 7) Distributif perkalian terhadap penjumlahan a(b + c) = ab + ac (distributif kiri) (b + c)a = ba + ca (distributif kanan) 8) Perkalian dengan nol Jika p adalah bilangan bulat, maka 0. p = p. 0 = 0 Selanjutnya akan dibahas tentang sistem bilangan bulat (... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... } bersama dengan operasi biner penjumlahan (+) dan perkalian (.) berserta sifat-sifat bilangan bulat tersebut. b. Operasi Bilangan Bulat 1) Penjumlahan Bilangan Bulat 89

4 Contoh 1: Carilah Secara diagram panah penjumlahan dapat ditunjukkan pada garis bilangan berikut. Gambar 5.4 Contoh 2 Jumlahkan 5 + (-2) 5 + (-2) = 3 Gambar 5.5 Selanjutnya, jumlah 5 + (-2) dapat dicari dengan menggunakan sifat-sifat bilangan bulat sebagai berikut ; 5 + (-2) = (3 + 2) + (-2) Nama lain dari 5 = 3 + (2 + -2) Sifat asosiatif penjumlahan = Sifat invers penjumlahan = 3 Sifat identitas penjumlahan Jadi, 5 + (-2) = 3 Telah diketahui bahwa 5-2 = 3, maka 5 + (-2) = 5-2 = 3 Secara umum : Misalkan p dan q bilangan-bilangan cacah. Jika Jika p > q (p = q + r, r bilangan asili), maka p + (-q) = (q + r) + (-q) Nama lain dari p 90

5 = (r + q) + (-q) Sifat komutatif penjumlahan = r + (q + -q) Sifat asosiatif penjuinlahan = r + 0 Sifat invers penjuinlahan = r Sifat identitas penjumlahan = p q Sebab p = q + r Jadi, jika p > q, maka p + (-q) = p + q Contoh 3. Jumlahkan (-2) + 5 Penjumlahan bilangan bulat bersifat komutatif, oleh karena itu (-2) + 5 = 5 + (-2). Tetapi apakah kesamaan itu konsisten dengan sifat-sifat penjumlahan bilangan bulat? (-2) + 5 = (-2) + (2 + 3) Nama lain dan 5 = [(-2) + 2] + 3 Sifat asosiatif penjumlahan = Sifat myers penjumlahan = 3 Sifat identitas penjumlahan Jadi, (-2) + 5 = 5 + (-2) = 3 Contoh 4 : Jumlahkan [( )] + (3 + 2) [(-3) + (-2)] + (3 + 2) = ((-3) + (-2)) + (2 + 3) Sifat komutatif penjumlahan = (-3) + [((-2) + 2) + 3)] Sifat asosiatif penjumlahan = (-3) +(0 + 3) Sifat invers penjumlahan = (-3) + 3 Sifat identitas penjumlahan = 0 Sifat invers penjumlahan Jadi, [(-3) + (-2)] + (3 + 2) = 0 Ini berarti [(-3) + (-2)] invers penjumlahan dan (3 + 2). Ivers penjumlahan adalah tunggal, sehingga [(-3) + (-2) = - (3 + 2) = -5 =0 + 3 =3 Secara umum: Misalkan p dan q bilangan-bilangan cacah [(-p) + (-q)] + (p + q) = [(-p) + (-q)] + (q + p) Mengapa? = (-p) + [[(-q) + q] + p ] Mengapa? 91

6 = (-p) + (0 + p) Mengapa? = (-p) + p Mengapa? = 0 Mengapa? Jadi [(-p) + (-q)] + (p + q) = 0 Ini berarti [(-p) + (-q)] invers penjumlahan dari (p + q). Karena invers penjumlahan tunggal, maka (-p) + (-q) = -(p + q). Secara diagram panah (-3) + (-2) dapat dilihat pada garis bilangan berikut : Gambar 5.6 Contoh 5 : Jumlahkan (-5) + 3 dengan menggunakan sifat-sifat bilangan bulat. Dan contoh 4, (-5) = (-3) + (-2), maka (-5) + 3 = [(-3) + (-2)] + 3 Mengapa? = [(-2) + (-3)] + 3 Mengapa? = (-2) + [(-3) + (3)] Mengapa? = (-2) + 0 Mengapa? = (-2) Mengapa? Secara umum. Misalkan p dan q bilangan-bilangan cacah. Jika p > g, maka p = q+r atau p - q=r (-p) + q = -(q + r) + q Mengapa? = [(-q) + (-r)] + q Mengapa? = [(-r) + (-q)] + q Mengapa? = (-r) + [(-q) + q] Mengapa? = (-r) + 0 Mengapa? = (-r) Mengapa? = -(p - q) Mengapa? Jadi, (-p) + q = -(p - q), jika p > q 92

7 Secara diagram panah (-5) + 3 dapat dilihat pada garis bilangan berikut : Gambar 5.7 Definisi : Untuk p dan q bilangan cacah, penjumlahan bilangan bulat didefinisikan seperti berikut : i) p + q = n(p U Q), jika p = n(p), q = n(q), P Q = 0, P dan Q himpunan. ii) (-p) + (-q) = -(p + q) iii) p + (-q) = (-q) + p = p - q, jika p > q iv) (-p) + q = q + (-p) = -(p - q), jika p > q 2) Perkalian Bilangan Bulat Contoh 1: Carilah 4. 2 Jawab : 4.2 = = 8 Secara diagram panah terlihat pada garis bilangan gambar 5.8 berikut Gambar

8 Contoh 2: Carilah 4. (-2) Jawab: 4. (-2) = (-2) + (-2) + (-2) + (-2) = (-8) Secara diagram panah terlihat pada gáris bilangan gambar 3.9 berikut. Contoh 3: Gambar 5.9 Carilah [(-4.2)] + (4.2) dengan menggunakan sifat-sifat bilangan bulat. Jawab : [(-4).2] + (4.2) = [(-4) + 4].2 Mengapa? = 0.2 Mengapa? = 0 Mengapa? Jadi (-4).2 adalah invers penjumlahan dan 4.2 Karena invers penjumlahan tunggal, maka (-4).2 = -(4.2). Sekarang, tunjukkan bahwa 4.(-2) juga merupakan invers penjumlahan dan 4.2. Gunakan sifat-sifat bilangan bulat. Kerjakan sebagai latihan! Secara umum, dapat dibuktikan (-p).q = -(p.q) Bukti : Telah diketahui -(p.q) adalah invers penjumlahan dari pq. Dengan kata lain -(pq) + pq = 0. Karena invers penjumlahan bilangan bulat tunggal, maka untuk menunjukkan (-p).q = -(pq), cukup ditunjukkan, bahwa (-p).q adalah invers penjumlahan dari pq. Dengan kata lain harus ditunjukkan bahwa (-p).q + pq = 0. Sekarang (-p).q + pq = [(-p) + p]q Mengapa? Sehingga (-p).q = -(p.q) Contoh 4 : = 0.q Mengapa? = 0 Mengapa? Tunjukkan (-p).(-q) = p.q. Untuk p, q bilangan-bilangan bulat. 94

9 Jawab : Untuk menunjukkan (-p).(-q) = pq, cukup menunjukkan bahwa : [ -(p.-q) = -(pq) = 0. Mengapa? Cobalah dikerjakan sebagai latihan. Definisi : Untuk p dan q bilangan cacah, perkalian bilangan bulat didefinisikan seperti berikut : i) p.q = n(p x Q), di mana p = n(p) dan p = n(q), P dan Q himpunan ii) (-p). (-q) = p. q iii) (-p). q = p. (-q) = -(p. q) 3) Pengurangan Bilangan Bulat Definisi : Untuk p dan q bilangan bulat selisih atau pengurangan q dari p (ditulis p - q) adalah bilangan bulat r jika dan hanya jika p = q + r. Contoh 1 : 3 2 = 1, sebab 3 = Contoh 2 : 5-7 = -2, sebab 5 = 7 + (-2) Contoh 3 : (-4) - 5 = (-9), sebab (-4) = 5 + (-9). Contoh 4 : (-4) - (-5) = 1, sebab (-4) = (-5) + 1 Pengurangan bilangan bulat mempunyai. interpretasi sederhana pada garis bilangan. Pengurangan dipikirkan sebagai. invers penjumlahan contoh (1) sampai. (4) di atas jika diinterpretasikan pada garis bilangan berturut-turut akan terlihat sebagai berikut : Contoh 1: Gambar

10 Contoh 2: Gambar 5.11 Contoh 3 : Gambar 5.12 Contoh 4 : Gambar 5.13 Dengan definisi p - q = r jika dan hanya jika p = q + r, untuk p, q, r bilangan-bilangan bulat, dapat dibuktikan bahwa selalu ada bilangan bulat r yang tunggal demikian sehingga p - q = r, dan r dapat ditulis sebagai r = p + (-q). Untuk membuktikan hal tersebut, harus dibuktikan dua hal berikut : i) Buktikan p - q = p + (-q), untuk p dan q bilangan-bilangañ bulat, dan ii) Buktikan bahwa r tunggal 96

11 Bukti: p + (-q) = (q + r) + (-q) Mengapa? = (r + q) + (-q) Mengapa? = r + {q + (-q)} Mengapa? = r + 0 Mengapa? = r Mengapa? = p - q Mengapa? Selanjutnya bukti (ii) untuk yang berminat dapat mencoba sebagai latihan. 4) Pembagian Bilangan Bulat Definisi : Untuk p dan q bilangan bulat dan q 0, p : q adalah bilangan bulat r (jika r ada), demikian sehingga q.r = p (p : q = r jika dan hanya jika q. r p). Contoh 1 : 18 : 2 = 9, karena 2. 9 = 18 Contoh 2 : (-18) : 2 = (-9), karena 2(-9) = (-18) Contoh 3 : 18 : (-2) = (-9), karena (2). (-9) = 18 Contoh 4 : (-18) : (-2) = 9, karena (-2). 9 = (-18) Perhatikan bahwa dalam definisi di atas terdapat kata : Jika ada. Mengapa? Perhatikan 7 : 2. Adakah bilangan bulat r demikian sehingga 2.r = 7? Tidak ada, bukan. Jadi, himpunan bilangan bulat tidak tertutup terhadap operasi pembagian. Bilangan 0 memainkan peranan yan khusus dalam pembagian. Misalnya 0 : 5? 0 : (-7) =?, 0 (-100) =?. Jawabnya 0. Sebab 5. 0 = 0; (-7). 0 = 0; dan (-100). 0 = 0. Dalam hal ini, secara umum dapat dikemukakan bahwa 0 dibagi sebarang bilangan bulat bukan 0, menghasilkan 0. Sekarang mengapa p : 0 tidak didefinisikan untuk p sebarang bilangan bulat? Untuk p = 0, 0 : 0 dapat mempunyai hasil sebarang nilai; dengan kata lain tidak mempunyai jawaban tunggal. Selanjutnya untuk p 0, p : 0 tidak mungkin 97

12 ada hasil. Mengapa? Jadi, dalam pembagian oleh 0 didapatkan jawab yang tidak tunggal, atau tidak mungkin ada hasil. Oleh karena itu pembagian oleh 0 tidak didefisikan. 2. Urutan Bilangan Bulat Telah dipelajari bahwa ada korespondensi antara bilangan bulat dan titiktitik pada garis bilargan. Perlu diperhatikan bahwa letak titik-titik pada garis bilangan tersebut sudah merupakan urutan dari kiri ke kanan. Dari sini kita akan memikirkan suatu bilangan bulat kurang dan bilangan bulat lain jika letaknya pada garis bilangan di sebelah kiri dan letak bilangan bulat lain tersebut. Sebagai contoh : -5 < -2, -3 < 7, -l < 13, demikian pula 10-1, 7 > 3, dan seterusnya. Jadi urutan pada bilangan bulat adalah...< -3 < -2 < -l < 0 < l < 2 < 3 < 4 < 5 < Definisi : Untuk sebarang bilangan bulat p dan q, p < q (dibaca p kurang dari q) jika dan hanya jika ada bilangan bulat positip r sehingga p + r = q; p > q (dibaca p lebih dan q) jika dan hanya q < p atau ada bilangan bulat positip s sehingga q + s = p. Contoh 1: -5 < -2 karena ada bilangan bulat positif 3 sehingga (-5) + 3 = (-2) Contoh 2: -3 < 7 karena ada bilangan bulat positif 10 sehingga (-3) + 10 = 7. Sifat Trikotomi Bilangan Bulat Jika p dan q bilangan bulat, maka berlaku tepat satu dari tiga kemungkinan berikut : i) p < q ii) p = q iii) p > q Jadi tidak mungkin ada lebih dari satu kemungkinan di atas dapat benlaku bersama-sama 98

13 Teorema : Untuk a, b, c bilangan-bilangan bulat, berlaku : i) jika a = b, maka a + c = b + c ii) jika a < b, maka a + c < b + c Bukti : Untuk (i) buktikan sendiri sebagai latihan. Selanjutnya untuk (ii) buktinya sebagai berikut: Menurut definisi a < b jika dan hanya jika ada bilangan positip d sehingga a + d = b (a + d) + c = b + c Mengapa? c + (a + d) = b + c Mengapa? (c + a) + d = b + c Mengapa? (a + c) + d = b + c Mengapa? a + c < b + c Mengapa? Jadi, jika a < b maka a + c < b + c Teorema (Sifat kanselasi penjumlahan) Untuk a, b, dan c bilangan-bilangan bulat. i) ji ka a + c = b + c, maka a = b ii) jika a + c < b + c, maka a < b Coba buktikan sendiri sebagai latihan. Teorema. Untuk a, b, dan c bilangan-bilangan bulat. i) Jika a = b, maka ac = bc ii) Jika a < b dan c > 0, maka ac < bc iii) Jika a < b dan c < 0, maka ac > bc Bukti : Untuk (i) dan (iii) coba buktikan sendiri sebagai latihan. Selanjutnya untuk bukti (ii) sebagai berikut : Menurut definisi, a < b jika dan hanya jika ada bilangan bulat positif d sehingga a + d = b a < b, c > 0 Diketahui a + d = b Definisi 99

14 c(a + d) = cb Mengapa? ca + cd = cb Mengapa? ac + cd = bc Mengapa? cd bilangan bulat positif Mengapa? ac < bc Mengapa? Jadi, jika a < b dan c > 0 maka ac < bc. Teorema (Sifat Transitif Urutan Bilangan Bulat) Untuk a, b, dan c bilangan-bilangan bulat. Jika a < b dan b < c, maka a < c. Bukti : a < b dan b < c Menurut definisi, a < b jika dan hanya jika ada bilangan bulat positip d sehingga a + d = b; b < c jika dan hanya jika ada bilangan bulat positif e sehingga b + e = c. Kita punya : a + d = b (a + d) + e = b + e Mengapa? (a + d) + e = c Mengapa? a + (d + e) = c Mengapa? d + e bilangan bulat positif Mengapa? a < c Jadi, jika a < b dan b < c maka a < c. 3. Persamaan dan Pertidaksamaan Persamaan adalah kalimat terbuka yang menggunakan ungkapan sama dengan. Yang dimaksud kalimat terbuka adalah pernyataan yang mengandung variabel-variabel dan tidak dapat diklasifikasikan benar atau salah. Con toh : 3x - 7 = 14, 4x + 3 = 11 dan 5 + = 9 adalah kalimat-kalimat terbuka yang secara khusus disebut persamaan. Perhatikan dalam contoh di atas, x adalah variabel, suatu simbol yang mewakili sebarang anggota dan suatu himpunan yang ditentukan. Himpunan ini 100

15 disebut daerah asal. atau domain variabel. Umumnya, simbol yang dipilih untuk menyatakan variabel adalah salah satu huruf dalam abjad, misalnya p, q, r, s, a, b, d, c, x, y, atau z. Selanjutnya, kalimat terbuka dapat juga menggunakan ungkapan hubungan (tidak sama dengan), < (kurang dari), > (lebih dan), < (kurang atau sama dengan), atau > (lebih atau sama dengan). Kalimat terbuka itu disebut Pertidaksamaan. Contoh: x + 2 < 7, 3x < 12, - 2 > 5 adalah pertidaksamaan. Bila suatu bilangan digantikan pada variabel persamaan atau pertidaksamaan, maka bilangan itu disebut nilai. pengganti variabel. Jika suatu kalimat sudah tidak mengandung variabel maka pernyataan tersebut dapat diklasifikasikan benar atau salah. Selanjutnya, himpunan semua pengganti yang membuat kalimat terbuka menjadi pernyataan bernilai benar disebut himpunan penyelesaian. Contoh 1 : Carilah himpunan penyelesaian 3x + 7 = 13, ji.ka domain variabel adalah himpunan bilangan bulat Jawab : 3x + 7 = 13 Diketahui <=> (3x + 7) + (-7) = 13 + (-7) Mengapa? <=> 6x + {7 + (-7)) = 13 + (-7) Mengapa? <=> 3x + 0 = 6 Mengapa? <=> 3x = 6 Mengapa? <=> x = 2 Mengapa? Jadi himpunan penyelesaian 3x + 7 = 13 adalah {2}. Contoh 2 : Carilah himpunan penyelesaian 2x 7 < 1, jika domain variabel adalah himpunan bilangan bulat. Jawab : 2x - 7 < 1 Diketahui <=> (2x - 7) + 7 < Mengapa? <=> [2x + (-7)] + 7 < Mengapa? <=> 2x + [(-7) + 7] < 8 Mengapa? <=> 2x + 0 < 8 Mengapa? 101

16 <=> 2x < 8 Mengapa? <=> x < 4 Mengapa? Jadi himpunan penyelesaian dan 2x - 7 < 1 adalah {...., -2, -1, 0, 1, 2, 3} Contoh 3 : Carilah himpunan penyelesaian 3x + 5 < 8, domain variabel adalah {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} Jawab : 3x + 5 < 8 Diketahui <=> (3x + 5) + (-5) < 8 (-5) Mengapa? <=> 3x + [5 + (-5)] < 3 Mengapa? <=> 3x + 0 < 3 Mengapa? <=> 3x < 3 Mengapa? <=> x < 1 Mengapa? Perhatikan pada contoh ini. domain variabel ditentukan (-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4). Jadi himpunan penyelesaian 3x + 5 < 8 adalah (-4, -3, -2, -1, 0). Contoh 4 : Carilah himpunan penyelesaian dan 4x + 7 = x dan x + 8 < x, jika domain variabel adalah himpunan bilangan bulat. Perhatikan bahwa dalam contoh ini, tidak ada nilai di dalam domain sebagai pengganti variabel yang memenuhi persamaan 4x + 7 = x maupun pertidaksamaan x + 8 < x. Maka himpunan penyelesaian persamaan 4x + 7 = x adalah himpunan kosong, demikian pula himpunan penyelesaian pertidaksamaan x + 8 < x. Dalam hal demikian sering dikatakan bahwa persamaan atau pertidaksamaan tersebut tidak dapat diselesaikan. Contoh 5 : Jika domain variabel adalah himpunan bilangan bulat. Carilah himpunan penyelesaian dari : a) (x - 3) + (2x + 17) = 3x + 14 b) x - 2 < x Jawab : Ternyata himpunan penyelesaian dari persamaan di atas adalah himpunan bilangan bulat. Karena himpunan penyelesaiannya mengandung semua elemen dari domain, maka contoh 5 (a) disebut Persamaan identitas, sedang contoh 5(b) disebut pertidaksamaan Identitas. 102

17 Selanjutnya, contoh 1 disebut Persamaan bersyarat sedang contoh 2 dan 3 disebut Pertidaksamaan bersyarat. Persamaan atau pertidaksamaan bersyarat mempunyai himpunan penyelesaian berupa himpunan bagian murni dari domain variabel, dan bukan himpunan kosong. LATIHAN Kerjakan soal-soal berikut sebagai latihan! 1. Carilah invyers penjumlahan dan bilangan-bilangan bulat berikut : a) -9 b) -13 c) 8 d) -a 2. Carilah penjunilahan bilangan-bilangan bulat berikut, kemudian jelaskan jawabnya dengan menggunakan garis bilangan. a) (-3) + (-10) b) (7 + (-4)) + -7 c) d) (9 + (-2)) Selesaikan soal-soal berikut tanpa menggunakan definisi penjumlahan bilangan bulat, sebutkan alasannya untuk setiap langkah a) (-13) + (-4) b) 4 + (-3) c) (-7) Tunjukkan bahwa (-8) + (-3) = -(8 + 3), sebutkan alasannya untuk setiap langkah. 5. Jika diketahui - (p + q) = (-p) + (-q), a) Carilah (-7) + 3 dan tuliskan alasan-alasannya untuk setiap langkah. b) Tunjukkan bahwa 4 + (-6) adalah nama lain dan. (-2) dan tulis kan alasan-alasannya untuk setiap langkah. 6. Carilah hasil perkalian b{langan-bilangan bulat berikut : a) -5(-7) b) 6.(-4)(-3) c) 9[(-8).2] d) [(-3).(-2)]4 7. Buktikan tanpa menggunakan definisi perkalian bilangan bulat, bahwa untuk setiap p, q bilangan cacah berlaku : a) (-p).(-q) = pq b) p.(-q) = -(pq) c) (-p).q = -(pq) 103

18 8. a, b, dan c bilangan-bilangan bulat, buktikan : a) jika a = b maka a + c = b + c b) jika a + c = b + c maka a = b c) jika a + c < b + c maka a < b d) jika a = b maka ac = bc e) jika a < b dan c < 0 maka ac > bc 9. Misalkan A = {0, 1, 2, 3 ) B = {0, -1, -2, -3,.... } C = {...., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} Yang mana dan himpunan tersebut tertutup terhadap a) penjumlahan b) pengurangan c) perkalian d) pembagian. 10. Tentukan benar atau salah. (a) [50 (-10)] : 2 = 50 : [(-10) : 2)] (b) [18 + (-6)] : 3 = (18 : 3) + [(-6) : 3] (c) 32 : (4 + 4) = (32 : 4) + (32 : 4) (d) 6 + (3.5) = 6.(3 + 5). B. Konsep Habis Dibagi Jika 3 x 4 = 12, maka 12 : 3 4. Dikatakan 3 membagi 12, 12 habis dibagi 3, 12 kelipatan 3, 3 faktor 12. Definisi : Jika a suatu bilangan asli dan b suatu bilangan bulat, maka a membagi b (dinyatakan dengan a b) jika dan hanya jika ada sebuah bilangan bulat c demikian sehingga b = ac. Jika a membagi b, maka dapat dikatakan bahwa : a pembagi b a faktor b b kelipatan a b habis dibagi a 104

19 Untuk a b maka b : a adalah sebuah bilangan bulat. a b untuk menyatakan bahwa a tidak membagi b. Misalnya 2 7 karena tidak ada bilangan bulat x demikian sehingga 7 = 2x. Contoh 1 : 32 : 4 = 8 atau 32 = 4.8 Dengan demikian 4 membagi habis dibagi Contoh 2 : 3 21 (dibaca 3 membagi 21) karena 3.7 = 21 Dengan demikian 3 adalah faktor 21 dan 21 adalah kelipatan 3 Contoh 3 : 6-42 karena 6(-7) = -42. Sehingga 6 adalah faktor dari -42 dan -42 adalah kelipatan dari 6. Contoh 4: Nyatakan benar atau salah pernyataan-pernyataan berikut bila a adalah suatu bilangan asli. i) 1 a ii) a a iii) 7 0 iv) 019 Jawab: i) l a benar, karena a = l.a ii) a a benar, karena a = a.1 iii) 7 0 benar, karena 0 = 7.0 iv) 0 9 salah, karena tidak ada bilangan bulat x demikian hingga 9 = 0.x v) 0 0 salah, karena tidak ada bilangan bulat x yang tunggal demikian hingga 0 = x.0 Perhatikan bahwa dalam definisi membagi tidak termasuk pembagian oleh 0. Bandingkan dengan contoh 4 (iv) dan 4 (v). Contoh 5 : 3 15 karena 15 = 3.5 Demikian pula karena 390 = Selanjutnya, 390 = (3.5).26 = 3.(5.26) Jadi 390 = 3.130, dan Secara umum, jika x y dan y z maka x z. Contoh 6 : 3 21 dan karena 7 35, karena 21 = 7.3 dan 35 =

20 Selanjutnya, = (7.3) + (7.5) = 7(3 + 5) = 7.8 Jadi, 7 ( ). Secara umum, jika x y dan x z maka x (y + z) Contoh 7: Gunakan fakta 3 6 untuk menunjukkan 3 54 Jawab : Karena 3 6, maka 6 = 3.2 Untuk melihat bahwa 3 (6.9), tulis 6 sebagai = (3.2).9 = 3(2.9) Mengapa? = 3(18) Jadi, atau 3 54 Secara umum, jika x y atau x z maka x y.z 1. Sifat-sifat Habis Dibagi Misalkan x bliangan asli, y dan z bilangan-bilangan bulat, maka berlaku : (a) 1 y dan x x (b) Jika x y dan y z, dimana y 0, maka x z. sifat transitif (c) Jika x y dan x z, maka x (y + z) (d) Jika x y dan x z, maka x (y - z) (e) Jika x y dan x (y + z) atau x (y - z), maka x z (f) Jika x y dan x z, maka x yz. Bukti Sifat (a). Jelas bahwa 1 y karena menurut definisi, maka y = 1.y. Demikian juga x x karena menurut definisi, maka x = x.1 bulat. Bukti Sifat (b) Jika x y dan y z maka y = xk dan z = yt, untuk k dan t bilangan-bilangan Jika y = xk, maka yt = (xk).t Karena z = yt, maka diperoleh persamaan z = (xk)t. Oleh sifat asosiatif perkalian, diperoleh z = x(kt), dan kt adalah suatu bilangan bulat, karena sifat tertutup perkalian pada bilangan bulat. Jadi, jika x y dan y z, dimana y 0, maka x z. Sifat (c), (d), (e), (f) dibuktikan sendiri sebagai latihan. 106

21 (f). Contoh 1 : 1 5 dan 9 9, oleh sifat (a) Contoh 2 : 4 2 dan 12 36, maka 4 36, oleh sifat (b) Contoh 3 : 6 36 dan 6 42, maka 6 78 karena 78 = , oleh sifat (c). Sebaliknya 6 78 atau 6 (70+8), tetapi 6 70 dan 6 8 Jadi kebalikan sifat (c) adalah tidak benar. Contoh 4 : 7 28 dan 7 91, maka 7-63, karena -63 = 28-91, oleh sifat (d). Contoh 5 : 4 16 dan 4 60, maka 4 44, oleh sifat (e). Contoh 6 : 3 12 maka 3 12(20), meskipun 3 bukan pembagi 20, oleh sifat Sekarang, perhatikan bahwa sifat (c) dapat digeneralisasikan dalam jumlah sebarang bilangan bulat n yang terhingga. Jika a b 1, a b 2, a b 3,...., dan a b n, maka a (b 1 + b 2 + b b n ) Dengan cara yang sama, sifat (d) dapat digeneralisasikan dalam jumlah sebarang bilangan bulat n yang terhingga. Jika a b 1, a b 2, a b 3,... a b n dan jika a (b 1 + b 2 + b b n-1 +b n )maka a b n 2. Ciri-ciri Habis Dibagi Misalkan diminta untuk mengetahui apakah habis dibagi 7 atau cidak. Hal mi tentu saja dapat diketahui dengan melakukan pembagian : 7. Salah satu cara adalah melakukan pembagian panjang sebagai berikut :

22 Terlihat bahwa, cara demikian tidak praktis dan menghabiskan waktu. Berikut mi akan dikemukakan ciri-ciri suatu bilangan habis dibagi. oleh suatu bilangan sehingga dapat menjawab pertanyaan-pertanyaan semacam itu dengan cara yang lebih cepat. a) Ciri Habis Dibagi 2 Suatu bilangan habis dibagi 2 jika dan hanya jika bilangan satuannya genap (dapat dibagi 2). Contoh : Apakah 2 438? dapat ditulis sebagal : 438 = 4(10) + 3(10) + 8. Karena 2 (10) 2, dan 2 10 dan 2 8 maka oleh sifat (c) didapat Secara umum, sebarang bilangan bulat positif N dapat ditulis dalam bentuk : N = a k (10) k + a k-1 (l0) k a 2 (10) 2 + a 1 (10) 1 + a 0 (10) 0 + a Sekarang 2 10, 2 100, , dan secara umum 2 (10) k untuk sebarang bilangan asli 2 a maka : 2 (a k (10) k + a k-1 (10) k a 2 (10) 2 + a 1 (l0) 1 + a) b) Ciri Habis Dibagi 3 Suatu bilangan habis dibagi 3 jika dan hanya jika jumlah bilangan yang dinyatakan oleh angka pada lambang bilangan tersebut habis dibagi 3. Karena (10) k = 10 k, maka bentuk umum bilangan asli. N dapat dituhis sebagai berikut : N = a k (10 k - 1+1) + a k-l (10 k ) a 2 ( ) +a 1 ( ) + a 0 = a k (10 k - 1) + a k-l (10 k-1-1) +... a 2 (10 2-1) + a 1 (10-1) + (a k + a k a 3 + a 2 + a 1 + a 0 ). 108

23 Karena 3 (10-1), 3 (10 2-1), 3 (10 3-1) dan secara 3 (10 k 1), untuk k adalah sebarang bilangan asli, maka 3 N. jika dan hanya jika 3 (a k + a k-i a 2 + a 1 + a 0 ). Contoh : karena 3 ( ) atau c) Ciri Habis Dibagi 4. Suatu bilangan habis dibagi 4 jika dan hanya jika dua angka terakhir dari lambang bilangan tersebut merupakan bilangan yang habis dibagi 4. Jelas bahwa, untuk k > 2 maka 4 10 k, dan 10 k = 10 k Jadi, jika N = a k (10) k + a k-l (l0) k a 2 (10) 2 + a(10) + a dan 4 pembagi a 1 (10) + a, maka 4 N. Contoh : , karena d) Ciri Habis Dibagi 5 Suatu bilangan habis dibagi 5 jika hanya jika satuan dari bilangan tersebut 0 atau 5. Contoh : , demikian juga e) Ciri Habis dibagi 6 Suatu bilangan habis dibagi 6 jika dan hanya jika bilangan tersebut habis dibagi 2 dan 3. Karena 6 hasil kali 2 dan 3, maka bilangan yang habis dibagi 6 haruslah memenuhi habis dibagi 2 dan 3. Contoh : habis dibagi 6 karena 8 (angka terakhir) habis dibagi 2 dan =24 habis dibagi 3. f) Ciri Habis Dibagi 7 Suatu bilangan habis dibagi 7 jika dan hanya jika selisih antara bilangan yang dinyatakan oleh lambang bilangan mula-mula kecuali angka terakhir dengan dua kali bilangan angka terakhir tersebut habis dibagi 7. Contoh : (a) 7 91, karena 9-2 (1) = 7 109

24 dan 7 habis dibagi 7 (b) 7 196, karena 19-2(6) = 7 dan 7 habis dibagi,,7 (c) , karena (8) = (1) = (4) = 35 dan jelas bahwa 35 habis dibagi 7. g) Ciri Habis Dibagi 8 Suatu bilangan habis dibagi 8 jika dan hanya jika bilangan yang dinyatakan oleh tiga angka terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 8. Contoh : habis dibagi 8 karena Perhatikan bahwa ciri habis dibagi 8 di atas hanya berguna untuk bilangan yang lambangnya terdiri tiga átau lebih dari tiga angka. h) Ciri Habis Dibagi 9 Suatu bilangan habis dibagi 9 jika dan hanya jika jumlah bilangan yang dinyatakan oleh angka dari bilangan tersebut habis dibagi 9. Bentuk umum bilangan asli N dapat ditulis sebagai N = a k (10) k ) + a k-1 (l0 k ) a 2 (10) ) + a 1 ( ) + a = (a k + a k a 2 + a 1 +a 0 ). Jelas bahwa 9 (10-1), 9 (10 2-1), 9 (10 3-1) dan secara umum 9 (10 k - 1), untuk k adalah sebarang bilangan asli. Dengan demikian 9 N jika dan hanya jika 9 a k + a k a 2 + a 1 + a 0 ) Contoh: , karena atau i) Ciri Habis Dibagi 10 Suatu bilangan habis dibagi 10 jika dan hanya jika satuan bilangan tersebut 0. Contoh: Jelas bahwa

25 j) Ciri Habis dibagi 11 Suatu bilangan habis dibagi 11 jika dan hanya jika jumlah bilangan yang dinyatakan oleh angka yang terletak pada posisi ganjil dikurangi jumlah bilangan yang dinyatakan oleh angka yang terletak pada posisi genap habis dibagi 11. Ciri habis dibagi 11 di atas, dapat dibuktikan. Bagi yang berminat dapat mencobanya. Contoh: a) karena l1 ( ) - ( ) atau b) karena 11 ( ) - ( ) atau 11 0 LATIHAN Kerjakan soal-soal berikut sebagai latihan! 1. Tulis tiga bilangan bulat positif yang merupakan pembagi bilangan-bilangan berikut : a) 189 b) 528 c) 1134 d) Tanpa melakukan pembagian, ujilah setiap bilangan berikut, apakah habis dibagi 5?, 6?, 7?, 8?, 9? 11? a) b) c) d) e) f) Isilah setiap titik-titik berikut dengan angka terkecil yang membuat pernyataan benar. a) b) c) d) a) Tulis bilangan yang lambangnya terdiri dari sepuluh angka yang habis dibagi 4 dan 5. b) Tulis bilangan yang lambangnya terdiri dari tujuh angka yang habis dibagi 6 dan 7. c) Tulis bilangan yang lambangnya terdiri dari delapan angka yang habis dibagi 11 dan

26 d) Tulis bilangan yang lambangnya terdiri dari enam angka yang habis dibagi 8 dan Tanpa melakukan pembagian tentukan benar atau salah setiap pernyataan berikut : a) b) c) d) e) f) C. Bilangan Prima dan Komposit Kira-kira tahun 200 SM ahli matematika Yunani Eratosthenes membuat suatu prosedur untuk mengklasifikasikan bilangan bulat positip. Prosedur ini dinamakan Saringan Eratosthenes untuk 100 bilangan bulat positip pertama yang disusun dalam 10 kolom. Hal ini terlihat pada tabel 3.1. Mula-mula 1 dicoret. Kemudian dicoret semua bilangan genap kecuali 2. Selanjutnya dicoret semua bilangan yang habis dibagi. 3, kecuali 3; dicoret semua bilangan yang habis dibagi 5, kecuali 5 itu sendiri. Proses ini dilanjutkan untuk setiap bilangan sampai 100. Jika telah selesai, dilingkari bilangan yang tidak dicoret. Angka-angka yang dilingkari ini. menyatakan bilangan prima kurang dan 100. Tabel 5.1 Definisi : Bilangan bulat positip p, lebih besar dan 1 dinamakan bilangan prima jika dan hanya jika pembagi p hanya 1 dan p. 112

27 Dan tabel 5.1, perhatikan bahwa 2 adalah bilangan prima terkecil dan 2 adalah satu-satunya bilangan prima yang genap. Himpunan bilangan prima kurang atau sama dengan 100 adalah (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89,97). Tentu saja, masih banyak bilangan prima lain yang lebih besar dari 100. Berapa banyak bilangan prima yang ada? Apakah ada bilangan prima terbesar? Dapatkah Anda menemukan bilangan prima yang lebih besar dari 100? Lebih besar dan 1000? Lebih besar ? Kira-kira 300 SM Euclid telah membuktikan bahwa terdapat tak terhingga bilangan prima, dengan kata lain, himpunan bilangan prima adalah tak terhingga. Definisi : Suatu bilangan bulat positip dinamakan bilangan komposit jika bilangan itu mempunyai pembagi lain kecuali bilangan itu sendiri dan 1. Dalam Saringan Eratosthenes di atas, bilangan lain yang dicoret selain 1 adalah bilangan komposit. Himpunan sepuluh bilangan komposit pertama adalah (4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18). Tentu saja masih banyak bilangan-bilangan komposit yang lain. Perhatikan bahwa dari kedua definisi di atas ternyata bahwa 1 bukan termasuk bilangan prima maupun komposit. Demikian juga 0 bukan termasuk bilangan prima maupun komposit. Perhatikan bahwa bilangan prima hanya mempunyai dua pembagi, bilangan itu sendiri dan 1. Bilangan komposit mempunvai lebih dan dua pembagi. Untuk menguji apakah N suatu bilangan prima, dapat diselidiki dengan membaginya oleh semua bilangan prima yang lebih kecil dan N. Misalnya untuk menentukan apakah 97 prima, dapat diuji dengan membagi 97 oleh 2, 3, 5, 7, 89. Tentu saja cara ini tidak praktis. Ada cara lain, yakni dengan cukup menguji membagi 97 dengan semua kemungkinan pembagi prima kurang dan suatu bilangan yang kuadratnya lebih besar dan 97. Dengan demikian untuk menentukan apakah 97 bilangan prima, cukup menguji dengan membagi 97 dengan semua bilangan prima kurang dari 10 sebab 10 2 > 93. Semua bilangan prima tersebut ialah 2, 3, 5, 7; semuanya bukan pembagi 97. Jadi bilangan prima. 113

28 Secara umum, setiap bilangan komposit kurang dan p 2 mempunyai sekurang-kurangnya satu pembagi prima yang lebih kecil dari p, untuk p sebarang bilangan prima. Setiap bilangan bulat positip lebih besar dan 1 adalah bilangan prima atau bilangan komposit. Dengan demikian himpunan bilangan bulat positip diklasifikasikan ke dalam dua himpunan yang saling asing, yaitu {1}, himpunan bilangan prima, dan himpunan bilangan komposit. 1. Sifat-sifat Habis Dibagi dan Bilangan Prima Untuk sebarang bilangan bulat positip a,b, dan bilangan prima p a. Jika p ab dan p a maka p b b. Jika p ab, maka p a atau p b c. Misalkan p dan p 1, p 2,..., p n prima Jika p p 1, p 2,...., p n, maka p adalah sama dengan salah satu dari p i di mana i = 1, 2, 3,..., n. Contoh 1 : 7 112, karena 112 dapat ditulis 8.14, dan 7 8 maka Contoh 2 : , maka atau Contoh 3: Pikirkan 6006 sebagai hasil kali bilangan prima. Jadi 11 harus sama dengan salah satu dari bilangan prima dalam perkalian ini = Pemfaktoran Prima Bilangan komposit dapat ditulis sebagai hasil kali semua pembaginya yang prima. Ada dua metode yang umum digunakan untuk menemukan semua faktor prima bilangan komposit. Metode pertama adalah dengan melakukan pembagian berulang dimulai dengan bilangan prima terkecil 2, dan diteruskan sampai semua faktor prima yang diperoleh terakhir. Contoh : Carilah faktor prima dan = = = =

29 180 = Metode kedua adalah melakukan pemfaktoran bilangan ke dalam sebaran dua faktor yang dikenal, dan kemudian memfaktorkan faktorfaktor tersebut : 180 = (15)(12) (5.3)(4.3) = (5.3)(2.2.3) = Selain kedua metode tersebut, ada cara lain yakni dengan menggunakan pohon faktor. Lihat gambar Contoh: Gambar Teorema Dasar Aritmetika Setiap bilangan komposit dapat difaktorkan secara tunggal ke dalam suatu hasil kali bilangan-bilangan prima. Teorema ini menetapkan bahwa jika x sembarang bilangan komposit, maka x dapat ditulis = p 1, p 2, p 3,..., p n puntuk setiap p 1 adalah prima. Faktorisasi yang tunggal tidak memperhatikan urutan perkalian. Misalnya 42 dapat ditulis sebagai atau sebagai Contoh : Proses pemfaktoran prima untuk bilangan 450 dengan dua cara, ditunjukkan dalam gambar Dalam dua hal tersebut, 450 = Gambar

30 Menurut sejarah matematika, usaha untuk menemukan Ketakterhinggaan bilangan prima, adalah tidak mudah. Selama berabad-abad, banyak matematikawan mencoba menemukan rumus bilangan prima, tetapi tidak berhasil Misalnya rumusan yang dibuat oleh Pierre de Fermat sekitar tahun 1640, yaitu 2 n2 + 1 untuk n bilangan asli. Ternyata untuk n = 5 tidak menghasilkan bilangan prima, yaitu = dan Selanjutnya ada yang menemukan bahwa bilangan prima dapat dirumuskan sebagai n 2 - n + 41, untuk n bilangan asli. Ternyata untuk n = 41 tidak menghasilkan bilangan prima, karena = 1681 dan Universitas Illionis dalam tahun 1963 menemukan bilangan prima Dr. Bryant Tuckerman dengan komputer IBM dalam tahun 1971 menemukan bilangan prima Dalam tahun 1978 dua siswa sekolah lanjutan Laura Nickel dan Curt Noll menemukan bilangan prima (lambang bilangan terdiri dari 6533 angka). Pada tahun 1979 Curt Noll membuktikan bahwa ) bilangan prima. Dalam tahun 1979 juga ditemukan bilangan prima - 1 (lambang bilangan terdiri dan angka) oleh Harry L. Nelson dan David Slowinski. Bilangan prima tersebut diketahui sebagai bilangan prima terbesar pada saat itu meskipun oleh Euclides sudah dibuktikan tidak ada bilangan prima terbesar. LATIHAN Kerjakan soal-soal berikut sebagai latihan! 1. Apakah bilangan-bilangan berikut merupakan bilangan prima? a) 73 b) 97 c) 137 d) Tulislah semua pembagi prima bilangan-bilangan berikut. a) 646 b) c) 9072 d) Gunakan Saringan Eratosthenes untuk menemukan semua bilangan prima kurang dan

31 4. Misalkan A himpunan bilangan prima kurang dan 50 dan B himpunan bilangan bulat positip ganjil kurang dan 50. Sebutkan semua anggota : a) A B b) A U B 5. Nyatakan setiap bilangan berikut sebagai (i) perkalian dua bilangan yang sama (ii) perkalian sebuah bilangan prima dan sebuah bilangan komposit. (iii) perkalian dan dua bilangan komposit. a) 5 b) 196 c) 441 D. Faktor Persekutuan Terbesar dan Keipatan Persekutuan Terkecil 1. Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) Jika bilangan bulat positip r merupakan pembagi bilangan bulat positip p dan q, maka r disebut pembagi persekutuan p dan q atau faktor persekutuan p dan q. Selanjutnya di antara faktor persekutuan dua bilangan bulat terdapat yang terbesar, disebut faktor persekutuan terbesar. Misalkan P adalah himpunan pembagi 24, maka P = {1, 2, 3, 4, 6, 12}. Q adalah himpunan pembagi 56, maka Q = {1, 2, 4, 7, 8, 14, 28} Jadi P Q = {1, 2, 4, 8} adalah himpunan faktor persekutuan 24 dan 56. Jelas bahwa 8 adalah anggota terbesar dan P Q. Jadi 8 merupakan faktor persekutuan terbesar 24 dan 56. Definisi : Faktor persekutuan terbesar (disingkat FPB) dari dua bilangan bulat positif, p dan q, adalah bilangan bulat positip terbesar r demikian sehingga r p dan r q. Dari definisi di atas, jelas bahwa FPB dari dua bilangan bulat positif adalah bilangan bulat terbesar yang membagi keduanya. Hal ini dinotasikan sebagam berikut r = FPB (p q) Masalah menemukan faktor persekutuan terbesar dua bilangan bulat positip adalah sangat sederhana jika bilangannya kecil. Hal ini dapat dilakukan sebagai benikut. Tulis bilangan bilangan tersebut sebagai perkalian bilangan prima, dan hasil perkalian bilangan prima yang merupakan faktor persekutuan kedua bilangan tersebut adalah FPB-nya. 117

32 Contoh 1: Carilah FPB 60 dan 90. Jawab: Karena 60 = , dan 90 = , 3, dan 5 adalah faktor prima sekutu 60 dan 90. Jadi FPB (60, 90) = = 30 Contoh 2 : Carilah FPB 252 dan 270 Jawab: 252 = = dan 3 adalah faktor sekutu 252 dan 270. Jadi FPB (252, 270) = = 18 FPB tiga bilangan p, q, dan r dapat dicari dengan menemukan FPB bilangan p dan q lebih dahulu; FPB (p,q) k. Maka FPB (p,q,r) = FPB (k,r). Atau dapat juga dengan menemukan FPB (p,q) k dan FPB (q,r) = f, maka FPB (p,q,r) = FPB (k,f). Hal ini dapat diperluas untuk menemukan FPB empat bilangan atau lebih. Contoh 1: Carilah FPB bilangan 108, 72, dan 66 Jawab: FPB (108, 72) = = 12. Maka FPB (108, 72, 66) = FPB (12, 66) = 6 Atau FPB (108, 72) = 12 dan FPB (72, 66) = 6. Maka FPB (108, 72, 66) = FPB (12, 6) = 6 Contoh 2 : Carilah FPB bilangan 24, 28, 32, dan 48 Jawab: FPB (24, 28) = 4 FPB (24, 28, 32) = FPB (4, 32) = 4 118

33 FPB (24, 28, 32, 48) = FPB(4, 48) = 4 Atau FPB (24, 28) = 22 = 4 FPB (32, 48) = 16 FPB(24, 28, 32, 48) = FPB(4, 16),= 4 Dapatkah dicari dengan cara lain? Proses menuliskan bilangan sebagai perkalian bilangan prima untuk menemukan FPB dua bilangan dapat digunakan untuk mencari FPB tiga bilangan atau lebih. Dari contoh 1 di atas, 108 = = = Jadi FPB(108, 72, 66) = 2. 3 = 6 Selanjutnya dari contoh 2 didapat : 24 = = = = Jadi FPB (24, 28, 32, 48) = 2 2 = 4 Dengan cara seperti di atas tidak praktis jika bilangan yang akan dicari FPB bilangan yang besar. Dalam hal demikian diperlukan metode yang lebih praktis untuk menemukan FPB-nya. Metode ini mendasarkan pada Algoritma Pembagian dengan berulang. Menurut Algoritma Pembagian, bilangan bulat positip a dan b, a > b selalu dapat ditulis sebagai : a = bq + r dengan q bulat positip, r hilangan cacah, dan 0 < r < b. Contoh 1 : Carilah FPB (315, 220) Jawab : Menurut Algoritma Pembagian : 315 = dan 0 < 95 <

34 Telah dipelajari bahwa sebarang bilangan pembagi 315 dan 220, tentu juga pembagi 95. Jadi, jika FPB (315, 220) = d, tentu d juga pembagi 95. Jelas bahwa d faktor persekutuan 220 dan 95, dan d adalah FPB (220, 95). Jadi, FPB (315, 220) = FPB (220, 95). Persoalan di atas dapat disederhanakan lebih lanjut dengan menggunakan algoritma pembagian. 220 = , dan 0 < 30 < 95. Dengan menggunakan alasan yang sama, FPB (220, 95) = FPB (95, 30). Sehingga FPB (315, 220) = FPB (95, 30). Selanjutnya, 95 = , FPB(95, 30) = FPB(30, 5) Akhirnya, 30 = 6.5 Pernyataan ini menunjukkan FPB (30, 5) = 5 Jadi FPB(315, 220) = 5 Contoh 2 : Carilah FPB(7286, 1684) Jawab: 7286 = , FPB(7286, 1684) = FPB(1684, 550) 1684 = , FPB(1684, 550) = FPB(550, 34) 550 = , FPB(550, 34) = FPB(34, 6) 34 = , FPB(36, 6) = FPB(6,4) 6 = , FPB(6, 4) = FPB(4, 2) 4 = 2.2, FPB(4, 2) = 2 Sehingga FPB(7286, 1684) = FPB(4, 2) Jadi FPB (7286, 1684) = 2. Metode menemukan pembagi persekutuan terbesar dengan menggunakan Algoritma Pembagian tersebut dikenal sebagai Algoritma Euclides. Jadi, menurut Algoritma Euclides, jika a dan b bilangan-bilangan bulat positip dengan a > b, dan r adalah sisa jika b dibagi oleh a, maka : FPB (a, b) = FPB (b, r). 120

35 Definisi : Jika faktor persekutuan terbesar dua bilangan bulat positip p dan q adalah 1, maka p dan q disebut relative prima. Contoh 1 : 3 dan 5 adalah relatif prima karena FPB(3, 5) = 1 Contoh 2 : 31 dan 120 adalah relatif prima karena FPB(31, 120) = 1. Contoh 3 : 9 dan 132 bukan relatif prima karena FPB(9, 132) = 3. Perhatikan bahwa semua bilangan bulat positip kurang dari bilangan prima p adalah relatif prima terhadap p. Misalkan setiap bilangan 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 adalah relatif prima terhadap bilangan prima Kelipatan Persekutuan terkecil Telah dipelajari bahwa jika r p maka p dikatakan kelipatan r. Himpunan kelipatan positif 7 adalah {7, 14, 28, 35,...}. Himpunan kelipatan 3 adalah {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21,.., 3k,.... } Selanjutnya himpunan kelipatan persekutuan dan 7 dan 3 didapat dari irisan kedua himpunan tersebut yaitu {21, 42, 63, 84,...). Di. antara persekutuan tersebut terdapat anggota yang terkecil disebut kelipatan persekutuan terkecil. Jadi 21 adalah kelipatan persekutuan terkecil 7 dan 3. Definisi : Bilangan bulat positip m adalah kelipatan persekutuan terkecil (disingkat KPK) dua bilangan bulat positip p dan q jika dan hanya jika m adalah bilangan bulat positip terkecil yang dapat dibagi oleh p dan q. Dan definisi di atas, jelas bahwa kelipatan persekutuan terkecil dua bilangan bulat adalah bilangan bulat positip yang habis dibagi kedua bilangan tersebut. Hal ini ditulis : m = KPK (p. q) Contoh 1 : KPK (5, 4) = 20 Contoh 2 : KPK (7, 6) = 42 Contoh 3 : KPK (15, 12) = 60. Proses untuk menemukan KPK dengan cara menemukan himpunan kelipatan persekutuan dan kemudian memilih yang terkecil adalah suatu proses yang tidak praktis, maka perlu dicari metode lain. Metode berikut adalah metode yang menggunakan pemfaktoran bilangan prima. 121

36 Contoh 1 : Carilah KPK (15, 24) Jawab : 15 = 3.5 dan 24=2 3.3 Jika masing-masing faktor prima mempunyai sifat membagi KPK, maka KPK 15 dan 24 harus mengandung 2 3, 3, dan 5. Jadi KPK (15, 24) = = 120. Secara umum, KPK dua bilangan bulat positip adalah hasil kali perpangkatan tertinggi dari semua faktor prima yang terjadi dalam pemfaktoran masing-masing bilangan. Contoh 2 : Carilah KPK (75, 60) Jawab : 75 = dan 60 = Jadi KPK (75, 60) = = 300 Metode lain untuk menemukan KPK pasangan bilangan bulat positip adalah mencari lebih dahulu FPB pasangan bilangan tersebut, kemudian membagi, hasil kali kedua bilangan dengan FPB-nya. Dengan singkat : Dapatkah Anda membuktikan bahwa rumus tersebut benar? Misalkan FPB(p,q) = r, maka p = rx dan q = ry, dengan FPB (x, y) = 1. Jelas bahwa FPB(x, y) = 1, sebab jika ada bilangan lain pembagi x dan y maka r bukan FPB bilangan p dan q. Karena y.p = y. (rx) = y. (xr) = (rx)y = (xr)y dan xq = x(ry) = xry, maka xry adalah kelipatan p dan q. Akan ditunjukkan bahwa xry adalah kelipatan persekutuan terkecil p dan q. Kelipatan persekutuan p dan q dapat ditulis sebagai kp. Jadi q kp karena kp kelipatan persekutuan. Selanjutnya ry krx dan y kx. Mengapa? Telah diketahui y kx, berarti y harus membagi k, karena FPB (x, y) = 1. Sehingga xry membagi sebarang kelipatan p dan q yaitu kp sebab xr = p dan y k. Jadi xry adalah kelipatan persekutuan terkecil p dan q. Misalkan xry = m. Dengan demikian pq = (rx)(ry) = r(xry) = r m. 122

37 Jadi terbukti bahwa m = atau Dalam banyak hal, rumus di atas adalah merupakan cara termudah untuk mendapatkan KPK, khususnya jika bilangan besar. Contoh 1 : = 9052 KPK tiga atau lebih bilangan bulat positip dapat ditemukan dengan terlebih dahulu mencari KPK dari bilangan-bilangan itu; sepasang demi sepasang. Misalkan akan dicari KPK dan p, q, r, s, maka dicari dulu KPK bilangan p dan q misalkan terdapat m 1, kemudian dicari KPK bilangan r dan s misalkan terdapat m 2. Maka KPK (p,q,r,s) = KPK(m 1, m 2 ). Contoh 2 : Carilah KPK dan 42, 96, 104, 18 Jawab : KPK (42, 96) = 672 dan KPK (104, 18) = 936 KPK (42, 96, 104, 18) = KPK (672, 936) = Apa yang terjadi jika dikelompokkan dengan pasangan lain? Cobalah dikerjakan sebagai latihan. KPK beberapa bilangan bulat positip, jika dicari melalui proses pembgian bilangan-bilangan prima seringkali memberikan proses menghitung yang lebih cepat. Contoh 3 : Carilah KPK bilangan 24 dan 60. Jawab : Bagilah 24 dan 60 dengan 2, diperoleh 12 dan 30. Bagilah 12 dan 30 dengan 2, diperoleh 6 dan 15 Bagilah 6 dan 15 dengan 3, diperoleh 2 dan

38 Karena 2 dan 5 relatif prima, proses selesai. Jika urutan pembagian diubah, yaitu dibagi 2,2,2, dan 3 didapat sebagai berikut : Perhatikan, bahwa pada bans ketiga proses di atas, 2 bukan pembagi 15. karena itu 15 ditulis lagi pada baris keempat. Perlu dicatat bahwa proses pembagian diteruskan sampai baris jawaban mengandung bilangan 1 dan bilangan lain yang prima atau mengandung bilangan-bilangan yang relatif prima. Contoh 4 : Carilah KPK (42, 54, 81, 35) Jawab : Jadi KPK (42, 54, 81, 35) = =

39 LATIHAN Kerjakan soal-soal berikut sebagai latihan! 1. Carilah FPB dan KPK bilangan-bilangan berikut. a. 42 dan 90 b. 252 dan 72 c. 224, 228, dan 920 d. 65, 33, dan 195 e. 42, 96, 102, dan 18 f. 60, 39, 65, 21, dan Gunakan Algoritma Euclides untuk menemukan FPB bilangan-bilangan berikut. a dan 7592 b dan Misalkan p = a 2 b 3 c 4 Untuk a, b, dan c adalah bilangan-bilangan prima berbeda. a. Nyatakan FPB (p,q) sebagai hash kali bilangan-bilangan prima. b. Nyatakan KPK (p,q) sebagai hasil kali bilangan-bilangan prima. 4. Carilah KPK bilangan-bilangan berikut dengan tiga cara yang berbeda. a dan 1960 b. 72 dan