Sistem Bilangan Real

Transkripsi

1 TUGAS I ANALISIS REAL I Sistem Bilangan Real Tugas 1 Analisis Real I Disusun oleh : Nariswari Setya D. Kartini Marvina Puspito M M M JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA

2 LATIHAN BAGIAN Buktikan bahwa jika, maka (a) += + (b) = (a) Diketahui += + Berdasarkan Teorema (b) diperoleh bahwa += 1+ maka dapat dibuktikan bahwa 1+= 1+ 1 = + Jadi, terbukti += + (b) Diketahui = Berdasarkan Teorema (b) dan (d) maka dapat dibuktikan bahwa, = 1 1 Jadi, terbukti = = 1 1 = 1 1 = 1 1 =1 = 7. Jika, sehingga =, buktikan bahwa = atau = Diketahui: aa =bb Maka = =0 +=0 +=0 ++ =0+ ++ =0+ +0=0+ = Jadi, terbukti = atau = 8. Gunakan argument seperti Teorema untuk menunjukkan bahwa tidak ada bilangan rasional sehingga =8. Andaikan terdapat bilangan rasional sehingga =8. 2 =0 + +=0+ + +=0+ +0=0+ =

3 Oleh karena itu terdapat bilangan bulat dan dengan 0 sehingga =8. Tanpa mengurangi keumuman dapat diasumsikan bahwa dan bilangan positif dengan faktor persekutuan terbesar adalah 1. Karena =2, maka bilangan bulat genap. Akibatnya juga bilangan bulat genap. Karena jika bilangan bulat ganjil, maka juga bilangan bulat ganjil. Karena 8 bukan faktor persekutuan dari dan, maka bilangan bilangan bulat ganjil. Selanjutnya, karena bilangan bulat genap, maka =8 untuk suatu N. Akibatnya 8 =. Jadi, bilangan bulat genap, sehingga juga bilangan bulat genap. Terdapat kontradiksi bahwa adalah bilangan asli yang genap sekaligus ganjil. Jadi pengandaian salah. Terbukti bahwa tidak ada bilangan rasional sehingga = Jika bilangan prima, buktikan bahwa bilangan irrassional. Andaikan bilangan rasional, maka bisa dibentuk dimana a,b N, 2 = = =..(1) 2 merupakan kelipatan p, maka a kelipatan p. =, N maka 2 = p 2 x 2..(2) Dari persamaan (1) dan (2) maka diperoleh p b 2 = p 2 x 2 2 = b 2 b 2 merupakan kelipatan p, maka b kelipatan p. b = p y, y Z maka berlaku = = merupakan faktor persekutuan. Kontradiksi dengan pengandaian. Jadi, terbukti bahwa bilangan irrasional. 15. Misalkan A dan B himpunan bagian dari R dan didefinisikan operasi operasi (+) dan (.) dengan +=+ dan.= dan Untuk sembarang A,B dan C himpunan bagian dari R, buktikan bahwa : (a) R+R=R R=R (b) Jika A, maka A A = (c) A. = (d) Jika A B, maka A + C + (e) A.(B + C). B + A. C. Berikan contoh untuk menunjukkan bahwa kesamaan tidak harus terjadi. 3

4 (f) Jika A. C = B. C apakah A = B? (a) Diketahui R+R=R R=R Dimana A, B dan C R R+R=R R, R maka + R R R=R R, R maka R Jadi,terbukti R+R=R R=R (b) Diketahui jika A, maka A A = Dengan menggunakan Aksioma (A4), untuk setiap A R, terdapat A R sehingga A + (- A) = 0 A A = 0 Jadi, Jika A, maka A A =. (c) Diketahui A. =. = dan b }, Karena merupakan suatu himpunan yang tidak memiliki anggota, maka tidak dapat ditemukan sehingga. Jadi,terbukti. =. (d) Diketahui jika A B maka A + C B + C. A + C B + C A + C C B + C C A + (C C) B +( C C) (assosiatif) A + 0 B + 0 (aksioma (A4)) A B (Aksioma (A3)) Jadi,terbukti jika A B maka A + C B + C (e) Diketahui A. (B + C) A. B + A. C Dengan Aksioma 1.1.1(D) yaitu sifat distribusi perkalian terhadap penjumlahan maka A. B + A. C A. B + A. C Jadi, terbukti untuk A. (B + C) A. B + A. C (f) Diketahui jika A. C = B. C Dengan teorema 1.1.3(b) maka.c.a=.c.b 1.=1. = Contoh : misal A = 1, B = 2 4

5 A. C = B. C 1. 0 = = 0 Jadi, kesamaan tersebut tidak harus terjadi ketika C = 0. LATIHAN BAGIAN Jika < dan c < d, buktikan bahwa ad + bc < ac + bd Akan dibuktikan bahwa ad + bc < ac + bd Jika < dan c < d maka dan, sehingga dengan aksioma (b) maka diperoleh >0 +>+ +<+ Jadi, terbukti ad + bc < ac + bd 6. Jika,, buktikan bahwa + =0 jika dan hanya jika ==0 + =0 Andaikan 0, maka >0 atau <0 0, maka >0 atau <0 Menurut Teorema 1.2.5(a), maka >0, >0 Sehingga + >0, berarti pengandaian salah. Jadi, =0 dan =0 =0 dan =0 + =0 Jadi, terbukti bahwa + =0 jika dan hanya jika ==0 9. Tunjukkan bahwa jika <0 dan <0, maka < Diambil sembarang, Dengan menggunakan Teorema 1.2.6(a), jika < maka +<+ untuk,, R. Dari yang diketahui <0 yang berarti dan jika = maka Sehingga + (1) +<+ +<+0 +< 5

6 Dan dengan menggunakan Teorema (d) jika b <0, maka <0. Akibatnya (2) Dari akibat (1) dan (2), dengan menggunakan sifat urutan diperoleh Yang berarti <. Jadi,terbukti jika <0 dan <0, maka < 13. Misalkan, R dan berlaku + untuk setiap >0. (a) Tunjukkan bahwa. (b) Tunjukkan bahwa dalam kasus ini tidak mungkin <. (a) Akan dibuktikan jika, R berlaku + untuk setiap >0 Andaikan > Misalkan = maka >0. Sehingga diperoleh < Hal ini kontradiksi dengan yang diketahui, jadi seharusnya Jadi, terbukti bahwa (b) Akan dibuktikan bahwa dalam kasus ini tidak mungkin <. Andaikan dalam kasus ini mungkin <. Misalkan = maka >0. Sehingga diperoleh < Hal ini kontradiksi dengan yang diketahui, jadi dalam kasus ini tidak mungkin < 15. (a) Jika 0<<1, tunjukkan bahwa 0< <<1 (b) Jika <1, tunjukkan bahwa 1<< (a) Diketahui 0<<1, akan dibuktikan 0< <<1 Misal = dengan > = = >0 Karena >, akibatnya > Dapat ditulis > sehingga terbukti bahwa 0< <<1 6

7 (b) Akan dibuktikan jika <1 maka 1<< Misal =,> = = >0. Karena > dan > maka >. Dengan kata lain <. Sehingga terbukti bahwa jika >1 maka 1<< 22. Misalkan >0 untuk =1,2,,. Buktikan bahwa Perhatikan ketaksamaan Cauchy Dengan menggunakan ketaksamaan Cauchy dimana >0 dan >0, maka Dengan mengambil = dan = Terbukti Jadi, dengan induksi terbukti >0, k = 1,,n maka LATIHAN BAGIAN Jika, R, tunjukkan bahwa + = + jika dan hanya jika 0 Bukti : Akan ditunjukkan a + b < a + b dan a + b < a + b. Menurut teorema untuk sembarang bilangan real a, b berlaku a + b < a + b. Menurut teorema jika ab > 0 maka berlaku a > 0 dan b > 0 atau a < 0 dan b< 0. Untuk a > 0 dan b > 0, maka a + b = a+b dan a + b = a+b (1) Untuk a< 0 dan b< 0, maka a + b = ( a + b) = a+b dan a + b = -(a) +(-b)= - (a+b).(2) Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh kesimpulan 7

8 a + b < a + b karena a + b < a + b dan a + b < a + b Jadi, terbukti bahwa a + b = a + b jika dan hanya jika ab > 0 7. Jika <1, tunjukkan bahwa < +1 Diketahui <1 maka diperoleh <1 dan <1 > 1 Sehingga, 1< <1 1+<<1+ 1+ <<1+ Menurut teorema (b) maka diperoleh 1+ <<1+ 1+ <<1+ Dengan teorema (d) diperoleh <1+ Jadi,terbukti < Jika >0 dan 3 <6+, buktikan bahwa 9 <6+. Diketahui >0 dan 3 <6+ Maka 3 < berarti < 3< < 3< 3 <<3+ 3 < <3+ =9 6+ < <9+6+ = <9+6+ karena >0 9<6+ 9 <6+ Jadi, terbukti jika >0 dan 3 < maka 9 <6+. 8

9 LATIHAN BAGIAN Misalkan = dan =1 (a) Jika = [ 1,1], tentukan sup A. (b) Jika = [ 1,1], tentukan sup B. (c) Jika =+ [ 1,1], tentukan sup C. (d) Apakah sup A + sup B = sup C? Mengapa? (a) = maka supremum dari = [ 1,1] adalah pada x = 1 sehingga 1=1 (b) =1 maka supremum dari = [ 1,1] adalah pada x = 0 sehingga 0=1 0 =1 (c) =, =1 Misal +=h=+1 maka supremum dari C adalah pada x = sehingga h = +1 = (d) sup A + sup B = 1+1 = 2 sup C = karena 2, maka sup A + sup B sup C Karena fungsi C merupakan sebuah fungsi yang terbentuk dari penggabungan fungsi A dan B maka fungsi C menghasilkan nilai supremum yang berbeda dari penjumlahan supremum A dan B. 9. Misalkan himpunan tak kosong dan terbatas di atas. Buktikan bahwa memuat anggota terbesarnya jika dan hanya jika memuat supremumnya. Akan dibuktikan S memuat anggota terbesarnya jika dan hanya jika S memuat supremumnya. 1) Akan dibuktikan jika S memuat anggota terbesar maka S memuat supremumnya. Misal merupakan anggota terbesar, artinya, maka merupakan batas atas. Menurut theorema (Setiap himpunan tak kosong didalam R yang mempunyai batas atas selalu mempunyai supremum di dalam R) karena S memuat batas atas maka S mempunyai supremum. Jadi, terbukti. 2) Akan dibuktikan jika S memuat supremum maka S memuat anggota terbesar. Misal = sup S artinya, dan jika <, < Ambil >0 maka terdapat sehingga <. Dapat disimpulkan bahwa merupakan batas atas. Sehingga terbukti S memuat anggota terbesar. 9

10 Jadi, dari pembukti 1) dan 2) terbukti bahwa S memuat anggota terbesarnya jika dan hanya jika S memuat supremumnya. 11. Misalkan S himpunan tak kosong dan terbatas. Jika > 0 dan >,,,. Buktikan bahwa S memuat anggota terbesar. (Petunjuk: gunakan latihan 9 dan 10) Diketahui > 0 dan >,,, Akan dibuktikan S memuat anggota terbesar LATIHAN BAGIAN Tunjukkan bahwa sup N}= 3 4. Akan ditunjukkan bahwa sup 3 1/4 N}=3/4., N <, N sehingga (dengan sifat Archimedes) 10

11 < < =, 3 1/4 N} Dengan demikian terbukti bahwa sup 3 1/4 N}=3/4. 6. Misalkan himpunan tak kosong terbatas di dalam, untuk didefinisikan = }. (b) Jika <0 buktikan bahwa: inf=asup dan sup=ainf Akan dibuktikan jika <0 maka inf= sup dan sup= inf Misal : = sup. Artinya : 1),. Karena <0 maka diperoleh, jadi merupakan batas bawah untuk. Dengan demikian sup. 2) Untuk sebarang batas atas. Karena <0 maka,. Akibatnya,. Sehingga dapat diambil kesimpulan merupakan batas bawah dari himpunan Jadi = sup atau. Dengan demikian sup Disimpulkan bahwa inf= atau bisa ditulis inf= sup Misal : = inf. Artinya : 1),. Karena <0 maka diperoleh, jadi merupakan batas atas untuk. Dengan demikian inf 2) Untuk sebarang batas bawah. Karena <0 maka,. Akibatnya,. Sehingga dapat diambil kesimpulan merupakan batas atas dari himpunan Jadi = inf atau. Dengan demikian inf. Disimpulkan bahwa sup= atau bisa ditulis sup = inf 7. Misalkan, R adalah dua himpunan terbatas dalam R. Didefinisikan =, } Buktikan bahwa C terbatas dalam R, dan nyatakan sub C dalam batas dari A dan B. Akan dibuktikan terbatas dalam R 11

12 i). Misal merupakan batas atas dari, artinya, dan misalkan merupakan batas atas dari, artinya,. Sehingga artinya merupakan batas atas C,Karena,. Jadi, terbatas atas dalam R. ii). Misal merupakan batas bawah artinya, dan misalkan merupakan batas bawah dari, artinya,. Sehingga artinya merupakan batas bawah C, Karena,. Jadi, terbatas bawah dalam R Dari i) dan ii) terbukti bahwa terbatas dalam R sup C dalam batas dari A dan B : Misal : = sup i)., ii). <, sehingga < Maka sup C =, <, sehingga < 8. Misalkan, R dua himpunan tak kosong yang terbatas di atas dalam R. Tunjukkan bahwa terbatas atas dan sup =sup,sup} Akan ditunjukkan terbatas diatas. i). Dari yang diketahui A terbatas atas dalam R, misalkan R. merupakan batas atas dari A jika,. ii). Dari yang diketahui B terbatas atas dalam R, misalkan R. merupakan batas atas dari B jika,. Dari i) dan ii) dapat disimpulan R atau R merupakan batas atas dari karena berlaku atau. Sehingga terbukti bahwa terbatas diatas. Akan ditunjukkan sup = maks {sup A,sup B}. Andaikan sup = min {sup A,sup B} Misalkan: sup A =, sup B = dan < = sup B i)., ii). <, sehingga < sup = min {sup A,sup B} =, maka = sehingga. 12

13 Hal ini kontradiksi dengan konsep supremum dimana,. Oleh karena itu pengandaian harus dibalik. Jadi, terbukti bahwa sup = maks{sup A,sup B}. 9. Buktikan bahwa untuk sembarang dua bilangan real <, terdapat bilangan irrasional berbentuk + 3 yang terletak diantar dan, dengan bilangan rasional. Akan dibuktikan bahwa untuk sembarang dua bilangan real <, terdapat + 3 dengan bilangan rasional sehingga <+ 3<. Karena < maka jelas bahwa 2 6< 2 6. Berdasarkan theorema (Kerapatan bilangan irrasional) pada bilangan real 2 6 dan 2 6., diperoleh bilangan irrasional 2 sehingga, 2 6< 2< << << 3 <+ 3< Dengan demikian terbukti bahwa untuk sembarang dua bilangan real <, terdapat + 3 dengan bilangan rasional sehingga <+ 3<. 10. Misalkan rapat dalam R dan, tunjukkan bahwa <= rapat dalam berarti, dengan < terdapat sehingga << Akan dibuktikan sup <= i)., untuk setiap ii). <, < Karena dari sifat kerapatan terdapat sehingga << maka benar bahwa sehingga < jadi <= 13