BAB II TAUTOLOGI DAN PRINSIP-PRINSIP PEMBUKTIAN
|
|
- Ari Budiaman
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 BAB II TAUTOLOGI DAN PRINSIP-PRINSIP PEMBUKTIAN 2.1 Pendahuluan Pada bab ini akan dibicarakan rumus-rumus tautologi dan prinsip-prinsip pembuktian yang tidak saja digunakan di bidang matematika, tetapi juga dapat diterapkan dalam bidang lain, khususnya untuk mempertajam daya nalar. Topik tersebut meliputi konvers, invers, kontrapoisi dan ingkaran kalimat, pengertian tautologi dan kontradiksi beserta rumus-rumus dan pembuktiannya, serta penggunaan tautologi sebagai salah satu alat bukti yang sahih dan sangat penting di bidang matematika. Metode pembuktin tersebut terdiri atas bukti langsung dan bukti tak langsung. Sebagai bahasa matematika dan alat analisa masalah, topik ini sangat bermanfaat untuk berlatih dan mengasah cara berfikir yang logis dan sistematis, sehingga mahasiswa memiliki ketajaman analisa, kemampuan beradaptasi yang tinggi, serta daya sintesa yang baik dalam bidang matematika, maupun kehidupan sehari-hari. Tautologi dan metode pembuktian yang dibahas akan selalu digunakan dalam seluruh topik matematika pada jenjang-jenjang berikutnya. Untuk itu setelah selesai mempelajari topik bahasan pada pertemuan minggu ke-4 dan 5 ini diharapkan mahasiswa mempunyai learning Outcomes berupa: 1. Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian ingkaran kalimat, konvers, invers dan kontraposisi. 2. Mahasiswa dapat menyusun ingkaran kalimat, konvers, invers dan kontraposisi. 3. Mahasiswa dapat menerapkan ingkaran kalimat, konvers, invers dan kontraposisi. 4. Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian, menyebutkan rumus-rumus 5. Mahasiswa dapat menentukan kebenaran suatu pernyataan menggunakan rumus-rumus tautologi dan kontradiksi. 6. Mahasiswa dapat membuktikan kebenaran pernyataan menggunakan bukti langsung atau bukti tak langsung (kemustahilan)
2 2.2 Tautologi Di dalam logika kalimat semesta pembicaraannya adalah himpunan fakta-fakta (peristiwa, situasi) yang merupakan unsur-unsur di luar bahasa. Agar kita dapat membicarakan suatu peristiwa (fakta) tertentu dari semestanya kita memerlukan suatu lambang. Lambang ini disebut kalimat konstan/konstanta yang ditulis dengan A, B dan sebagainya. Contoh Jika Tono mahasiswa dengan IPK 3,5 mempunyai simbol A dan Tono berasal dari luar Jawa mempunyai simbol B, maka kalimat 1. Tono mahasiswa dengan IPK 3,5 dan berasal dari luar Jawa mempunyai simbol A B. 2. Jika Tono berasal dari luar kota, maka Tono mahasiswa dengan IPK 3,5 mempunyai simbol B A Dalam hal ini simbol A, B, A B dan B A merupakan konstanta kalimat atau kalimat konstan. Definisi Simbol yang melambangkan sebarang fakta (peristiwa) disebut variabel kalimat, yang ditulis dengan p, q, r dan sebagainya. Contoh Misalkan diberikan bentuk-bentuk 1. p q 2. (p r) q Masing-masing rangkaian tanda merupakan bentuk kalimat (statement form); dan jika variabel p, q dan r diganti dengan kalimat-kalimat konstan akan berubah menjadi suatu pernyataan. Sebagai contoh pada kalimat ke-1, 1. Jika p disubstitusi dengan kalimat Kuadrat bilangan real selalu non negatif q disubstitusi dengan kalimat Ada bilangan asli yang lebih kecil daripada 1 Maka diperoleh pernyataan: Kuadrat bilangan real selalu non negatif dan ada bilangan asli yang lebih kecil daripada 1, yang bernilai salah.
3 2. Jika p disubtitusi dengan kalimat Kuadrat bilangan real selalu non negatif q disubstitusi dengan kalimat Tidak ada bilangan asli yang lebih kecil daripada 1 Maka diperoleh pernyataan: Kuadrat bilangan real selalu non negatif dan tidak ada bilangan asli yang lebih kecil daripada 1, yang bernilai benar. Definisi Bentuk-bentuk yang memuat variabel kalimat dan yang menyajikan hukum-hukum logika kalimat disebut tautologi. Di dalam tautologi setiap penggantian dari semua variabel di dalamnya dengan konstanta-konstanta kalimat akan menghasilkan suatu pernyataan yang bernilai benar. Tentu saja dalam suatu penggantian, untuk masing-masing variabel (simbol) yang sama harus digantikan dengan konstanta kalimat yang sama. Untuk melihat apakah suatu bentuk kalimat merupakan suatu tautologi atau bukan dapat dilakukan dengan membuat tabel nilai kebenaran dari bentuk tersebut dengan mendaftar semua kemungkinan (kombinasi p dan q ) dari setiap nilai kebenaran variabelnya. Contoh Diberikan bentuk-bentuk 1. p p 2. (p q) ( p q). Pada bentuk ke-1, apapun kalimat konstan yang menggantikan p akan menghasilkan pernyataan yang bernilai benar p p p p T F T F T T Demikian juga pada kalimat ke-2. Hal ini dapat dilihat pada halaman... Bentuk-bentuk kalimat yang memuat variabel kalimat yang selalu bernilai salah untuk setiap penggantian variabel kalimat dengan kontanta kalimat disebut kontradiksi. Sebagai contoh bentuk p p, selalu bernilai salah untuk p apapun sesuai tabel
4 p p p p T F F F T F Ingkaran dari tautologi akan merupakan kontradiksi, sebab tautologi selalu bernilai benar untuk setiap penggantian variabel kalimatnya, sehingga ingkarannya akan selalu bernilai salah. Selanjutnya, untuk membuktikan suatu bentuk kalimat merupakan tautologi selain menggunakan tabel kebenaran dapat juga dilakukan dari luar tabel dengan mengamati hasil dari tabel. Sebagai contoh akan dibuktikan 1. p = (p q), dan 2. (p = (q = r)) (q = (p = r)) Penyelesaian: 1. Bentuk ini merupakan implikasi, sehingga akan bernilai benar jika anteseden bernilai salah atau konsekuen benar. Satu-satunya kemungkinkan yang dapat membuat kalimat bernilai salah adalah anteseden yaitu p bernilai benar. Tetapi jika p bernilai benar, maka sesuai nilai kebenaran dari disjungsi, bentuk p q pasti bernilai benar apapun q. Akibatnya p = (p q) juga bernilai benar. 2. Bentuk kalimat ini merupakan biimplikasi, sehingga akan bernilai salah hanya jika keduanya mempunyai nilai kebenaran yang berbeda. Karena p dan q merupakan variabel kalimat, maka hanya cukup dibuktikan salah satu sisi saja. Misalkan sisi sebelah kiri bernilai benar, maka p bernilai salah atau q = r bernilai benar. Jika p bernilai salah, maka apapun r, implikasi p = r pasti bernilai benar, sehingga pasti bernilai benar. q = (p = r)) Sedangkan jika q = r bernilai benar, maka q bernilai salah atau r bernilai benar, sehingga bentuk pasti bernilai benar. q = (p = r))
5 Latihan Tunjukkan dengan tabel kebenaran bentuk-bentuk kalimat berikut ini apakah merupakan kalimat terbuka, tautologi atau kalimat yang selalu bernilai salah: 1.1 p F 1.4 p q q 1.2 p = p 1.5 q q 1.3 p p q 1.6 (q p) q 2. Tanpa menggunakan pengisian tabel buktikan, bahwa bentuk-bentuk berikut merupakan tautologi. 2.1 (p q) = ((p r) (q r)) 2.2 (p q) ((p = q) (q = p)) 2.3 (p q) (( p q) ( q p)) 2.4 ((p = q) = (q r = r p) 2.3 Rumus-rumus tautologi Berikut ini diberikan rumus-rumus tautologi. Semua rumus dapat dibuktikan dengan menggunakan metode tabel nilai. Rumus 2.1 (Komutatif) 1. p q q p 2. p q q p Bukti: Rumus 2.2 (Distributif) p q p q q p T T T T T F F F F T F F F F F F 1. p (q r) (p q) (p r) 2. p (q r) (p q) (p r) Bukti: Untuk 1. p q r q r p (q r) (p q) (p r) p q p r T T T T T T T T T T F T T T T T T F T T T T T T T F F T T T T T F T T T T T T T F T F F F F T F F F F F F F F F
6 Rumus p T T p p 3. p F F p p 2. p F F p F 4. p T T p T Rumus p p T 2. p p F Rumus 2.5 (Assosiatif) 1. p (q r) (p q) r 2. p (q r) (p q) r Bukti: Untuk 2. p q r p q (p q) r) p (q r) q r T T T T T T T T T F T T T T T F T T T T T T F F T T T F F T T T T T T F T F T T T T F F F F F F F Rumus 2.6 (Identitas, negasi rangkap dan idempoten) 1. p p 3. p p p 2. p p 4. p p p Dua rumus berikut ini sudah dibicarakan di dalam Bab I. Rumus 2.7 Hukum De Morgan 1. p q ( p q) 2. p q ( p q). Bukti: Untuk 1. p q p q p q p q p q T T T F F F F T F F T T F T F T F T T T F F F F T T T T Rumus p = q (p q) 2. p q ((p q) ( p = q)). Rumus (T = p) p 3. (p T ) p 2. (F = p) T 4. (p F ) p
7 Rumus 2.10 Hubungan implikasi dan biimplikasi dengan negasi, konjungsi dan disjungsi 1. (p = q) ( p q) 3. (p = q) (( p q) (p q) 2. (p = q) p q 4. (p q) ((p q) ( p q) Rumus (p q) ((p = q) (q = p)) 2. ((p = q) (q = r)) (p = r). (Sifat Transitif) Rumus (p = (q = r)) (q = (p = r)) 2. (p = (q = r)) ((p q) = r). Rumus-rumus di atas dapat juga dijadikan dasar untuk membuktikan tautologitautologi bentuk lanjutan tanpa menggunakan pengisian tabel kebenaran. Sebagai contoh akan dibuktikan : (p = (q = r)) (q = (p = r)). Bukti: (p = (q = r)) R p ( q r) ( q p) r) R2.5.2 R2.1.2 ( p q) r) R2.5.2 q ( p r) R (q = (p = r)) Suatu tautologi juga dapat dibuktikan dengan cara membawa bentuk kalimat yang akan dibuktikan ekuipolen ke nilai benar (T) dengan menggunakan rumusrumus dasar. Contoh Buktikan, bahwa (p = q) = (q r = r p) merupakan tautologi. Bukti:
8 (p = q) = (q r = r p) R p = q (q r = r p) R (p q) (q r) (r p) Ingkaran p q (q r r p) R2.5.2 (p q) ((q r) r) p R2.2.2 (p q) ((q r) (r r) p (p q) (q r) p R2.3.1 R2.4.1 (p q) ((q r) T ) p R2.5.2&R2.2.2 ((p q) (q q)) r p R2.4.1 ((p q) T ) r p (p p) q r R2.5.2&R2.1.1 R2.3.1 (p q) r p R2.4.1 T q r R2.4.2 T Latihan 2.2 Buktikan, bahwa Rumus di atas merupakan tautologi dengan menggunakan pengisian tabel. Jika mungkin buktikan juga tanpa menggunakan pengisian tabel. 2.4 Metode Pembuktian Di dalam bidang matematika ada tiga hukum penting tautologi yang digunakan sebagai metode pembuktian yaitu: 1. Modus Ponens 2. Hukum Kontraposisi 3. Reductio ad absurdum. Modus ponens termasuk dalam bukti secara langsung. Sedangkan kontraposisi dan reductio ad absurdum dipandang sebagai bukti tidak langsung. Pembuktian suatu teori lebih diutamakan menggunakan bukti secara langsung.
9 2.4.1 Modus Ponens Rumus 2.13 (p (p = q)) = q. Hukum ini dapat disajikan dengan skema sebagai berikut α = β α β. Jika implikasi α = β merupakan fakta (hukum) yang benar dan fakta α terjadi, maka dapat disimpulkan fakta β pasti terjadi. Contoh Buktikan, bahwa salah satu titik potong grafik fungsi dengan persamaan y = f(x) = 3x 3 3x 2 1 terhadap sumbu X berada di interval [1, 2]. Penyelesaian: Di dalam kalkulus berlaku sifat (implikasi) jika f kontinu pada interval [a, b], dan berlaku f(a) dan f(b) berbeda tanda, maka dapat ditemukan c [a, b] yang memenuhi f(c) = 0. Jadi implikasi ini bernilai benar. Fungsi y = f(x) = 3x 3 3x 2 1 kontinu pada [1, 2] dan f(1) < 0 serta f(2) > 0. Jadi anteseden implikasi terjadi, maka dapat disimpulkan terdapat x o [1, 2] yang berakibat f(x 0 ) = 3x 3 0 3x = 0 Jadi salah satu titik potong grafik fungsi f terhadap sumbu X berada di interval [1, 2] Hukum Kontraposisi Seringkali kita mengalami kesulitan untuk membuktikan bahwa peristiwa β terjadi dari diketahuinya fakta α. kontraposisi Untuk itu kita bisa menggunakan hukum Rumus 2.14 (p = q) ( q = p). Dengan kata lain, jika dari fakta β dapat dipastikan terjadinya ᾱ, maka dapat ditarik kesimpulan, bahwa dengan berlakunya fakta α dapat dipastikan β terjadi. Sebaliknya jika implikasi α = β merupakan fakta yang benar, maka dengan diketahuinya β terjadi, dapat ditarik kesimpulan ᾱ pasti terjadi, seperti skema berikut ini:
10 α = β β ᾱ Contoh Buktikan, bahwa jika 1 + ( 1) n 0, maka n genap. Penyelesaian: Ingkaran n genap adalah n ganjil. Akibatnya ( 1) n = 1, sehingga 1 + ( 1) n = 0 yang merupakan ingkaran dari 1 + ( 1) n 0. Jadi kontraposisinya dapat dibuktikan, sehingga kalimat aslinya secara tidak langsung juga terbukti Reductio ad absurdum Misalkan kita akan membuktikan pernyataan α. Untuk itu diandaikan yang berlaku adalah ingkaran dari α, yaitu ᾱ. Dari pengandaian tersebut dengan penalaran yang sahih diturunkan suatu kontradiksi. Hal ini hanya mungkin terjadi kalau terjadi kesalahan pada pengandaian, sehingga pengandaian harus diingkar, yaitu ᾱ. Berikut ini disajikan rumus-rumus tautologi yang merupakan bentuk-bentuk reductio ad absurdum: Rumus 2.15 ( p = (q q)) = p. Misalkan akan dibuktikan penyataan α. Diandaikan α. Jika dari kalimat α dapat diturunkan β β, maka dapat disimpulkan α terjadi. α = (β β) = α Benar : Tautologi α = (β β) Diturunkan dari α α T : Modus Ponens Contoh Buktikan, bahwa 2 bilangan irrasional. Bukti:Yang akan dibuktikan pernyataan P : 2 bilangan irrasional. Diandaikan P berlaku, Dengan kata lain 2 bilangan rasional. Di Q berlaku sifat untuk setiap bilangan rasional r dapat dinyatakan dengan r = m n,
11 dengan m dan n bilangan bulat, n 0 dan (m, n) yaitu faktor persekutuan terbesar dari m dan n sama dengan 1. 2 bilangan rasional, maka 2 = m, untuk suatu n bilangan bulat m dan n dengan n 0 dan (m, n) = 1 (Modus ponen), sehingga 2n 2 = ( 2n) 2 = m 2 = mm. Sesuai modus ponen dapat disimpulkan, m = 2c, dengan c bilangan bulat. Akibatnya 2n 2 = (2c)(2c) dan sesuai sifat kanselasi berlaku nn = n 2 = 2c 2, sehingga n = 2d untuk suatu bilangan bulat d. Akbiatnya (m, n) 2, kontradiksi (m, n) = 1 dan (m, n) 2. Yang benar P : 2 bilangan irrasional. Rumus 2.16 ( p = p) = p. Untuk membuktikan α, terlebih dahulu diandaikan α. Jika dari pengandaian α dapat diturunkan α, maka terjadi kontradiksi antara α (dari pengandaian) dengan α (hasil penurunan dari asumsi). Akibatnya pengandaian harus diingkar dan terbukti α, yaitu α. (α = α) = α Benar : Tautologi α = α α diturunkan dari α α T : Modus Ponens Contoh Di dalam himpunan semua bilangan bulat notasi (x 1, x 2,, x n ) adalah simbol faktor persekutuan terbesar dari x 1, x 2,, x n. Buktikan, bahwa (x, y) = (y, z) = (x, z) = 1 = (x, y, z) = 1. Bukti: Andaikan (x, y, z) > 1. Karena (x, y, z) faktor persekutuan x, y dan z, maka (x, y, z) x dan (x, y, z) y, sehingga (x, y, z) (x, y). Akibatnya 1 < (x, y) dan terjadi kontradiksi dengan (x, y) = 1. Contoh Di dalam semesta himpunan semua bilangan bulat berlaku sifat jika z bilangan prima dan z ab, dengan a dan b keduanya bulat, maka z a atau z b. Buktikan, bahwa jika z b n dengan n bulat positif, maka z b. Bukti: Andaikan z b. Karena z bb n 1, maka sesuai sifat bilangan prima z b atau z b n 1. Oleh karena z b, maka z b n 1, dan b n 1 = bb n 2. Jadi z b n 2, z b n 3, dan seterusnya. Pada akhirnya z b, sehingga dapat disimpulkan z b.
12 Rumus 2.17 ((p q) = q) = (p = q). Misalkan kita akan membuktikan implikasi α = β. Ingkaran α = β adalah α β, sehingga dari ingkaran tersebut dapat ditarik kesimpulan β terjadi. Jika dapat dibuktikan β, maka terjadi kontradiksi. ((α β) = β) = (α = β) T : Tautologi (α = β) = β T : β diturunkan dari α β α = β T : Modus Ponens Contoh Dengan semesta pembicaraan himpunan semua bilangan real, buktikan bahwa jika untuk setiap ϵ 0 berlaku aleqb + ϵ, maka a b. Bukti: Misalkan α : Untuk setiap ϵ 0 berlaku a b + ϵ, β : a b, sehingga yang akan dibuktikan adalah implikasi α = β. Diandaikan α = β berlaku. Jadi α β terjadi, yaitu berlaku untuk setiap ϵ 0 memenuhi a b + ϵ, tetapi a > b. Akibatnya a b > 0. Dipilih ϵ yang sama dengan a b 2, maka ϵ > 0 dan a b + ϵ = b + a b 2. Akibatnya 2a 2b + (a b), sehingga a b, yaitu terbukti β. Sesuai tautologi tebuktilah α = β. dan Rumus 2.18 ((p q) = p) = (p = q). Misalkan kita akan membuktikan implikasi α = β. Ingkaran α = β adalah α β, sehingga dari ingkaran tersebut dapat ditarik kesimpulan α terjadi. Jika dapat dibuktikan α, maka terjadi kontradiksi, sehingga α β harus diingkar dan terjadilah α = β. ((α β) = α) = (α = β) T : Tautologi (α = β) = α T : α diturunkan dari α β α = β T : Modus Ponens
13 Contoh Buktikan, bahwa jika a dan b bilangan real positif, maka Penyelesaian: 1 2 (a + b) ab. 1. Bukti secara positif : Karena a dan b positif, maka a 2, b 2, a + b dan (a b) 2 posistif, sehingga (a + b) 2 (a + b) 2 (a b) 2 = (a 2 + 2ab + b 2 ) (a 2 2ab + b 2 ) (a + b) 2 4ab 1 4 (a + b)2 ab 1 2 (a + b) ab 2. Bukti tidak langsung : Misalkan α : a dan b positif, dan β : 1(a + b) ab. 2 Berarti yang harus dibuktikan adalah α = β. α = β, yaitu α β terjadi. Maka Diandaikan ingkaran a dan b positif, tetapi 1(a + b) < ab. 2 Akibatnya 1 4 (a2 + 2ab + b 2 ) = 1(a + 4 b)2 < ab, sehingga a 2 + 2ab + b 2 < 4ab. Jadi (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 < 0, yang berarti a kompleks atau b kompleks, yaitu ingkaran dari a dan b real positif, sehingga terbukti α = β. Rumus 2.19 p = (p = q). Dari tautologi ini dapat ditarik kesimpulan, bahwa dari sesuatu yang salah pernyataan apapun dapat dibuktikan (Ex falso sequitur quod libet). Hal ini berakibat, di bidang matematika jika terjadi suatu kontradiksi α dan α, maka pernyataan matematika sebarang β (berbentuk rumus, teorema, hukum dan sebagainya) dapat dibuktikan bernilai benar.
14 α = (α = β) T : Tautologi α T : Karena ketentuan α = β α β T : Modus Ponens T : Karena ketentuan T : Modus ponens Latihan Buktikan, bahwa bentuk-bentuk berikut merupakan tautologi, jika mungkin tanpa menggunakan tabel. 1.1 p = ((p = q) = q)) 1.2 p = ((p q) = q) Modus tollendo ponens 1.3 ((p q) = r) ((r q) = p) 1.4 ((p = q) (r = s)) = ((p r) = (q s)) 1.5 (p = q) = (q r = r p) 2. Buktikan secara langsung maupun dengan reductio ad absurdum, bahwa banyaknya bilangan-bilangan prima adalah tak berhingga. 3. Buktikan, bahwa jika 1 2 (1 + ( 1)n ) ganjil, maka n genap. 4. Buktikan, bahwa jika p bilangan prima, maka p merupakan irrasional. 5. Diketahui segitiga sama sisi ABC dengan panjang sisi 1 terletak pada bujur sangkar AP QR, yaitu B terletak pada P Q dan C pada QR. Buktikan, bahwa luas segitiga BQC sama dengan jumlah luas segitiga AP B dan ARC. 6. Buktikan dengan reductio ad absurdum, bahwa akar-akar persamaan bernilai bulat atau irrsional. x n + a 1 x n a n 1 x + a n = 0 7. Tunjukkan, bahwa di dalam himpunan semua bilangan bulat pernyataanpernyataan berikut ekuivalen 1. (x, y, z) = 1 4. (x, y) = 1 2. (x, z) = 1 5. (x, y) = (y, z) = (x, z) = (y, z) = 1
15 8. Dengan menggunakan pengetahuan di mata kuliah kalkulus buktikan, bahwa perpotongan grafik fungsi dengan persamaan y = 3x 3 3x 2 1 terhadap sumbu X hanya ada tepat satu titik. 9. Buktikan secara langsung maupun dengan reduction ad absurdum, bahwa jika n bulat dan n 2 habis dibagi 2, maka n juga habis dibagi Misalkan diketahui α i, dengan i = 1,, n adalah penyataan-pernyataan. Tunjukkan, bahwa untuk membuktikan cukup dibuktikan α 1 α 2 α n α 1 = α 2 = = α n = α Diberikan 80 koin mata uang, terdiri dari 79 koin asli dengan bobot sama dan 1 koin palsu dengan bobot lebih berat. Dengan menggunakan timbangan berlengan sama, tentukan jumlah minimal banyaknya penimbangan dan bagaimana cara menimbangnya agar akhirnya diketahui koin yang palsu. 12. Lima buah kartu yaitu: A, B, C, D, E akan diberi nomor dari 0, 1, 2, 3 atau 4 tanpa ada yang sama dan dimulai dari kartu paling kiri, A. Misalnya A diberi nomor k. Kemudian kartu paling kanan diletakkan disebelah kiri kartu paling kiri, berturut-turut E, D dan seterusnya sampai sebanyak 4 k kartu. Kemudian kartu paling kiri diberi nomor l, yaitu satu di antara 0, 1, 2, 3, 4 selain k; selanjutnya secara berurutan dari kartu paling kanan, 4 l kartu dipindahkan ke sebelah kiri kartu yang paling kiri. Jika proses dilanjutkan dengan cara tersebut tunjukkan, bahwa langkah penomoran akan gagal.
16 Tes Formatif II-1 PENGANTAR LOGIKA MATEMATIKA DAN HIMPUNAN Topik Bahasan : TAUTOLOGI DAN METODE PEMBUKTIAN Hari/tanggal : Waktu : 60 menit Sifat : Buku Tertutup Dosen : Budi S. 1. Tanpa menggunakan tabel kebenaran tunjukkan/selidikilah kebenaran pernyataan-pernyataan berikut? 1.1. (p q) ( q p) 1.2. (p (q q)) ((p q) (q p)) 2. Dengan menggunakan tabel kebenaran selidikilah kebenaran dari 2.1. (p q r p) p 2.2. p ( p (q q)) Ingat: p q r yang dimaksud p q dan q r
17 Tes Formatif II-2 PENGANTAR LOGIKA MATEMATIKA DAN HIMPUNAN Topik Bahasan : TAUTOLOGI DAN METODE PEMBUKTIAN Hari/tanggal : Waktu : 60 menit Sifat : Buku Tertutup Dosen : Budi S. Petunjuk: Kerjakan 2 (dua) soal dari 3 (tiga) soal 1. Tunjukkan, bahwa adalah bilangan irasional. 2. Buktikan, bahwa grafik fungsi f dengan persamaan f(x) = 3x 4 + 2x 2 + x 10 memotong sumbu X paling sedikit di dua titik yang berbeda. 3. Diketahui p 1, p 2, dan p 3 adalah tiga buah bilangan prima. Buktikan, bahwa (p 2 p 3 1) p 1 + (p 1 p 3 ) p2 (p 1 p 2 ) p 3.
18 Kunci Jawaban 1. Tes Formatif II-1: Perhatikan kembali proses pembuktian pada contoh-contoh dalam pembahasan 2. Tes Foematif II-2, No. 1: Perhatikan pembuktian dalam Contoh Perlakukan 3 seperti 2. Gunakan reductio ad absurdum, dengan mengndaikan rasional 3. Tes Formatif II-2, No. 2: Fungsi f kontinu di seluruh bilangan real. Artinya grafik fungsi tidak pernah terpotong. f(0) = 10 < 0 rm f(2) = 38 > 0 Grafik f menghubungkan ke dua titik, berarti grafik f akan memotong sumbu X di interval [0, 2] Selanjutnya, f( 1) < 0 dan f( 100) > 0, sehingga grafik f pasti memotong sumbu X di interval [ 100, 1]. Karena interval [ 100, 1] dan [0, 2] terpisah, maka minimal ditemukan dua titik potong. Komentar Dan Pengayaan 1. Mahasiswa dinyatakan menguasai topik bahasan ini jika dapat mengerjakan Latihan secara mandiri paling sedikit 80% teori tautologi dan teknik pembuktikan. Tapi untuk mendukung kuliah matematika selanjutnya, maka mahasiswa harus mampu menggunakan metode pembuktian secara baik di bidang matematika. 2. Kemampuan mahasiswa dianggap cukup atau lebih jika dapat mengerjakan Tes Foematif II-2 secara mandiri dalam waktu yang ditentukan 3. Untuk melatih kemampuan pembuktian disarankan untuk berlatih mengerjakan soal-soal Olimpiade yang bisa diakses melalui atau belajar teori logika di
RUMUS-RUMUS TAUTOLOGI. (Minggu ke-5 dan 6)
RUMUS-RUMUS TAUTOLOGI (Minggu ke-5 dan 6) 1 1 Rumus-rumus tautologi Rumus 1.1 (Komutatif) 1. p q q p 2. p q q p Bukti: p q p q q p T T T T T F F F F T F F F F F F 2 Rumus 1.2 (Distributif) 1. p (q r) (p
Lebih terperinciBAB I TAUTOLOGI DAN PRINSIP-PRINSIP PEMBUKTIAN
BAB I TAUTOLOGI DAN PRINSIP-PRINSIP PEMBUKTIAN Pada bab ini akan dibicarakan rumus-rumus tautologi dan prinsip-prinsip pembuktian yang tidak saja digunakan di bidang matematika, tetapi juga dapat diterapkan
Lebih terperinci1.3 Pembuktian Tautologi dan Kontradiksi. Pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar bagaimanapun nilai proposisi
1.3 Pembuktian 1.3.1 Tautologi dan Kontradiksi Pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar bagaimanapun nilai proposisi yang membentuknya disebut toutologi, sedangkan proposisi yang selalu bernilai salah
Lebih terperinciLogika. Arum Handini Primandari, M.Sc. Ayundyah Kesumawati, M.Si.
Logika Arum Handini Primandari, M.Sc. Ayundyah Kesumawati, M.Si. Logika Matematika Kalimat Terbuka dan Tertutup Kalimat terbuka adalah kalimat yang tidak mengandung nilai kebenaran Contoh: Semoga kamu
Lebih terperinciRENCANA PROGRAM KEGIATAN PEMBELAJARAN SEMESTER (RPKPS) DAN BUKU DIKTAT PENGANTAR LOGIKA MATEMATIKA DAN HIMPUNAN
RENCANA PROGRAM KEGIATAN PEMBELAJARAN SEMESTER (RPKPS) DAN BUKU DIKTAT PENGANTAR LOGIKA MATEMATIKA DAN HIMPUNAN Budi Surodjo Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas
Lebih terperinciLOGIKA MATEMATIKA I. PENDAHULUAN
LOGIKA MATEMATIKA I. PENDAHULUAN Logika adalah dasar dan alat berpikir yang logis dalam matematika dan pelajaran-pelajaran lainnya, sehingga dapat membantu dan memberikan bekal tambahan untuk menyampaikan
Lebih terperinciI. PERNYATAAN DAN NEGASINYA
1 I. PERNYATAAN DAN NEGASINYA A. Pernyataan. Pernyataan adalah suatu kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus keduanya. Benar atau salahnya suatu pernyataan dapat ditunjukkan
Lebih terperinciLOGIKA MATEMATIKA (Pendalaman Materi SMA)
LOGIKA MATEMATIKA (Pendalaman Materi SMA) Disampaikan Pada MGMP Matematika SMA Provinsi Bengkulu Tahun Ajaran 2007/2008 Oleh: Supama Widyaiswara LPMP Bengkulu DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT
Lebih terperinciBAB III INDUKSI MATEMATIKA
3.1 Pendahuluan BAB III INDUKSI MATEMATIKA Dalam bidang matematika tidak jarang ditemui pola-pola induktif yang melibatkan himpunan indeks berupa himpunan bilangan asli atau bulat seperti barisan atau
Lebih terperinciLOGIKA MATEMATIKA LOGIKA. Altien Jonathan Rindengan, S.Si, M.Kom
LOGIKA MATEMATIKA LOGIKA Altien Jonathan Rindengan, S.Si, M.Kom Pendahuluan Untuk menemukan suatu gagasan baru dari informasi dan gagasan yang telah ada, diperlukan proses berpikir. Proses ini dikenal
Lebih terperinciLOGIKA. Arum Handini Primandari
LOGIKA Arum Handini Primandari LOGIKA MATEMATIKA KALIMAT TERBUKA DAN TERTUTUP Kalimat terbuka adalah kalimat yang tidak mengandung nilai kebenaran Contoh: Apakah kamu tahu pencipta lagu PPAP? Semoga ujian
Lebih terperinciNEGASI KALIMAT DAN KALIMAT MAJEMUK (Minggu ke-3)
NEGASI KALIMAT DAN KALIMAT MAJEMUK (Minggu ke-3) 1 1 Kata Penghubung Kalimat 1. Konjungsi: menggunakan kata penghubung: dan 2. Disjungsi: menggunakan kata penghubung: atau 3. Implikasi: menggunakan kata
Lebih terperinciMata Kuliah : Peng. Logika Matematika dan Himpunan Hari/tanggal : Rabu, 31 Oktober 2012 Waktu : 120 menit Sifat : Buku Tertutup Dosen : Budi S.
Mata Kuliah : Peng. Logika Matematika dan Himpunan Hari/tanggal : Rabu, 31 Oktober 2012 Waktu : 120 menit Sifat : Buku Tertutup Dosen : Budi S. 1. Tentukan jenis kalimat berikut. Kalimat tidak lengkap,
Lebih terperinciLogika. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Logika Drs. Sukirman, M.Pd. L PENDAHULUAN ogika merupakan salah satu bidang ilmu yang mengkaji prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan yang absah, baik yang bersifat deduktif
Lebih terperinciUnit 6 PENALARAN MATEMATIKA. Clara Ika Sari Budhayanti. Pendahuluan. Selamat belajar, semoga Anda sukses.
Unit 6 PENALARAN MATEMATIKA Clara Ika Sari Budhayanti Pendahuluan D alam menyelesaikan permasalahan matematika, penalaran matematis sangat diperlukan baik di bidang aritmatika, aljabar, geometri dan pengukuran,
Lebih terperinciPernyataan adalah kalimat yang bernilai benar atau salah tetapi tidak sekaligus benar dan salah.
LOGIKA MATEMATIKA 1. Pernyataan Pernyataan adalah kalimat yang bernilai benar atau salah tetapi tidak sekaligus benar dan salah. Pernyataan dilambangkan dengan huruf kecil, misalnya p, q, r dan seterusnya.
Lebih terperinciBAB I LOGIKA MATEMATIKA
BAB I LOGIKA MATEMATIKA A. Ringkasan Materi 1. Pernyataan dan Bukan Pernyataan Pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah. (pernyataan disebut
Lebih terperinciBAB I DASAR-DASAR LOGIKA
BAB I DASAR-DASAR LOGIKA 11 Pendahuluan Logika adalah suatu displin yang berhubungan dengan metode berpikir Pada tingkat dasar, logika memberikan aturan-aturan dan teknik-teknik untuk menentukan apakah
Lebih terperinciRPKPS MATA KULIAH PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UGM
RPKPS MATA KULIAH PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UGM 1 Judul, Kode, SKS Pengantar Logika Matematika Dan Himpunan, MMM 1201, 3 SKS 2 Silabus Semesta Pembicaraan, Kalimat Deklaratif, Ingkaran
Lebih terperinciPusat Pengembangan Pendidikan Universitas Gadjah Mada 1
2. ALJABAR LOGIKA 2.1 Pernyataan / Proposisi Pernyataan adalah suatu kalimat yang mempunyai nilai kebenaran (benar atau salah), tetapi tidak keduanya. Contoh 1 : P = Tadi malam BBM mulai naik (memiliki
Lebih terperinciUnit 5 PENALARAN/LOGIKA MATEMATIKA. Wahyudi. Pendahuluan
Unit 5 PENALARAN/LOGIKA MATEMATIKA Wahyudi Pendahuluan D alam menyelesaikan permasalahan matematika, penalaran matematis sangat diperlukan. Penalaran matematika menjadi pedoman atau tuntunan sah atau tidaknya
Lebih terperinciLogika Matematika. Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Logika Matematika 1. Pengertian Logika 2. Pernyataan Matematika 3. Nilai Kebenaran 4. Operasi Uner 5. Operasi Biner 6. Tabel kebenaran Pernyataan 7. Tautologi, Kontradiksi dan Kontingen 8. Pernyataan-pernyataan
Lebih terperinciLogika & Himpunan 2013 LOGIKA MATEMATIKA. Oleh NUR INSANI, M.SC. Disadur dari BUDIHARTI, S.Si.
LOGIKA MATEMATIKA Oleh NUR INSANI, M.SC Disadur dari BUDIHARTI, S.Si. Logika adalah ilmu yang mempelajari secara sistematis kaidah-kaidah penalaran yang absah/valid. Ada dua macam penalaran, yaitu: penalaran
Lebih terperinciLOGIKA MATEMATIKA. LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) MATEMATIKA PAKET C TINGKAT V DERAJAT MAHIR 1 SETARA KELAS X
LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) LOGIKA MATEMATIKA Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT V DERAJAT MAHIR 1 SETARA KELAS X Created By Ita Yuliana 37 Logika Matematika Kompetensi
Lebih terperinciNAMA LAMBANG KATA PERNYATAAN LOGIKANYA PENGHUBUNG
LOGIKA MATEMATIKA A. PERNYATAAN DAN KALIMAT TERBUKA Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya (benar dan salah). 1. Gadis itu cantik. 2. Bersihkan lantai itu. 3. Pernyataan/kalimat
Lebih terperinciPERNYATAAN MAJEMUK & NILAI KEBENARAN
PERNYATAAN MAJEMUK & NILAI KEBENARAN 1. Pernyataan Majemuk Perhatikan pernyataan hari ini hujan dan aku berjalan-jalan. Pernyataan tersebut terdiri dari dua pernyataan pokok/tunggal (prime sentence), yaitu
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. a. Apa sajakah hukum-hukum logika dalam matematika? b. Apa itu preposisi bersyarat?
BAB I PENDAHULUAN 1.1 LATAR BELAKANG Secara etimologi, istilah Logika berasal dari bahasa Yunani, yaitu logos yang berarti kata, ucapan, pikiran secara utuh, atau bisa juga ilmu pengetahuan. Dalam arti
Lebih terperinciPENDAHULUAN INDUKSI MATEMATIKA Di dalam Matematika, sebuah pernyataan atau argumen dan bahkan sebuah rumus sekalipun tidak hanya sekedar dibaca.
PENDAHULUAN INDUKSI MATEMATIKA Di dalam Matematika, sebuah pernyataan atau argumen dan bahkan sebuah rumus sekalipun tidak hanya sekedar dibaca. Karena hampir semua rumus dan hukum yang berlaku tidak tercipta
Lebih terperinciBAB III INDUKSI MATEMATIKA
BAB III INDUKSI MATEMATIKA BAB III INDUKSI MATEMATIKA 3.1 Pendahuluan Dalam bidang matematika tidak jarang ditemui pola-pola induktif yang melibatkan himpunan indeks berupa himpunan bilangan asli atau
Lebih terperinciRENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) Nama Sekolah : SMK... Mata Pelajaran : Matematika Kelas : XI Program Keahlian : Akuntansi dan Penjualan
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) Nama Sekolah : SMK... Mata Pelajaran : Matematika Kelas : XI Program Keahlian : Akuntansi dan Penjualan Standar Kompetensi Kompetensi Dasar Indikator Alokasi Waktu
Lebih terperinciPENALARAN INDUKTIF DAN DEDUKTIF
Unit 6 PENALARAN INDUKTIF DAN DEDUKTIF Wahyudi Pendahuluan U nit ini membahas tentang penalaran induktif dan deduktif yang berisi penarikan kesimpulan dan penalaran indukti deduktif. Dalam penalaran induktif
Lebih terperinciBAB 4 PROPOSISI. 1. Pernyataan dan Nilai Kebenaran
BAB 4 PROPOSISI 1. Pernyataan dan Nilai Kebenaran Ilmu logika adalah berhubungan dengan kalimat-kalimat (argumen-argumen) dan hubungan yang ada diantara kalimat-kalimat tersebut. Tujuannya adalah memberikan
Lebih terperinciB I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN. Bilangan Kompleks. Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner)
1 B I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN Bilangan Kompleks Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner) Bilangan Rasional Bilangan Irrasional Bilangan Pecahan Bilangan Bulat Bilangan Bulat
Lebih terperinciModul ke: Logika Matematika. Proposisi & Kuantor. Fakultas FASILKOM BAGUS PRIAMBODO. Program Studi SISTEM INFORMASI.
Modul ke: 5 Logika Matematika Proposisi & Kuantor Fakultas FASILKOM BAGUS PRIAMBODO Program Studi SISTEM INFORMASI http://www.mercubuana.ac.id Materi Pembelajaran Kalkulus Proposisi Konjungsi Disjungsi
Lebih terperinciSILABUS. Menyimak pemahaman tentang bentuk pangkat, akar dan logaritma beserta keterkaitannya. Mendefinisikan bentuk pangkat, akar dan logaritma.
SILABUS Nama Sekolah : SMA PGRI 1 AMLAPURA Mata Pelajaran : MATEMATIKA Kelas/Program : X Semester : 1 STANDAR KOMPETENSI: 1. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan logaritma.
Lebih terperinciRENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN Materi Pelajaran : Matematika Kelas/ Semester : X / 2 Pertemuan ke : 1,2 Alokasi Waktu : 5 x 45 menit Standar Kompetensi : Menerapkan logika matematika dalam pemecahan
Lebih terperinciSILABUS. Menyimak pemahaman tentang bentuk pangkat, akar dan logaritma beserta keterkaitannya. Mendefinisikan bentuk pangkat, akar dan logaritma.
SILABUS Nama Sekolah : SMA NEGERI 6 PONTIANAK Mata Pelajaran : MATEMATIKA Kelas/Program : X Semester : 1 STANDAR KOMPETENSI: 1. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan logaritma.
Lebih terperinciLogika Proposisi 1. Definisi 1. (Proposisi) Proposisi adalah kalimat yang bernilai benar atau salah, tetapi tidak keduanya sekaligus.
Logika Proposisi 1 I. Logika Proposisi Logika adalah bagian dari matematika, tetapi pada saat yang sama juga merupakan bahasa matematika. Pada akhir abad ke-19 dan awal abad ke-20, ada kepercayaan bahwa
Lebih terperinciMODUL LOGIKA MATEMATIKA
PERENCANAAN PEMBELAJARAN MATEMATIKA MODUL LOGIKA MATEMATIKA AUTHOR: Navel Mangelep UNIVERSITAS NEGERI MANADO FAKULTAS MATEMATIKA & ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA KATA PENGANTAR Salah satu penunjang
Lebih terperinciPertemuan 2. Proposisi Bersyarat
Pertemuan 2 Proposisi ersyarat Proposisi ersyarat Definisi 4 Misalkan p dan q adalah proposisi. Proposisi majemuk jika p, maka q disebut proposisi bersyarat (implikasi dan dilambangkan dengan p q Proposisi
Lebih terperinciPENGERTIAN. Proposisi Kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak keduanya. Nama lain proposisi: kalimat terbuka.
BAB 2 LOGIKA PENGERTIAN Logika Logika merupakan dasar dari semua penalaran (reasoning). Penalaran didasarkan pada hubungan antara proposisi atau pernyataan (statements). Proposisi Kalimat deklaratif yang
Lebih terperinciPROPOSISI MATEMATIKA SISTEM INFORMASI 1
PROPOSISI MATEMATIKA SISTEM INFORMASI 1 Logika Logika merupakan dasar dari semua penalaran (reasoning). Penalaran didasarkan pada hubungan antara pernyataan (statements). Proposisi Pernyataan atau kalimat
Lebih terperinciMatematika Industri I
LOGIKA MATEMATIKA TIP FTP - UB Pokok Bahasan Proposisi dan negasinya Nilai kebenaran dari proposisi Tautologi Ekuivalen Kontradiksi Kuantor Validitas pembuktian Pokok Bahasan Proposisi dan negasinya Nilai
Lebih terperinciJadi penting itu baik, tapi jadi baik jauh lebih penting
LOGIKA MATEMATIKA Logika Matematika - Pernyataan, Nilai Kebenaran, dan Kalimat Terbuka - Pernyataan Majemuk - Konvers, Invers, dan Kontraposisi - Kuantor Universal dan Kuantor Eksistensial - Ingkaran dari
Lebih terperinciBAB V HIMPUNAN Pendahuluan
BAB V HIMPUNAN 5.1. Pendahuluan Bab ini memuat materi tentang pengertian himpunan, operasi irisan, gabungan, komplemen, selisih dan simetri, dan aljabar himpunan yang meliputi sifat dan rumus-rumus. Selain
Lebih terperinciLOGIKA. /Nurain Suryadinata, M.Pd
Nama Mata Kuliah Kode Mata Kuliah/SKS Program Studi Semester Dosen Pengampu : Matematika Diskrit : MAT-3615/ 3 sks : Pendidikan Matematika : VI (Enam) : Nego Linuhung, M.Pd /Nurain Suryadinata, M.Pd Referensi
Lebih terperinciDESKRIPSI PEMELAJARAN
DESKRIPSI PEMELAJARAN MATA DIKLAT : Matematika TUJUAN : Melatih berfikir dan bernalar secara logis dan kritis serta mengembangkan aktifitas kreatif dalam memecahkan masalah dan mengkomunikasikan ide/gagasan
Lebih terperinciDURASI PEMELAJARAN KURIKULUM SMK EDISI 2004
DESKRIPSI PEMELAJARAN MATA DIKLAT TUJUAN : MATEMATIKA : Melatih berfikir dan bernalar secara logis dan kritis serta mengembangkan aktifitas kreatif dalam memecahkan masalah dan mengkomunikasikan ide/gagasan
Lebih terperinciRUMUS LOGIKA MATEMATIKA DAN TABEL KEBENARAN
RUMUS LOGIKA MATEMATIKA DAN TABEL KEBENARAN Updated by Admin of Bahan Belajar Logika matematika merupakan salah satu materi pelajaran matematika dan cabang logika yang mengandung kajian matematis logika.
Lebih terperinciLOGIKA Matematika Industri I
LOGIKA TIP FTP UB Pokok Bahasan Pengertian Logika Pernyataan Matematika Nilai Kebenaran Operasi Uner Operasi Biner Tabel kebenaran Pernyataan Tautologi, Kontradiksi dan Kontingen Pernyataan-pernyataan
Lebih terperinciBAB I LOGIKA KALIMAT
BAB I LOGIKA KALIMA Dalam suatu pernyataan kalimat, baik verbal maupun dalam bentuk tulisan, sering muncul ketidak mengertian, kesalah tafsiran dan bahkan keslah pahaman oleh karena beberapa aspek yang
Lebih terperinciMODUL PERKULIAHAN EDISI 1 MATEMATIKA DISKRIT
MODUL PERKULIAHAN EDISI 1 MATEMATIKA DISKRIT Penulis : Nelly Indriani Widiastuti S.Si., M.T. JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS KOMPUTER INDONESIA BANDUNG 2011 DAFTAR ISI Daftar Isi. 2 Bab 1 LOGIKA
Lebih terperinciBAB 6 LOGIKA MATEMATIKA
A 6 LOGIKA MATEMATIKA A RINGKAAN MATERI 1. Pengertian Logika adalah suatu metode yang diciptakan untuk meneliti ketepatan penalaran (bentuk pemikiran yang masuk akal). Pernyataan adalah kalimat yang hanya
Lebih terperinciLOGIKA MATEMATIKA. Tabel kebenarannya sbb : p ~ p B S S B
LOGIKA MATEMATIKA A. Pernyataan, kalimat terbuka, dan ingkaran pernyataan. 1. Pernyataan Pernyataan adalah kalimat yang mengandung nilai benar atau salah tetapi tidak sekaligus kedua-duanya. a. Hasil kali
Lebih terperinci1untuk Kelas X SMA dan MA
Rosihan Ari Y. Indriyastuti MODEL Silabus dan Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) KHAZANAH MATEMATIKA 1untuk Kelas X SMA dan MA Berdasarkan Permendiknas Nomor 22 Tahun 2006 tentang Standar Isi dan Permendiknas
Lebih terperinciKATA PENGANTAR. Assalamu alaikum Wr. Wb.
KATA PENGANTAR Assalamu alaikum Wr. Wb. Matematika tidak dapat terlepas dalam kehidupan manusia sehari-hari, baik saat mempelajari matematika itu sendiri maupun mata kuliah lainnya. Mata kuliah Pengantar
Lebih terperinciKALKULUS 1 UNTUK MAHASISWA CALON GURU MATEMATIKA OLEH: DADANG JUANDI, DKK PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
KALKULUS UNTUK MAHASISWA 9 CALON GURU MATEMATIKA OLEH: DADANG JUANDI, DKK PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BAB I PENDAHULUAN. Sistem Bilangan Real Dalam Uraian
Lebih terperinciBAB III HIMPUNAN. 2) Mahasiswa dapat menyebutkan relasi antara dua himpunan. 3) Mahasiswa dapat menentukan hasil operasi dari dua himpunan
BAB III HIMPUNAN Tujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian himpunan, relasi antara himpunan, operasi himpunan, aljabar himpunan, pergandaan himpunan, serta himpunan kuasa. Tujuan Instruksional
Lebih terperinciBAHAN AJAR LOGIKA MATEMATIKA
1 BAHAN AJAR LOGIKA MATEMATIKA DI SUSUN OLEH : DRS. ABD. SALAM,MM KELAS X BM & PAR SMK NEGERI 1 SURABAYA LOGIKA MATEMATIKA Standar Kompetensi : Menerapkan logika matematika dalam pemecahan masalah yang
Lebih terperinciBerdasarkan tabel 1 diperoleh bahwa p q = q p.
PEMAHAAN 1. Pengertian Kata LOGIKA mengacu pada suatu metode atau cara yang sistematis dalam berpikir (reasoning), dan terdapat dua sistem khusus yaitu : suatu metode dasar yang disebut dengan Kalkulus
Lebih terperinciLogika Matematika. Logika Matematika. Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah. September 26, 2012
Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah September 26, 2012 yang diharapkan Dasar: Menggunakan logika matematika. Indikator Esensial: 1 Mengidentifikasi suatu tautologi 2 Menentukan ingkaran suatu pernyataan
Lebih terperinciEKUIVALENSI LOGIS. Dr. Julan HERNADI & (Asrul dan Enggar) Pertemuan 3 FONDASI MATEMATIKA. Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Unmuh Ponorogo
Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Unmuh Ponorogo Pertemuan 3 FONDASI MATEMATIKA Variasi bentuk implikasi Berangkat dari implikasi p q kita dapat membentuk tiga pernyataan implikasi relevan yang
Lebih terperinciSilabus. Kegiatan Pembelajaran Instrumen
NAMA SEKOLAH : MATA PELAJARAN : Matematika KELAS : XI STANDAR KOMPETENSI : Menerapkan logika matematka dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor KODE KOMPETENSI
Lebih terperinci1 INDUKSI MATEMATIKA
1 INDUKSI MATEMATIKA Induksi Matematis Induksi matematis merupakan teknik pembuktian yang baku di dalam matematika. Melalui induksi matematis maka dapat mengurangi langkah-langkah pembuktian bahwa semua
Lebih terperinciPETA PERKULIAHAN MATA KULIAH : LOGIKA MATEMATIKA KODE MATA KULIAH : GD 321. SEMESTER : GANJIL (5) DOSEN : MAULANA, S.Pd., M.Pd.
Doc Logika Matematika PGSD Maulana 1 PETA PERKULIAHAN MATA KULIAH : LOGIKA MATEMATIKA KODE MATA KULIAH : GD 321 BOBOT SKS : 2 (DUA) TAHUN AKADEMIK : 2007/2008 PROGRAM : PGSD S-1 KELAS SEMESTER : GANJIL
Lebih terperinciLogika Logika merupakan dasar dari semua penalaran (reasoning). Penalaran didasarkan pada hubungan antara proposisi atau pernyataan (statements).
Logika (logic) 1 Logika Logika merupakan dasar dari semua penalaran (reasoning). Penalaran didasarkan pada hubungan antara proposisi atau pernyataan (statements). Proposisi Kalimat deklaratif yang bernilai
Lebih terperinciLOGIKA MATEMATIKA SOAL DAN PENYELESAIAN Logika, Himpunan, Relasi, Fungsi JONG JEK SIANG Kita menjalani hidup dari apa yang kita dapatkan Tetapi kita menikmati hidup dari apa yang kita berikan Jong Jek
Lebih terperinciSilabus. Tugas individu, tugas kelompok, kuis.
Silabus Nama Sekolah : SMK Mata Pelajaran : MATEMATIKA Kelas / Program : X / TEKNOLOGI, KESEHATAN, DAN PERTANIAN Semester : GANJIL Sandar Kompetensi: 1. Memecahkan masalah berkaitan dengan konsep operasi
Lebih terperinciCatatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I
Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):
Lebih terperinciDASAR-DASAR LOGIKA. Pertemuan 2 Matematika Diskrit
DASAR-DASAR LOGIKA Pertemuan 2 Matematika Diskrit 25-2-2013 Materi Pembelajaran 1. Kalimat Deklaratif 2. Penghubung kalimat 3. Tautologi dan Kontradiksi 4. Konvers, Invers, dan Kontraposisi 5. Inferensi
Lebih terperinciKRITERIA KETUNTASAN MINIMAL ( KKM ) MATA PELAJARAN MATEMATIKA KELAS X ( 1 ) SEMESTER I
KRITERIA KETUNTASAN MINIMAL ( KKM ) MATA PELAJARAN MATEMATIKA KELAS X ( 1 ) SEMESTER I KRITERIA KETUNTASAN MINIMAL ( KKM ) MATA PELAJARAN: MATEMATIKA Sekolah : SMA/MA... Kelas : X Semester : I (SATU) KKM
Lebih terperinciRENCANA PROGRAM KEGIATAN PEMBELAJARAN SEMESTER (RPKPS) DAN BUKU DIKTAT PENGANTAR LOGIKA MATEMATIKA DAN HIMPUNAN. Budi Surodjo
RENCANA PROGRAM KEGIATAN PEMBELAJARAN SEMESTER (RPKPS) DAN BUKU DIKTAT PENGANTAR LOGIKA MATEMATIKA DAN HIMPUNAN Budi Surodjo Jurusan Matematika Fakultas Matematikan dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas
Lebih terperinciPerhatikan skema sistem bilangan berikut. Bilangan. Bilangan Rasional. Bilangan pecahan adalah bilangan yang berbentuk a b
2 SISTEM BILANGAN Perhatikan skema sistem bilangan berikut Bilangan Bilangan Kompleks Bilangan Real Bilangan Rasional Bilangan Irasional Bilangan Bulat Bilangan Pecahan Bilangan bulat adalah bilangan yang
Lebih terperinciLogika Matematika Diskret (TKE132107) Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Logika Matematika Diskret (TKE132107) Program Studi Teknik Elektro, Unsoed Iwan Setiawan Tahun Ajaran 2013/2014 Logika Klasik Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik
Lebih terperinciMATEMATIKA DISKRIT. Logika
MATEMATIKA DISKRIT Logika SILABUS KULIAH 1. Logika 2. Himpunan 3. Matriks, Relasi dan Fungsi 4. Induksi Matematika 5. Algoritma dan Bilangan Bulat 6. Aljabar Boolean 7. Graf 8. Pohon REFERENSI Rinaldi
Lebih terperinciBAB VI BILANGAN REAL
BAB VI BILANGAN REAL PENDAHULUAN Perluasan dari bilangan cacah ke bilangan bulat telah dibicarakan. Dalam himpunan bilangan bulat, pembagian tidak selalu mempunyai penyelesaian, misalkan 3 : 11. Timbul
Lebih terperinciKonvers, Invers dan Kontraposisi
MODUL 5 Konvers, Invers dan Kontraposisi Represented by : Firmansyah,.Kom A. TEMA DAN TUJUAN KEGIATAN PEMELAJARAN 1. Tema Konvers, Invers dan Kontraposisi 2. Fokus Pembahasan Materi Pokok 1. Konvers, invers
Lebih terperinciSelamat datang di Perkuliahan LOGIKA MATEMATIKA Logika Matematika Teori Himpunan Teori fungsi
Selamat datang di Perkuliahan LOGIKA MAEMAIKA Logika Matematika eori Himpunan eori fungsi Dosen : Dr. Julan HERNADI PUSAKA : Kenneth H Rossen, Discrete mathematics and its applications, fifth edition.
Lebih terperinciANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan
(Semester I Tahun 2011-2012) Analysis and Geometry Group, FMIPA-ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. http://personal.fmipa.itb.ac.id/hgunawan August 8, 2011 Di sekolah menengah telah dipelajari apa yang
Lebih terperinciINTERVAL, PERTIDAKSAMAAN, DAN NILAI MUTLAK
INTERVAL, PERTIDAKSAMAAN, DAN NILAI MUTLAK Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 19 Topik Bahasan 1 Sistem Bilangan Real 2 Interval 3
Lebih terperinciKONSEP DASAR LOGIKA MATEMATIKA. Riri Irawati, M.Kom Logika Matematika - 3 sks
KONSEP DASAR LOGIKA MATEMATIKA Riri Irawati, M.Kom Logika Matematika - 3 sks Agenda 2 Pengantar Logika Kalimat pernyataan (deklaratif) Jenis-jenis pernyataan Nilai kebenaran Variabel dan konstanta Kalimat
Lebih terperinci6. LOGIKA MATEMATIKA
6. LOGIKA MATEMATIKA A. Negasi (Ingkaran) Negasi adalah pengingkaran terhadap nilai kebenaran suatu pernyataan. ~ p : tidak p p ~ p B S S B B. Operator Logika 1) Konjungsi adalah penggabungan dua pernyataan
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB / POKOK BAHASAN
Lebih terperinciG a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan.
2. Grup Definisi 1.3 Suatu grup < G, > adalah himpunan tak-kosong G bersama-sama dengan operasi biner pada G sehingga memenuhi aksioma- aksioma berikut: a. operasi biner bersifat asosiatif, yaitu a, b,
Lebih terperinciMATEMATIKA DISKRIT LOGIKA
MATEMATIKA DISKRIT LOGIKA Logika Perhatikan argumen di bawah ini: Jika anda mahasiswa Informatika maka anda tidak sulit belajar Bahasa Java. Jika anda tidak suka begadang maka anda bukan mahasiswa Informatika.
Lebih terperinciBAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
BAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat menggunakan operasi pada himpunan untuk memecahkan masalah dan mengidentifikasi suatu himpunan
Lebih terperinciRelasi, Fungsi, dan Transformasi
Modul 1 Relasi, Fungsi, dan Transformasi Drs. Ame Rasmedi S. Dr. Darhim, M.Si. M PENDAHULUAN odul ini merupakan modul pertama pada mata kuliah Geometri Transformasi. Modul ini akan membahas pengertian
Lebih terperinciPENGEMBANGAN SILABUS TAHUN PELAJARAN 2012/2013
PENGEMBANGAN SILABUS TAHUN PELAJARAN 01/013 NAMA SEKOLAH : SMK DIPONEGORO LEBAKSIU MATA PELAJARAN : MATEMATIKA KELAS / SEMESTER : X / 1 STANDAR KOMPETENSI : MEMECAHKAN MASALAH BERKAITAN DENGAN KONSEP OPERASI
Lebih terperinciHimpunan dan Sistem Bilangan Real
Modul 1 Himpunan dan Sistem Bilangan Real Drs. Sardjono, S.U. PENDAHULUAN M odul himpunan ini berisi pembahasan tentang himpunan dan himpunan bagian, operasi-operasi dasar himpunan dan sistem bilangan
Lebih terperinci5. 1 Mendeskripsikan pernyataan dan bukan pernyataan (kalimat terbuka)
Sumber: Art and Gallery Standar Kompetensi 5. Menerapkan logika matematika dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor Kompetensi Dasar 5. 1 Mendeskripsikan
Lebih terperinciINGKARAN DARI PERNYATAAN
HAND-OUT Student Name : Subject : Matematika Wajib Grade/Class : / Toic : Logika Matematika Date : Teacher(s) : Mr. Daniel Kristanto Semester : 2 Parent s Signature : LOGIKA MATEMATIKA Kalimat logika matematika
Lebih terperinciDESKRIPSI PEMELAJARAN - MATEMATIKA
DESKRIPSI PEMELAJARAN MATA DIKLAT : MATEMATIKA TUJUAN : Melatih berfikir dan bernalar secara logis dan kritis serta mengembangkan aktifitas kreatif dalam memecahkan masalah dan mengkomunikasikan ide/gagasan
Lebih terperinciDURASI PEMELAJARAN KURIKULUM SMK EDISI 2004
DESKRIPSI PEMELAJARAN MATA DIKLAT TUJUAN : MATEMATIKA : Melatih berfikir dan bernalar secara logis dan kritis serta mengembangkan aktifitas kreatif dalam memecahkan masalah dan mengkomunikasikan ide/gagasan
Lebih terperinciANALISIS KRITERIA KETUNTASAN MINIMAL (KKM) SMK DIPONEGORO LEBAKSIU TAHUN PELAJARAN 2012/2013
Kompetensi Keahlian : TKR dan Farmasi Kelas : X Semester : 1 ANALISIS KRITERIA KETUNTASAN MINIMAL () SMK DIPONEGORO LEBAKSIU TAHUN PELAJARAN 2012/2013 Standar Kompetensi Kompetensi Dasar Indikator Memecahkan
Lebih terperinciMateri 4: Logika. I Nyoman Kusuma Wardana. STMIK STIKOM Bali
Materi 4: Logika I Nyoman Kusuma Wardana STMIK STIKOM Bali Logika merupakan dasar dr semua penalaran (reasoning). Penalaran didasarkan pada hubungan antara pernyataan-pernyataan (statements). Dalam Logika
Lebih terperinciuntuk mempelajari matematika lebih lanjut. Untuk menunjang kemampuankemampuan tersebut diharapkan Anda dapat menguasai beberapa kompetensi khusus
ix S Tinjauan Mata Kuliah elamat bertemu, selamat belajar, dan selamat berdiskusi dalam mata kuliah Matematika Dasar 1. Mata kuliah PEMA4102/Matematika Dasar 1 dengan bobot 3 sks ini sering pula dinamakan
Lebih terperinciKata Pengantar. Terima kasih atas kesediaan Bapak atau Ibu guru yang menggunakan buku Matematika Aplikasi SMA Kelas X XII. Hormat kami, Tim Penyusun
Kata Pengantar Perjalanan panjang proses penilaian buku Matematika SMA oleh Pusat Perbukuan dan Badan Standar Nasional Pendidikan (BSNP) Departemen Pendidikan Nasional telah usai bersamaan dengan diterbitkannya
Lebih terperinciBAB 6 EKUIVALENSI LOGIS
BAB 6 EKUIVALENSI LOGIS 1. Pendahuluan Bab ini akan membahas persamaan-persamaan antara dua buah ekspresi logika yang mungkin ekuivalen (sama), mungkin berbeda, yang kesamaan atau perbedaan tadi akan dibuktikan
Lebih terperinciLOGIKA MATEMATIKA. Modul Matematika By : Syaiful Hamzah Nasution
LOGIKA MATEMATIKA Logika matematika mempunyai peranan mendasar dalam perkembangan teknologi computer. Karena logika digunakan dalam berbagai aspek di bidang computer seperti pemrograman, ersitektur computer,
Lebih terperinciLOGIKA MATEMATIKA. d. 6 + a > -4 e. 7 adalah faktor dari 63. c. 4 x 6 2. Tentukan variabel dan himpunan penyelesaian dari: a.
LOGIKA MATEMATIKA A. Definisi 1). Pernyataan Pernyataan adalah suatu kalimat yang bernilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah. Air laut rasanya asin, adalah bilangan prima, urabaya
Lebih terperinci