Pengantar Teori Bilangan

Transkripsi

1 Pengantar Teori Bilangan Kuliah 2 2/2/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 1

2 Materi Kuliah 2 Teori Pembagian dalam Bilangan Bulat Algoritma Pembagian Pembagi Persekutuan Terbesar 2/2/2014 2

3 Algoritma Pembagian Teorema Algoritma Pembagian Jika a, b Z, dengan b > 0, maka terdapat dengan tunggal q, r Z yang memenuhi a = qb + r, 0 r < b Bilangan q disebut pembagi dan r disebut sisa dalam pembagian a dan b. 2/2/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 3

4 Bukti Teorema Algoritma Pembagian Diketahui a, b Z, dengan b > 0. Akan ditunjukkan! q, r Z yang memenuhi a = qb + r, 0 r < b. Bentuk himpunan S = a xb x Z, a xb 0. Untuk menunjukkan S, cukup ditunjukkan nilai x yang membuat a xb nonnegative. Karena b 1, diperoleh a b a, sehingga a a b = a + a b a + a 0. Dengan memilih x = a, maka a xb S. Jadi S. Dengan menggunakan sifat Well-Ordering Principle, maka S memuat bilangan terkecil, misalkan r. Berdasarkan definisi S, terdapat bilangan bulat q yang memenuhi r = a qb, 0 r. Andaikan r < b. Jika tidak berlaku ini maka r b dan a q + 1 b = a qb b = r b 0 Akibatnya bahwa a q + 1 b adalah bentuk yang ada dalam S. Tetapi a q + 1 b = r b < r, hal ini kontrakdiksi dengan pemilihan r adalah unsur terkecil di S. Oleh karena itu r < b. 2/2/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 4

5 Selanjutnya ditunjukkan ketunggalan q dan r. Andaikan tidak tunggal, berarti a = qb + r = q b + r dengan 0 r < b, 0 r < b. Maka r r = b q q dan karena nilai absolut dari hasilkali adalah sama dengan hasil kali dari nilai absolutnya, maka r r = b q q = b q q Setelah menambahkan dua ketidaksamaan b < r 0 dan 0 r < b, diperoleh b < r r < b atau ekivalen dengan bentuk r r < b. Dengan demikian b q q < b, yang menghasilkan 0 q q < 1. Karena q q 0, maka satu-satunya nilai yang mungkin adalah q q = 0, artinya q = q, dan ini mengakibatkan r = r. Jadi terbukti q dan r adalah tunggal. 2/2/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 5

6 Contoh 1. Untuk bilangan bulat 7 dan 2, maka terdapat bilangan bulat 3 dan 1 sehingga 7 = Untuk bilangan bulat 9 dan 4, maka terdapat bilangan bulat 3 dan 3 sehingga 9 = Untuk bilangan bulat 20 dan 5, maka terdapat bilangan bulat 2/2/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 6

7 Akibat Teorema Algoritma Pembagian Jika a, b Z, dengan b 0, maka terdapat dengan tunggal q, r Z yang memenuhi a = qb + r, 0 r < b 2/2/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 7

8 Bukti Akibat Teorema Algoritma Pembagian Untuk membuktikan akibat ini, cukup ditunjukkan untuk kasus b < 0. Selanjutnya dari b > 0 dan dengan Teorema algoritma pembagian diperoleh bilangan q dan r yang tunggal, dimana a = q b + r, 0 r < b Ingat bahwa karena b < 0, maka b = b, maka dapat diambil q = q agar diperoleh a = qb + r dengan 0 r < b. 2/2/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 8

9 Contoh 1. Untuk bilangan bulat 59 dan 7, maka terdapat bilangan bulat 9 dan 4 sehingga 59 = Untuk bilangan bulat 1 dan 7, maka terdapat bilangan bulat 0 dan 1 sehingga 1 = Untuk bilangan bulat 2 dan 7, maka terdapat bilangan bulat 4. Untuk bilangan bulat 61 dan 7, maka terdapat bilangan bulat 2/2/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 9

10 Teori Pembagi Persekutuan Terbesar (FPB) Definisi: Suatu bilangan bulat b dikatakan habis dibagi oleh bilangan bulat a 0, jika terdapat bilangan bulat c sedemikian hingga b = ac. (a membagi habis b jika b = ac untuk suatu c) Simbol: Jika b habis dibagi a maka ditulis dengan a b. Jika b tidak habis dibagi oleh a, maka ditulis a b. 2/2/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 10

11 Sifat-Sifat Teorema Untuk setiap a, b, c Z, berlaku: a. a 0, 1 a, a a b. a 1 jika dan hanya jika a = ±1 c. Jika a b dan c d, maka ac bd d. Jika a b dan b c, maka a c e. a b dan b a jika dan hanya jika a = ±b f. Jika a b dan b 0, maka a b g. Jika a b dan a c, maka a (bx + cy) untuk sebarang x, y Z 2/2/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 11

12 Pembagi Persekutuan Terbesar atau FPB Review pelajaran SD kelas V tentang FPB Untuk mencari FPB dari dua buah bilangan bulat, maka langkah-langkah yang diperlukan adalah: 1. Tentukan factor pembagi yang merupakan bilangan prima (faktorisasi prima) dari masing-masing bilangan. 2. Setelah seluruh kemungkinan factor pembagi prima dilakukan, maka tentukan factor pembagi prima yang sama-sama dimiliki oleh kedua bilangan tersebut. 3. Perhatikan pangkat terkecil untuk masing-masing factor prima yang diperoleh. 4. FPB dari bilangan tersebut adalah perkalian factor prima yang sama dengan pangkat yang terkecil. 2/2/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 12

13 Contoh FPB dari 36 dan Faktorisasi prima dari 36 = = Faktorisasi prima dari 90 = = Faktor prima yang sama untuk 36 dan 90 adalah 2 dan 3 3. Pangkat terkecil untuk factor prima 2 adalah 1, dan pangkat terkecil untuk factor prima 3 adalah 2 4. FPB dari 36 dan 90 adalah = 18 2/2/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 13

14 Cara lain FPB dari 36 dan 90 adalah Faktor dari 36 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 Faktor dari 90 adalah 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90 Maka FPB dari 36 dan 90 adalah 18 2/2/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 14

15 Definisi Pembagi Persekutuan Terbesar Definisi Misalkan a, b Z, dengan salah satu dari a atau b tidak sama dengan nol. Pembagi persekutuan terbesar (greatest common divisor) dari a dan b, adalah d yang memenuhi sifat berikut: 1. d a dan d b 2. Jika c a dan c b maka c d (Jika d pembagi persekutuan terbesar dari a dan b, maka disimbolkan dengan ppb(a, b) atau gcd(a, b)) (SD FPB) 2/2/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 15

16 Perhatikan contoh ppb 36,90 = adalah pembagi persekutuan terbesar dari 36 dan 90. Dengan definisi pembagi persekutuan terbesar, perhatikan bahwa karena 36 = karena 90 = 5 18 Bilangan lain yang membagi habis 36 dan 90 adalah 9, yaitu 9 36 dan 9 90 dan perhatikan bahwa 9 < 18 2/2/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 16

17 Contoh lain ppb 5,5 = 5 ppb 8,17 = 1 ppb 8, 36 = 4 2/2/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 17

18 Sifat ppb(a, b) Teorema Misalkan a, b Z dengan a 0 dan b 0, maka terdapat x, y Z sedemikian sehingga ppb a, b = ax + by Contoh: ppb 36,90 = (5) ppb 8,17 = (1) ppb 5,5 = ppb 8, 36 = 8 4 ± /2/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 18

19 Akibat dari ppb a, b = ax + by Oleh karena nilai x dan y tidak tunggal, maka ada banyak kemungkinan penyelesaian untuk persamaan ax + by. Maka diperoleh Akibat 1. Misalkan a, b Z dengan a 0 dan b 0, maka himpunan T = ax + by x, y Z adalah himpunan semua perkalian dari d = ppb(a, b). Akibat 2 Jika a c dan b c, dengan ppb a, b = 1, maka ab c 2/2/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 19

20 Sifat-sifat lain Teorema (Lemma Euclid) Jika a bc, dengan ppb a, b = 1, maka a c. Teorema Misalkan a, b Z dengan a 0 dan b 0. d = ppb(a, b) jika dan hanya jika a. d a dan d b b. Jika c a dan c b, maka c d 2/2/2014 Selesai 7 Februari